Vektorräume und Rang einer Matrix

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1 Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektorräume und Rang einer Matrix Dr. Thomas Zehrt Inhalt:. Lineare Unabhängigkeit 2. Vektorräume und Basen 3. Basen von R n 4. Der Rang und Rangbestimmung 5. Reguläre und singuläre Matrizen 6. Determinante und reguläre Matrizen 7. Zusammenfassung

2 2 Teil Lineare Unabhängigkeit

3 Die k Vektoren u,u 2,...,u k heissen linear abhängig, falls einer sich als Linearkombination der anderen darstellen lässt, d.h. falls es 3 einen Index i und reelle Zahlen a,...,a i,a i+...,a k gibt, so dass u i = a u +...+a i u i +a i+ u i a k u k Andernfalls heissen die Vektoren linear unabhängig.

4 4 z u v y w linear abhängige Vektoren x

5 5 z u v y w x linear unabhängige Vektoren

6 6 Äquivalente Definition Die k Vektoren u,u 2,...,u k heissen linear abhängig, falls es reelle Zahlen b,b 2,...,b k gibt, so dass b u + b 2 u b k u k = und nicht alle b j =. Die Vektoren heissen linear unabhängig, falls aus einer Darstellung des -Vektors b u + b 2 u b k u k = stets b = b 2 =... = b k = folgt.

7 Aufgabe Es seien die folgenden Vektoren gegeben: u =, u 2 = und u 3 =. Zeigen Sie, dass. u linear abhängig ist. 2. u 2 linear unabhängig ist. 3. u und u 2 linear abhängig sind. 4. u 2 und u 3 linear unabhängig sind. 7

8 8 Geometrische Interpretation Vektoren im R 2 2 Vektoren sind linear abhängig einer ist ein Vielfaches des anderen sie liegen auf der gleichen Gerade durch den Nullpunkt 3 oder mehr Vektoren sind stets linear abhängig

9 Vektoren im R Vektoren sind linear abhängig einer ist ein Vielfaches des anderen sie liegen auf der gleichen Gerade durch den Nullpunkt 3 Vektoren sind sind linear abhängig sie liegen auf der gleichen Ebene durch den Nullpunkt 4 oder mehr Vektoren sind stets linear abhängig

10 Teil 2 Vektorräume und Basen

11 gegeben: n linear unabhängige Vektoren u,u 2,...,u n Die Menge aller möglichen Linearkombinationen dieser Vektoren wird n-dimensionaler Vektorraum V genannt. Die Vektoren u,u 2,...,u n werden auch als Basis von V bezeichnet. Bemerkungen: u,u 2,...,u n spannen V auf Eine Basis spannt mit möglichst wenigen Vektoren (deshalb fordern wir lineare Unabhängigkeit) den Vektorraum V auf.

12 2 Teil 3 Basen von R n

13 3 R 3 Die Vektoren e =, e 2 =, e 3 = bilden eine Basis von R 3. Jeder Vektor lässt sich als Linearkombination dieser drei (linear unabhängigen?) Vektoren schreiben: x y z = x + y + z

14 4 Die Vektoren, 2, 2 3 bilden eine Basis von R 3. Jeder Vektor lässt sich als Linearkombination dieser drei (linear unabhängigen) Vektoren schreiben: x y z = 3 (x + 4y + 2z) + 2 ( 2x + y z) 3 2 (x + y + 2z) 3 3

15 R n 5 Die Vektoren e =., e 2 =.,...,e n =. bilden eine so genannte orthonormierte Basis von R n : alle Vektoren sind paarweise orthogonal ( i j : e i e j ) und alle Vektoren haben die Länge ( i : e i = ).

16 6 Teil 4 Der Rang und Rangbestimmung

17 Eine (m n)-matrix besteht aus 7 n Spaltenvektoren a,a 2,...,a n und m Zeilenvektoren b,b 2,...,b m. A = a a 2... a n a 2. a a 2n a ij..... a m a m2... a mn = b b 2. b m = (a,a 2,...,a n ) Merkwürdigerweise gilt: maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren = maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren

18 8 Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren (oder Spaltenvektoren) einer Matrix A heisst der Rang der Matrix. Bezeichnung: rg(a) oder Rg(A) Beispiele: A = rg(a) = 3 B = rg(b) = 2 C = rg(c) = 3

19 Rangbestimmung 9 Die folgenden Zeilenumformungen, die als elementare Zeilenumformungen bezeichnet werden, (analog: Spaltenumformungen) ändern den Rang einer Matrix nicht: Vertauschen von Zeilen Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile Mittels dieser Umformungen kann man jede Matrix auf Zeilenstufenform bringen. Der Rang ist die Anzahl der Stufen.

20 2 Beispiel: Der Rang der Matrix ist 3 (drei Stufen).

21 Teil 5 Reguläre und singuläre Matrizen 2

22 22 Eine quadratische Matrix A = A n n heisst regulär, falls rg(a) = n singulär, falls rg(a) < n Beispiele: A = ( 2 ) rg(a) = 2, A regulär B = rg(b) = 2 < 3, B singulär C = rg(c) = 3 < 4, C singulär

23 Satz: Die Inverse A einer quadratischen Matrix A existiert genau dann, wenn A regulär ist. Beweis für n = 3: 23 A = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 = (a,a 2,a 3 ) mit den Spaltenvektoren a,a 2,a 3 von A. Ansatz für die Inverse: A = x y z x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3

24 24 Die Bedingung AA = I kann nun spaltenweise aufgeschrieben werden. AA = (a,a 2,a 3 ) x y z x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 = x a + x 2 a 2 + x 3 a 3 = y a + y 2 a 2 + y 3 a 3 = = e = e 2 z a + z 2 a 2 + z 3 a 3 = = e 3

25 Falls A regulär a,a 2,a 3 sind linear unabhängig es gibt eine eindeutige Darstellung der Vektoren e,e 2,e 3 als Linearkombination der a,a 2,a 3 die 9 Einträge x,x 2,...,z 3 der Matrix A sind eindeutig bestimmt A invertierbar 25 Falls A singulär a,a 2,a 3 sind linear abhängig, liegen also in einer Ebene durch den Nullpunkt mindestens einer der Vektoren e,e 2,e 3 kann nicht als Linearkombination der a,a 2,a 3 geschrieben werden A nicht invertierbar

26 26 Teil 6 Determinante und reguläre Matrizen

27 A = A n n regulär die Spaltenvektoren sind linear unabhängig, spannen also den ganzen Raum R n auf der von den Spaltenvektoren aufgespannte Parallelepiped hat n-dimesionales Volumen det(a) 27 Satz: A n n regulär det(a) A n n singulär det(a) =

28 28 Aufgabe 2 Führen Sie den Gedankengang von der letzten Seite( für die ) beiden Matrizen ( ) 2 2 A = bzw. B = aus. 2 4 Skizzieren Sie die jeweiligen Spaltenvektoren und versuchen Sie die Flächeninhalte der Parallelogramme direkt auszurechnen.

29 Teil 7 Zusammenfassung 29

30 3. n+ oder mehr Vektoren im n-dimensionalen Vektorraum R n sind stets linear abhängig. 2. Jede Basis des R n besteht aus genau n Vektoren. 3. n linear unabhängige Vektoren im R n bilden eine Basis des R n. 4. Sind u,u 2,...,u n eine Basis des Vektorraums V, so ist für jedes x V die Darstellung x = a u + a 2 u a n u n eindeutig.

31 3 A n n regulär rg(a) = n A existiert det(a) Spaltenvektoren bilden eine Basis des R n Zeilenvektoren bilden eine Basis des R n A n n singulär rg(a) < n A existiert nicht det(a) = Spaltenvektoren sind linear abhängig Zeilenvektoren sind linear abhängig