(02) Zum Themengebiet Prozentrechnung

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1 Materialien zum Modellversuch: Vorschläge und Anregungen zu einer veränderten Aufgabenkultur (02) Zum Themengebiet Prozentrechnung (Jahrgangsstufe 7) Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms "Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird. 1

2 Verkehrsmittel In zahlreichen Schulbüchern finden sich Aufgaben der folgenden Art: Folgende Statistik ist bei der Befragung der Schüler der Albert-Schweitzer-Schule entstanden. Dabei wurden die Schüler gefragt, mit welchem Verkehrsmittel sie in der Regel zur Schule fahren. Bus Fahrrad Mofa Zu Fuß a. Wie viele Schüler nahmen an der Befragung teil? b. Wie viel Prozent fahren mit dem Fahrrad, Bus...? Anregungen zur Öffnung dieser Aufgabe: Die Schüler führen selbst Befragung(en) durch, mögliche Befragungsthemen könnten dabei sein: Lieblingsmusikgruppe/Fußballverein/Verkehrszählung/... Aufgabe: "Vergleicht die Ergebnisse der Umfragen." (Alternative: zwei vorgegebene Ergebnisse von Umfragen, wie unten dargestellt, vergleichen) Die Schüler können dabei verschiedene Vergleichsansätze entwickeln, z.b. Vergleich der Absolutzahlen oder Normierung auf gleiche Grundgröße. Irgendwann muss dann der Lehrer das Motiv für die Verwendung von %-Angaben einführen, hier den Vergleich in bezug auf eine feste Größe, auf 100 (Prozent als pro Hundert). Im weiteren Verlauf der UE wird dann auch zur Hundertstel-Vorstellung (... Hundertstel der Befragten haben für die Gruppe XY gestimmt), also der üblichen Grundvorstellung übergegangen. Bei selbst durchgeführten Befragungen ist es wichtig, die Rahmenbedingungen bei der Durchführung zu thematisieren. Eine mögliche Dauer-Hausaufgabe für die Schüler im Laufe der UE Prozentrechnung könnte es sein, Darstellungen zu sammeln und in den Unterricht mitzubringen, in denen %-Aufgaben vorkommen (z.b. in Zeitungen). Diese Beispiele können dann im Unterricht aufgegriffen und Anlass für neue Überlegungen sein, z.b. über vielfach vorkommende verfälschende Darstellungen (siehe hierzu die Möbel- und Teppich-Aufgabe). Eignung: Einstieg in die UE vom-hundert-vorstellung des %-Begriffs Gruppenarbeit Umfrage zum Thema Lieblingsmusikgruppen 1. The Kelly Family Die Ärzte Spice Girls Back Street Boys Dr. Motte 2. The Kelly Family Die Ärzte Spice Girls Back Street Boys Dr. Motte "Vergleicht die Ergebnisse beider Umfragen!" 2

3 Fischbestand In zahlreichen Schulbüchern finden sich Aufgaben der folgenden Art: Walart Blauwal Finnwal Zwergwal Glattwal Seiwal Buckelwal Pottwal Heutiger Bestand % des ursprüngl. Bestands 2% 8% 88% 4% 21% 23% 81% Rekonstruiere anhand der gegeben Angaben für jeden Wal den ursprünglichen Bestand. Anregungen zur Öffnung der Aufgabe: Neue Aufgabenstellung: "Vergleiche!" Oder: "Finde selbst möglichst viele (mindestens drei) sinnvolle Fragestellungen." Alternative: AB zu interessanten Informationen aus dem Tierreich, einige Anregungen hierzu finden sich weiter unten (Traglast, Sprungweite/-höhe, Gewicht von Neugeborenen,...) Evtl. können die Schüler sich weitere Informationen besorgen (z.b. über eine Liste der vom Aussterben bedrohten Tierarten). Die Schüler könnten die Ab- oder Zunahme als Bruch berechnen (um die Hälfte..., um ein Viertel... ; hierbei Wiederholung der Bruchrechnung) und vergleichen. Eignung: auch als Einstieg (aber komplexer als Verkehrsmittel-Aufgabe) Gruppenarbeit insbesondere bei der Berechnung des Prozentsatzes Wdhg. der Bruchrechnung Anregungen zu einem AB "Tierreich": Ein Floh von 1,5 mm Größe kann 22,5 cm hoch springen. Der Weltrekord im Hochsprung beträgt 2,38 m (Seoul 1988). Der europäische Springfrosch kann aus dem Stand 2 m weit springen. Das ist das 25-fache seiner Körperlänge (Kopf und Rumpf), die gerade noch 50 % seiner Beinlänge beträgt. Der Weltrekord im Weitsprung beträgt 8,72 m (Seoul 1988). Die größten Tiere, die es je gegeben hat, sind die Blauwale: Sie sind 30 m lang und 150 t schwer. Zu Beginn dieses Jahrhunderts bevölkerten schätzungsweise Blauwale die Meere gab es nur noch und heute sind es gerade noch Ein Blauwalkalb ist schon 7 m lang und wiegt 2,5 t. Es nimmt während der Stillzeit jeden Tag 90 kg zu, während die Mutter ca. 30 % ihres Körpergewichts verliert (aus: Erickson, C.: Von Lichtjahren, Pyramiden und einem Regenwurm) 3

4 Sparbuch In zahlreichen Schulbüchern finden sich Aufgaben der folgenden Art: Eine Schulklasse möchte die Klassenkasse bei einer Bank auf ein Sparbuch einzahlen. Dafür informieren sie sich bei verschiedenen Geldinstituten. Zinssätze für Spareinlagen Gesetzliche Kündigungsfrist: 2,0% Vereinbarte Kündigungsfrist von 1 Jahr: 3,0% Vereinbarte Kündigungsfrist von 2,5 Jahren: 3,5% Vereinbarte Kündigungsfrist von 4 Jahren: 4,0% Führerscheinsparen mit 6% Bonus: 2,0% Zuwachssparen: 1.Jahr 4%, 2. Jahr 5%, 3.Jahr 5,5%, 4.Jahr 6%, 5.Jahr 7% a. Welche Informationen kann man dem Plakat entnehmen? b. Ordne die Begriffe Kapital, Zinsen, Zinssatz den Begriffen der Prozentrechnung zu. Anregungen zur Öffnung dieser Aufgabe: Vergleich verschiedener Bank-Angebote: Welches ist günstiger? Dabei entweder von den Schülern vorher (als HA) eingeholte Bankangebote als Grundlage nehmen (siehe Vierfeldertafel unten) Oder vorgegebene Bankangebote miteinander vergleichen, z.b.: Bankhaus Kies bietet seinen Kunden, die ihr Geld anlegen wollen, pro Jahr 4% Zinsen an. Sparkasse Schotter wirbt dagegen damit, dass ihre Kunden im ersten Jahr zwar nur 1% Zinsen bekommen, im zweiten Jahr aber dafür unglaubliche 7%. Welches ist das günstigere Angebot? Die Schüler können dabei auch selbstgewählte Zahlen (leicht oder schwer) verwenden. In dieser Aufgabe ist es wichtig, dass die Schüler Begründungen für ihre Überlegungen angeben, z.b. dass beim ersten Vergleich (zweimal 4% oder 1% und 7%) das zweite Angebot schlechter sein muss, da dort das Kapital im 2. Jahr zwar "entsprechend" höher verzinst wird, aber eben auf der Grundlage des geringeren Kapitals nach dem ersten Jahr (oder rechnerisch: 1,04 1,04>1,01 1,07). Die Begründungen können also auf verschiedenen Niveaus erfolgen. Eignung: Wiederholung des Rechnens mit Dezimalbrüchen Begründung 4

5 In Form einer Vierfeldertafel wird hier eine von einigen MV-Lehrern entwickelte Aufgabe für die UE Zinsrechnung vorgestellt (speziell für Haupt- und Realschulklassen): Aufgabenstellung Peter hat zu seiner Konfirmation 2000 DM geschenkt bekommen. Er möchte das Geld nun (möglichst gewinnbringend) anlegen. Widerstände umfangreiche, unübersichtliche Rechnung mangelnde Informationserfassung Motivation mangelnde Vorerfahrung Skalierung der Koordinatenachsen Ideale Lösungen S. sammeln Vorschläge sortieren vor entscheiden spontan (und überprüfen dann) berechnen Kapital (evtl. arbeitsteilig, mit Formelheft) erstellen Graphik entwickeln Fragen an die Bank Ordnen, systematisieren (z.b. Zuwachssparen, Festgeld, normales Sparbuch,...) Umsetzung evtl. TR einsetzen (erleichtert Rechnung) Anzahl der Angebote reduzieren Ziele: Jahres-/Monats-/Tageszinsen berechnen Zinsangebote vgl. Graph. Darstellungen Zinseszins als neues Phänomen Argumentationsfähigkeit Strukturierung des Problems Fragestellung entwickeln Zusammenarbeit in der Gruppe 5

6 Teppiche Autor: Michael Schober (Söhre-Schule, Lohfelden) Herkunft des Originaltextes: Werbeprospektbeilage zur HNA vom Millionenschwere kostbare echte Teppiche mit radikalen Preisreduzierungen bis zu 72% Persien-Maschad, 300x400 cm, bisher DM 6.280,- jetzt extrem reduziert auf DM 1.880,- Persien-Keschan, 352x246 cm, bisher DM 6.580,- jetzt extrem reduziert auf DM 1.950,- Persian-Nain, 250x350 cm, bisher DM 9.850,- jetzt extrem reduziert auf DM 2.950,- Persien-Moud, 201x304 cm, bisher DM 5.980,- jetzt extrem reduziert auf DM 1.790,- Persien-Täbriz(Königsmuster), 290x212 cm, bisher DM 9.800,- jetzt extrem reduziert auf DM 2.940,- Persien-Sarough, 219x138 cm, bisher DM 4.850,- jetzt extrem reduziert auf DM 1.450,- Aufgaben: a) Berechne die prozentuale Ersparnis auf zwei Nachkommastellen genau. b) Gibt es zur Lösung des Aufgabenteils a) mehrere Möglichkeiten? c) Äußere dich zur Richtigkeit des Prospekttextes. Die Aufgabe lässt sich in annehmbarer Zeit wohl nur mit einem Taschenrechner lösen. Weitere Öffnung: Nur Aufgabenteil c) stellen oder den Schülern sogar nur den Prospekt geben. Lösungen: a) 70,06; 70,35; 70,05; 70,07; 70; 70,10; (Angaben jeweils in %, gerundet auf 2 Stellen nach dem Komma genau) b) z.b.: DM p/100=1880dm... p=29,94 also Preissenkung um etwa 70,06% DM-1880DM=4400DM DM p/100=4400dm... p=70,06 c) Der Text wirbt mit falschen Versprechungen (vgl. Aufgabenteil a)). Generell gilt: Aufgaben dieses Grundaufgabentyps werden bei Verwendung realer Zahlen immer den TR-Einsatz erfordern. Dem steht auch nichts entgegen, solange gesichert ist, dass die Jugendlichen vor der TR-Benutzung die notwendige Umformung notiert haben. Endergebnisse ohne notierte Rechenschritte sind problematisch. 6

7 Möbel Autor: Michael Schober (Söhre-Schule, Lohfelden) Herkunft des Originaltextes: Werbebeilage in der HNA am %... 30% Schlafsofa, schwarz Kommode, schwarz Wohnwand, Erle Couchtisch, Kiefer Couchtisch, Kiefer Schreibtisch Stuhl, schwarz/blau Schreibtisch, Kiefer Bürosessel, blau Regal, Astkiefer Regal, Astkiefer Büroschrank, Astk. Bücherregal, Met/Bu Regal, Metall/Naturl. Tisch, Buche Stuhl, Buche statt 858,- nur 599,- statt 375,- nur 298,- statt 823,- nur 599,- statt 299,- nur 199,- statt 298,- nur 198,- statt 199,- nur 129,- statt 249,- nur 198,- statt 633,- nur 498,- statt 229,- nur 189,- statt 139,- nur 99,- statt 129,- nur 89,- statt 229,- nur 179,- statt 199,- nur 129,- statt 549,- nur 398,- statt 358,- nur 249,- statt 149,- nur 98,- Beistelltisch, blau Sessel, Bu./schwarz Sessel, Buche/blau Fernsehsessel Falttürenschrank Kleiderschrank Kleiderschrank Kleiderschrank Einzelbett,90x200cm Bett, Kiefer massiv Schlafsofa, blau Garderobe Garderobe, Esche TV-Eckschrank Kommode, Kiefer Computertisch, Bu. statt 259,- nur 159,- statt 498,- nur 298,- statt 498,- nur 298,- statt 998,- nur 798,- statt 898,- nur 598,- statt 998,- nur 698,- statt 798,- nur 598,- statt 898,- nur 598,- statt 279,- nur 198,- statt 259,- nur 179,- statt 858,- nur 599,- statt 698,- nur 498,- statt 518,- nur 379,- statt 697,- nur 498,- statt 575,- nur 298,- statt 598,- nur 399,- Aufgaben: a) Was erwartest du bei einer solchen Anzeige? b) Überprüfe deine Erwartung, indem du nachrechnest. c) Äußere dich zum Wahrheitsgehalt der Anzeige. d) Formuliere einen Leserbrief an die HNA bzw. einen Brief an die Geschäftsleitung des Möbelhauses. Die Aufgabe lässt sich arbeitsteilig am schnellsten bearbeiten. Lösungen: a) Man erwartet Reduzierungen um exakt 30 bzw. 50%. b) 30,19; 20,53; 27,22; 33,44; 33,56; 35,18; 20,48; 21,33; 17,47; 28,78; 31,01; 21,83; 35,18; 27,50; 30,45; 34,23; 38,61; 40,16; 40,16; 20,04; 33,41; 30,06; 25,06; 33,41; 29,03; 30,89; 30,19; 28,65; 26,83; 28,55; 48,17; 33,28 (Angaben jeweils in %, gerundet auf 2 Stellen nach dem Komma) c) Die Anzeige verspricht Falsches. Nirgends wird exakt um die angegebenen Prozentsätze reduziert. In 14 Fällen liegt die Reduzierung unter 30%, in 15 Fällen zwischen 30 und 40%, in 3 Fällen zwischen 40 und 50%. Die Maximale Reduzierung beträgt 48,17%, die minimale 17,47%. d) Die Briefe sollten die Ergebnisse des Aufgabenteils c) beinhalten. 7

8 Schnellfahrer Quelle (leicht abgeänderte Aufgabenstellung): Herget/Scholz: Die etwas andere Aufgabe - aus der Zeitung. Seelze 1998 Herkunft des Originaltextes: Der Spiegel, Nr. 41/1991 (nach: Norderneyer Badezeitung) Schnellfahrer Fuhr vor einigen Jahren noch jeder zehnte Autofahrer zu schnell, so ist es mittlerweile heute nur noch jeder fünfte. Doch auch fünf Prozent sind zu viele, und so wird weiterhin kontrolliert, und die Schnellfahrer haben zu zahlen. Aufgabe: Nimm Stellung zu den Angaben in der Zeitungsmeldung! Eignung: Durcharbeitungsphase oder Lernkontrolle Wiederholung der Bruchrechnung Motivation für Untersuchung von anderen Zeitungsartikeln/Anzeigen 8