Aufgabenblatt 3: Rechenbeispiel zu Stiglitz/Weiss (AER 1981)

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1 Aufgabenblatt 3: Rechenbeispiel zu Stiglitz/Weiss (AER 1981) Prof. Dr. Isabel Schnabel The Economics of Banking Johannes Gutenberg-Universität Mainz Wintersemester 2009/ Aufgabe 100 identische Unternehmer möchten ein unteilbares Investitionsprojekt finanzieren, das eine Investition von einer Einheit erfordert. Die Unternehmer haben die Wahl zwischen zwei Investitionsprojekten. Das erste Projekt erbringt einen Ertrag von R G = 2 mit Wahrscheinlichkeit π G =0, 9 und sonst einen Ertrag von 0. Das andere Projekt erbringt einen Ertrag von R B =2, 5 mit Wahrscheinlichkeit π B =0, 45 und sonst einen Ertrag von 0. Die Finanzierung soll über Banken erfolgen, die den Unternehmern Kredite zu einem Kreditzins von r (d. h. einem Brutto-Kreditzins von 1 + r) geben können und die sich über Einlagen finanzieren, deren Einlagenzins r d (Brutto- Einlagenzins 1 + r d )beträgt. Die Projekte der 100 Unternehmer sind unkorreliert, so dass aufgrund des Gesetzes der Großen Zahlen (näherungsweise) gerade ein Anteil π G bzw. π B der Projekte erfolgreich ist. Es kann also davon ausgegangen werden, dass das Kreditportfolio der Bank sicher ist. Die Angebotsfunktion für Einlagen lautet D = A +20 r d,wobeid das aggregierte Einlagenangebot bezeichnet; A ist ein Parameter der Angebotsfunktion. Im Bankensektor herrscht vollständiger Wettbewerb. Alle Akteure sind risikoneutral. 1

2 The Economics of Banking Aufgabenblatt 3 2 (a) Effiziente Projektwahl durchgeführt werden? Welches Projekt sollte aus Wohlfahrtssicht (b) Finanzierung des Unternehmers bei symmetrischer Information Nehmen Sie in dieser Teilaufgabe an, die Projektwahl des Unternehmers sei öffentlich beobachtbar, so dass der Unternehmer sich vertraglich binden kann, das gute (d. h. effiziente) Projekt durchzuführen. Gehen Sie in dieser Teilaufgabe davon aus, dass A =91, 2. (b1) Wie lautet der erwartete Gewinn der Bank pro investierter Einheit? (b2) Welcher Einlagenzins wird sich am Markt bilden? Wird der Markt geräumt? (b3) Welchen Kreditzins werden die Banken verlangen? Hinweis: Erinnern Sie sich daran, dass im Bankensystem vollständiger Wettbewerb herrscht. Erklären Sie, warum der Kreditzins immer höher ist als der Einlagenzins. (b4) Wie groß sind die erwarteten Gewinne der Unternehmer? (b5) Wie groß ist die gesamtwirtschaftliche Wohlfahrt? Beschreiben Sie auch, wie sich die Wohlfahrt zusammensetzt. Wie groß wäre die Wohlfahrt bei Durchführung des ineffizienten Projektes? (c) Projektwahl des Unternehmers bei asymmetrischer Information Gehen Sie nun und im Rest der Aufgabe davon aus, dass die Projektwahl nur von dem Unternehmer beobachtet werden kann. Die Bank kann nur beobachten, ob das Projekt erfolgreich war, nicht aber den erzielten Ertrag. (c1) Wie lautet der erwartete Gewinn des Unternehmers in Abhängigkeit von der Projektwahl? (c2) Beschreiben Sie die optimale Projektwahl des Unternehmers in Abhängigkeit vom Kreditzins. (c3) Wie lautet der erwartete Bruttoertrag (das heißt der Ertrag vor Zahlung der Einlagenzinsen) der Bank pro investierter Einheit in Abhängigkeit von der Projektwahl?

3 The Economics of Banking Aufgabenblatt 3 3 (c4) Stellen Sie den erwarteten Bruttoertrag der Bank pro investierter Einheit in Abhängigkeit vom Zins r graphisch dar. An welcher Stelle erreicht der Bruttoertrag der Bank ein Maximum? (d) Kreditrationierung Einlagenmarkt. Wir betrachten nun das Gleichgewicht auf dem (d1) Bestimmen Sie den markträumenden Zins im Einlagenmarkt in Abhängigkeit von A. (d2) Für welche Werte von A besteht Kreditrationierung? (d3) Betrachten Sie wieder den Fall A =91, 2. Berechnen Sie den markträumenden Zins für den Einlagenmarkt. Erläutern Sie, welchen Kreditzins die Bank setzen wird. Wie groß ist das aggregierte Kreditvolumen? (d4) Berechnen Sie für A = 91, 2 den erwarteten Gewinn der Unternehmer, die einen Kredit erhalten, und vergleichen Sie ihn mit dem Gewinn der Unternehmer in Aufgabenteil (b4). (d5) Wie groß ist nun die gesamtwirtschaftliche Wohlfahrt? Wer gewinnt und wer verliert relativ zu Aufgabe (b5)? (e) Kreditsicherheiten Gehen Sie nun davon aus, dass jeder Unternehmer bei Aufnahme eines Kredites Sicherheiten in Höhe von C =0, 25 stellt. Wenn das Projekt nicht erfolgreich ist, werden diese an die Bank übertragen. Der Liquidationswert der Sicherheiten sei gleich Null, d. h., für die Bank haben die Sicherheiten keinen Wert. (e1) Wäre es bei symmetrischer Information sinnvoll, Sicherheiten einzusetzen? (e2) Wie lautet der erwartete Gewinn des Unternehmers in Abhängigkeit von der Projektwahl, wenn Sicherheiten in Höhe von 0,25 gestellt werden? (e3) Beschreiben Sie für diesen Fall die optimale Projektwahl des Unternehmers in Abhängigkeit vom Kreditzins.

4 The Economics of Banking Aufgabenblatt 3 4 (e4) Wie lautet dann der erwartete Bruttoertrag (das heißt der Ertrag vor Zahlung der Einlagenzinsen) der Bank pro investierter Einheit in Abhängigkeit von der Projektwahl? (e5) Stellen Sie den erwarteten Bruttoertrag der Bank pro investierter Einheit in Abhängigkeit vom Zins r graphisch dar. An welcher Stelle erreicht der Bruttoertrag der Bank ein Maximum? (e6) Erläutern Sie die Funktion von Sicherheiten bei asymmetrischer Information. (f) Kreditrationierung und Kreditsicherheiten Wir betrachten nun das Gleichgewicht auf dem Einlagenmarkt unter der Annahme, dass C = 0, 25. (f1) Der markträumende Einlagenzins ist derselbe wie in Teilaufgabe (d1). Für welche Werte von A besteht Kreditrationierung, wenn Sicherheiten in Höhe von 0, 25 gestellt werden? (f2) Betrachten Sie wieder den Fall A =91, 2, diesmal aber mit Stellung von Sicherheiten. Gibt es Kreditrationierung? (f3) Wie groß ist nun die gesamtwirtschaftliche Wohlfahrt? Wer gewinnt und wer verliert relativ zu Aufgabe (b5)? Erhöht sich die Wohlfahrt relativ zu (d5)? (f4) Wie hoch wäre das effiziente Niveau der Sicherheiten? Wie hoch wäre nun die gesamtwirtschaftliche Wohlfahrt?

5 The Economics of Banking Aufgabenblatt Lösungen (a) Effiziente Projektwahl Der Erwartungswert des guten Projektes beträgt 0, 9 2 =1, 8. Der Erwartungswert des schlechten Projektes beträgt 0, 45 2, 5=1, 125. Es sollte also das gute Projekt durchgeführt werden. (b) Finanzierung des Unternehmers bei symmetrischer Information (b1) Der erwartete Gewinn pro investierter Einheit lautet E Π Bank = π G (1 + r) (1 + r d ). (b2) Im Gleichgewicht werden die Einlagen der Kreditnachfrage entsprechen, so dass der Markt geräumt ist. Das Kreditvolumen beträgt 100. Also gilt: 100 = 91, 2+20 rd clear rd clear =0, 44. (b3) Im Bankensystem herrscht vollständiger Wettbewerb. Also erzielen die Banken Nullgewinne: E Π Bank = π G (1 + r) (1 + r d )=0 r = 1+r d π G 1= 1, 44/0, 9 1=0, 6. Der Kreditzins muss höher sein als der Einlagenzins, da die Bank den Einlagenzins stets bezahlen muss, während sie den Kreditzins nur mit der Wahrscheinlichkeit π G erhält. (b4) Die Gewinnfunktion der Unternehmer lautet: E Π Unt. = π G [R G (1 + r)] = 0, 9 [2 1, 6] = 0, 36. (b5) Die Wohlfahrt setzt sich wie folgt zusammen: Die Einleger erhalten 0, 44 pro investierter Einheit, die Unternehmer 0, 36, die Banken erzielen Nullgewinne. Bei einem Kreditvolumen von 100 ergibt sich eine Gesamtwohlfahrt von 100 0, 8 = 80. Bei Durchführung des ineffizienten Projektes hätte die Wohlfahrt nur 100 0, 125 = 12, 5 betragen. (c) Projektwahl des Unternehmers bei asymmetrischer Information (c1) Der erwartete Gewinn des Unternehmers beträgt E Π Unt. = π G [R G (1 + r)] = 0, 9 (1 r) =0, 9 0, 9 r, wenn er das gute Projekt wählt, und E Π Unt. = π B [R B (1 + r)] = 0, 45 (1, 5 r) =0, 675 0, 45 r, wennerdas schlechte Projekt wählt. (c2) Der Unternehmer wählt das gute Projekt, wenn 0, 9 0, 9 r 0, 675 0, 45 r r 0, 5. Für einen Kreditzins, der größer ist als 0,5, wählt er das schlechte Projekt.

6 The Economics of Banking Aufgabenblatt 3 6 (c3) Der Bruttoertrag der Bank beträgt π G (1 + r) = 0, 9+0, 9 r, wenn r 0, 5, und π B (1 + r) = 0, , 45 r, wennr > 0, 5. (Der Gewinn der Bank ergibt sich, indem vom Bruttoertrag die Einlagenzinsen abgezogen werden. Diese sind jedoch unabhängig von der Projektwahl und beeinflussen die Kreditzinssetzung der Bank daher nicht.) (c4) Bei r =0beträgt der Bruttoertrag 0,9 und steigt dann mit Steigung 0,9 an bis r =0, 5. Dort fällt er von 1,35 auf 0,675 und steigt dann mit einer Steigung von 0,45 bis auf 1,125 bei r =1, 5. Dies ist der maximale Zins, der verlangt werden kann. Das Maximum des Bruttoertrags wird also bei r =0, 5 erreicht, wo gerade noch das gute Projekt gewählt wird. (d) Kreditrationierung 100 A 20. (d1) Es muss gelten: 100 = A+20 r d r clear d = (d2) Kreditrationierung besteht, wenn der markträumende Zins im Einlagenmarkt so hoch ist, dass der zugehörige markträumende Kreditzins größer = 1+rclear d π G ist als der kritische Kreditzins 0,5: r clear 1, 5 0, 9 1=0, A > 0, 35 A< > 0, 5 r clear d > (d3) Der markträumende Einlagenzins beträgt gemäß der Formel in (d1) 0,44 (so wie in Aufgabe (b2)). Der zugehörige markträumende Kreditzins beträgt 0,6. Die Bank wird jedoch den gewinnmaximierenden Kreditzins von 0,5 setzen. Dieser entspricht einem Einlagenzins von 0,35. Bei einem Zins von 0,35 betragen das Einlagenangebot und damit auch das aggregierte Kreditvolumen nur 98,2. (d4) Der erwartete Gewinn eines Unternehmers, der einen Kredit erhält, lautet: E Π Unt. = π G [R G (1 + r)] = 0, 9 (2 1, 5) = 0, 45. Aufgrund des geringeren Kreditzinses ist der Gewinn deutlich höher als in Aufgabe (b4). Dafür gehen aber einige Unternehmer leer aus. (d5) Die Wohlfahrt setzt sich wie folgt zusammen: Die Einleger erhalten 0, 35, die Unternehmer 0, 45, und die Banken erzielen Nullgewinne. Der Überschuss beträgt also pro investierter Einheit weiterhin 0, 8. Bei einem Kreditvolumen von 98,2 ergibt sich eine Gesamtwohlfahrt von 98, 2 0, 8 = 78, 56 < 80. Die Wohlfahrt ist also insgesamt gefallen. Der Verlust wird hier zum größten

7 The Economics of Banking Aufgabenblatt 3 7 Teil von den Einlegern getragen, die einen geringeren Einlagenzins erhalten. Außerdem gehen ein Teil der Einleger und einige Unternehmer leer aus. Die Unternehmer, die einen Kredit erhalten, profitieren hingegen von der Kreditrationierung, da sie geringere Zinsen zahlen müssen. (e) Kreditsicherheiten (e1) Bei symmetrischer Information sind Kreditsicherheiten nicht erforderlich, da bereits ohne Sicherheiten die effiziente Lösung erreicht werden kann. Da die Sicherheiten im Falle des Misserfolgs des Projektes an die Bank gehen, für die die Sicherheiten keinen Wert besitzen, wäre mit der Stellung von Sicherheiten sogar ein Wohlfahrtsverlust verbunden. (e2) Der erwartete Gewinn des Unternehmers beträgt E Π Unt. = π G [R G (1 + r)] (1 π G ) C =0, 9 (1 r) 0, 1 0, 25 = 0, 875 0, 9 r, wenner das gute Projekt wählt, und E Π Unt. = π B [R B (1 + r)] (1 π B ) C = 0, 45 (1, 5 r) 0, 55 0, 25 = 0, , 45 r, wenn er das schlechte Projekt wählt. (e3) Der Unternehmer wählt das gute Projekt, wenn 0, 875 0, 9 r 0, , 45 r r 0, 75. Die Sicherheiten erhöhen also den kritischen Zins, ab dem der Unternehmer das schlechte Projekt wählt, genau um den Betrag der Sicherheiten. (Versuchen Sie, das auch allgemein zu zeigen!) (e4) Der Bruttoertrag der Bank beträgt π G (1 + r) = 0, 9+0, 9 r, wenn r 0, 75, und π B (1 + r) =0, , 45 r, wennr>0, 75. (e5) Bei r =0beträgt der Bruttoertrag 0,9 und steigt dann mit Steigung 0,9 an bis r =0, 75. Dort springt er von 1,575 auf 0,7875 und steigt dann mit einer Steigung von 0,45 bis auf 0,99 bei r 1, 19. Dies ist der maximale Zins, der verlangt werden kann, da ansonsten der erwartete Gewinn des Unternehmers negativ wird. Das Maximum wird also jetzt bei r =0, 75 erreicht; dort wird gerade noch das gute Projekt gewählt. (e6) Aufgrund der Sicherheiten können die Unternehmer nun glaubwürdig versprechen, dass sie bis zu einem Kreditzins von 0, 75 das gute Projekt wählen. Der Grund ist, dass der Misserfolg des Projektes durch den Verlust der Sicherheiten bestraft wird. Daher kann der Unternehmer leichter glaubhaft machen, dass er selbst ein Interesse daran hat, die Misserfolgswahrscheinlichkeit gering zu halten.

8 The Economics of Banking Aufgabenblatt 3 8 (f) Kreditrationierung und Kreditsicherheiten (f1) Der markträumende Einlagenzins in Abhängigkeit von A beträgt wieder rd clear = 100 A.Kreditrationierung besteht, wenn gilt: r clear = 1+rclear d 20 π G 1 > 0, 75 rd clear > 1, 75 0, 9 1=0, A > 0, 575 A<88, (f2) Der markträumende Zins im Einlagenmarkt beträgt wieder 0,44. Der zugehörige markträumende Kreditzins beträgt 0,6. Aus Aufgabenteil (f1) folgt unmittelbar, dass jetzt keine Kreditrationierung mehr besteht. Der markträumende Kreditzins liegt vor der Sprungstelle. (f3) Die Wohlfahrt setzt sich wie folgt zusammen: Die Einleger erhalten 0, 44. Die Unternehmer erhalten π G [R G (1 + r)] (1 π G ) C =0, 875 0, 9 r = 0, 875 0, 9 0, 6=0, 335 < 0, 36. Der erwartete Gewinn der Unternehmer ist kleiner als in Teilaufgabe (b), weil die Unternehmer Sicherheiten leisten müssen. Die Banken erzielen weiterhin Nullgewinne; die Sicherheiten sind für die Bank wertlos. Der Nettoüberschuss beträgt nun also pro investierter Einheit nur noch 0, 775. Bei einem Kreditvolumen von 100 ergibt sich eine Gesamtwohlfahrt von 100 0, 775 = 77, 5 < 78, 56. Die Wohlfahrt hat sich also relativ zu Teilaufgabe (d) nicht erhöht. Die Stellung von Sicherheiten in der angegebenen Höhe ist also nicht effizient. (f4) Ein effizientes Niveau an Sicherheiten ist gerade so hoch, dass der kritische Zins dem markträumenden Kreditzins entspricht. Dies ist der Fall, wenn r clear = 1+rclear d π G 1=0, 5+C. Das bedeutet, dass C gleich dem markträumenden Kreditzins minus 0,5 ist. Für A = 91, 2beträgt das effiziente Niveau an Sicherheiten 0, 6 0, 5 = 0, 1. Die gesamtwirtschaftliche Wohlfahrt wäre nun 100 (0, 8 0, 1 0, 1) = 100 0, 79 = 79.

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