Ermittlung von Leistungsgrenzen verschiedener Lagerstrategien unter Berücksichtigung zentraler Einflussgrößen

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1 Ermilung von Leiunggrenzen verchiedener Lagerraegien uner Berücichigung zenraler Einflugrößen Dipl.-Wir.-Ing. (FH) Anne Piepenburg, Prof. Dr.-Ing. Rainer Brun Helmu-Schmid-Univeriä, Hamburg Lehruhl für Machinenelemene und Techniche Logii Abrac: Am Lehruhl für Machinenelemene und Techniche Logii der Helmu- Schmid-Univeriä wurde ein neuer Modellierunganaz zur Leiungberechnung von Lageryemen enwicel. Da Modell baier auf der mahemaich analyichen Berechnung der mileren Spielzei und ermöglich die Berücichigung weigehend beliebiger Lagerraegien. Bei der Modellenwiclung wurden der loale Aulaunggrad owie die loale Verweildauer der einzelnen Lagerfächer al zenrale Einflugrößen auf die Syemleiung idenifizier. Da Modell ermöglich eral die Einflüe dieer beiden grundlegenden Größen analyich zu bechreiben und dami iefere Einichen in die weenlichen Wirzuammenhänge zu gewinnen. Einleiung Auomaiiere Lageryeme verurachen hohe Koen durch den Lagerberieb aber auch durch die Abchreibung der Inveiion. Dehalb wird ei langem veruch die logiiche Syemleiung nich nur durch eine Seigerung der Leiungfähigei der eingeezen Techni, ondern inbeondere durch augefeile Lagerraegien d.h. durch eine inelligene Zuordnung der Lagereinheien zu den Lagerfächern zu erhöhen. Die Auwahl der für den jeweiligen Anwendungfall richigen Lagerraegie i einerei von großer Bedeuung für die Wirchaflichei de Lageryem und andererei einefall rivial. Vorauezung hierfür i die Möglichei, verchiedene Lagerraegien objeiv vergleichen und beweren zu önnen. Diee ann mihilfe von Compuerimulaionen uner definieren Einazzenarien gechehen. Tiefere Einichen in die weenlichen Zuammenhänge zwichen den Einfluparameern und der Zielgröße Umchlagleiung laen ich dabei jedoch nur chwer gewinnen. Da in dieem Zuammenhang enwicele Modell oll im folgenden Beirag vorgeell werden. Grundlagen zum Lager. Sochaiche Einflugrößen im Lager Einige der in einem Lager aufreenden Parameer önnen durch Wahrcheinlicheivereilungen bechrieben werden. Im vorliegenden Beirag ind da inbeondere die Fahrzeivereilung und die Verweildauervereilung. Logiic Journal : Proceeding ISSN Seie

2 Die Dichefunion der Fahrzeivereilung gib die Wahrcheinlichei an, mi welcher eine beimme Spielzei bei einem Einzelpiel einri. Die Wahrcheinlichei nimm bei chaoicher Lagerung mi eigendem linear zu (vgl. Abb. ), weil die Anzahl von Lagerfächern mi gleicher Spielzei mi zunehmendem Aband vom Übergabepun wäch. Vorauezung hierfür i, da da Verhälni von Lagerhöhe zu Lagerbreie dem Verhälni von Hubgechwindigei zu Fahrgechwindigei gleich. Die Verweildauer eine Ariel i bei beimmen Lagerraegien Encheidunggrundlage, in welche Lagerfach (LF) der Ariel eingelager wird. Da die Verweildauer de Ariel jedoch zum Einlagerungzeipun unbeann i, lieg die Verweildauervereilung idealerweie aufgrund von Erfahrungweren vor. Die Verweildauervereilung gib an, mi welcher Wahrcheinlichei eine beimme Verweildauer einri, oda abhängig von der verwendeen Lagerraegie der Einlagerungor für die Lagereinhei (LE) beimm werden ann. Die Inerpreaion der Verweildauervereilung oll im Folgenden anhand einer gleichvereilen Verweildauer erfolgen. Abbildung : Dichefunion der Fahrzeivereilung Abbildung : Unerchiedliche Gleichvereilungen der Verweildauer Wenn eine Zufallgröße (in dieem Fall die Verweildauer) gleichvereil i, beeh für jede mögliche Verweildauer die gleiche Einriwahrcheinlichei. Abbildung zeig drei Dichefunionen einer Gleichvereilung. Lieg eine Gleichvereilung wie bei vor, o unercheiden ich die Verweildauern im Sorimen aum. Bei ar unerchiedlichen Verweildauern ha die Dichefunion der Gleichvereilung den Verlauf 3.. Lagerraegien Al Lagerraegien werden Verfahren bezeichne, nach denen ein Lagerfach für die Einlagerung augewähl wird. Gängige Lagerraegien ind beipielweie die chaoiche Lagerung, die Kürzee-Fahrzei-Sraegie oder die ABC-Zonierung. Bei der chaoichen Lagerung werden anommende Ladeeinheien zufällig Lagerfächern Logiic Journal : Proceeding ISSN Seie

3 zugewieen, oda für jede Lagerfach die gleiche Wahrcheinlichei beeh, angefahren zu werden. Die Kürzee-Fahrzei-Sraegie (KFZ) hingegen wähl unabhängig vom einzulagernden Ariel immer den Lageror mi dem ürzeen Fahrweg au. Wird da Lager in Zonen eingeeil, prich man ofmal von einer ABC-Zonierung. Innerhalb einer Zone werden nur Ladeeinheien mi definieren Aribuauprägungen eingelager [Ho8]. Eine weiere Lagerraegie, die in der Praxi bilang aum Anwendung finde, i die dynamiche Zonierung. Die dynamiche Zonierung wurde von Michael Gla enwicel. Gla geh davon au, da die Verweildauervereilung der Ariel owie die Fahrzeivereilung im Lager vor Einlagerung beann ind. Um den Lageror eine anommenden Ariel zu beimmen wird deen Verweildauerquanil mi dem Quanil in der Fahrzeivereilung gleichgeez. Über die Invere der Fahrzeivereilungfunion lä ich chließlich die Fahrzei zu dem geuchen Lageror für den Ariel berechnen (vgl. Abb. 3 und Gl..) [Gla8]: F ( F ( )) (.) F F V V Abbildung 3: Verweildauervereilung de Ariel (lin) und die Fahrzeivereilung de Lager (rech) In dem vorliegenden Beirag finden die chaoiche Lagerung und die dynamiche Zonierung nach Gla Anwendung. 3 Modell zur Leiungberechnung 3. Vorauezung und Annahmen zur Modellbildung Die Leiung eine Lager wird durch die milere Spielzei charaeriier. Die Spielzei eine Lagerfache i die Zeidauer, die für die Auführung eine Arbeipiel, d.h. einer Au- oder Einlagerung benöig wird. Da Arbeipiel i dabei eine zyliche Wiederholung von einzelnen Arbeioperaionen. Werden die für die Arbeioperaionen benöigen Zeianeile addier, ergib ich die Spielzei für ein beimme Arbeipiel. Diee Zeianeile werden in wegabhängige und wegunabhängige Zeianeile unerchieden. Die Spielzei häng im Weenlichen von der Länge de beim Tranporvorgang zurüczulegenden Wege ab. Somi i die Spielzei für jede Lagerfach unerchiedlich, ie wird al pezielle Spielzei bezeichne [Bru9]. Logiic Journal : Proceeding ISSN Seie 3

4 In dem enwicelen Modell önnen zeiliche Schwanungen nich berache werden. Bei den in dem Modell verwendeen Größen handel e ich um zeiliche Mielwere, oda nur aionäre Zuände durch da Modell bechrieben werden önnen. Zunäch wird nur eine einzelne Regalfläche modellier. Da Modell ann jedoch auf mehrere Regalflächen erweier werden. Die modelliere Regalfläche beeh au M x N gleichgroßen Lagerfächern (vgl. Abb. 4). Abbildung 4: modelliere Regalfläche Abbildung 5: Zyluzei eine Lagerfach Jede Lagerfach i eindeuig durch eine Indize i, j geennzeichne. Für jede Lagerfach ei die Spielzei, die Verweildauer v und der Aulaunggrad beann. Der Aulaunggrad bechreib da Verhälni der Zwichenanunfzei A (Zyluzei) und der Verweildauer v ν (3.) A Die Zwichenanunfzei ez ich dabei au der Verweildauer einer Lagereinhei und der Zeidauer leer, in der da Lagerfach leer i, zuammen. Abbildung 5 zeig den ypichen Zylu, den jede Lagerfach durchläuf. Die Zeianeile zwichen Einlagerung und Aulagerung owie die Leerzei önnen bei jedem Zylu variieren. E gil alo: + (3.) A ν leer Hierau folg durch Umellen von Gl. 3. und anchließende Einezen in Gl. 3.: A ν und leer ν (3.3) + (3.4) Um die Anfahrwahrcheinlichei P eine Lagerfache zu beimmen, wird die Regalfläche al eine Parallelchalung vieler (genauer M x N) Bedienaionen aufgefa (vgl. Abb. 6). Logiic Journal : Proceeding ISSN Seie 4

5 Abbildung 6: Regalfläche al Bedienaion Die Wahrcheinlichei, da eine anommende LE in Lagerfach LF eingelager wird, ergib ich au dem relaiven Durchaz de Lagerfache. E gil alo: ge P (3.5) ge Der zeilich gemiele Durchaz i der Kehrwer der Zwichenanunfzei A de Lagerfache (3.6) A Durch da Aufummieren aller Einzeldurchäze erhäl man den Geamdurchaz durch die geame Lagerfläche ge zu ab (3.7) i j Der örlich gemiele Durchaz m ergib ich, wenn man den Geamdurchaz auf die Anzahl M x N der Lagerfächer in der Lagerfläche bezieh. m E( ) ge M N (3.8) 3. Leiungberechnung mi einem direen Modell Die milere Spielzei i ein Mielwer für die beim Einzelpiel benöige Zeidauer. Sie i der Erwarungwer der peziellen Spielzeien für die einzelnen Lagerfächer: P (3.9) j i Mi Gleichung 3.5 folg: Logiic Journal : Proceeding ISSN Seie 5

6 M N i j ge (3.) Mi Gleichung 3.8 folg weier: M N MN i j m (3.) Der Quoien m ann al lagerfachabhängiger Einflufaor gedeue werden. Durch Rücführung der Lagerfachdurchäze auf die Urprunggrößen v und (vgl. Gl. 3.3 und 3.6) erhäl man: M N i j ν M N i j ν (3.) 3.3 Leiungberechnung mi einem eigen Modell Durch den Grenzübergang zu unendlich vielen Lagerfächern ( N, M ) ann eine Koninuierung de Problem durchgeführ werden. Somi werden die Lagerfächer bei gleichbleibender Regalfläche infinieimal lein. Uner der Annahme, da alle Lagerfächer gleich groß ind, ergib ich die Breie eine Lagerfache au der Länge L dividier durch die Anzahl M der Lagerfächer in x Richung: L Δ x, lim M Δ x dx (3.3)+(3.4) M Enprechende gil für die Höhe eine Lagerfache: H Δ y, lim y dy N N Δ (3.5)+(3.6) Δx Δy (3.7) MN L H Durch Einezen in (3.) und Koninuierung von und erhäl man: ( x, y), ( x, y) ( xy, ) x y dxdy LH LH (, ) x y (3.8) m au (3.) folg chließlich: Logiic Journal : Proceeding ISSN Seie 6

7 S LH x y ( xy, ) S ( x, y ) dxdy v( x, y) ( xy, ) dxdy ( x, y) LH x y mi ( x, y), ( x, y) v ν ν (3.9) 3.4 Leiungberechnung mi einem laier direen Modell In jedem Lager gib e Klaen von Lagerfächern die hinichlich der relevanen Größen gleiche Were aufweien. Diee Fächer liegen auf einer gemeinamen Linie, der ogenannen Iolinie. Eine Iolinie verbinde alle Pune (bzw. LF), für die man von einem beimmen Pun au (z.b. der Übergabepun in einem Lager) die gleiche pezielle Einzelpielzei benöig [Arn9]. E werden daher M Teilmengen K von Lagerfächern gebilde. Für alle Elemene einer Klae ind die Were der Aulaung, der Verweildauer v und der Spielzei gleich groß. E gil: v v [, M ] i j, K Die Anzahl der Lagerfächer (Elemene) der Klae K ei die Häufigei h. Die relaive Häufigei der Klaen i dann: h rel, h MN (3.) Mi Gleichung (3.) erhäl man durch die Klaierung: h rel, h rel, v v (3.) 3.5 Leiungberechnung mi einem laier oninuierlichen Modell Nimm man eine weiere oninuierliche Verfeinerung der Klaierung bi zum Grenzfall M vor, o ann die Zuordnung der Klaen nich mehr durch den Index erfolgen. Hierfür wird ein eiger Parameer benöig. Da die Klaierung üblicher Weie anhand der Spielzei erfolg, biee e ich an, die relevanen Parameer in Abhängigei von der Spielzei darzuellen: Logiic Journal : Proceeding ISSN Seie 7

8 ( ), ( ) ν ν Bei wachendem M reb die Klaenhäufigei h bzw. h,rel gegen null. Diee mu daher auf die Klaenbreie bezogen werden: h rel, lim ( ) M Δ Im Grenzübergang f M reb der Quoien h, rel Δ (3.) gegen die Dichefunion der Spielzeivereilung bei chaoicher Lagerung. Der Quoien wird im Folgenden al geomericher Spielzeifaor bezeichne. Der geomeriche Spielzeifaor lä ich mi Hilfe der Dichefunion der Spielzeivereilung (vgl. Abb. 7) bei chaoicher Lagerung beimmen. E gil: f ( ) f [, ] in max in ax ax in (3.3) f ax wird mi Hilfe der Bedingung beimm, da die Fläche uner der Dichefunion ein mu: fax ( ax in) (3.4) fax ( ) ax in Dami ergib ich für die Dichefunion: (3.5) f ( ) ( ) in ( ax in ) (3.6) Für die weieren Berechnungen mi dem Leiungodell wird eine Variablenubiuion mi der Hilfvariablen durchgeführ. Die Subiuion ermöglich eine Inegraion im Werebereich τ. Die Dichefunion wird dami in den Urprung verchoben und normier (vgl. Abb. 7). Die Dichefunion in Abhängigei der Hilfvariablen zeig Gleichung 3.7. Logiic Journal : Proceeding ISSN Seie 8

9 f ( τ ) ax τ (3.7) in Abbildung 7: Geomeriche Vereilung der Spielzei Mi den dargeellen Übergängen für (3.): max min max min ( ) f ( ) d ν ( ) ( ) f ( ) d ν ( ) M folg au der Beimmunggleichung (3.8) in ax in und ax ind die obere und unere Grenze de Werebereich der Spielzei. Nach der Variablenubiuion erhäl man: τ ( ) f ( τ) ( +Δ τ) dτ ( τ ) in ν τ ( ) f ( τ) dτ ν ( τ ) mi τ ax in in (3.9)+(3.3) 3.6 Modellvalidierung anhand der chaoichen Lagerung Die Modellvalidierung erfolg anhand der chaoichen Lagerung. Für die Berechnung der mileren Einzelpielzei bei chaoicher Lagerung lieg eine analyiche Formel vor, die die Spielzei in Abhängigei der Bewegunggrößen de Fördermiel bei parallelem Bewegungablauf owie onanen Zeianeilen für die Laaufnahme und Laabgabe und der Lagerauaße beimm. Bei Güligei de Modell zur Leiungbeimmung mu da Ergebni für die milere Spielzei mi dem Ergebni der beannen analyichen Formel übereinimmen. Die analyiche Formel für die milere Einzelpielzei bei chaoicher Lagerung laue: KA + KE 4 L + + (3.3) 3 u mi KA onaner Zeianeil für da Aulagern Logiic Journal : Proceeding ISSN Seie 9

10 KE onaner Zeianeil für da Einlagern Zeianeil für x Bechleunigen und Abbremen L u Lagerlänge Maximalgechwindigei Fahren Für die Berechnung nach dem Leiungodell werden zunäch die einzuezenden Funionparameer beimm. Bei der Einlagerung nach chaoicher Sraegie werden die Verweildauern de einzulagernden Ariel nich berücichig. Daher i die Verweildauer im Miel über die Regalfläche al onan anzuehen. Gleiche gil für die Aulaung, da diee bei der Einlagerung nach chaoicher Sraegie nich berücichig wird. Nach Einezen in Gl. (3.9) erhäl man: τ ( in + ( ax in ) τ) dτ ax in ν τ d τ ax + ( ) min max min in τ dτ ν τ dτ Nach Löen der beiden Inegrale erhäl man chließlich: (3.3) (3.33) 4 L min + (3.34) 3 u Der Zeianeil in ez ich au dem onanen Zeianeil und den beiden Zeianeilen für die Bechleunigung zuammen. Dami i die Güligei der Berechnung der mileren Spielzei nach dem Leiungodell für den Spezialfall der chaoichen Lagerung nachgewieen. 4 Leiungberechnung für die dynamiche Zonierung bei gleichvereiler Verweildauer Die Leiungberechnung oll im Folgenden auf die dynamiche Zonierung von Gla angewende werden. E wird eine gleichvereile Verweildauer angenommen. Gemäß der dynamichen Zonierung werden die Quanile der Fahrzei- und Verweildauervereilungfunion gleichgeez. E lieg die geomeriche Spielzeivereilung vor. Die erforderliche Fahrzeivereilungfunion FF ( τ ) enprich der Vereilungfunion F ( τ ) de geomerichen Spielzeifaor f ( ) τ.die Verweildauer wird in Abhängigei von τ beimm. E gil: F ( ) ( ) τ Fv ν (4.) Logiic Journal : Proceeding ISSN Seie

11 ν( τ) ν min +Δν τ mi ν ν max ν min Δ (4.) Bei der Lagerraegie dynamiche Zonierung i die Aulaung für alle Lagerfächer gleich groß, oda al onan angenommen werden ann. E lieg der geomeriche Spielzeifaor f ( τ ) vor. Die ermielen Parameer werden anchließend in da Leiungodell (vgl. Gl. 3.9) eingeez. Nach Vereinfachung erhäl man [Bro]: ν min min +Δ ν min τ dτ +Δν τ τ dτ +Δ τ ν (4.3) ν min Δν ( arcan ( )) Δν ν min min +Δ (4.4) ν max ln ν min Die Gleichung für die milere Spielzei ez ich nun au der Summe von in und zuammen, wobei mi einem Faor muliplizier wird, der ich nach Löen de Nenner und de Zählerinegral und anchließender Diviion ergib. Dieer Faor wird im Folgenden al Einflufaor α bezeichne. Er gib die Leiungfähigei einer Lagerraegie an. Bei chaoicher Lagerung i der Einflufaor gleich /3. Tabelle zeig die Ergebnie für den Einflufaor bei Variaion de Inervall für die Verweildauer. Inervall bechreib den chaoichen Grenzfall, denn v i nahezu onan, oda nach der dynamichen Zonierung annähernd chaoich eingelager wird. Ein große Inervall (vgl. Inervall 3) erwir einen niedrigen Einflufaor und dami eine urze milere Spielzei. Die Sraegie dynamiche Zonierung erziel bei ar unerchiedlichen Verweildauern im Sorimen folglich die been Ergebnie. vmin vmax v Einflufaor α.,,,66.,5 3.,75 Tabelle : Ergebnie für den Einflufaor 5 Zuammenfaung und Aublic Bei der Modellenwiclung ha ich gezeig, da die Leiungberechnung von Lagerraegien anhand weniger Parameer erfolgen ann. Dabei wurden der loale Aulaunggrad der einzelnen Lagerfächer owie die Verweildauer der Lagereinheien in den Lagerfächern al zenrale Einflugrößen auf die Logiic Journal : Proceeding ISSN Seie

12 Syemleiung idenifizier. Beide Größen werden durch die Lagerraegie encheidend beeinflu. Ere Ergebnie der Leiungberechnung machen da Opimierungpoenzial der dynamichen Zonierung gegenüber der chaoichen Lagerung deulich und onaieren den ignifianen Einflu der Verweildauer auf die milere Spielzei. Mi der Einführung der dynamichen Zonierung wurde berei ein Forchri in der Reduzierung der mileren Spielzei erziel. In weieren Schrien olle die Auwirung der Aulaung der Regalfläche auf die milere Spielzei uneruch werden. Die Aulaung der Regalfläche fließ bilang nich in die Sraegie dynamiche Zonierung ein, obwohl diee - nach heuigem Kennniand - einen weenlichen Einflu auf die milere Spielzei ha. Eine weiere Seigerung der Lagerleiung durch die Kombinaion der dynamichen Zonierung mi der Kürzeen- Fahrzei-Sraegie i infolgedeen zu erwaren. Lieraur [Arn9] [Bro] [Bru9] [Gla8] [Ho8] Arnold, D.; Furman, K.: Maerialflu in Logiiyemen. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 9 Bronein, I.N. e al.: Tachenbuch der Mahemai. Franfur am Main: Verlag Harri Deuch, Brun, R.: vorleungbegleiende Srip Logii. Hamburg: Helmu- Schmid-Univeriä, 9 Gla, M.: Schnellläuferraegien in Lagern und Dynamiche Zonierung. Doorarbei, Techniche Univeriä Dreden, 8 en Hompel, M.; Schmid, T.: Warehoue Managemen, Organiaion und Seuerung von Lager- und Kommiionieryemen, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 8 Logiic Journal : Proceeding ISSN Seie