Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)

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1 Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler bekommt direkt aus der Fabrik 50 Packungen mit je 20 Sticks. In seinem Überprüfungsverfahren entnimmt er jeder Packung zwei verschiedene USB-Sticks und behält die Packung nur dann, wenn beide Sticks in Ordnung sind. Die anderen Packungen schickt er an den Hersteller zurück. 1.1 Eine Packung enthält genau 2 defekte Sticks. Stellen Sie das Überprüfungsverfahren für eine solche Packung grafisch, z.b. in einem Baumdiagramm, dar. 1.2 Berechnen Sie die drei Wahrscheinlichkeiten dafür, dass der Händler bei seinem Verfahren eine Packung mit zwei bzw. vier bzw. sechs defekten Sticks behält. 1.3 Bestimmen Sie, wie viele defekte Sticks in einer 20-er-Packung mindestens enthalten sein müssen, so dass die Wahrscheinlichkeit, diese Packung nach der Überprüfung zu behalten, kleiner als 25% ist. 1.4 Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass jede Packung genau vier defekte Sticks enthält. Erklären Sie die Bedeutung der beiden nachfolgenden Gleichungen im Sachzusammenhang: (1) p 4 = 0,632 (2) P(X = 30) = 0, , , Weil sich viele Händler über die häufig defekten USB-Sticks beschweren, wird in der Fabrik eine Endkontrolle durchgeführt. Dabei wird ein USB-Stick mit der Wahrscheinlichkeit 10% als Ausschuss ausgesondert. Bei dieser Kontrolle wird erfahrungsgemäß ein einwandfreier USB- Stick mit der Wahrscheinlichkeit 4% als Ausschuss deklariert. Insgesamt sind 8,8% aller produzierten USB-Sticks defekt. 2.1 Stellen Sie diese Zusammenhänge in einem Baumdiagramm dar. 2.2 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein defekter Stick aussortiert wird. [zur Kontrolle: Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt rund 72,2%]. 2.3 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Stick, der bei der Endkontrolle aussortiert wurde, wirklich defekt ist.

2 Lösung: 1-20 Sticks pro Packung. - Händler erhält 50 dieser Packungen. - Jeder Packung werden 2 Sticks entnommen und diese nur behalten, wenn beide OK sind. 1.1 Eine Packung enthält 2 defekte Sticks. Zweimal ziehen ohne Zurücklegen: 1.2 Achtung: Keine Binomialvorleitung, da sich die Wahrscheinlichkeit für einen defekten Stick bei jedem Zug ändert (ziehe ohne Zurücklegen). 2 defekte Sticks: P( Händler behält Packung ) = P( alle beiden entnommenen Sticks OK ) 4 defekte Sticks: = 18/20 17/19 = 153/190 º 80,53% P( Händler behält Packung ) = 16/20 15/19 = 12/19 º 63,16% 6 defekte Sticks: P( Händler behält Packung ) = 14/20 13/19 = 91/190 º 47,89% 1.3 k = Anzahl defekter Sticks P( Händler behält Packung ) = (20-k)/20 (20-k-1)/19 = (20-k)/20 (19-k)/19 0,25 Sind k defekte Sticks in der Packung, dann sind 20 k beim ersten Zug nicht defekt und beim zweiten Zug (falls beim ersten ein nicht defekter Stick gezogen wurde) noch 19 k nicht defekte. Diese Gleichung könnte man durch probieren lösen (ganzzahlige Werte für k im Bereich von 0 bis 20 einsetzen). Dabei kann man auch mit dem Taschenrechner eine Wertetabelle für (20-x)/20 (19-x)/19 erstellen.

3 Oder man löst die Ungleichung. Da Ungleichungen nicht so einfach zu lösen sind, wenn diese nicht linear sind, lösen wir: (20-k)/20 (20-k-1)/19 = 0, (20-k) (19-k) = 0, (20-k) (19-k) = k 19k + k 2 = 95 k 2 39k = k 2 39k = 0 p-q-formel anwenden: k 1/2 = ± ² 285 = 19,5 ± 95,25 k 1 9,74 k 2 29,26 = 9,74 k 29,26, da f(x) = (20-x)/20 (19-x)/19 = 1/380ÿ(x 2 39x + 380) eine nach oben geöffnete Parabel darstellt. k muss also ganzzahlig sein und größer als 9,74, also ist k 10 (k kann maximal 20 sein). 1.4 Wir gehen von 4 defekten Sticks aus: Zu (1) die Wahrscheinlichkeit, dass man x defekte Sticks zieht (bei 2 Zügen), kann man auch über berechnen. Im Nenner steht 20 = Anzahl Möglichkeiten 2 von 20 zu ziehen. Im Zähler steht 2 der Faktor 4 16 = Anzahl Möglichkeiten von 4 defekten x auszuwählen und 2 = Anzahl Möglichkeiten von 16 Sticks, die OK sind, 2-x zu ziehen. Also ist p 4 die Wahrscheinlichkeit, dass man keinen defekten Stick zieht 4 =1. 0 Zu (2) Es wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass genau 30 von 50 Packungen nicht zurück geschickt werden. Hier wird die Binomialvorleitung verwendet, denn die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Packung nicht zurückschickt, ist bei allen 50 Packungen gleich p4 (da alle diese 4 defekten Sticks enthalten).

4 2 Hier geht es um bedingte Wahrscheinlichkeit: A = Stick wird ausgesucht E = Stick ist OK P(A) = 0,10 = P(Ā) = 1 - P(A) = 0,9 P E (A) = 0,04 = P E (Ā) =1 - P E (A) = 0,96 P(Ē) = 0,088 = P(E) = 1 - P(Ē) = 0, Bemerkung : Es gilt P E (A) = Wahrscheinlichkeit für A unter der Bedingung E, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stick ausgesondert wird, unter der Bedingung, dass er OK ist. P(E) P E (A) = P(A E) P(A E) = 0,912 0,04 =0,03648 Wir können die Wahrscheinlichkeiten auch in einer Vierfeldertafel darstellen: P(A) P(Ā) Summe P(E) P(A E) = P(Ā E) = 0,912 0, ,912 0,03648 P(Ē) P(A Ē) = P(Ā Ē) = 0,088 0, ,088 0,06352 Summe 0,10 1 0,1 = 0,9 1 Man benötigt die erste Spalte der Vierfeldertafel. Es gilt P(A E) + P(A Ē) = P(A) 0, P(A Ē) = 0,1-0,03648 P(A Ē) = 0,06352

5 2.2 P Ē (A) = ( Ē) =, (Ē), 0,7218 = 72,18% 2.3 P A (Ē) = ( Ē) =, = 0,6352 = 63,52% ( ),

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