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1 Lineare Differenzengleichungen und Polynome Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck Technikerstr. 13/7, A-600 Innsbruck, Österreich 1 Einleitung Mit linearen Differenzengleichungen können viele Probleme der Wirtschaft, der Technik und der Naturwissenschaften modelliert werden. Eines der bekanntesten Beispiele für eine lineare Differenzengleichung ist die folgende Aufgabe (Fibonacci-Differenzengleichung): Finde alle Folgen von reellen Zahlen (f 0,f 1,f,f 3,...) mit den Eigenschaften f 0 = 0, f 1 = 1 und für alle natürlichen Zahlen j ist f j+ = f j+1 + f j. Ziele dieses Beitrags sind: eine gut lesbare Einführung in die Theorie der linearen Differenzengleichungen (in einer Variablen, mit konstanten Koeffizienten) zu geben, auf einen Zusammenhang zwischen Polynomen und linearen Differenzengleichungen, der einen einfachen Zugang zu deren Lösung ermöglicht, hinzuweisen und ein Lösungsverfahren mit Hilfe der Division mit Rest von Polynomen darzustellen. Differenzengleichungen haben Eingang in die Lehrpläne der Höheren Schulen gefunden, zum Beispiel in den Lehrplan des 3. Jahrganges der Höheren Lehranstalt für Elektrotechnik und in den Lehrplan der 8. Klasse der AHS ( Beschreiben von Systemen mit Hilfe von... Differenzengleichungen ). Das Thema Differenzengleichungen eignet sich auch sehr gut, um im Schulunterricht Anwendungen des Rechnens mit Polynomen aufzuzeigen. 1

2 Der Einfachheit halber betrachten wir nur reelle Folgen und Differenzengleichungen mit reellen Koeffizienten. Das Wort reell könnte aber immer durch rational oder komplex ersetzt werden. Mit R bezeichnen wir die Menge der reellen Zahlen. Mit n wird immer eine natürliche Zahl bezeichnet. Folgen und ihre Darstellung Eine Folge in R ist eine Funktion von N nach R. Folgen können auf verschiedene Weise dargestellt werden: In der Funktionsschreibweise zum Beispiel oder f : N R, j f(j), f : N R, j 5 8 j j j j + 1, als Familie mit Indexmenge N (f 0,f 1,f,f 3,...) = (f j ) j N = (f(j)) j N, zum Beispiel (1,, 1, 1,,...) = ( 5 8 j j j j + 1) j N, oder durch ein Stabdiagramm, zum Beispiel

3 Gibt man von einer Folge nur die ersten sieben, acht (oder auch fünf Milliarden) Folgenglieder an, zum Beispiel (, 4, 0, 1, 3, 3, 5,...), so ist es der Phantasie der Leser/innen überlassen, die Punkte... zu deuten. Es gibt dann beliebig viele Möglichkeiten für die weiteren Folgenglieder. Wie kann man eine Folge eindeutig durch endlich viele Daten definieren? Zwei Möglichkeiten dafür sind: Man gibt ein Verfahren an, mit dem für jede Zahl j N das j-te Folgenglied f(j) berechnet werden kann (explizite Form der Folge). Zum Beispiel: Für alle j N sei f(j) := j 3j +. Oder: Für alle j N sei f(j) der Rest von j nach Division durch 5. Man gibt Bedingungen an, die nur von der Folge, die man beschreiben möchte, erfüllt werden (implizite Form der Folge). Zum Beispiel: f sei die Folge mit f(0) = 0, f(1) = 1, und für alle j N: f(j + ) = f(j + 1) + f(j). Solche Bedingungen mit besonders einfacher Form treten zum Beispiel bei linearen Differenzengleichungen auf. 3 Lineare Differenzengleichungen: Definition und Existenz von Lösungen Definition: Eine lineare Differenzengleichung (der Ordnung n) mit n Anfangswerten ist die folgende Aufgabe: Gegeben sind reelle Zahlen c 0,c 1,...,c n mit c n 0 (Koeffizienten der Differenzengleichung), reelle Zahlen a 0,a 1,...,a n 1 (Anfangswerte) und eine Folge h in R. Gesucht ist eine explizite Form einer Folge f in R mit den Eigenschaften für 0 i n 1 ist f(i) = a i und für alle j N ist c 0 f(j) + c 1 f(j + 1) c n f(j + n) = h(j). 3

4 Eine solche Folge f heißt Lösung der Differenzengleichung. Wenn h = 0 ist, heißt die Differenzengleichung homogen, sonst inhomogen. Bemerkung: Wir können eine lineare Differenzengleichung als System linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten und unendlich vielen Gleichungen mit guten Eigenschaften auffassen: und f(i) = a i für 0 i n 1 c 0 f(0) + c 1 f(1) + c f() + c 3 f(3) +... = h(0) c 0 f(1) + c 1 f() + c f(3) +... = h(1) c 0 f() + c 1 f(3) +... = h() c 0 f(3) +... = h(3)... =... Dabei sind f(0),f(1),f(),... die Unbekannten. Man erhält jede Gleichung aus der vorangegangenen, indem man die Koeffizienten c 0,...,c n um eine Stelle nach rechts verschiebt. Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung: Gibt es immer eine Lösung einer linearen Differenzengleichung (der Ordnung n mit n Anfangsbedingungen) und - wenn ja - ist sie eindeutig bestimmt? Diese Frage ist leicht zu beantworten: Sind reelle Zahlen a 0,...,a n 1, c 0, c 1,...,c n mit c n 0, und eine Folge h gegeben, dann gibt es genau eine Folge f so, dass ist. f(i) = a i, 0 i n 1, und c 0 f(j) + c 1 f(j + 1) c n f(j + n) = h(j), j N, Wir können diese Folge f induktiv berechnen, dabei sehen wir zugleich, dass f durch die angegebenen Bedingungen eindeutig bestimmt ist: f(0) = a 0,..., f(n 1) = a n 1, f(n) = c 1 n (h(0) c 0 f(0) c 1 f(1)... c n 1 f(n 1)) f(n + 1) = c 1 n (h(1) c 0 f(1) c 1 f()... c n 1 f(n)) 4

5 f(n + ) = c 1 n (h() c 0 f() c 1 f(3)... c n 1 f(n + 1)) f(n + 3) = Beispiel: Sei f(0) = 0,f(1) = 1 und für alle j N sei f(j + ) f(j + 1) f(j) = 0. Dann ist f(0) = 0, f(1) = 1 f() = f(1) + f(0) = 1 f(3) = f() + f(1) = f(4) = f(3) + f() = 3 f(5) = f(4) + f(3) = 5 f(6) = f(5) + f(4) = 8 f(7) = f(6) + f(5) = Diese Folge heißt Folge der Fibonacci-Zahlen. Definition: Sei f eine Folge in R. Für l N sei s l f die Folge in R mit der Eigenschaft: für alle j N ist (s l f)(j) := f(j + l). Die Folge erhält man also aus der Folge s l f = (f l,f l+1,f l+,...) f = (f 0,f 1,f,...), indem man alle Folgenglieder um l Stellen nach links verschiebt. Der Buchstabe s steht für shift. 5

6 Beispiel: f = (1,, 1, 1,,...) s f = (, 1, 1,,...) s f = ( 1, 1,,...)

7 4 Beschreibung von Differenzengleichungen mit Hilfe von Polynomen Kann man mit Folgen rechnen? Sei F die Menge aller Folgen in R. Für und b R definiert man f = (f 0,f 1,f,...) F, g = (g 0,g 1,g,...) F f + g := (f 0 + g 0,f 1 + g 1,f + g,...) und b f := (bf 0,bf 1,bf,...). Für + und in F gelten die Rechenregeln eines Vektorraums, also: Folgen sind Vektoren. Definition: Seien c 0,c 1,...,c n R. Die Funktion mit p : R R, z p(z), p(z) := c 0 + c 1 z + c z + + c n z n = n c i z i heißt eine Polynomfunktion von R nach R. Die Zahlen c 0,...,c n sind die Koeffizienten von p. Wenn c n 0 ist, dann ist grad(p) := n der Grad von p und lk(p) := c n der Leitkoeffizient von p. Wir schreiben für p im weiteren c 0 + c 1 s + c s c n s n oder n c i s i und sprechen dann von einem Polynom in der Variablen s mit Koeffizienten in R. Für die Menge dieser Polynome schreiben wir R[s]. Für die Addition n c i s i + n d i s i := n (c i + d i )s i 7

8 und die Multiplikation von Polynomen n n ( c i s i ) ( d i s i ) := n ( j=0 i c j d i j )s i gelten die gleichen Rechenregeln wie für die Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen. Definition: Für p := n c is i und f F sei Also: für alle j N ist p f := n c i (s i f) F. (p f)(j) = n c i f(j + i). In Worten formuliert: Man erhält die Folge p f, indem man für 0 i n die Folge c i f um i Stellen nach links verschiebt und schließlich diese n + 1 Folgen summiert. Wir können nun auf eine neue Weise formulieren, was eine lineare Differenzengleichung ist: Eine lineare Differenzengleichung (der Ordnung n) mit n Anfangswerten ist die folgende Aufgabe: Gegeben sind ein Polynom 0 p R[s] mit grad(p) = n, reelle Zahlen a 0,a 1,...,a n 1 (Anfangswerte ) und eine Folge h in R. Gesucht ist eine explizite Form einer Folge f in R mit den Eigenschaften für 0 i n 1 ist f(i) = a i und p f = h. Sprechweise: Die durch p := n c is i und h gegebene lineare Differenzengleichung mit Anfangswerten a i, 0 i n 1 bedeutet: die durch c 0,c 1,...,c n und h gegebene lineare Differenzengleichung mit Anfangswerten a i, 0 i n 1. 8

9 Beispiel: Die durch s s 1 und 0 gegebene lineare Differenzengleichung mit Anfangswerten 0, 1 ist die homogene Differenzengleichung mit Anfangswerten 0, 1, die durch 1, 1, gegeben ist. Ein grundlegender Satz über Polynome ist der Satz über die Division mit Rest (und der entsprechende Algorithmus). Für eine ausführlichere Darstellung seiner Bedeutung cf. [P1] und [P]. Satz: Zu je zwei Polynomen q und p mit p 0 gibt es eindeutig bestimmte Polynome m und r mit den Eigenschaften q = m p + r und [r = 0 oder grad(r) < grad(p)]. Das Polynom m heißt dann polynomialer Quotient von q und p und das Polynom r heißt Rest von q nach Division durch p. Algorithmus für die Division mit Rest (Berechnung von m und r): Setze m := 0 und r := q. Solange r 0 und grad(r) grad(p) ist, ersetze r durch r t p und m durch m + t, wobei ist. Beispiel: Seien t := lk(r) lk(p) 1 s grad(r) grad(p) q := s 4 + s 3 s + s 1 und p := s. Wir berechnen mit dem oben angegebenen Verfahren Polynome m und r mit q = m p + r und (r = 0 oder grad(r) < grad(p) = ). Dabei beginnen wir mit r := q und schreiben die Zwischenrechnungen platzsparend untereinander. s 4 +s 3 s +s 1 = (s + s) (s ) +r } {{ } p s 4 +s +s 3 +s 1 s 3 +4s Also ist m = s + s und r = 5s 1. +5s 1 =: r 9

10 5 Lösen von Differenzengleichungen mit Hilfe der Division mit Rest von Polynomen Satz: Sei f die Lösung der durch ein Polynom p = n c is i R[s] mit c n 0, eine Folge h in R und Anfangswerte a 0,...,a n 1 R gegebenen Differenzengleichung. Für j n kann f(j) wie folgt berechnet werden: Dividiere s j mit Rest durch p: s j = m j p + r j und [ r j = 0 oder grad(r j ) < n ]. Sei r ji der Koeffizient von r j bei s i, 0 i n, also Dann ist n 1 r j = r ji s i. n 1 f(j) = (m j h)(0) + r ji a i. Wenn die Differenzengleichung homogen (also h = 0) ist, ist n 1 f(j) = r ji a i, man muss in diesem Fall also nur den Rest (und nicht auch den polynomialen Quotienten) von s j nach Division durch p berechnen. Beweis: f(j) = (s j f)(0) = ((m j p + r j ) f)(0) = = (m j (p f))(0) + (r j f)(0) = n 1 = (m j h)(0) + r ji a i. Dabei haben wir verwendet, dass (m j p) f = m j (p f) ist, was aber leicht nachzuprüfen ist. 10

11 Beispiel 5.1: Die Fibonacci-Folge f ist die Lösung der durch p := s s 1 und f(0) = 0, f(1) = 1 gegebenen homogenen linearen Differenzengleichung. Wir berechnen das Folgenglied f(100): Der Rest von s 100 nach Division durch p ist (Berechnung in Maple 11 mit dem Befehl rem(s 100,s s 1,s)) s Wegen f(0) = 0 und f(1) = 1 ist f(100) = Beispiel 5.: Homogene lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung Seien a und c reelle Zahlen. Berechne eine explizite Form der Folge f mit (s c) f = 0 und f(0) = a! Anders formuliert: Für alle j N sei f(j + 1) c f(j) = 0 und f(0) = a. Division mit Rest von s j durch s c ergibt s j = m j (s c) + r j und r j R. Einsetzen von c für s ergibt also ist für alle j N c j = 0 + r j, f(j) = c j a. Beispiel 5.3: Inhomogene lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung Seien a und c reelle Zahlen und h eine Folge in R. Berechne eine explizite Form der Folge f mit (s c) f = h und f(0) = a! Anders formuliert: Für alle j N sei Wie im Beispiel 5. erhalten wir f(j + 1) c f(j) = h(j) und f(0) = a. s j = m j (s c) + c j. 11

12 Daher ist somit ist für alle j N m j = sj c j j 1 s c = c l s j 1 l, l=0 j 1 f(j) = c l h(j 1 l) + c j a. l=0 Beispiel 5.4: Homogene lineare Differenzengleichungen. Ordnung Seien a 0, a 1 R, p := s + c 1 s + c 0 R[s] und x 1,x die Nullstellen von p. Berechne eine explizite Form der Folge f mit p f = 0, f(0) = a 0 und f(1) = a 1! Sei j N. Division mit Rest von s j durch p = (s x 1 )(s x ) ergibt s j = m j (s x 1 )(s x ) + r j und [r j = 0 oder grad(r j ) 1 ]. Sei r j = r j1 s + r j0 mit r j0,r j1 R. Setzen wir x 1 bzw. x für s ein, so erhalten wir x j 1 = 0 + r j1 x 1 + r j0 bzw. x j = 0 + r j1 x + r j0. Falls x 1 x ist, folgt daraus und r j1 = xj 1 x j x 1 x r j0 = x 1x j x j 1x x 1 x. Das j - te Folgenglied f(j) der Lösung f dieser Differenzengleichung ist also f(j) = xj 1 x j x 1 x a 1 + x 1x j x j 1x x 1 x a 0 = a 1 a 0 x x 1 x x j 1 + a 0x 1 a 1 x 1 x x j. 1

13 Falls x 1 = x ist, gilt wie oben x j 1 = 0 + r j1 x 1 + r j0. Eine zweite Bedingung für die Koeffizienten von r j erhalten wir, indem wir s j = m j (s x 1 ) + r nach s ableiten und dann für s die Zahl x 1 einsetzen: In diesem Fall ist also jx j 1 1 = 0 + r j1. f(j) = jx j 1 1 a 1 + (1 j)x j 1a 0 = (1 j)a 0 x j 1 + ja 1 x j 1 1. Beispiel 5.5: Die Formel von Binet Die Fibonacci-Folge f (cf. Beispiel 5.1) ist die Lösung einer homogenen linearen Differenzengleichung. Ordnung. Nach Beispiel 5.4 können wir daher ihre Folgenglieder mit Hilfe der Nullstellen von s s 1 darstellen. Diese sind 1+ 5 und 1 5. Mit Beispiel 5.4 erhalten wir die Formel von Binet: ( f(j) = 1 5 Nach Beispiel 5.1 ist dann 1 + ) j ( 5 ( = ) j ) 100 ( 5 1 ) Bemerkung: Analog der Beschreibung von (gewöhnlichen) linearen Differenzengleichungen mit Hilfe von Polynomen in einer Variablen können partielle lineare Differenzengleichungen (und Systeme davon) mit Hilfe von Polynomen in mehreren Variablen beschrieben werden. Auch für diesen Fall gibt es konstruktive Lösungsverfahren, cf. [B], [OP1], [OP]. Dank: Manfred Borovcnik hat die erste Version dieses Beitrags sehr sorgfältig gelesen und viele Verbesserungen angeregt. 13

14 Literatur [B] Blaas, V. (003): Systeme linearer Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten. Diplomarbeit aus Mathematik. Universität Innsbruck. 73 Seiten. [OP1] Oberst, U., Pauer, F. (001): The Constructive Solution of Linear Systems of Partial Difference and Differential Equations with Constant Coefficients. Multidimensional Systems and Signal Processing, 1, [OP] Oberst, U., Pauer, F. (007): Solving Systems of Linear Partial Difference and Differential Equations with Constant Coefficients Using Gröbner Bases. Radon Series Comp. Appl. Math.,, [P1] Pauer, F. (005): Division mit Rest - der heimliche Hauptsatz der Algebra. Didaktikheft der Österreichischen Mathematischen Gesellschaft, 37, [P] Pauer, F. (007): Algebra. Skriptum. 3. Auflage. Universität Innsbruck., Seiten. 14

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