2 Lineare Algebra. 6 Tupel und Matrizen. Vektorräume. 6.1 Tupel Definition der Tupel. Auftreten von Tupeln

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1 5 Lineare Algebra 6 Tupel und Matrizen Vektorräume 6 Tupel 6 Definition der Tupel Auftreten von Tupeln Definition : Sei n N Eine Folge von n reellen Zahlen in festgelegter Reihenfolge heißt ein n-tupel reeller Zahlen oder eines reelles n-tupel Für n = ist das ein geordnetes Paar (s 3 Def ), für n = 3 sagt man auch Tripel Beispiele: (,, 3), (,, 6, π, ) bzw Zeilenschreibweise sind konkrete 3- bzw 5-Tupel, 3 6 π Spaltenschreibweise Schreibweise für allgemeine n-tupel: x = (x, x,, x n ) bzw x x = x n Übereinkunft: Wir werden im Folgenden beim Rechnen mit Tupeln die Tupel als Spalten schreiben Bezeichnungen: n heißt die Länge des n-tupels Die Zahl x i heißt die i-te Koordinate von x, i =,,, n Die Menge aller reellen n-tupel wird mit R n bezeichnet x

2 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 6 Gleichheit von Tupeln: x x y Ein m-tupel x = und ein n-tupel y = sind definitionsgemäß gleich dann und nur x m dann, wenn n = m und x i = y i ist für alle i =,, m = n ( dh gleich in der Länge und gleich in allen Koordinaten) Feststellung der Gleichheit von n-tupeln: Durch Koordinatenvergleich Also zb: ( ) ( ), Anwendungen und Vorkommen: ( ) uä Fast allgegenwärtig, wo man Daten speichert: () Lagerbestand einer Firma: n Warensorten, x i = Anzahl von Einheiten der Ware i in einem Lager Dann: x = (x, x,, x n ) steht für den Lagerbestand y y n () Produktionsvektor einer Fabrik: n verschiedene Produkte, x i = Produktion des i-ten Produktes pro Produktionsperiode gezählt in gewissen Einheiten Dann: x = (x, x,, x n ) Produktionstupel oder Produktionsvektor In der Wirtschaftstheorie spricht man oft auch von Bündeln oder Aggregaten statt von Tupeln: etwa von Güterbündel (3) Geometrische Anwendungen: x = «x = 3 3 «= x Vorgegeben: Koordinatensystem in der Ebene Dann ( x x ) = Punkt mit den Koordinaten x, x oder ( x x ) Pfeil zu diesem Punkt (sog Ortsvektor) Und zwar: Man variiert die Vorstellung, je nachdem wofür das Tupel Modell steht: für Punkte (in der analytischen Geometrie) oder für Vektoren gerichtete Größen (in der Physik) Schließlich: Man zeichnet das Tupel auch als Pfeil,, wenn man die Addition von Tupeln veranschaulichen will (s in 6 )

3 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 7 x Analog: x = Punkt (bzw Ortsvektor) im koordinatisierten 3-dimensionalen Raum x 3 Beachte: Eine richtige geometrische Vorstellung kann man sich nur von den Paaren und Tripeln machen Vor allem in den Anwendungen muß man sich aber mit Tupeln größerer Länge beschäftigen Eine Verallgemeinerung des Tupelbegriffs: Statt n-tupel von Zahlen kann man auch n-tupel aus anderen mathematischen Größen betrachten Zum Beispiel: n-tupel von Funktionen, n-tupel von m-tupeln, ua Beispiel zu den Tupeln von Tupeln: Eine Volkswirtschaft bestehe aus n Wirtschaftssubjekten Wird jedem der Wirtschaftssubjekte i =,, n ein Güterbündel a i R m zugewiesen, so hat man solch ein n-tupel (a,, a n ) aus m-tupeln Ein solches A := (a,, a n ) wird in der Wirtschaftstheorie auch eine Allokation genannt 6 Rechnen mit Tupeln Definition : (Natürliche Rechenvorschriften im R n ): x x Seien x =, y = y Rn und λ R x n y n Definition eineraddition in R n : y Die Summe von x und y ist definiert als x y x + y x x+y := + y := x + y (dh (x+y) i := x i +y i für alle i =,, n ) x n y n x n + y n Definition einer skalaren oder äußeren Multiplikation: Das skalare Produkt von λ und x, dh das Produkt der Zahl (dem Skalar(!) ) λ mit dem Tupel x ist definiert als

4 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 8 λ x = kurz λx := λx λx λx n Redeweise und Gedächtnishilfe: Addition und skalare Multiplikation sind koordinatenweise definiert Definition des Skalarprodukts: Das Skalarprodukt von x und y ist die reelle Zahl (!) (der Skalar ) n x, y := x y + x y + + x n y n = x i y i Motivation und Vorstellung zu den Rechenoperationen: Bei den Bündeln der Wirtschaftstheorie: Zur Summe: x sei ein Lagerbestand, y sei eine Zulieferung (ebenfalls als n-tupel betrachtet) Dann: x + y ist der Lagerbestand nach der Zulieferung! Zur skalaren Multiplikation: Bei Verdreifachung des Lagerbestands: Aus dem Lagerbestands-Tupel x wird das Tupel 3x ZumSkalarprodukt: p p p = sei das Preistupel, dh p i := Preis pro Einheit des i-ten Produktes Dann: p n n! p, x = p i x i = Wert des Lagerbestands x i= In der Geoemtrie: i= Zur Summe: x+y y x x + y =! Diagonale im Vektorparallelogramm ( Kräfteparallelogramm )

5 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 9 Zur skalaren Multiplikation: x x λx = Streckung um λ falls λ Streckung um λ, danach Spiegelung falls λ < am Nullpunkt -x Zum Skalarprodukt: Für x mit n i= x i = ist x, y der Abstand zwischen ( ) und dem Fußpunkt des Lotes von y auf die Gerade durch x und ( ) Insbesondere: Der Ortsvektor x x, y = steht senkrecht auf dem Ortsvektor y Fazit Summe, skalare Multiplikation und Skalarprodukt sind ganz einfach definiert, haben aber überraschend tiefliegende Anwendungen Sie haben auch sehr ergiebige algebraischen Eigenschaften Siehe das Folgende 63 Rechenregeln Satz (Rechenregeln) x x Sei O := das Nulltupel (die Null in x x Rn ), und zu x = sei x := x n x n Dann gelten für alle x, y, z R n und für alle alle λ, µ R : Die Vektorraumaxiome (A) (x + y) + z = x + (y + z) Assoziativgesetz für + (A) O+x = x+o= x O ist neutrales Element zu + (A3) x + x = x + ( x) =O -x ist additiv invers zu x (A4) x + y = y + z Kommutativgesetz + (Sk) λ(x + y) = λx + λy (Sk) (λ + µ)x = λx + µx Regeln der skalaren Multiplikation (Sk3) λ (µ x) = (µλ) x (Sk4) x = x

6 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME Axiome des Skalarprodukts Name für die linksstehende Eigenschaft: x, y = y, x } symmetrisch x + y, z = x, z + y, z bilinear λx, y = λ x, y x, x > für x positiv definit Bew: Man verifiziert die Vektorraumaxiome, indem man zeigt, daß die Tupel links und rechts vom Gleichheitszeichen in allen Koordinaten gleich sind Bei den Axiomen des Skalarprodukts rechnet man nach, daß links und rechts die gleichen Zahlen stehen In allen Fällen benutzt man die passenden Regeln in R Tatsache (abgeleitete Regeln (wie in R,s ) ) () a + x = a + y x = y (Kürzungsregel) () λ x = λ = oder x = Beweis: Koeffizientenvergleich Man benutzt die entspechenden Regeln in R 64 Linearkombinationen Hier und auch später untersuchen wir Folgen von Tupeln Wir schreiben in dieser Situation die Tupeln mit großen Buchstaben, um eine Verwechslung mit Koordinaten zu vermeiden Gebräuchlich ist auch die Schreibweise x für Elemente des R n, wenn man den Unterschied zu den reellen Zahlen betonen will) Definition: (Linearkombinationen) X, X, X k sei eine Folge von reellen n-tupeln und λ, λ,, λ k seien reelle Zahlen Dann: Elemente von R n der Form X = λ X + λx + + λ k X k = k λ i X i heißen Linearkombinatorionen der X, X,, X k Die λ, λ,, λ k heißen die Kooeffizienten einer solchen Linearkombination i= (Anwendungs)-Beispiel: Lagerbestand: X = (8,, 35, ) Zulieferung in jedem zweiten Monat: X = (,,, ) Auslieferung in jedem dritten Monat: X 3 = (3,, 4, ) Dann: Der Lagerbestand am Ende des Jahres ist X + 6Y 4Z = (8 +, + 6 8, , + 8) = (8, 8, 5, 4) Merke: Linearkombinationen entstehen aus den X, X, X k mittels endlich vieler Rechenschritte, bei denen man die im R n definierte Addition und die skalare Multiplikation benutzt

7 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 6 Matrizen Nicht nur einreihige bzw einspaltige Zahlenfolgen, wie bei den Tupeln, sondern auch mehrzeilige und mehrspaltige Zahlenfigurationen spielen in der Mathematik eine wichtige Rolle 6 Definition der Matrizen Bezeichnung : m n := Menge aller geordneten Paare (i, j) mit i m, j n Beispiel: 3 = {(, ), (, ), (, 3), (, ), (, ), (, 3)} Definition Seien m, n N Eine reelle (m, n)-matrix ist eine Kollektion A von Zahlen, wo jedem Paar (i, j) m n eine reelle Zahl, genannt a ij, zugeordnet ist Schreibweise: Kurz: A = (a ij ) i=,,m j=,n = (a ij ) i m j n Explizit: Als rechteckiges Zahlenschema aus m Zeilen und n Spalten: a a a n a a a n Beispiel: A = π 6 A = a m a m a mn Bezeichnung (m, n) heißt der Umriß von A n Spalten a ij heißt der Eintrag an der Stelle (i, j) ist eine (3,4)-Matrix m Zeilen Mit R m n wird die Menge aller reellen (m, n)-matrizen bezeichnet A i := (a i a i a in ) R n heißt i-te Zeile von A A j := a j a j a mj Rm heißt j-spalte von A Die Spalten werden als Elemente des R n aufgefaßt Vorkommen: () Ein n-tupel von m-tupeln kann man als (m, n)-matrix sehen, wenn man die m-tupel als die Spalten betrachtet

8 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME Ebenso: Ein m-tupel von Zeilentupeln der Länge n, dh von -zeiligen Matrizen, kann als (m, n)-matrix aufgefaßt werden () Bei Mischprodukten treten Matrizen auf: Gegeben seien m Produkte P i, i =,, m, gemischt aus Grundprodukten G j, j =,, n Setze: a ij := Anzahl der Einheiten von G j in einer Einheit von P i Die Daten zusammen bilden die Mischmatrix A R m n (3) Bei der mathematischen Beschreibung sogenannter linearer Prozesse (s später) 6 Addition und skalare Multiplikation von Matrizen Definition (Addition und skalare Multiplikation von Matrizen): Gegeben seien A = (a ij ) i=,,m, B = (b ij ) i=,,m j=,,n j=,,n R m n und λ R Addition in R m n : Definiere A + B := C = (c ij ) i=,,m j=,,n Also: a a a n a a a n a m a m a mn, wo c ij : = Def a ij + b ij + b b b n b b b n b m b m b mn a + b a + b a n + b n a + b a + b a n + b n a m + b m a m + b m a mn + b mn Skalare Multiplikation: Definiere λa := λa λa λa n λa λa λa n λa m λa m λa mn = Redeweise: Man sagt, Summe und skalares Vielfaches sind eintragsweise definiert

9 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 3 Beispiel ( 6 ) ( ) = ( ) = ( 4 ) und ( 6 ) = ( 3 ) Satz (Rechenregeln): Sei := die Nullmatrix in Rn, dh alle Einträge sind Null a a a n a a a n a a a n Zu A = a a a n Rn sei A := a m a m a mn a m a m a mn Seien A, B, C reelle (m, n)-matrizen und λ, µ seien reelle Zahlen Dann: Es gelten entsprechend dh mit A, B, C anstelle der x, y, z die Vektorraumaxiome aus dem Satz in 63 und die dortige Tatsache Beweis: Eintragsvergleich 63 Das Matrizenprodukt Definition (des Matrizenprodukts): Sei A = (a ij ) i=,,m R m n und sei B = (b ij ) i=,,n R n k j=,,n j=,,k (Beachte: Die Anzahl der Spalten in A ist gleich der Anzahl der Zeilen in B ) Definiere AB := A B := dasjenige C = (c ij ) i=,,m R m k, j=,,k das definiert ist durch n c ij := a i b j + a i b j + + a in b nj = a ir b rj Suggestiv: Das Produkt einer einzeiligen Matrix mit einer einspaltigen Matrix ist das Skalarprodukt der entsprechenden Tupel, und für die Einträge c ij in einer allgemeinen Produktmatrix hat man b j b j c ij = n a ir b rj = ( ) a i a i a in r= b j r=! = Produkt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B, also das Skalarprodukt der jeweiligen n-tupel

10 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 4 Hinweis und Bemerkung: Das Produkt A B ist nur dann definiert, wenn gilt: Spaltenzahl von A = Zeilenzahl von B Man hat dann Beispiel: A = AB = Zeilenzahl von AB = Zeilenzahl von A Spaltenzahl von AB = Spaltenzahl von B 3 6 R4 3, B = 7 R ( ) ( 7) ( ) + + ( 7) + ( ) + 6 ( ) + ( ) + 6 ( 7) + + ( ) ( ) + + ( ) ( 7) + Gebrauch des Matrizenprodukts: = () Als Verflechtungsprodukt : Sei A die Mischmatrix aus dem Vorkommensbeispiel () in 6 mit den Produkten P i, i =,, m und den Grundprodukten G r, r =,, n Nur seien die Grundprodukte jetzt Zwischenprodukte, die selbst aus Rohstoffen R j, j =,, k gemischt seien Es sei { Anzahl der Einheiten des Rohstoffes Rj B = (b rj ) r=,,n, wo b rj = j=,,k in einer Einheit des Zwischenproduktes G r Frage: Wie sind die Endprodukte P i aus den Rohstoffen gemischt? Dazu sei: { Anzahl der Einheiten des Rohstoffes Rj c ij :=, und in einer Einheit des Endproduktes P i C = (c ij ) i=,,m sei die entsprechende Mischmatrix j=,,k Man macht sich klar:! c ij = a i b j + + a ir b rj + + a in b nj! = (AB) ij := Eintrag an der Stelle (i, j) im Produkt AB Denn: a ir b rj = Gesamtanzahl der Einheiten des Rohstoffes R j in denjenigen a ir Einheiten des r-ten Zwischenprodukts G r, die in einer Einheit des Endproduktes P i enthalten sind Fazit: Die Mischmatrix C (Endprodukt Rohstoff) ist das Produkt AB der Mischmatrizen A (Endprodukt Zwischenprodukt) und B (Zwischenprodukt Rohstoff) () Spezielle Produkte: (i) Produkt einer einzeiligen Matrix X = (x x x m ) R m mit A R m n Es ist

11 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 5 X A =: Y = (y y y m ) einzeilig mit y j = y j = x a j + + x i a ij + + x m a mj! = m x i a ij Anwendungsbeispiel: Sei A die Mischmatrix aus () Es seien x i Einheiten des Produktes P i gegeben und X = (x x x m ) sei das entsprechende Produktentupel Die Koordinaten Y j des Matrizenproduktes XA = Y = (y y y m ) haben dann folgende Interpretation: (ii) Produkt von B R n k mit einer einspaltigen Matrix z = Dann: Bz =: v v v n Rn ist einspaltig mit v r = i= Anzahl der Einheiten des Rohstoffes R j in der gesamten Produktmenge x + x + + x m k b rj z j j= z z z k Rk! R k (3) Durch Matrizenschreibweise, inbesondere auch mit Hilfe des Matrizenproduktes, lassen sich viele Zusammenhnge sehr einfach und kompakt formulieren Ein Beispiel geben wir im Folgenden Beispiel für (3) : Es sei A R m n, x R n R n und b R m Man kann die Gleichung A x = b betrachten Ausgeschrieben: a a a n a a a n a m a m a mn x x x n = a x + a x + + a n x n a x + a x + + a n x n a m x + a m x + + a mn x n b = b Betrachtet man die rechte Gleichung koordinatenweise, so erhält man n Gleichungen Faßt man die x, x,, x n als Unbekannte auf, so erhält man ein sogenanntes lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten In diesem Sinne: Ein solches lineares Gleichungssystem ist dasselbe wie eine Matrizengleichung der Form A x = b b m

12 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 6 64 Rechenregeln für das Matrizenprodukt Bezeichnung: Zu n N betrachte man die (n, n)-matrix E n definiert durch: R n n E n := E n heißt Einheitsmatrix der Ordnung n ( n-te Einheitsmatrix) Beispiel: E 4 = Satz: Für Matrizen A, B, C und r R gilt (vergl ): Einsen auf der Diagonalen, Nullen überall sonst (M) (A B) C = A (B C) Genauer: Sind auf einer der beiden Seiten alle Produkte definiert, dh falls Spaltenzahl A = Zeilenzahl B und Spaltenzahl B = Zeilenzahl C, so sind die Produkte auch auf der anderen Seite definiert und es gilt die Gleichheit (M) Für A R m n : E m A = A und A E n = A (D) A (B + C) = A B + A C (A + B) C = A C + B C Wieder so zu verstehen: Sind auf einer Seite einer der Gleichungen Summen und Produkte definiert, so auch auf der anderen Seite und es gilt die Gleichheit (Al) (r A) B = A (r B) = r (A B), falls A B definiert Beweis: Beide Seiten jeweils ausrechnen und Eintrags-Vergleich Bemerkung Die Matrizenmultiplikation ist hochgradig nicht-kommutativ: (i) Wenn A B definiert ist, braucht B A gar nicht definiert zu sein (ii) Sind A B und B A beide definiert, so können sie verschiedenen Umriß haben ZB: A R m n, B R n m = A B R m m und B A R n n Also: verschiedener Umriß, falls m n (iii) Aber selbst wenn A B und B A gleichen Umriß haben, können sie verschieden sein ZB: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =, =!

13 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 7 Die zweite Gleichung zeigt auch, daß das Produkt zweier von Null verschiedener Matrizen die Nullmatrix sein kann Bemerkung Besonders bemerkenswert sind die Rechenmöglichkeiten in R n n : Sowohl Summe als auch Produkt von A, B R n n sind definiert und liegen in R n n, dh man kann in R n n addieren und multiplizieren analog wie bei den Zahlen Eine Kombination der Rechenregeln aus dem Satz in 6 und der Regeln aus obigem Satz zeigt tatsächlich: Der Rechenbereich R n n mit seiner Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation erfüllt bis auf (M3) und (M4) alle Rechenregeln, die wir in für die reellen Zahlen aufgelistet hatten Ein Name: Die Mathematiker nennen Rechenbereiche mit Addition und Multiplikation, in denen Rechenregeln wie hier im R n n gelten, einen Ring Schließlich: Zusäzlich zu Addition und Multiplikation hat man in R n n noch die skalare Multiplikation 65 Einige Bezeichnungen Bezeichnung (invertierbare Matrizen): Sei A R n n (man sagt: A ist quadratisch) Dann: { Es gibt B R A heißt invertierbar n n mit A B = B A = E n In diesem Fall: B heißt die zu A inverse Matrix Schreibweise: B =: A Beispiel: ( ) Es ist = 3 ( 3 ) Bemerkung: Gilt eine der beiden Gleichungen A B = E n oder B A = E n, so gilt auch die andere, und A ist invertierbar Anmerkung Die Menge (R n n ) := {A R n n R ist invertierbar} aller invertierbaren (n,n)-matrizen ist in der Mathematik ein wichtiges Objekt Eine erste Anwendung der inversen Matrix: Satz A x = b sei ein lineares Gleichungssystem mit A R n n (S das Beispiel am Ende von 63 ) Dann: Ist A invertierbar, so ist die Lösung eindeutig, und zwar ist x = A b

14 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 8 Beweis: Die Gleichung von links mit A multiplizieren Bezeichnung (Transponieren): Die zu einer Matrix A = (a ij ) i=,,m R m n transponierte Matrix A t ist die Matrix j=,,n B = ((b ij )) R n m mit b ij = a ji Beispiel: ( ) t = i-te Zeile von A wird zu i-ter Spalte von B und umgekehrt Bezeichnung 3 (Symmetrische Matrizen) Sei A eine quadratische Matrix Dann: A heißt symmetrisch : A = A t, dh a ij = a ji für alle i, j =,, n Beispiel: Die Matrix A = ist symmetrisch 63 Analytische Geometrie Im: R, R 3 R n Anschauung möglich verallgemeinerte Geometrie 63 Geraden Definition (Geraden): Eine Gerade im R n ist eine Teilmenge G des R n, für die gilt: Es gibt a R n und ein u R n, u, so daß Anschauung: G = {a + λ u λ R} = kurz : a + R u Aufpunkt Richtungsvektor Diese Darstellung einer Geraden heißt Parameterdarstellung (λ ist der Parameter )

15 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 9 Bemerkung: Als Aufpunkt hätte man jeden anderen Punkt a G wählen können, als Richtungsvektor jedes Vielfache u = λu, λ, von u Tats : Durch zwei verschiedene Punkte a, b R n gibt es genau eine Gerade, nämlich die Gerade G = G(a, b) = {a + λ (b a) λ R} } {{ } =u In niederen Dimensionen Im R Tats : Im R gilt für Teilmengen G R : { Es gibt a, a, b R, a und b nicht beide, so daß G ist Gerade G = {x = ( x ) x a x + a x = b } Dh die Geraden sind gerade die Lösungsmengen von nicht trivialen linearen Gleichungen Für α (dh die Gerade ist nicht parallel zur y-achse) hat man: a x + a x = b x = a x }{{} =:r x + b x = r x + s a }{{} :=s Dh man erhält die Schaubild -Form der Geraden (s 34) Im R 3 Tatsache: Für Teilmengen G R 3 gilt: G ist Gerade Es gibt a, a, a 3, a, a, a 3, b, b R mit A := (a a a 3 ) O, A = (a a a 3 ) kein Vielfaches von A so daß G = x = x x x 3 a x + a x + a 3 x 3 = b a x + a x + a 3 x 3 = b Dh die Geraden sind die Lösungsmengen von allgemeinen Gleichungssystemen mit zwei linearen Gleichungen

16 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 3 63 Ebenen und Hyperebenen Definition (Ebenen) Anschauung: Eine Ebene im R n ist eine Teilmenge E R n, für die gilt: Es gibt a, u, v R n, u, v λu, so daß E = {a+λ u+µ v λ, µ R} =: a+ru+rv Dabei: a heißt Aufpunkt, u und v heißen aufspannende Vektoren, und die rechte Seite der Gleichungen ist eine suggestive Kurzschreibweise Bemerkung Ru + Rv ist die Menge aller Linearkombinationen von u und v im Sinne von 64 Offenbar ist Ru + Rv die Ebene durch, aufgespannt von u und v In niedrigen Dimensionen: Im R ist der R selbst die einzige Ebene Im R 3 Tats 3: Für eine Teilmenge E des R 3 gilt: Es gibt a, a, a 3, b R, nicht alle a i =, so daß x E ist Ebene E = x = x a x + a x + a 3 x 3 = b x 3 Dh Im R 3 sind die Ebenen gerade die Lösungsräume von nicht trivialen linearen Gleichungen Bemerkung Für α 3 kann man die Gleichung wieder auf eine Schaubild -Form bringen: Es gibt r, s, t R, so daß die Ebene beschrieben ist durch x 3 = rx + sx + t Auch allgemein im R n sind die Lösungsräume von einzelnen linearen Gleichungen wichtig: Definition (Hyperebenen) Seien a, a,, a n, b R n, nicht alle a i = Dann: x x H := x = a x + a x + + a n x n = b heißt eine Hyperebene im R n x n

17 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 3 Anwendungsbeispiel p p Es sei p = ein Preisvektor (s 6 ) und es sei b R, b > (s 6 ) Dann: p n Die Menge aller Güterbündel x = x x x n mit p x + p x + + p n x n = b heißt die Budget- Hyperebene zu p und b Bei gegebenem Budget b ist sie die Menge aller Güterbundel an, die man für b kaufen kann (In der Anwendung beschränkt man sich im allgemeinen auf die x, wo alle x i ) 633 Orthogonalität Definition (Orthogonalität): Seien u, v, w R n und a, b R n Tatsache : Für n-tupel: a heißt orthogonal zu b : a, b = Skalarprodukt Für zwei Geraden: G := a + Ru heißt orthogonal zu G := b + Rv u, v = Für Gerade und Ebene: G =: a+ru ist orthogonal zu E := b+rv +Rw u, v = und u, w = Im R 3 sei E die Ebene E := {x α x + α x + α 3 x 3 = b} und G sei die Gerade G := a + Ru Dann: Bezeichnung G ist orthogonal zu E u ist skalares Vielfaches von Die Bezeichnungen seien wie in Tatsache und sei a E Dann: α α =: n α 3 n heißt ein Normalenvektor zu E und a + Rn heißt die Normale zu E in a

18 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 3 Tatsache Im R 3 sei E = a + Ru + Rv eine Ebene und sei b R 3 Dann gibt es genau einen Punkt x b E, so daß ( ) b x b, u = und b x b, v = Beweis: Ansatz: x b = a + λu + µv, eingesetzt in ( ), liefert eine eindeutige Lösung für die Unbekannten λ, µ, und somit für x b Bezeichnung Das x b in Tatssache heißt Fußpunkt des Lotes von b auf E Der Vektor b x b (manchmal auch die Gerade durch b und x b ) heißt das Lot von b auf E 634 Parallelität Definition: Seien a, b R n (Aufpunkte) und u, v, w, v, w R n passende Richtungs- bzw aufpannende Vektoren Für zwei Geraden: a + Ru heißt parallel zu b + Rv es gibt λ mit u = λv, oder kurz: u R v Für Gerade und Ebene: a + Ru heißt parallel zu b + Rv + Rw u Rv + Rw Für zwei Ebenen: a + Rv + Rw heißt parallel zu b + Rv + Rw Rv + Rw = Rv + Rw 635 Abstände und Winkel Definition: Für x, y R n : x := x, z = x + x + + x n heißt die Norm von x y = (y x ) + + (y n x n ) heißt Abstand zwischen x und y Mit den Bezeichnungen aus Tatsache in 633 b x b heißt Abstand zwischen b und der Ebene E

19 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 33 Anschauung x = Abstand zwischen und x Abstand zwischen x und y Tatsache: (Dreiecksungleichungen): Für x, y, z R n gilt: x + y x + y und x y x z + z y Definition (Winkel): Für x, y R n definiert man: (x, y) := arccos x, y x y 636 Strecken und Konvexität Definition (Strecken): Für x, y R n, x y : Die Teilmenge xy := {x + µ(y x) µ } heißt die Strecke (das Geradenstück) zwischen x und y Bemerkung ( symmetrischere Schreibweise): Wegen x + µ (y x) = x + µy µx = ( µ) x + µ y = λx + µy hat man } {{ } =:λ xy = {λx + µy λ, µ, λ + µ = } Der Mittelpunkt der Strecke xy ist der Punkt m x,y := (x + y) ( = x + (y x) )

20 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 34 Definiton (Konvexität): Sei X R n X heißt konvex: Für alle x, y X ist auch ganz xy X (Gegen-)Beispiele: Ellipsen sind konvex Das Herz ist nicht konvex Tatsache (Zusammenhang mit Konvexitätsbegriff für Funktionen): Sei D R ein Intervall, f : D R eine Funktion Dann: f ist konvex { im Sinne von 44 Ef := { ( x y) R y f(x)} ist konvex gemäß der Definiton 64 Vektorräume 64 Vektorraumdefinition Nicht nur bei den Tupeln und Matrizen, sondern vielfach auch auf anderen Mengen von mathematischen Objekten lassen sich eine Addition und eine skalare Multiplikation so einführen, daß die Vektorraumaxiome aus dem Satz in 63 gelten Beispiele: () I sei ein Intervall und sei V := {f f : I R ist eine Funktion} Gemäß 3 definiert man: (f + g)(x) := f(x) + g(x), (λf)(x) = λ f(x) Setzt man O := die Nullfunktion x, ( f)(x) := f(x), so gelten die genannten Vektorraumaxiome () Weniger allgemein: Sei n N und P n sei die Menge aller Polynome vom Grade n Mit denselben Definitionen fürs Rechnen wie in () erfüllt auch P n die Vektorraumaxiome Definition: Auf einer Menge V seien eine Addition (dh die Summe von je zwei Elementen) und eine skalare Multiplikation (λ, x) λx V für λ R, x V so eingeführt, daß folgendes gilt: Es gibt ein Element O und zu jedem x V ein Element x, so daß die Vektorraumaxiome (A) (A4) und (Sk) (Sk4) gelten Dann: V mit diesen Rechenvorschriften heißt ein R-Vektorraum

21 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 35 Beispiele: Der R n, die Matrizenräume R m n und die Beispiele vor der Definition Der einfachste Vektorraum ist ein Raum, der nur aus einer Null besteht Der zweiteinfachste Vektorraum ist R R selbst mit der üblichen Addition und der üblichen Multiplikation als skalarer Multiplikation Bemerkung: In einem Vektorraum V kann man Linearkombinationen im Sinn von 64 betrachten 64 Untervektorräume als neue Vektorräume Definition V sei ein R-Vektorraum (Denke an V = R n, V = R m n ) Eine Teilmenge W V heißt ein Untervektorraum: Es gilt: (L) W (L) Für alle x, y W ist auch x + y W (L3) Für alle λ R, x W ist auch λx W Bemerkung: Sei W V ein Untervektorraum Gemäß Eigenschaft (L) kann man das Addieren von Elementen aus W auch als Addition in W auffassen Ebenso liefert das Multiplizieren von λ R mit x W eine skalare Multiplikation auf W wegen (L3) Es ist W nach (L) und zu x auch das x (folgt aus (L3): x = ( ) x W ) Es ist klar, daß die Vektorraumaxiome, die ja in ganz V gelten, auch in W gelten Fazit: Der Unterraum W, zusammen mit der schon in V geltenden Addition und skalaren Multiplikation, ist ein R-Vektorraum sui generis (Man vergißt quasi, daß W in dem größeren V liegt) 643 Beispiele für Untervektorräume Spanns Seien X, X,, X k V (Erinnere (s 64): Arbeiten wir mit Folgen von Elementen eines Vektorraums V, so schreiben wir die Elemente mit großen Buchstaben, um Verwechslungen mit Koordinaten (also Zahlen) zu vermeiden) Bezeichnung : Sei W := {λ X + λ X + + λ k X k λ,, λ k R} =: kurz RX + RX + + RX k Dh W ist die Menge aller Linearkombinationen aus den X,, X k Dann: W heißt der Spann der X,, X k, geschrieben auch span(x,, X k ) Bemerke: Wir kennen schon Spanns: span(x, X ) = RX + RX ist die Ebene durch den Nullpunkt mit den aufspannenden Vektoren X und X

22 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 36 Tatsache Das W aus der Bezeichnung ist ein Untervektorraum von V Beweis: Zu zeigen ist, daß (L), (L) und (L) gelten Dazu: (L) gilt: Denn O ist als O = X + X + + X k aus W k k (L) gilt: x = λ i X i W und y = µ i X i W = x + y =! (L3) gilt: x = k λ i X i W = λx = k (λλ i )X i W k (λ i + µ i )X i W Lösungsräume von homogenen linearen Gleichungssystemen Systematisch werden wir lineare Gleichungssysteme in Paragraph 7 behandeln Hier nur Folgendes: Sei A R m n Wir betrachten die Matrixgleichung ( ) A x = O,, aufgefaßt als lineares Gleichungssystem (kurz: LGS ) für das unbekannte Tupel x = x x n R n (s das Beispiel für (3) in 63) Bezeichnung : Ein LGS heißt homogen, wenn (wie in ( ) ) die rechte Seite gleich O ist Die Teilmenge W := {x R n A x = O} R n heißt der Lösungsraum von ( ) Tatsache Der Lösungsraum W eines homogenen LGS ist ein linearer Unterraum des R n { A(x + y) = Ax + Ay = O + O = O Beweis: O = A O, Ax = Ay = O = A(λx) = λ(ax) = λ O = O 3 Für I = R ist das Beispiel () in 64 ein Untervektorraum des V im Beispiel () Nach einiger Theorie wird sich herausstellen (s den Satz in 635 ): In V = R n bzw V = R m n ist jeder Untervektorraum W ein Spann Genauer: Es gibt ein k mit k n bzw n m und X,, X k V, so daß W = RX + + RX k Registriere für spätere Anwendungen: Auch die Lösungsmenge eines homogenen LGS ist ein Spann Die Fragen, die bei der Spannbildung auftreten, führen zu den folgenden Begriffen

23 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit Zur Motivation: Tupelrechnen, einmal anders gesehen Betrachte das folgende lineare Gleichungssystem: x x + 4x 3 = x x 3 = x x + x 3 = Noch von der Schule bekannt ist das Rechnen mit Gleichungen Hier zb: mal Gleichung 3mal 3Gleichung = x x + x 3 =! = 3Gleichung Es folgt: Gelten die beiden ersten Gleichungen, so gilt automatisch auch die dritte Die dritte Gleichung ist daher überflüssig Die Lösungsmenge des Gleichungssystems nur aus den ersten beiden Gleichungen ist gleich der Lösungsmenge des Systems aller drei Gleichungen Was sich abstrakt hier abspielt ist Tupelrechnung und Spannbildung Nämlich: Betrachte die einzeiligen Matrizen Y = ( 4 ), Y = ( ), Y 3 = ( ) Beachte: Das sind die Koeffiziententupel der drei Gleichungen Das Rechnen mit den Gleichungen ist nichts anders als das Rechnen mit diesen Tupeln: Im Vektorraum R 4 hat man: Y 3Y = Y 3 Daraus: Ist X = λ Y + λ Y + λ 3 Y 3 span(y, Y, Y 3 ), so ist X = (λ + λ 3 )Y + (λ 3λ 3 )Y ) bereits in span(y, Y ) Das Y 3 ist zur Spannbildung überflüssig! Aus dem Bisherigen: Die Frage, ob bei der Bildung des Spanns einer Folge von Elementen eines Vektorraums gewisse Folgenglieder überflüssig sind oder nicht, ist wichtig in der Theorie der linaren Gleichungssysteme Die Frage führt zu den folgenden Begriffen Definition: Seien X, X,, X k aus dem R-Vektorraum V Es gibt i {,, k}, so daß Die X, X,, X k heißen linear abhängig : X i span(x,, x i, X i+,, X k ), dh X i liegt im Spann der restlichen X j Die X,, X k heißen linear unabhängig : Sie sind nicht linear abhängig Hinweis: Die Formulierung in der Definition ist der Einfachheit halber etwas lax Man hätte genauer sagen müssen: Die Folge der X,, X k ist linear abhängig bzw linear unabhängig Denn diese Eigenschaften sind Eigenschaften der gesamten Folge, nicht Eigenschaften der einzelnen Folgenglieder X i Lineare (Un-)Abhägigkeit für kleine k : k = : Nach Übereinkunft ist X { linear abhängig, fallsx = linear unabhängig, falls X

24 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 38 k = : Die X, X sind linear abhängig = X = λx oder X = µx Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit kann man auf verschiedene Weise beschreiben und charakterisieren Wir tun das in zwei Tatsachen, die äquivalente Eigenschaften auflisten Das bedeutet, daß jede einzelne der Eigenschaften genau dann gültig ist wenn auch die anderen gültig sind Tatsache (Charakterisierung der linearen Abhängigkeit): Für eine Folge X, X,, X k von Elementen eine Vektorraume V sind folgende Eigenschaften äquivalent: () Die X,, X k sind linear abhängig () Es gibt i k, so daß span(x, X,, X k ) = spann(x,, X i, X i+,, X k ), X i ausgelassen dh zur Spannbildung sind die X,, X k redundant: eines der X i ist dazu überflüssig (3) Es gibt λ, λ,, λ k R, von denen mindestens eines ungleich ist, mit λ X + λ X + + λ k X k = O Man sagt dazu: Die O läßt sich in nichttrivialer Weise aus den X,, X k linear kombinieren (4) Die Darstellung eines x span(x,, X k ) als Linearkombination der X,, X k ist nicht eindeutig Beweis: Die Äquivalenz aller Aussagen ist leicht zu beweisen Wir zeigen exemplarisch nur die Äquivalenz von () und (3): () = (3) Sei X i = λ X + λ i X i + λ i+ X i+ + + λ k X k Dann: O = λ X + λ i X i + ( )X i + λ i+ X i+ + + λ k X k und mindestens der Koeffizient λ i = ist ungleich (3) = () Sei O = λ X + λ i X i + λ i X i + λ i+ X i+ + + λ k X k und sei λ i Division der Gleichung durch λ i ergibt: O = λ λ i X + λi λ i X i + X i + λi+ λ i X i+ + + λ k λ i X k Das X i auf die andere Seite gebracht liefert: X i = λ X λ i X i λ i+ X i+ + λ k X k, also X i als Linearkombination der übrigen X j Anmerkung zur Logik des Beweises einer Aussage wie in Tatsache : Ganz naiv gesehen müßte man beweisen, daß jede Aussage aus jeder anderen folgt Das wären Implikationen (Kombinatorik!) Wenn man den Beweis klug und ökonomisch führt, genügt der Beweis von 4 Implikationen Etwa der folgenden vier: () = () = (3) = (4) = ()

25 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 39 Denn: Man kann jede der wechselseitigen Implikationen zwischen den Aussagen(),(),(3) und (4) durch eine Folge der ausgewählten 4 Implikationen erhalten (svorlesung) Tatsache (Charakterisierung der linearen Unabhängigkeit): Für X, x,, X k V sind äquivalent: () Die X, X k sind linear unabhängig () Für jedes i mit i k gilt: span(x,, X i, X i+, X k ) span(x,, X i, X i, X i+, X k ), dh läßt man zur Spannbildung das X i weg, so bleibt der Spann nicht mehr gleich sondern wird echt kleiner (3) O = λ X + λ X + + λ k X k = λ i = für alle i =,,, k Dh: Die einzige Möglichkeit, das Nullelement O von V aus den X,, X k linear zu kombinieren, ist die triviale Weise, wo alle Koeffizienten λ i gleich sind (4) Die Darstellung eines jeden x span(x, X,, X k ) als Linearkombintion der X i ist eindeutig Beweis: Tatsache ist äquivalent zur Tatsache Denn: Jede der Aussagen in Tatsache ist die Negation der entsprechenden Aussage in Tatsache Mit Tatsache ist also auch Tatsache bewiesen Die Aussagen (3) der beiden Tatsachen liefern einen praktischen Test, um zu entscheiden, ob X,, X k linear abhängig sind oder nicht Wir formulieren ihn noch einmal extra: Tatsache (Test für Lineare Unabhängigkeit): { Die Gleichung λ X Die X, X k sind linear unabhängig + λ X + + λ k X k = O hat nur die triviale Lösung λ = λ = = λ k = Praxis: Man macht den Ansatz λ X + λ X + + λ k X k = O und faßt dies als lineares Gleichungssystem für die λ,, λ k auf Dann untersucht man, ob dieses Gleichungssytem nur die triviale Lösung = λ = = λ k hat oder auch nicht triviale Lösungen Beispiel: Seien X = Ansatz: λ λ λ + 4λ 3 = λ λ 3 = λ + λ + λ 3 =, X = + λ Gl+Gl = mal Gl+3Gl, X 3 = + λ = λ + λ 3 = +λ 3λ 3 = } koordinatenweise = λ 3 = = λ 3 Addiere

26 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 4 Durch Einsetzen in die Gleichungen davor ergibt sich erst λ = und dann auch λ = Ergebnis: Es gibt nur die triviale Lösung Die X, X, X 3 sind linear unabhängig Übung: Mache den Test auf lineare Unabhängigkeit mit den obigen Y, Y, Y Basen und Dimension Definition (Basen) Sei V ein R-Vektorraum, insbesondere V = R n oder V = R m n oder ein linearer Unterraum von diesen Es seix,, X k eine Folge von Elementen aus V Dann: Die Folge X,, X k heißt eine Basis von V (B) Die X,, X k sind linear unabhängig : Es gelten und (B) span(x,, X k ) = V Grundbeispiel Im R n : Es sei k = n und X = =: e, X = =: e,, X n = = e n Die Folge der e, e,, e n, der sogenannten Einheitstupel ist eine Basis des R n und heißt die natürliche Basis des R n Tatsache (Sinn und Nutzen von Basen): Die X, X,, X k bilden genau dann eine Basis von V, wenn sich jeder x V auf eine und nur eine Weise als Linearkombination x = λ X + + λ k X k schreiben läßt, dh es gibt eine solche Darstellung von x und die λ, λ,, λ k sind durch x eindeutig bestimmt Bezeichnung: Sei X,, X k eine Basis von V Wir schreiben auch formaler: B = (X, X,, X k ) ist eine Basis von V Dann: Das k heißt k die Länge der Basis Sei x V und x = λ X + + λ k X k Die λ i, i =,, k heißen die Koordinaten von x bezüglich der Basis B = (X,, X k ) λ Das Tupel λ := λ k Vorbild: Die Koordinaten eines x = R k heißt das Koordinatentupel von x bezüglich B x x x n Rn bezüglich der natürlichen Basis aus dem Grundbeispiel sind gerade die ursprünglichen Koordinaten x i, i =,,, n

27 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 4 Satz () Im R n, in den R m n und in all ihren Untervektorräumen gibt es Basen Allgemeiner: In allen Vektorräumen, die der Spann von endlich vielen ihrer Elemente sind, gibt es Basen () Alle Basen eines Vektorraums haben die gleiche Länge Definition (Dimension) Satz Die gemeinsame Länge einer Basis und somit die gemeinsame Länge aller seiner Basen heißt die Dimension des Vektorraumes V Man schreibt dim V = k, wenn diese Dimension gleich k ist () Die Dimension des R n ist n, die von R m n ist m n () Es sei dim V = n Dann ist X,, X k genau dann eine Basis, wenn k = n ist und die X,, X n linear unabhängig sind Insbesondere: Im R n sind die Basen gerade die linear unabhängigen Folgen X, X,, X n der Länge n, (3) Ist W V ein Untervektorraum und dim V = n, so ist dim W < n, falls W V Beweise: Die Beweise von Satz und von () und (3) des Satzes erfordern einen gewisse Theorie und einen gewissen Aufwand () von Satz ergibt sich aus der Kenntnis der natürlichen Basen (Für R m n siehe das Ende von 645 ) Anwendung: Die Tupel X, X, X 3 aus dem Beispiel am Ende von 644 bilden eine linar unabhängige Folge der Läge 3 im R 3 Nach () von Satz bilden sie also eine Basis des R 3 Bedeutung der Basen: Eine Basis in V spielt die Rolle eines Koordinatensystems in V, siehe die Bezeichnung Insbesondere ist wichtig Für lineare Unterräumen V R n Ein Beispiel: Sei E = Ru + Rv eine Ebene durch den Nullpunkt Das Paar u, v der aufspannenden Vektoren bildet eine Basis von E Also: E ist zweidimensional Die λ, µ bei der Darstellung x = λu + µv E sind die Koordinaten von x bezüglich B = (u, v), das Tupel ( λ µ) ist das Koordinatentupel Also: Man kommt mit zwei Koordinaten aus Liegt E zb im R, so müßte man die x E als Elemente des R mit Koordinaten schreiben Geometrische Deutung im R und im R 3 :

28 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 4 Basen X, X bzw X, X, X 3 kann man sich als (im allgemeinen) schiefwinklige Koordinatensysteme vorstellen Siehe dazu die Vorlesung Abschließend noch: Die natürliche Basis von R n m : Sei E ij die (m, n)-matrix, die eine an der Stelle (ij) hat und sonst überall Nullen Die m n Matrizen E ij, i =,, m, j =,, n bilden eine Basis von R m n, genannt die natürliche Basis Die E ij heißen die Elementarmatrizen Beispiel: Die ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,,, E E E 3 E E E 3 bilden eine Basis des Matrizenraumes R 3 Noch zur Beruhigung des Gewissens der Mathematiker: Der triviale Vektorraum, der nur aus der Null besteht, hat nach Vereinbarung die Dimension 65 Praktische Bestimmung der Dimension 65 Zeilenrang und Spaltenrang Im Zusammenhang mit Matrizen spielen folgende Spanns und deren Dimension eine Rolle: Bezeichnungen: Sei A R m n Die Zeilen von A seien A i, i =,, m, die Spalten seien, A j, j =,, n Man definiert: Zeilenraum von A := span(a, A,, A m ) =: Z(A) Spaltenraumraum von A := span(a, A,, A n ) =: Zeilenrang von A := dim Z(A) Spaltenrang von A := dim S(A) S(A) Der Zeilenraum ist ein linearer Teilraum von R n, der Spaltenraum ein linearer Teilraum von R m R m Satz: Für jede Matrix gilt Zeilenrang von A = Spaltenrang von A Diese Zahl heißt dann einfach der Rang von A

29 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 43 Zum Beweis: Diese Aussage ist tieferliegend Der einfachste Beweis geht mittels der Modifikationn an A, die wir in behandeln werden Die Aussage unseres Satzes kann man (nach weiterer Theorie) aus der Tatsache in 653 ableiten Im Folgenden: Wir werden in 653 ein Verfahren angeben, mit dem der Zeilenrang einer Matrix A bestimmt wird Es ist klar, daß dies auch ein Verfahren zur Bestimmung von dim span(x,, X m ) liefert, wo X,, X m R n Etwa so: Man bildet diejenige Matrix A, welche die Tupel X i (als Zeile geschrieben) als i-te Zeile hat für i =,, m Sodann bestimmt man Zeilenrang von A Der ist dann gleich dim span(x,, X m ) 65 Elementare Zeilenumformungen Bezeichnung: Sei A R m n Folgende drei Typen von Modifikationen an A heißen elementare Zeilenumformungen: M(i, j), i j m: Vertauschung der i-ten und j-ten Zeile M(i λ), λ : Multiplikation der i-ten Zeile mit λ M(i, j λ), i j j m, λ K: Addition des λ-fachen der j-ten Zeile zur i-ten Zeile Tatsache: Das Ausüben von elementaren Zeilenumformungen an A R m n ändert den Zeilenraum von A nicht und daher auch nicht den Zeilenrang von A Der Beweis ist einfach, sei aber hier ausgelassen 653 Matrizen in Zeilenstufenform Bezeichnung: Sei x = x x n R n Der erste Index j n, für den x j, heiße leitender Index von x Entsprechend für einzeilige Matrizen, etwa für die Zeile A i = (a i, a i a in ) einer Matrix A K m n : Der erste Spaltenindex j mit a ij heißt leitender Index von A i Das entsprechende a ij heiße der leitende Koeffizient von A i Beispiel: (,,,,, ) hat leitenden Index 3 mit leitendem Koeffizient Bezeichnung: Sei O A K m n Man sagt:

30 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 44 A hat Zeilenstufenform } Es gibt k mit k m, so daß gilt : () Die ersten k Zeilen von A sind, die restlichen Zeilen sind = () Für die leitenden Indizes j, j,, j k der ersten k Zeilen gilt : j < j < < j k n Das k heißt der Stufenrang von A, die Indizes j,, j k aus () heißen die Pivot-Indizes, die Spalten A ji,, A jk heißen die Pivot-Spalten, die Stellen (i, j i ), i =,, k, heißen die Pivot-Stellen oder Ecken der Matrix, und die entsprechenden Einträge a iji heißen die Pivot- Einträge Bemerke: Es ist a iji für alle Pivot-Einträge a iji, i =,, k Beispiel: Folgendes A R 5 7 ist in Zeilenstufenform Darunter ist diese Form suggestiv deutlich gemacht: A = 4-4 j = j = 3 j 3 = 4 j 4 = 6 Es ist k = 4 Die Pivot-Indizes sind j =, j = 3, j 3 = 4, j 4 = 6 Die Pivot-Einträge sind umrahmt Satz: Jede Matrix A kann durch eine Folge endlich vieler elementarer Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform gebracht werden Beweis: Wir geben im Folgenden einen Algorithmus an, der A auf Zeilenstufenform bringt Algorithmus zur Herstellung von Zeilenstufenform: Sei A R m n, A Nach jeder Modifikation werde die neue Matrix auch wieder A genannt Setze i = (das i ist der innere Zeiger des Verfahrens) Erhöhe i um Ist dann i = m? Wenn ja, gehe zu 4 Wenn nein, mache weiter mit Sind die Zeilen i +,, m gleich? Wenn ja, gehe zu 4

31 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 45 Wenn nein, mache weiter mit 3 3 (i) Wähle unter den Zeilen i, i +,, m eine mit minimalem leitenden Index, etwa die Zeile i (ii) Vertausche die Zeilen i und i falls i > i Sonst belasse A Setze dann: j i := leitender Index der i-ten Zeile (iii) Für r = i +,, m mache folgendes: Wenn a rji : Addiere das ( a rj i a iji )-fache der i-ten Zeile zur r-ten Zeile (Bei (iii) werden in der j-ten Spalte unterhalb der Stelle (i, j i ) lauter Nullen produziert) (iv) Mache weiter mit 4 Das Verfahren ist zu Ende A hat Zeilenstufenform Setzt man k := das jetzige i, so ist k der Stufenrang von A Tatsache: Zu A K m n sei A eine Matrix in Zeilenstufenform, die aus A mittels elementarer Zeilenumformungen hervorgegangen ist Dann: span(a,, A m ) = Spann der k Zeilen von A Zeilenrang von A = Stufenrang k von A Insbesondere: Die k Zeilen von A bilden eine Basis des Zeilenraumes von A Beispiel: A =

32 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME Bemerke: Die Endmatrix ist die Matrix, die wir als Beispiel für Zeilenstufenform gegeben hatten Der Rang ist 4 Anmerkung: Beim Notieren der Zwischenstationen des Verfahrens läßt man der Einfachheit halber die Klammern um die Matrizen weg Treten Nullzeilen auf, so werden diese ebenfalls weggelassen Die Herstellung der Zeilenstufenform ist ein wichtiger Schritt beim Gauß-Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen, das wir in 7 behandeln werden

33 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME Aufgaben Aufgabe Ein Unternehmen stellt in ihren drei Niederlassungen Amsterdam, Bayreuth und Chicago unterschiedliche Legierungen her Dabei benötigen die einzelnen Niederlassungen jährlich folgende Mengen an Rohstoffen: Amsterdam: t Wolfram, t Mangan, 4t Zinn; Bayreuth: 5t Zink, t Mangan, 5t Nickel; Chicago: 54t Kupfer, 45t Zink, 7t Wolfram, 35t Nickel; Die Rohstoffkosten (in $/t) betragen dabei: Kupfer: 3, Zink:, Wolfram: 5, Nickel:, Mangan: 5, Zinn: 8 Stellen Sie den Jahresverbrauch der Unternehmen in einer geeigneten Matrix dar Wieviel Dollar geben die Niederlassungen im betrachteten Jahr für Rohstoffe aus? Wie hoch sind die Rohstoffausgaben des ganzen Unternehmens? Aufgabe a) Geben Sie den Abstand zwischen folgenden Punkten im R 3 an: b) Berechnen Sie: x = 3 (, y = ) ( + 3 c) Berechnen Sie A t für folgende Matrix Ist A symmetrisch? 3 A = d) Seien A := ( ) ( 3 4 4, B := 6 3 ) ) ( 7 7 3, C := Bestimmen Sie eine Lösung X folgender Matrixgleichung (falls eine existiert): (A (B + X C)) = A )

34 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 48 Aufgabe 3 Welche Matrizen A und B folgender Dimensionen kann man multiplizieren? Geben Sie gegebenenfalls die Dimension des Produkts an: A B A B B A R 4 R 4?? R 4 R 4?? R 4 R 5 5?? R 4 R 4?? Aufgabe 4 Eine (n, m) Matrix A nennt man stochastisch, wenn die Summe der Einträge in jeder Spalte jeweils ergibt (Die Einträge geben dann Wahrscheinlichkeiten oder prozentuale Zusammenhänge wieder) Ebenso heißt ein n-tupel stochastisch, wenn die Summe der Einträge genau beträgt Beispiel: A = , b = 3 5 a) Berechnen sie C := A b Überprüfen Sie, dass auch C stochastisch ist b) Ist das Produkt einer stochastischen Matrix mit einem stochastischen Tupel immer stochastisch? c) Wie sieht es mit dem Produkt zweier stochastischer Matrizen A und B aus? Aufgabe 5 Das Unternehmen aus Aufgabe stellt in jeder ihrer Niederlassung aus den Rohstoffen jeweils eine Legierung her Geben Sie in einer stochastischen Matrix die Zusammensetzungen der Legierungen L A, L B und L C an Diese Legierungen werden schließlich in zwei unterschiedlichen Mischungsverhältnissen auf dem Markt angeboten: P P L A 5% % L B 5% % L C 8% 7% Geben Sie die Zusammensetzungen der Endprodukte (bzgl der Rohstoffe) an Aufgabe 6 Finden Sie möglichst viele Matrizen A R mit A = Stück) ( ) (mindestens 6

35 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 49 Aufgabe 7 Bringen Sie folgende Matrix auf Zeilenstufenform: Aufgabe 8 Sind folgende Mengen von Vektoren linear unabhängig? Bilden Sie eine Basis des R 3 bzw R 4? a) { b) { 3 4,,, 4 6 8, 3 } } c) { d) { 3 3,, ,,, } } Aufgabe 9 a) Geben Sie für folgende Ebene im R 3 eine Basis an: b) Stellen Sie einen Vektor E = { a b c x x x 3 x + x x 3 = } E aus der Ebene bzgl der von Ihnen gewählten Basis dar Aufgabe Bei genauerer Überprüfung der Angaben von Aufgabe 5 (von letzter Woche) fiel mir auf, dass da etwas nicht passen kann Warum? Aufgabe Betrachten Sie einen Produktionsbetrieb, bei dem ein Teil der dort hergestellten Produkte wieder in die eigene Produktion eingeht (zb chemische Industrie) Ein solcher Betrieb stelle nun n Produkte P,, P n her Zur Beschreibung des Produktionsprozesses wird die sogenannte Eigenbedarfsmatrix A := (a ij ) i,j=,n verwendet Ein Eintrag a ij dieser Matrix gibt dabei die Mengeneinheiten von Produkt P i an, die zur Herstellung einer Mengeneinheit von P j benötigt werden (a ij ) Die Eigenbedarfsmatrix kann durch den sogenannten Gozintographen (von goes into ) veranschaulicht werden:

36 6 TUPEL UND MATRIZEN VEKTORRÄUME 5 a 65 P 5 P 6 a 4 P 4 P a 6 a 34 a3 P P 3 a3 (Ein fehlender Pfeil zwischen P i und P j bedeutet a ij = ) Geht nun eine Bestellung über die Mengen b,, b n von P,, P n ein, so stellt sich die Aufgabe, aus der gesamten Information die tatsächlich zu produzierenden Mengen x,, x n von P,, P n zu ermitteln (x i, b i ) a) Zeigen Sie: Mit M := (E n A) lässt sich der Produktionsvektor x durch Lösen des Gleichungssystems M x = b bestimmen (Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass die Produktionsmenge x i für beliebiges i n der Gleichung x i = n j= a ijx j + b i genügt) b) Es sei n = 3 und A = (a ij ) i,j sei gegeben durch a = 3, a 3 = 4, a 3 = 7 und a ij = sonst Wieviele Produkte müssen von P, P und P 3 hergestellt werden, wenn eine Mengeneinheit P 3 bestellt wird? c) Es sei n = 3 und A = (a ij ) i,j sei gegeben durch a =, a 3 = 3, a = und a ij = sonst Ist es möglich, eine Mengeneinheit von P zum Verkauf herzustellen, ohne Überschuß an P und P 3 zu produzieren?