Inhaltsverzeichnis. Einleitung 1. 1 Grundlagen 3

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1 Diplomarbeit zur Erlangung des akademischen Grades Diplom-Ingenieur Schaltungstheoretische Modellierung und Klassifizierung von korrosionsgefährdeten erdverlegten Rohrleitungen angefertigt von cand.-ing. Viktor Schmetan, bei Prof. Dr. sc. techn. D. Erni, Prof. Dr.-A. Beyer (Zweitgutachter) Betreuer Dipl.-Ing. Winfried Bilgic Fachgebiet Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik an der Universität Duisburg Essen. Duisburg, März 2008

2 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 1 Grundlagen Korrosion von erdverlegten Rohrleitungen Korrosionsprozess Passiver Korrosionsschutz Böden Kathodischer Korrosionsschutz Elektrochemisches Wirkprinzip Umsetzung des Verfahren in der Praxis Intensiv-Messungen bzw. Verfahren Theoretische Grundlagen Praktische Umsetzung Widerstandskoeffizienten Modell erdverlegter Rohrleitungen aus Widerstandskoeffizienten Grundlagen Phasengrenze Metall-Boden Grundlagen Ausbreitungswiderstand Resultierendes Netzwerkmodell I

3 INHALTSVERZEICHNIS 2 Phasengrenze Metall-Boden Konzept Versuchsaufbau und Durchführung Messergebnisse in Abhängigkeit der Bodenbelüftung Auswertung und Feststellung des zeitlich veränderlichen Ausbreitungswiderstandes Modellierung der Kennlinien durch Exponentialfunktionen Bodenwiderstände Ausbreitungswiderstand Klassisch und nun zeitlich veränderlich Versuchsaufbau und Durchführung Auswertung und Feststellung der Änderung des Ausbreitungswiderstandes nach Zeit und Stromdichte Modellierung der Kennlinien durch Polynome Gegenseitige Beeinflussung bei Ausbreitungswiderständen Modellierung der Beeinflussung durch Näherungsfunktionen Zwischenwiderstand Feldtheoretische Simulationsergebnisse Modellierung durch Näherungsfunktionen Evolutionäre Algorithmen Optimierung durch Evolutionäre Strategien Grundlagen Verschiedene Formen der Selektion Aufbau und Funktion der eingesetzten evolutionären Strategie Parameterumsetzung Aufbau der graphischen Bedienoberfläche Funktionsweise der implementierten Algorithmen II

4 INHALTSVERZEICHNIS 5 Auswertung und Beurteilung der Wechselwirkungen von Fehlstellen auf erdverlegten Rohrleitungen Computerprogramm zur Simulation der Stromverteilung an kathodisch geschützten Fehlstellen Leistungsvermögen des Programms Aufbau und Bedienung der graphischen Programmoberfläche Definitionsbereiche und Abhängigkeiten der Widerstände von der Wahl der Fehlstellenanordnung Funktionsweise des Programms Anwendung der Evolutionsstrategie Festlegung von Suchkriterien und Rahmenbedingungen Suchergebnisse und Auswertung kritischer Konfigurationen für eine Anordnung aus 2 Fehlstellen Suchergebnisse und Auswertung kritischer Konfigurationen für eine Anordnung aus 3 Fehlstellen Suchergebnisse und Auswertung kritischer Konfigurationen für eine Anordnung aus 4 Fehlstellen Zusammenfassung und Ausblick 119 A Anhang 121 A.1 Literaturverzeichnis A.2 Abbildungsverzeichnis A.3 Tabellenverzeichnis A.4 Listen der bei Optimierung verwendeten Polynome A.5 Danksagung III

5 EINLEITUNG Einleitung Erdgas wird in der Zukunft eine zunehmend wichtigere Rolle spielen. In Zeiten des Klimawandels und der klimapolitischen Diskussion ist die Bedeutung von Erdgas als Energieträger rapide gestiegen. Der Grund dafür sind seine weltweit reichen Vorkommen und die verhältnismäßig saubere Verbrennung. Dabei freigesetzte Kohlendioxid-Emissionen sind im Vergleich zu anderen fossilen Rohstoffen wie Erdöl oder Steinkohle deutlich geringer. Ähnlich wie Erdöl wird auch Erdgas durch Bohrungen aus der Erde gefördert. Deutschland ist auf Importe aus anderen Ländern angewiesen, denn nur ungefähr ein Fünftel des Gesamtbedarfes wird aus dem Inland gedeckt. Die Hauptexporteure sind Russland, Norwegen und die Niederlande. Der Gastransport erfolgt über große Strecken durch ein unterirdisch verlegtes Leitungssystem. Im Erdboden können Gasleitungen unter Umständen der Korrosion ausgesetzt sein. Korrosionsschäden stellen Sicherheitsrisiken dar und sind außerdem mit hohen Freilegungs- und Reparaturkosten verbunden. Es ist bereits ein elektrochemisches Verfahren entwickelt worden, welches Korrosionsprozesse sehr wirkungsvoll unterdrücken kann. Die Frage nach der uneingeschränkten Wirksamkeit dieses Verfahrens ist jedoch bisher noch nicht bis ins letzte Detail beantwortet worden. Die vorliegende Arbeit ist in Kooperation mit der E.ON Ruhrgas AG, der Fernuniversität Hagen und der Universität Duisburg-Essen entstanden. Sie ist Teil eines Projekts welches, die bestehenden Korrosionsschutzmaßnahmen für erdverlegte Gasleitungen auf ihre Zuverlässigkeit untersuchen soll. Im Rahmen dieser Arbeit ist zunächst die Umsetzung der Problemstellung in eine rechnergestützte Schaltungssimulation erfolgt. Basierend auf den Ergebnissen der Simulation sind anschließend Aussagen über mögliche Risiken formuliert worden. Insgesamt lassen sich die nachfolgenden Ausführungen wie folgt strukturieren: In Kapitel 1 werden die Grundlagen des Korrosionsschutzes erläutert. Zusätzlich wird das sich ausbildende elektrische Netzwerk aus Teilen der Rohrleitung und des sie umgebenden Bodens vorgestellt. Als nächstes erfolgt in den Kapiteln 2 und 3 die Annäherung des Netzwerkes durch konzentrierte Bauelemente. Ihre nichtlineare Verhaltensweise ist mit Hilfe geeigneter Versuchsaufbauten im Labor ermittelt und durch Annäherungsformeln beschrieben worden. Feldtheoretische Eigenschaften der konzentrierten Bauelemente, insbesondere im Hinblick auf die Ausbildung von elektrischen Strömungsfeldern in Abhängigkeit ihrer gegenseitigen Lage, sind Gegenstand aktuell laufender Diplomarbeiten. Die ersten fundierten Erkenntnisse daraus sind in dieser Arbeit berücksichtigt worden. Das Kapitel 4 stellt ein universell einsetzbares Optimierungsverfahren vor. Es eignet sich besonders dafür, eigenständig nach Lösungen für ein vorgegebenes 1 VON 130

6 EINLEITUNG Problem zu suchen. Angesetzt auf das vorhandene Netzwerk kann das Verfahren gegebenenfalls Konfigurationen von Bauelementen aufdecken, bei denen der Korrosionsschutz nicht ausreichend wirkt. In Kapitel 5 wird die Entwicklung eines Programms zur Schaltungssimulation beschrieben. Zuvor ermittelte Daten können damit im Rechner verarbeitet und dargestellt werden. Das Programm beinhaltet auch den unter Kapitel 4 erwähnten Optimierer. Seine Anwendung in Kapitel 5 bringt neue Erkenntnisse in Bezug auf kritische Anordnungen beim Korrosionsschutz. Die Ergebnisse werden anschließend in Form von Risikokatalogen angegeben und bewertet. Im abschließenden Kapitel wird noch einmal der Stand der Dinge zusammengefasst und Vorschläge für das weitere Vorgehen angegeben. 2 VON 130

7 1 GRUNDLAGEN Kapitel 1 1 Grundlagen 1.1 Korrosion von erdverlegten Rohrleitungen Korrosionsprozess Korrosion an Metallen kann verstanden werden, als ein Prozess, welcher Beschädigungen der Metalloberfläche durch chemische Reaktionen mit Bestandteilen aus dem umgebenden Medium bewirken kann [1]. Zum besseren Verständnis der chemischen Korrosionsvorgänge werden zunächst einige Grundlagen der elektrochemischen Kinetik erläutert. Wird eine Metallelektrode (Me) in eine elektrisch leitende Lösung (Elektrolyt) gebracht, die bereits eine bestimmte Konzentration C n+ Me von Me n+ -Ionen enthält, so finden folgende chemischen Teilreaktionen statt: Me Me n+ + ne - (1.1) ne - + Me n+ Me (1.2) Die erste Teilreaktion (1.1) entspricht einer Abgabe von Metallionen an die Elektrolytlösung und damit Auflösung der Metallelektrode an dieser Stelle. Beim zweiten Teil (1.2) verbinden sich die unter (1.1) entstandenen freien Elektronen mit positiven Ionen aus der Lösung und scheiden als Metallatome an der Elektrode wieder ab. Beide Prozesse laufen unterschiedlich stark ab, bis sich 3 VON 130

8 1 GRUNDLAGEN zwischen der Oberfläche der Metallelektrode und dem Elektrolyt (Phasengrenze Metall-Elektrolyt) ein elektrisches Potential ϕ 0 ausbildet und sich damit ein Gleichgewicht zwischen den Teilreaktionen einstellt. Für jedes Metall-Elektrolyt-Paar, auch Halbzelle genannt, kann mit Hilfe der sog. ernst-gleichung das zugehörige Gleichgewichtspotential (Ruhepotential) nach folgender Formel berechnet werden [2]: RT ϕ ϕ + nf 0 0 = 0 + ln( C n ) Me (1.3) Hierbei ist C n+ Me die zuvor genannte Konzentration der Metallionen im 0 Elektrolyt, gemessen in mol/l. ϕ 0 ist das für das verwendete Metall charakteristische Standardpotential, welches sich bei einer festgelegten Ionenkonzentration von 1mol/l einstellt. R ist die universelle Gaskonstante (8,314Jmol 1 K 1 ) und T ist die Größe der absoluten Temperatur in Kelvin (298K). Die Anzahl der pro Reaktionsschritt ausgetauschten Elektronen wird durch n angegeben. F ist die Faraday-Konstante (96485CMol 1 ) [2]. ϕ 0 0 Das Ruhepotential setzt sich aus einem konstanten Teil ϕ 0 und einem veränderlichem, von der Temperatur T, der Anzahl ausgetauschter Elektronen n und der Konzentration positiver Metallionen C n+ Me abhängigem Teil zusammen. 0 Werte für ϕ 0 sind in der Fachliteratur in speziellen Tabellen für unterschiedliche Metallarten aufgelistet [3]. Änderungen die durch den variablen Teil der Nernst- Gleichung entstehen, können in der Praxis durch das Messen des Ruhepotentials festgestellt werden. Dabei ist zu beachten, dass alle Literaturwerte für das Ruhepotential ϕ 0 sich auf eine Wasserstoffelektrode beziehen. Bei praktischen Messungen wird in der Regel eine robuste Bezugselektrode eingesetzt, die ein relativ konstantes eigenes Ruhepotential besitzt. Unter Laborbedingungen hat sich eine sog. Kalomelelektrode bewährt. Das Funktionsprinzip dieser Elektrode basiert darauf, dass unabhängig vom Elektrolytmedium der zu messenden Halbzelle, eine eigene Halbzelle aufgebaut wird, welche eine relativ konstante, bekannte Metallionenkonzentration besitzt. Die Elektrode dieser Halbzelle besteht aus Quecksilber, welches von festem Hg 2 Cl 2 (Kalomel) umgeben ist. Als Elektrolytlösung fungiert in der Regel eine mit Hg 2 Cl 2 gesättigte KCl-Lösung. Der Ionenaustausch zwischen den Halbzellen findet durch ein Diaphragma statt [4]. 4 VON 130

9 1 GRUNDLAGEN Das Potential dieser Bezugshalbzelle lässt sich dann mit Hilfe der Nernst- Gleichung wie folgt beschreiben: Hg / HgCl 0 = ln( ) ϕ ϕ V C Cl (1.4) Für eine gesättigte KCl-Lösung beträgt damit das Ruhepotential, gemessen gegen eine Normalwasserstoff-Elektrode, relativ konstante +240mV [3]. Eine im Feldeinsatz oft benutzte Bezugselektrode ist die Kupfer(Cu)- Kupfersulfat(CuSO 4 )-Elektrode. Die Cu/CuSO 4 -Elektrode besitzt ein Ruhepotential von +320mV bezogen auf die Normalwasserstoff-Elektrode. Alle folgenden Potentialangaben beziehen sich, falls nicht anders angegeben, auf eine Kalomelelektrode als Bezugselektrode. Die oben geschilderte Potentialbildung an der Phasengrenze spielt eine wichtige Rolle bei der Metallkorrosion. Wird zu der bereits bestehenden Halbzelle mit einem bestimmten Ruhepotential ϕ 1 eine zweite Halbzelle mit einem ϕ 2 < ϕ1 Ruhepotential elektrisch leitend in Reihe geschaltet, so bewirkt der Potentialunterschied ϕ = ϕ1 ϕ 2 eine Elektronenbewegung zwischen den Halbzellen und damit einen elektrischen Strom. Die Elektronen-abgebende Halbzelle (Elektrode) wird als Anode, die Elektronen-aufnehmende Elektrode als Kathode bezeichnet. Abbildung 1.1 veranschaulicht diese Angaben am Beispiel eines unterirdisch verlegten Rohres. Grundsätzlich besteht ein solches Rohr aus elektrisch gut leitendem Metall (Stahl) welches gegen den Erdboden hin isoliert ist. Die Eigenschaften von Rohren, Umhüllungen und Erdböden werden im nächsten Kapitel näher erläutert. In diesem Fall sei angenommen, dass das Rohr an zwei Stellen Defekte in der Umhüllung besitzt und dort somit jeweils eine Phasengrenze Metall-Erdboden besteht. Aufgrund der Abmessungen des Rohres können an der jeweiligen Phasengrenze unterschiedliche Umgebungsbedingungen vorliegen. So kommt es vor, dass an einer Elektrode ein zusätzliches chemisches Elemente wie z.b. Sauerstoff angrenzen kann. Es entsteht eine so genannte Mischelektrode, die zur Ausbildung verschiedener Ruhepotentiale führen kann. Angenommen dies sei hier der Fall, dann entsteht unten links in der Abbildung 1.1 eine Phasengrenze mit einem Ruhepotential von ϕ1 und oben rechts eine mit ϕ 2. Es bilden sich also zwei Halbzellen aus, die unterschiedliche Ruhepotentiale besitzen ( ϕ < ϕ ) VON 130

10 1 GRUNDLAGEN Bezugselektrode ϕ 2 ϕ 2 < ϕ1 Anode Kathode O 2 O 2 O 2 NaOH OH - H 2 O 2e - 2e - Na + H 2 O 2+ 2e- Fe Fe 2+ Fe2+ FeCl 2 Cl - Na + Cl - Abbildung 1.1: Korrosion an einem unterirdisch verlegten Rohr. Beide Halbzellen sind über die Rohrwand einerseits und über den Erdboden als Elektrolytlösung andererseits miteinander elektrisch in Reihe geschaltet. Eine Potentialdifferenz von ϕ = ϕ1 ϕ 2 bewirkt einen Elektronentransport über die Rohrwand von der Halbzelle mit dem negativen Potential ϕ 1. Dabei entsteht an der Anode ein Abbau an Metall, indem Metallionen mit dem Elektrolyt im Erdboden in Lösung gehen. Gleichzeitig reagieren an der Kathode die Elektronen mit Sauerstoff und Wasser zu OH - -Ionen. Die Teilreaktionen lassen sich chemisch wie in Abbildung 1.2 zusammenfassen. Anodische Teilreaktion Fe Fe e - Fe 2+ +Cl - FeCl 2 Kathodische Teilreaktion 2e-+½O 2 + H 2 O 2OH - 2OH - + 2Na + 2NaOH FeCl 2 + H 2 O Fe(OH)Cl + HCl 2Fe(OH)Cl + H 2 O + ½O 2 2FeO(OH) + 2HCl Abbildung 1.2: Chemische Teilreaktionen bei Korrosion [5]. 6 VON 130

11 1 GRUNDLAGEN An der Anode entstehende Eisen(III)-oxidhydrat (2FeO(OH)) besitzt die bekannte braune Färbung, welche umgangssprachlich als Rost bezeichnet wird. Genauer betrachtet herrscht die Potentialdifferenz ϕ = ϕ1 ϕ 2 nur im Augenblick der Zusammenschaltung der beiden Halbzellen. Der sehr niedrige spezifische Widerstand der Rohrwand führt dazu, dass hohe Ausgleichsströme möglich sind und damit wegen eines relativ hohen Innenwiderstands an der Phasengrenze die tatsächliche Potentialdifferenz ϕ geringer ausfällt, als die Differenz der einzelnen Ruhepotentiale ϕ1 und ϕ 2. Dies bedeutet, dass nun die Messungen der einzelnen Ruhepotentiale zu Abweichungen von den ursprünglichen Werten führen würden. Solche Abweichungen werden als Überspannungen bezeichnet. Bei der Kathode handelt es sich um negative Überspannungen, bei der Anode dagegen um positive. Wird der Stromfluss dazwischen wieder unterbrochen und unmittelbar danach erneut Potentialmessungen durchgeführt, so werden sich diese von ursprünglichen Ruhepotentialen ebenfalls unterscheiden. Sie werden als Ausschaltpotentiale bezeichnet und haben direkten Einfluss auf die Richtung und Betrag der Stromdichte einer Halbzelle. Abbildung 1.3 ist eine Stromdichte-Spannungskurve von Eisen in einer künstlichen Bodenlösung dargestellt. Auf der x-achse ist das Ausschaltpotential aufgetragen. Das Ruhepotential beträgt ca. -730mV Ruhepotential Stromdichte J in ma/cm² neg. Überspannung pos. Überspannung Potential φ Ein in V, bezogen auf eine Kalomel-Elektrode Abbildung 1.3: Stromdichte-Spannungskurve für Eisen in Bodenlösung [6]. 7 VON 130

12 1 GRUNDLAGEN Die Pfeile in Abbildung 1.3 verdeutlichen tendenzielle Änderungen des Ausschaltpotentials in Abhängigkeit von der angelegten Überspannung. Negative Werte der Stromdichte entsprechen einer Elektronenbewegung vom Metall zum Elektrolyt (kathodische Teilreaktion, siehe Abbildung 1.2, was bedeutet, dass dabei keine Bildung der Metallionen und damit auch keine Korrosion stattfinden können Passiver Korrosionsschutz Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich insbesondere mit erdverlegten Rohrleitungen für den Gastransport. Diese Leitungen müssen hohen inneren Gasdrücken standhalten und werden daher aus Stahl gefertigt. Die Wandstärke wird dabei in Abhängigkeit vom späteren Betriebsdruck in der Größenordnung zwischen 3 und 30 mm hergestellt [7]. Wie im vorangegangenen Kapitel gezeigt worden ist, kann Stahl unter bestimmten Umständen korrodieren, d.h. die Wanddicke nimmt ab, so dass seine Belastungsgrenzen erreicht werden und dadurch eine Gefahr für die Umwelt entstehen könnte. Zur Minimierung von Korrosionseinflüssen werden Stahlrohre daher werkseitig mit einer schützenden Umhüllungsschicht versehen. Abbildung 1.4 zeigt den Aufbau einer solchen Schutzschicht, die als sog. passiver Korrosionsschutz dient, d.h. einen elektrisch leitenden Kontakt des Stahlrohrs mit dem umgebenden Erdboden verhindert µm 3-30mm 250µm 1,8 3,7 mm Polyethylen Schmelzkleber Epoxid-Grundierung Stahl (Rohrwand) Abbildung 1.4: Passiver Korrosionsschutz durch Umhüllung [8]. Nach dem heutigen Stand der Technik produzierte Rohrleitungen besitzen an ihrer äußeren Stahloberfläche eine Epoxidharz-Grundierung, über die 8 VON 130

13 1 GRUNDLAGEN anschließend mittels eines speziellen Schmelzklebers eine Nennweitenabhängige ca mm dicke Polyethylenschicht angebracht wird [8]. Eine solche Beschichtung gewährleistet in unbeschädigtem Zustand eine gute elektrische Isolation und eine hohe Resistenz gegen chemische Belastungen. Mechanische Einwirkungen, insbesondere senkrecht zur Rohroberfläche können dagegen aufgrund der viel geringeren Festigkeit gegenüber Stahl zu Beschädigungen führen. Solche Beschädigungen können z.b. bereits bei Verlegearbeiten durch Maschinen oder auch später, bei Bauarbeiten in der Nähe der Rohrleitung, durch Kratzer von Baggerschaufeln entstehen. Abbildung 1.5: Baggerschaden an einer PE-beschichteten Rohrleitung [8]. Ein Umhüllungsdefekt, wie in Abbildung 1.5 dargestellt, wird als Fehlstelle bezeichnet und ist eine Voraussetzung zur Entstehung einer Phasengrenze, wie sie im vorherigen Unterkapitel beschrieben worden ist. Unser heutiges Gasleitungsnetz besteht teilweise aus Rohrleitungen, die seit 60 Jahren und länger in Betrieb sind. Ihre Umhüllungen sind damals aus Bitumen gefertigt worden. Dieses Material besitzt gute wasserabweisende Eigenschaften, kann jedoch durch Alterungsprozesse aufgrund von Oxidationsvorgängen spröde und rissig werden. Eindringende Feuchtigkeit in die perforierte gealterte Oberfläche kann ebenfalls zu Phasengrenzen Metall/Boden führen. Es handelt sich dabei ebenfalls um eine Art Fehlstelle, obwohl keine mechanischen Beschädigungen vorliegen. 9 VON 130

14 1 GRUNDLAGEN Böden Eine wichtige Rolle bei der Ausbildung der Ruhepotentiale an den Phasengrenzen spielt die Zusammensetzung des Erdbodens. In Anbetracht einer großen Vielfalt von Böden wird unter anderem zwischen deckschichtbildenden und nicht deckschichtbildenden Sorten unterschieden. In Böden, die reich an Kalzium- und Magnesium-Ionen sind, entstehen an der Phasengrenze Deckschichten, die die Korrosion hemmen und daher für weitere Betrachtungen von geringerem Interesse sind. Natrium und Kaliumsalze kommen in der Natur häufig vor. Im Wasser gelöst bilden sie positiv und negativ geladene Ione. Damit steigern sie die Leitfähigkeit des Elektrolytmediums an der Phasengrenze. Da sie zugleich keine Deckschichten bilden, können sie den Korrosionsprozess begünstigen. Für weitere Ausführungen dieser Arbeit wird daher diese Art des nicht deckschichtbildenden Bodentyps bzw. des Elektrolyts angenommen. Ein zusätzlich wichtiges Merkmal eines Bodens in Bezug auf Korrosion ist sein Sauerstoffgehalt, auch Belüftung genannt. Sauerstoff ist sowohl bei der anodischen Teilreaktion, genauer bei der Bildung von Eisen(III)-oxidhydrat (2FeO(OH)), als auch bei der Entstehung von OH - -Ionen auf der kathodischen Seite beteiligt. Eine Rohrleitung kann aufgrund ihres Durchmessers von ca m sowie einer unterschiedlichen Deckung (Eingrabungstiefe in der Regel von 1-2m), verschiedene Belüftungszonen durchlaufen. Dies muss bei der schaltungstheoretischen Nachbildung der Rohrleitung in späteren Kapiteln berücksichtigt werden. 10 VON 130

15 1 GRUNDLAGEN 1.2 Kathodischer Korrosionsschutz Elektrochemisches Wirkprinzip Im letzten Kapitel ist gezeigt worden, dass einer chemischen Halbzelle durch Anlegen von Überspannungen in Bezug auf ihr Ruhepotential (bei einer Stromdichte von 0mA/) sowohl positive wie auch negative Stromdichten aufgeprägt werden können. In Abbildung 1.2 wurden dazu zwei Halbzellen kombiniert, wobei diejenige Halbzelle mit dem niedrigeren Ruhepotential sich zwingend zur Anode entwickelte und an dieser Stelle Korrosion stattfinden konnte. Im Jahr 1824 entdeckte Sir Humphrey Davy, ein Professor an der Royal Institution, dass man durch Aufprägen einer negativen Stromdichte die Korrosionsgeschwindigkeit verringern kann [9]. Durch eine geeignete Spannung aus einer Fremdspannungsquelle kann eine Elektrode gezielt zur Kathode gemacht werden und damit Korrosion verhindert werden. Ein solches Verfahren wird als "kathodischer Korrosionsschutz" bezeichnet. Abbildung 1.6 stellt das Funktionsprinzip dieses Verfahrens schematisch dar. Als Anode fungieren mehrere parallel geschaltete Elektroden, die an ausgewählten Punkten außerhalb der Rohrleitung eingebaut werden. O 2 ϕ 2 ϕ 1 OH - O 2 NaOH H 2 O O 2 Na + 2e - OH - Kathode 2e - Cl - H 2e - 2 O OH - 2e - O 2 NaOH Na + OH - FeCl 2 H 2 O U < 0 FeCl 2 Fe 2+ Cl - Fe 2+ Fe 2+ Fe 2+ Anode Anode Abbildung 1.6: Prinzipielle Funktionsweise des kathodischen Korrosionsschutzes. 11 VON 130

16 1 GRUNDLAGEN Diese Anodenanordnung besitzt ein eigenes Ruhepotential, welches meist positiver ist, als das zu schützende Material der Rohrleitung. Mit einer Spannungsquelle, deren Minuspol an der Rohrleitung und deren Pluspol an der Anodenanordnung liegen, werden Überspannungen an beiden Seiten erzeugt. Durch die negative Überspannung an der Rohrwand wird diese zur Kathode und damit die Zusatzelektroden zu Anoden. Verglichen zu Abbildung 1.1 werden jetzt durch die negative Überspannung die Ausschaltpotentiale beider Fehlstellen in die negative Richtung ausgelenkt. Die Fremdspannungsquelle wird solange nachgeregelt, bis sich das gewünschte Ausschaltpotential eingestellt hat. Kontrolliert wird dies durch kurze Ausschaltvorgänge bei denen das Ausschaltpotential der Rohrleitung gegen eine Bezugselektrode registriert wird. Das Ausschaltpotential sollte vorzugsweise nicht unter -0.85V (bezüglich einer Kupfer(Cu)-Kupfersulfat(CuSO 4 )-Elektrode) bei gewöhnlichen Böden, sowie V bei anaeroben, also unbelüfteten Böden liegen [9]. Eine negativere Einstellung kann Wasserstoffbildung an der Kathode bewirken, die wiederum zu so genannter Wasserstoffversprödung des Stahls führen kann. Bei zu moderaten Einstellungen muss bedacht werden, dass die Rohrwand bei längeren Strecken nicht als Äquipotentialfläche angenommen werden kann, da sie eine endliche Leitfähigkeit besitzt und es zu Spannungsabfällen aufgrund der fließenden Schutzströme kommt. Schutzströme fließen über die Rohrleitung und ihre Fehlstellen, durch den Elektrolyten im Erdboden hin zu den Anoden. Für eine richtige Funktion des kathodischen Korrosionsschutzes muss stets überprüft werden, ob der von der Schutzstromeinspeisung entfernteste Punkt auf der Rohrleitung noch ausreichende Ausschaltpotentialwerte besitzt Umsetzung des Verfahren in der Praxis Das Funktionsprinzip des kathodischen Korrosionsschutzes (abgekürzt KKS) besteht darin, dass mit Hilfe einer Fremdstromquelle die Rohrleitung in ihrer Gesamtheit kathodisch polarisiert und damit zur Kathode wird. Anodische Reaktionen werden auf die Fremdstromanode verlagert. Soweit diese nicht aus korrosionsresistenten Materialien gefertigt sind wird damit auch die Korrosion auf die Anoden übertragen. In Abbildung 1.7 ist das Beispiel einer kathodischen Schutzstromanlage dargestellt. Die Aufgabe der Fremdstromanoden übernehmen parallel geschaltete Elektroden aus Eisen-Silizium. So entstandene Ansammlungen von Opferanoden werden an ausgewählten Stellen in näherer Umgebung der Rohrleitung gut zugänglich vergraben. Um einen besseren Kontakt zum Erdboden herzustellen werden sie dabei in Koks eingebettet. Die eigentliche Schutzstromanlage befindet sich oberirdisch in einem Schaltschrank. Darin befindet sich die notwendige Konstantspannungsquelle, welche niedrige Gleichspannungen durch Transformation und Gleichrichtung aus dem Spannungsnetz erzeugt. Eine fest eingebaute Bezugselektrode liefert das Vergleichspotential. Zur weiteren Ausstattung gehören unter anderem der 12 VON 130

17 1 GRUNDLAGEN Blitzschutz, sowie ein Telemetriegerät mit der Bezeichnung MiniTrans. Dieses Gerät kann über das GSM-Netz mittels SMS gesteuert werden. Es ist in der Lage die KKS-Anlage in vorgegebenem Takt ein und auszuschalten. Die dabei gemessenen Potentiale kann MiniTrans als SMS an eine Zentrale übermitteln. Schutzstromgerät Schilderpfahl (Potentialmessstelle) Gasleitung (Kathode) Anodenfeld Abbildung 1.7: Beispiel einer kathodischen Korrosionsschutzanlage. Ebenfalls zu einer KKS-Anlage gehören Messstellen, die als Schilderpfähle in regelmäßigen Abständen entlang der Rohrleitung aufgestellt sind. Im Inneren des Pfahls ist eine Buchse angebracht, welche an die darunter liegende Rohrleitung angeschlossen ist. Mit einer externen Bezugselektrode kann hier das aktuelle Einschaltpotential gemessen und damit ein Nachweis für die Funktion des kathodischen Schutzes erbracht werden. Ein Schilderpfahl kann aber auch ein Telemetriegerät wie den MiniTrans beherbergen. Damit können Potentialmessungen automatisch durchgeführt werden. 13 VON 130

18 1 GRUNDLAGEN 1.3 Intensiv-Messungen bzw. Verfahren Theoretische Grundlagen Aus vorangegangenen Kapiteln ist bekannt, dass Fehlstellen an Rohrleitungen über den Erdboden von einem Schutzstrom durchlaufen werden. Die an den Fehlstellen austretenden Ströme verursachen Spannungsabfälle im Erdboden die messbar sind. Diese Spannungen können Informationen über die Position von Fehlstellen enthalten. Nachfolgend werden Grundlagen für die Ausbreitung der Ströme in der Erde sowie dem Verlauf des elektrischen Potentials an der Erdoberfläche erläutert. Dazu müssen erst einmal die Umgebungsbedingungen, wie in Abbildung 1.8 dargestellt, festgelegt werden. Zur Vereinfachung wird angenommen, der Erdboden sei homogen, sowohl in x, als auch in y-richtung unendlich weit ausgedehnt und bilde an der x-y-ebene für z=0 einen scharfen Übergang zur Luft. Die Fehlstelle an der Rohrleitung sei eine Konstantstromquelle welche am Ortsvektor h r liege und in Bezug auf die Länge des Vektors h r vernachlässigbar kleine Ausmaße besitze (Punktquelle). z Erdoberfläche h r Stromquelle* * R r r r y P ρ Luft h r R r x 0< ρ Erde << ρ Luft Stromquelle Abbildung 1.8: Berechnung des Potentialverlaufs mittels Spiegelquellenprinzips [10]. Werden die spezifischen Widerstände des Erdbodens und der Luft aus der Abbildung 1.8 berücksichtigt, so ergibt sich für den Übergang zwischen den 14 VON 130

19 1 GRUNDLAGEN beiden Medien kein Stromfluss. Aus dieser Überlegung muss die Stromdichte an der Grenze parallel zur x-y-ebene verlaufen. Bei solchen Anordnungen kann das Prinzip der Spiegelquelle angewendet werden. Es wird eine zusätzliche Stromquelle, im gleichen Abstand von der x-y-ebene wie die Erste, angenommen. Die Feldlinien dieser zweiten gleichgroßen Quelle stehen an der Boden-Luft-Grenze in Gleichgewicht zu den Feldlinien der ersten Quelle und zwingen sich dadurch gegenseitig zu einem planen Verlauf entlang der x-y- Ebene. Aus Gründen des Eindeutigkeitsprinzips, kann ein auf diesem Wege gefundener Ansatz benutzt werden, weil daneben keine anderen Anordnungen existieren können, die vorliegende Bedingungen gleichermaßen erfüllen [10]. Für ein stationäres Feld, welches in diesem Fall vorliegt, gilt (1.5) r J r 0 nda= bzw. divj r = 0 (1.5) A ges Die elektrische Stromdichte ist damit im Gegensatz zur elektrischen Verschiebungsdichte quellenfrei. Um jedoch die Erkenntnisse aus der Elektrostatik auf die stationäre Feldtheorie übertragen zu können wird angenommen eine Stromquelle werde von Außen durch einen sehr dünnen Draht der Querschnittsfläche A 2 <<A ges mit einem Strom I versorgt, so dass für A 1 A ges gilt und damit (1.6) angenommen werden kann: J nda= A 1 r r I (1.6) Daraus ergibt sich für die Stromdichte, unter der Annahme einer Kugelförmigen Stromausbreitung (1.7): r J = I r 4π 3 r (1.7) wobei r r ein radial gerichteter Vektor ist. In vorliegendem Fall ergibt sich damit der Stromdichtevektor aus der Summe der einzelnen Vektoren der Strom- und der Spiegelstromquelle(1.8). 15 VON 130

20 1 GRUNDLAGEN r I r I r J ges = + 4π * * r 1 π r1 (1.8) Für die Radialvektoren rr 1 und * r 1 bestehen dabei nach Abbildung 1.8 Zusammenhänge wie in (1.9) und (1.10) wobei r r der Ortsvektor eines beliebigen Punktes P ist, an dem die Stromdichte berechnet werden soll. r r r 1 = h= ( x, y, z) (0,0, h) = ( x, y, z h) r r r h x y z h x y z h * 1 = + = (,, ) + (0,0, ) = (,, + ) (1.9) (1.10) Eingesetzt in (1.8) ergibt sich für die Stromdichte in kartesischen Koordinaten die Beziehung nach (1.11): r J ges r r r r r r I xe x yey ( z h) ez xex yey ( z h) e + 3/ 2 3/ 4π ( x² + y² + ( z h)²) ( x² + y² + ( z+ h)²) z = 2 (1.11) Für weitere Ausführungen ist insbesondere der Stromdichteverlauf an der Erdoberfläche interessant. Er entsteht durch das Einsetzen der Höhe 0 für z (1.12): r J ges h r r I xe + 1 x yey = 2π ( x² + y² + ²) = 0 h 3/ 2 (1.12) Unter Einbeziehung der Formel (1.13) r r J = E / ρ (1.13) 16 VON 130

21 1 GRUNDLAGEN berechnet sich der Verlauf der elektrischen Stromdichte wie folgt (1.14), (1.15): r E ges r E ges ( x, y, z 0) ( x, y, z 0) r r I ρ xe + ye 2 π ( x² + y² + h²) 1 x y = = 3/ 2 r r I ρ xe ye 2 π ( x² + y² + h²) ( x² + y² + h²) 1 x y = = + 3/ 2 3/ 2 (1.14) (1.15) Anschließend erfolgt die Bestimmung einer geeigneten Potentialfunktion als Lösung der Differentialgleichung (1.16), r E dϕ r dϕ r = gradϕ = ex + ey dx dy (1.16) welche sich, wie leicht durch Differentiation nachzuvollziehen ist, aus (1.17) ergibt. ϕ( x, y, z 0) I ρ 1 2 π ( x² + y² + h²) 1 = = + 1/ 2 C (1.17) Die Integrationskonstante C wird berechnet, indem das Potential an einem unendlich fernen Punkt bei 0 festgelegt wird: lim ϕ = 0 x, y C= 0 (1.18) Damit lässt sich auch der Potentialwert an der Erdoberfläche senkrecht über der Fehlstelle angeben (1.19) und ist damit der betragsmäßig höchste zu messende Potentialwert an der Oberfläche. 17 VON 130

22 1 GRUNDLAGEN ϕ M ax (0, 0, 0) = I1ρ 2π h (1.19) Wird das Potential in Abhängigkeit von den x und y-koordinaten aufgetragen, entsteht, aufgrund der Symmetrie zur Potentialachse eine Form, die einem Trichter ähnlich sieht und daher als Potentialtrichter bezeichnet wird. Abbildung 1.9 zeigt die Ausmaße eines Potentialtrichters für I = 100mA, h = 2m, ρ = 50Ωm. Die geschlossenen Kreise ein und derselben Farbe kennzeichnen die Äquipotentiallinien der dargestellten Funktion. Wie oben beschrieben befindet sich die Stelle des größten, in diesem Fall negativen Potentials, in der Mitte des Trichters und beträgt hier nahezu -400mV im Vergleich zu einer Bezugspotentialstelle die weit genug außerhalb liegt. Abbildung 1.9: Beispiel eines Potentialtrichters an der Erdoberfläche. 18 VON 130

23 1 GRUNDLAGEN Mit Hilfe des Superpositionsverfahrens ist es möglich die bisher gemachten Erkenntnisse auf eine beliebige Anzahl von Fehlstellen zu erweitern. Als ein einfaches Beispiel dafür soll eine Kombination aus zwei Fehlstellen in einem Abstand d zueinander untersucht werden. Zusätzlich zu der bereits bestehenden Stromquelle im Punkt (0,0,-h) wird eine zweite Stromquelle einer Stromstärke I 2 mit den Koordinaten (d,0,-h) eingeführt. Verglichen zur Quelle 1 besitzt diese ebenfalls eine entsprechende Spiegelquelle bei (d,0,h). r J 2 r r r r r r I ( x d) e x yey ( z h) ez ( x d) ex yey ( z h) e + 3/ 2 3/ 4π (( x d)² + y² + ( z h)²) (( x d)² + y² + ( z+ h)²) z = 2 (1.20) Damit Überlagern sich die beiden Stromdichten J r 1 und J r 2 an der Erdoberfläche, also für z=0, verglichen (1.11) zu J ges (1.21) r J ges h r r I xe + 1 x yey = 2π ( x² + y² + h²) r r I ( x d) e + 2 x yey + 2π (( x d)² + y² + ²) = 0 3/ 2 h 3/ 2 (1.21) Nach Ausführung von weiteren Schritten, vergleichbar mit (1.13) - (1.16) kommt es ebenfalls zu einer Überlagerung der einzelnen Potentialfunktionen und damit zu: ϕ ρ I1 I 2 + 1/ 2 2π ( x² + y² + h²) (( x d)² + y² + h²) = 1/ 2 (1.22) Eine wichtige Fragestellung bei der Beurteilung eines Potentialtrichters ist das Auflösungsvermögen, also die Möglichkeit zwei benachbarte Fehlstellen von einer einzelnen (mit doppelter Stromstärke) zu unterscheiden. Abbildung 1.10 zeigt die Form des Potentialtrichters an der Erdoberfläche für zwei mit gleicher Stromstärke durchflossene Fehlstellen bei verschiedenen Abständen zu einander. Das hier ausgearbeitete Modell ist in seinen Annahmen stark vereinfacht, so handelt es sich bei den einzelnen Fehlstellen um punktweise Quellen konstanten Stromes, welche praktisch nicht vorkommen. Viel mehr stellt sich die Stromstärke an der jeweiligen Fehlstelle in Wirklichkeit nach der Größe der 19 VON 130

24 1 GRUNDLAGEN Fehlstellenoberfläche ein und ist gleichzeitig ebenfalls vom Potentialtrichter der benachbarten Fehlstelle abhängig. Auf der Basis des vorliegenden Modells lassen sich jedoch bereits die Möglichkeiten und Einschränkungen des Nachweises von einzelnen Potentialtrichtern anschauen. Abbildung 1.10: Potentialtrichter an der Erdoberfläche in Abhängigkeit des Abstandes der beiden Fehlstellen zu einander. Für I 1 und I 2 in Abbildung 1.10 sind Stromstärken von 100mA angenommen worden. Der spezifische Widerstand ρ beträgt 50Ωm und die Deckungshöhe h ist nach wie vor gleich 2m. Zur besseren Erkennbarkeit ist in Abbildung 1.11 der Querschnitt durch die unter Abbildung 1.10 entstandenen Potentialtrichter nach unterschiedlichem Abstand der Fehlstellen aufgetragen. Deutlich zu erkennen ist, dass in einem Abstand von 3m liegende Fehlstellen nicht mehr eindeutig anhand einzelner Potentialtrichterspitzen zu identifizieren sind. Ein Potentialabfall zwischen den Spitzen findet in diesem Fall erst ab einem Abstand d von 4m statt. 20 VON 130

25 1 GRUNDLAGEN Abbildung 1.11: Querschnitt durch Potentialtrichter in Abhängigkeit vom Abstand zwischen zwei Fehlstellen. 21 VON 130

26 1 GRUNDLAGEN Praktische Umsetzung Fehlstellen an einer Rohrleitung die kathodisch vor Korrosion geschützt ist bilden Potentialtrichter an der Erdoberfläche. Umgekehrt kann einem Potentialtrichter mit einer hinreichenden Genauigkeit eine Fehlstelle zugeordnet werden. Ein in der Praxis eingesetztes Verfahren zur Ortung von möglichen Fehlstellen unter Verwendung von Potentialmessungen an der Erdoberfläche wird als Intensivmessung bezeichnet. Das Verfahren setzt sich zusammen aus einer groben Längsmessung entlang der Rohrleitung und Detailmessungen an Orten, wo nach der groben Messung der Verdacht besteht, Fehlstellen zu finden. Bei Intensivmessungen werden Messtrupps bestehend aus drei Personen eingesetzt. Die Messung wird vorzugsweise an einer Potentialmessstelle (Schilderpfahl) begonnen, weil hier elektrischer Kontakt zur Rohrleitung hergestellt werden kann. Vor Messbeginn wird das Schutzpotential der Rohrleitung in einem fest definierten Takt ein- und ausgeschaltet. Takteinstellungen können mit dem oben beschriebenen Telemetriegerät MiniTrans aus einer Zentrale per SMS vorgenommen werden. Zusätzlich wird an die zu vermessende Rohrleitung eine Wechselspannungsquelle mit einer geringen Amplitude und Frequenzen im Bereich einiger khz angelegt. Auf diese Art erzeugte Wechselspannung ermöglicht es mit Hilfe eines speziellen Leitungssuchgeräts eine bis auf wenige Zentimeter genaue Lagebestimmung der Rohrleitung. Frequenz, Amplitude und Offset der Wechselspannungsquelle sind so gewählt, dass keine negative Einflüsse auf die Potentialmessungen auftreten können. Die eigentliche Intensivmessung beginnt damit, dass die erste Person des Messtrupps unter Gebrauch des Rohrleitungssuchgeräts die Lage der Rohrleitung markiert. Die nachkommenden zwei Personen bilden das Messteam. Sie sind mit mobilen Bezugselektroden (Kupfer(Cu)-Kupfersulfat(CuSo 4 )-Elektroden) ausgestattet und sind untereinander verkabelt. Einer von ihnen folgt der Leitungsmarkierung. Dabei trägt er eine Kabeltrommel, die zuvor an der Potentialmessstelle angeschlossen worden ist, so dass sich mit dem Fortschreiten der Person das angeschlossene Kabel von der Kabeltrommel abrollen kann und somit ein ständiger elektrischer Kontakt zur Rohrleitung besteht. Die zweite Person des Messteams folgt in einem senkrechten Abstand zur ersten. Die Entfernung muss so gewählt werden, dass auch im Falle eines Potentialtrichters eine sichere Messung des Potentials der fernen Erde, also des Nullpotentials gewährleistet wird. Abbildung 1.12 veranschaulicht das Messprinzip [9] Ein auf diese Weise aufgestelltes Messtrupp erlaubt eine zügige Messung entlang der Rohrleitung. Sobald sich ein deutlich messbarer Spannungsabfall an den Bezugselektroden des Messteams abzeichnet, erfolgen intensivere Nachmessungen in der näheren Umgebung. Der im festgelegten Takt verlaufende Schutzstrom erlaubt es Potentiale im ein- und ausgeschaltetem Zustand der Rohrleitung zu messen. Außer Informationen über die Position von Fehlstellen, 22 VON 130

27 1 GRUNDLAGEN können auf diese Weise später auch Aussagen über das Ausreichen des kathodischen Schutzes an den gefundenen Fehlstellen getroffen werden. Messergebnisse, die während der Intensivmessung entstehen werden rechnergestützt erfasst. Aus den gespeicherten Daten entstehen später Diagramme, welche zum getakteten Schutzstrom, Potentialwerte sowie Potentialunterschiede senkrecht zum Verlauf der Rohrleitung in Abhängigkeit von der Laufstrecke darstellen. Anhand der Auswertung solcher Diagramme werden spätere Maßnahmen wie Freilegung und Nachumhüllung eingeleitet. Potentialmessstelle Bezugselektroden ϕ ein ϕ ϕ Potentialtrichter Rohrleitung Abbildung 1.12: Prinzipieller Aufbau des Intensivmessverfahrens [9]. 23 VON 130

28 1 GRUNDLAGEN 1.4 Widerstandskoeffizienten Bei der feldtheoretischen Betrachtung von Metalloberflächen in einem leitfähigen Medium sind bis jetzt lediglich konstante, punktförmige Stromquellen betrachtet worden. Fehlstellen einer Rohrleitung im Erdboden besitzen dagegen eine endliche Ausdehnung, außerdem müssen für die Simulation ihrer Feldverläufe konstante Potentiale an den Fehlstellen berücksichtigt werden. Durch Wechselwirkungen der elektrischen Felder zweier oder mehr Fehlstellen kann es zu einer Widerstandsbeeinflussung des umgebenden Mediums kommen, was wiederum zu einer Änderung der Stromstärke an den einzelnen Metalloberflächen führen kann. In diesem Kapitel wird das elektrische Widerstandsverhalten von Anordnungen aus mehreren Metalloberflächen verschiedener Geometrien in einem leitfähigen Medium betrachtet. Abbildung 1.13 zeigt eine Beispielanordnung von 3 Elektroden unterschiedlicher Oberfläche und Potentials zuerst einmal in einem nicht leitfähigen Medium mit dem spezifischen Widerstand ρ und der Permittivitätszahl ε. Aus der r 1 Elektrostatik ist bekannt, dass sich das Potential der jeweiligen ladungsbehafteten Elektrode beliebiger Form in einer homogenen dielelektrischen Umgebung nach dem Superpositionsprinzip als Summe aller einzelnen Teilpotentiale zusammensetzt (1.23) [10]: ϕ 1 Q 1 ϕ 3 ρ ε 1 r Q 3 ϕ 2 Q 2 Abbildung 1.13: Beispiel einer Elektrodenanordnung in einem leitfähigen Medium [10]. 24 VON 130

29 1 GRUNDLAGEN ϕ1 a11 a12 a13 L a1 n Q1 ϕ2 a21 a22 a23 L a2n Q2 ϕ 3 = a31 a32 a33 L a 3n Q 3 M M M M O M M ϕ n an 1 an2 an3 a nn Q L n (1.23) Die Koeffizienten aki werden als Maxwellsche Potentialkoeffizienten bezeichnet, wobei der Index k die Elektrode angibt auf der das aktuelle Potential berechnet wird, während i als laufende Nummer alle Elektroden nacheinander durchläuft. Mit einer solchen verallgemeinerten Betrachtung lassen sich die nachfolgenden Erkenntnisse auch auf eine beliebige Anzahl n von Elektroden übertragen. Wird anschließend für das umgebende Medium ein endlicher, spezifischer Widerstand ρ> 0 eingeführt, so ergibt sich aus (1.23) ein Gleichungssystem wie unter (1.24). Bei der Umstellung von Ladungen (Q n ) auf Ströme (I n ) sind im Vergleich zum letzten Kapitel ebenfalls Annahmen nach (1.5) gemacht worden. ϕ1 b11 b12 b13 L b1 n I1 ϕ2 b21 b22 b23 L b2 n I2 ϕ 3 = b31 b32 b33 L b 3n I 3 M M M M O M M ϕ n bn 1 bn 2 bn 3 b nn I L n (1.24) Ausgehend von bisherigen Berechnungen lässt sich das quellenfreie Feld zwischen den einzelnen Elektroden durch die Laplace-Differentialgleichung (1.25) unter der Anwendung des Superpositionsprinzips bestimmen. div( gradϕ) = ϕ = 0 (1.25) Aufgrund der Überlagerung einzelner elektrischer Felder der Elektroden muss jede einzelne Lösungsfunktion der Gleichung (1.25) genügen (1.26). 25 VON 130

30 1 GRUNDLAGEN = 0 i= 1, 2,3..., n ϕ i (1.26) Zusätzlich müssen die Bedingungen von (1.27) dabei erfüllt sein. ϕi ϕi = 0 für die i-te Elektrode für alle anderen Elektroden (1.27) Damit ist gewährleistet, dass jede Elektrode an der Stelle i auch das Potential i enthält und es nicht zu Potentialüberlagerungen innerhalb der Elektroden kommt. Aus nachvollziehbaren Gründen muss außerdem das gesamte, unendlich weit von den Elektroden entfernte Potential verschwindend klein sein. Eine so definierte Potentialfunktion setzt sich aus der Summe der einzelnen Teilfunktion nach der Gleichung (1.28) zusammen: ϕ ϕ n = i= 1 ϕ i (1.28) Aus der Potentialfunktion lassen sich die einzelnen Ströme an den Metalloberflächen unter Einbeziehung der Formel (1.6) angeben (1.29), (1.30): r r 1 r r 1 r Ik = JndA = E nda= gradϕ nda ρ ρ Ak Ak Ak (1.29) n n 1 r 1 ϕi Ik = gradϕ nda= da ρ n Ak i i= 1 ρ A i= 1 k (1.30) 26 VON 130

31 1 GRUNDLAGEN Die Stromstärke I an einer Elektrode k kann also als die Summe der Teilströme I k aller Elektroden aufgefasst werden. Werden an dieser Stelle Widerstandkoeffizienten r ki eingeführt, die sich nach (1.31), berechnen lassen r ki ϕ I i = = k Ak ρϕi n ϕi da n i= 1 (1.31) dann kann die Gleichung (1.30) auch in einer Matrix-Schreibweise dargestellt werden (1.32). Der Vektor mit den einzelnen Stromstärken an den Elektroden berechnet sich dann aus einer Matrix mit reziproken Widerstandskoeffizienten, multipliziert mit dem Potentialvektor. Die Koeffizientenmatrix kann ebenfalls durch Bildung der inversen Matrix aus (1.24) gefunden werden. I1 1/ r11 1/ r12 1/ r13 L 1/ r1 n ϕ1 I2 1/ r21 1/ r22 1/ r23 L 1/ r2 n ϕ2 I 3 = 1/ r31 1/ r32 1/ r33 L 1/ r 3n ϕ 3 M M M M O M M I n 1/ rn 1 1/ rn 2 1/ rn 3 1/ r nn ϕ L n (1.32) Die Widerstandskoeffizienten in (1.32) lassen sich als Widerstände interpretieren, die gegen ein weit entferntes Potential ϕ = 0 reichen. Solche Widerstände werden als Ausbreitungswiderstände bezeichnet. Sie geben den Widerstand an, den eine Metalloberfläche in Bezug auf ein Medium entwickelt, welches eine elektrische Leitfähigkeit besitzt und unendlich weit ausgedehnt ist. Nach (1.32) besitzt die jeweilige Metalloberfläche für die einzelne Stromstärkeberechnung auch einen eigenen Ausbreitungswiderstand. Das gesamte Ersatzschaltbild lässt sich nach Einführung der Ausbreitungswiderstände, wie in Abbildung 1.14 gezeigt, erfassen. An dieser Stelle muss erwähnt werden, dass es sich hier noch um eine rein feldtheoretische Betrachtung handelt und jegliche elektrochemische Effekte vernachlässigt werden. Aus diesem Grund besitzen die Ausbreitungswiderstände hier zwar eine Abhängigkeit von der Anordnung der Elektroden im Medium sind jedoch von der, sie durchströmenden Stromstärke, unabhängig und damit konstant. Im weiteren Verlauf dieser Arbeit wird die Änderung der Ausbreitungswiderstände durch elektrochemische Prozesse im Boden näher untersucht. 27 VON 130

32 1 GRUNDLAGEN r 31 r 13 ϕ 1 r 11 r 21 ρ > 0 r 23 ϕ 3 r 33 r 12 ϕ 2 r 32 r 22 Abbildung 1.14: Ersatzschaltbild einer Elektrodenanordnung in einem leitfähigen Medium, bestehend aus Ausbreitungswiderständen. Für die Matrix in der Gleichung (1.32) kann durch geeignete Umformungen und unter Zuhilfenahme der Vektoridentität und des Gaußschen Satzes gezeigt werden, dass ihre Widerstandskoeffizienten bezüglich der Hauptdiagonale symmetrisch sind. Für eine genaue Herleitung kann auf [10] verwiesen werden. Es gilt also (1.33): 1 1 = rki = r r r ki ik ik (1.33) Zur weiteren Vereinfachung bietet es sich an, Widerstandskoeffizienten wie folgt zusammenzufassen(1.34), (1.35): R ki = r i k ki (1.34) n = K+ = R r r r r r kk k1 k 2 k 3 kn i= 1 kn (1.35) 28 VON 130

33 1 GRUNDLAGEN Eingesetzt in (1.32) entsteht schließlich eine Darstellung nach (1.36). Potentialunterschiede in den Klammern können als Spannungen zwischen den einzelnen Elektroden ausgelegt werden. I = ϕ / R + ( ϕ ϕ ) / R + ( ϕ ϕ ) / R + K+ ( ϕ ϕ ) / R 1 1 a n 1n I = ( ϕ ϕ ) / R + ϕ / R + ( ϕ ϕ ) / R + K+ ( ϕ ϕ ) / R a n 2n I = ( ϕ ϕ ) / R + ( ϕ ϕ ) / R + ϕ / R + K+ ( ϕ ϕ ) / R a3 3 n 3n M M I = ( ϕ ϕ ) / R + ( ϕ ϕ ) / R + ( ϕ ϕ ) / R + K+ ϕ / R n n 1 1n n 2 2n n 3 3n n an (1.36) R sind damit Widerstände zwischen jeweils zwei Elektroden. Auf diese Weise kann das bestehende Ersatzschaltbild aus Abbildung 1.14 auf nur insgesamt sechs Widerstände reduziert werden, wobei es drei Ausbreitungswiderstände und ebenfalls drei Zwischenwiderstände gibt. Verallgemeinert behauptet, existiert also für eine beliebige Anordnung von n Elektroden ein Ersatzschaltbild aus n n( n 1) Ausbreitungswiderständen und Zwischenwiderständen. 2 R a1 ϕ 1 R 13 ϕ 3 R a3 ρ > 0 R 12 R 23 ϕ 2 R a2 Abbildung 1.15: Ersatzschaltbild einer Elektrodenanordnung in einem leitfähige Medium, nach Vereinfachung. 29 VON 130

34 1 GRUNDLAGEN 1.5 Modell erdverlegter Rohrleitungen aus Widerstandskoeffizienten Grundlagen Phasengrenze Metall-Boden Bereits zu Beginn des Kapitel ist bei der Erläuterung des Korrosionsprozesses der Begriff Phasengrenze Metall-Elektrolyt gebraucht worden um eine räumliche Abgrenzung zwischen einer Elektrode und einem sie umgebendem Medium zu beschreiben. Im Allgemeinen besteht eine Elektrode aus einem metallischen Material bei dem Elektronenleitung stattfindet, also aus einer so genannten elektronisch leitenden Phase. Diese grenzt an eine Elektrolytschicht an, welche Ionenleitung ermöglicht und deswegen als ionisch leitende Phase bezeichnet wird. Aufgrund der unterschiedlichen Leitungsarten muss der Stromfluss an der Phasengrenze mit einem gleichzeitigen Stoffumsatz einhergehen. Wie aus den vorherigen Kapiteln bekannt ist, muss hierbei zwischen einer kathodischen Reaktion (Abgabe von Elektronen an den Elektrolyt und damit eine Reduktion der Elektrolytionen) und einer anodischen Reaktion (Oxidation der abgeschiedenen Metallionen) unterschieden werden. Ebenfalls aus Kapitel ist bekannt, dass an der Phasengrenze eine Potentialdifferenz entsteht. Die Ursache für diese Differenz ist eine Ladungstrennung zwischen den beiden Phasen. Das elektrische Modell dafür ist eine Kapazität, welche örtlich der Grenzschicht zugeordnet werden kann. An den Platten der Kapazität bildet sich eine parallele Doppelschicht aus unterschiedlich geladenen Leitungsträgern. Daher wird diese Kapazität als Doppelschichtkapazität C D bezeichnet. Das hier beschriebene vereinfachte Modell ist von Hermann von Helmholtz im Jahr 1879 entwickelt worden. Daneben existieren verbesserte Modelle wie z.b. das Gouy-Chapman-Modell aus dem Jahr Im Gegensatz zu Helmholtz besitzen die Kondensatorplatten hierbei keine scharfen Abmessungen. Es wird viel mehr eine Schicht mit einer veränderlichen Raumladungsdichte auf der Elektrolytseite angenommen [1]. Vom Ruhepotential abweichende Spannungen sind als Überspannungen in vorangegangenen Kapiteln definiert worden. Sie sind mit Strömen verbunden, die durch die Phasengrenze verlaufen. Da es sich dabei um Gleichströme handelt, welche auch im stationären Zustand, also nach dem Abklingen aller Einschaltvorgänge bestehen bleiben, können diese nicht nur durch eine Kapazität an der Phasengrenze erklärt werden. Aus der elektrochemischen Sicht betrachtet lässt sich zwischen den beiden Phasengrenzen ein nicht linearer Widerstand definieren der für diesen Fall als Durchtrittswiderstand oder auch im Allgemeinen als Polarisationswiderstand R P bezeichnet wird [4]. Insgesamt ergibt sich für die Phasengrenze Metall-Elektrolyt folgendes Ersatzschaltbild nach Abbildung VON 130

35 1 GRUNDLAGEN Metall Elektrolyt R P C D Überspannung Phasengrenze Abbildung 1.16: Elektrisches Ersatzschaltbild für die Phasengrenze Metall-Elektrolyt nach Helmholtz. 31 VON 130

36 1 GRUNDLAGEN Grundlagen Ausbreitungswiderstand Neben einer Impedanz in der Phasengrenze entwickelt eine einzelne Elektrode im Elektrolyt, nach Abbildung 1.15, auch einen Ausbreitungswiderstand. Dieser Widerstand hängt von der Form und Oberfläche der Elektrode sowie dem spezifischen Widerstand des Elektrolyten ab. In diesem Kapitel wird die Abhängigkeit des Ausbreitungswiderstandes einer kreisförmigen Metalloberfläche, mit dem Durchmesser D, vom spezifischen Widerstand ρ eines homogenen, sie umgebenden Mediums, hergeleitet. Der Einfachheit halber wird zuerst die Feldverteilung einer metallischen Kreisscheibe im Vollraum betrachtet und anschließend daraus durch Verdoppelung der Ausbreitungswiderstand im Halbraum berechnet. Ausgangspunkt der Herleitung ist ein Linienleiter nach Abbildung 1.17, welcher sich mittig auf der x-achse, befindet und auf eine Gesamtlänge von 2l ausgedehnt ist. Über eine unendlich kleine Zuleitung wird eine konstante Stromstärke I in den Leiter eingespeist, so dass eine Linienstromquelle entsteht, die ihren Strom an den sie umgebenden Vollraum mit dem spezifischen Widerstand ρ> 0 abgibt. Der Linienleiter kann in diesem Fall als eine Aneinaderreihung von vielen Punktquellen P vorgestellt werden. z Linienstromquelle z x s ' P y R p ' p l s ' l x P ' Abbildung 1.17: Eine Linienstromquelle im Vollraum mit dem spezifischen Widerstand ρ. 32 VON 130

37 1 GRUNDLAGEN Das Potential für einen beliebigen Punkt P außerhalb des Linienleiters berechnet sich dann als die Summe aller Teilpotentiale, die durch einzelne Punktquellen P erzeugt werden. λ ( P') ist dabei die Anzahl der Stromquellen pro Längeneinheit im Punkt P. R p p gibt den Abstand zwischen P und P an Da sich, wie vereinfacht angenommen wird, die Stromquellen gleichmäßig über die gesamte Länge 2l verteilen, ergibt sich für das Potential nach der Integration (1.37)[10]: I λ ( P ') = 2l ρ λ( P ') ϕ( P) = ds ' π 4 R C ' p' p (1.37) Wie aus Abbildung 1.17 zu erkennen ist, setzt sich der Abstand R p p wie folgt zusammen (1.38). Die y-dimension wird zunächst einmal vernachlässigt, weil Rotationssymmetrie um die x-achse besteht und damit der Potentialverlauf für y- Koordinaten durch Drehung des Potentials aus der x-z-ebene gefunden werden kann. Rp' p = ( x s ') + z 2 2 (1.38) Nach Einsetzen der Gleichung (1.38) in (1.37) kann das Integral gelöst werden und erhält vor dem Einsetzen der Integrationsgrenzen die nachfolgende Form (1.39) l Iρ 1 ϕ( x, z) y= 0 = ds ' 8 πl = 2 2 ( x s) + z l Iρ = ln ( x s ') + ( x s ') + z 8π l 2 2 l l (1.39) Für s werden jetzt die Abmessungen der Linienstromquelle eingesetzt und damit die Potentialfunktion in der x-z-ebene bei gegebenen Parametern bestimmt (1.40): 33 VON 130

38 1 GRUNDLAGEN Iρ x+ l+ ( x+ l) + z ϕ( x, z) y= 0 = ln 8 πl x l+ ( x l) + z (1.40) Weiterhin sind die Äquipotentiallinien der vorliegenden Funktion von Interesse. Um sie darstellen zu können wird das Potential auf konstante Werte C unterschiedlicher Größe gesetzt (1.41) x+ l+ ( x+ l) + z C= x l+ ( x l ) + z (1.41) Werden jetzt z-koordinaten in Abhängigkeit von x und unterschiedlichen C- Werten aufgetragen, so entstehen Potentiallinien wie in Abbildung Sie bauen sich ellipsenförmig um die Linienstromquelle auf. Wegen der bereits erwähnten Rotationssymmetrie um die x-achse, können diese Gebilde auch als Rotationsellipsoide im dreidimensionalen Raum vorgestellt werden [10], [14]. z ϕ = const Linienstromquelle y x Rotationsellipsoide Rotationsachse Abbildung 1.18: Linien konstanten Potentials in Form von Rotationsellipsoiden. 34 VON 130

39 1 GRUNDLAGEN Angelehnt an die Definition einer Ellipse in einer Ebene ist ein Rotationsellipsoid definitionsgemäß die Menge aller Punkte in einem dreidimensionalen Raum für die die Summe der Entfernungen von zwei festen Punkten (Brennpunkten) aus konstant ist [11]. Abbildung 1.19 zeigt ein Beispielellipsoid mit den so genannten Halbachsen a und b und den beiden Brennpunkten bei l und -l. Die Halbachsen stehen senkrecht zueinander und geben, ähnlich wie der Radius beim Kreis, den Abstand der Figurlinie von ihrem Mittelpunkt an. z Linienstromquelle b a y x l a Rotationsellipsoid Rotationsachse Abbildung 1.19: Brennweite l und Halbachsen a und b einer Ellipse. Aus Abbildung 1.19 lässt sich der Zusammenhang zwischen der Entfernung des Brennpunktes des Ellipsoids vom Ursprung (Brennweite l) und den Halbachsen a und b herstellen. Nach Anwendung des Pythagoras-Satzes ergibt sich hierfür (1.42): 2 2 l= a b (1.42) 35 VON 130

40 1 GRUNDLAGEN Die Länge der Linienstromquelle kann jetzt also auch durch die Parameter a und b ausgedrückt werden, so dass sich die Potentialfunktion umformen lässt zu (1.43) Iρ x+ a b + ( x+ a b ) + z ϕ( x, z) = ln 8 π a b x a b + ( x a b ) + z (1.43) Es besteht die Möglichkeit durch Änderung der Halbachsen Einfluss auf die Form der Rotationsellipsoide zu nehmen. Unter der Annahme a 0 entsteht aus der Rotation der Ellipsoiden um den Ursprung eine Kreisscheibe in der y-z- Ebene, wie in Abbildung 1.20 angedeutet [12]. z Kreisscheibe Linienstromquelle y x Rotationsachse Rotationsellipsoide Abbildung 1.20: Entstehung einer Kreisscheibe als Fläche von Rotationsellipsoiden. Mit der Bedingung a= 0 kann die Potentialfunktion von (1.43) auf (1.44) verkürzt werden. Bei dieser Umformung muss die imaginäre Zahl j eingeführt werden, die sich aus der negativen Wurzel ausbildet. Dabei gilt: j= 1. Trotz Benutzung komplexer Zahlen bei (1.44) kann gezeigt werden, dass ϕ stets einen reellen Wert hat. 36 VON 130

41 1 GRUNDLAGEN Iρ x+ jb+ ( x+ jb) + z ϕ( x, z) = ln 8 π jb x jb+ ( x jb) + z (1.44) Zur eigentlichen Bestimmung des Ausbreitungswiderstandes muss das Potential unmittelbar an der Oberfläche der Kreisscheibe bestimmt werden. Dazu werden die x-koordinate = 0 und die z-koordinate = b gesetzt (1.45): 2 2 Iρ jb+ z b Iρ ϕ(0, b) = ln = ln( 1) = 8π jb 2 2 z b jb 8π jb Iρ jπ Iρ = ln( e ) = 8π jb 8b (1.45) Die Halbachse b kann als Radius der entstandenen Kreisfläche mit dem Durchmesser D interpretiert werden, so dass anschließend der Ausbreitungswiderstand R im Vollraum angegeben werden kann (1.46): av D= 2b R av dϕ ρ ρ = = = di 8b 4D (1.46) Schließlich berechnet sich der Ausbreitungswiderstand R ah einer kreisförmigen Fläche in einem homogenen Halbraum mit dem spezifischen Widerstandρ, wie zu Beginn des Kapitels erwähnt, durch Verdoppelung des Vollraumwiderstandes (1.47). Diese Formel ist im Allgemeinen eine gute Näherung für eine Fehlstelle in der Rohrleitung, weil über die Phasengrenze einerseits ein leitfähiger Halbraum gegeben ist und andererseits die Ummantelung der Rohrleitung einen elektrisch gut isolierten Halbraum bietet.[3] R ah ρ = 2D (1.47) 37 VON 130

42 1 GRUNDLAGEN Resultierendes etzwerkmodell Nach Ausführungen in Kapitel kann das elektrische Ersatzschaltbild einer einzelnen Fehlstelle in der Rohrleitung, verglichen zu Abbildung 1.16, mit einem Ausbreitungswiderstand vervollständigt werden, Abbildung Es stellt jetzt eine Reihenschaltung aus elektrischen Bauelementen an der Phasengrenze und dem Ausbreitungswiderstand R a dar. Hier ist zusätzlich das Ruhepotential eingefügt worden, welches als eine Konstantspannungsquelle U r zwischen dem Polarisationswiderstand R p und dem Ausbreitungswiderstand R a geschaltet ist. Von außen angelegte Potentiale, die sich vom Ruhepotential unterscheiden würden zu einer Überspannung am nicht linearen Polarisationswiderstand R p führen und damit zu einem Stromfluss an der Phasengrenze. Das Verhalten dieses Widerstandes ist von vielen Faktoren wie z.b. der Oberfläche der Fehlstelle, ihrer Belüftung sowie dem umgebenden Elektrolyt abhängig. An der Phasengrenze entstandene Schaltung lässt sich zu einem Zweipol Z p zusammenfassen. Ein Zweipol wird durch sein Stromstärke-Spannungsverhalten definiert [13]. In diesem Fall handelt es sich dabei um eine komplexe Funktion mit einem kapazitiven Blindanteil, dies bedeutet, dass bei Anregungen durch Wechselspannungen eine Phasenverschiebung der Stromstärke auftritt. Für den weiteren Verlauf dieser Arbeit ist im Wesentlichen das Gleichspannungsverhalten des Zweipols von Bedeutung. Wird dabei ein eingeschwungener, sich zeitlich nicht mehr ändernder Zustand (stationärer Zustand) betrachtet, so kann die kapazitive Wirkung von C D vernachlässigt werden und damit Z p für stationäre Ströme als reell angesehen werden. Metall Phasengrenze Elektrolyt R P C D U r R a Z p i u Abbildung 1.21: Zusammenfassung der Impedanz an der Phasengrenze zu einem Zweipol. 38 VON 130

43 1 GRUNDLAGEN Grundsätzlich muss die Doppelschichtkapazität jedoch weiterhin berücksichtigt werden, wenn Wechselstrommessungen des Ausbreitungswiderstandes durchgeführt werden. Außerdem wirkt sie sich ebenfalls bei Ein- und Ausschaltprozessen auf die Größe der Stromstärke aus. Aus Kapitel 1.4 ergibt sich für eine Zusammenschaltung von bis zu n Fehlstellen einer Rohrleitung ein Gesamtersatzschaltbild nach Abbildung Darin sind Z pn die unterschiedlichen Strom-Spannungskurven an den Phasengrenzen der Fehlstellen. R an sind die jeweiligen Ausbreitungswiderstände, welche eine Abhängigkeit von der Form der Fehlstelle sowie ihrer Entfernung zueinander besitzen. R n sind Zwischenwiderstände, verglichen zu Abbildung Sie sind ebenfalls wie R an abhängig von der Oberfläche der einzelnen Fehlstellen, sowie ihrer Anordnung. Insbesondere die Entfernung zwischen Fehlstellen ist dabei entscheidend. Die intrinsischen Widerstände R in charakterisieren das Widerstandsverhalten innerhalb der Rohrleitung. Aufgrund sehr hoher Leitfähigkeit bei gleichzeitig großen Abmessungen des Stahls sind die Größen der elektrischen Widerstände innerhalb der Leitung und damit verbundene Potentialabfälle sehr gering. Das an die Rohrleitung von außen angelegte Schutzpotential bezüglich einer Referenzelektrode ist in Abbildung 1.15 durch eine Konstantspannungsquelle mit dem Einschaltpotential φ ein gekennzeichnet. R iφ R i12 R i23 R i(n-1),n.. i u i u i u.. i u φ ein Z p1 Z p2 Z p3 Z pn.. R 12 R 23 R (n-1),n R a1 R a2 R a3.. R an Abbildung 1.22: Gesamtes Ersatzschaltbild für eine beliebige Anzahl von n Fehlstellen. 39 VON 130

44 1 GRUNDLAGEN Idealerweise wird eine einzelne Fehlstelle von einem ausreichenden kathodischen Strom durchflossen, der sie vor Korrosion schützt, vergl. Kapitel 1.2. Es existieren Mindestwerte für Stromdichte an der Fehlstellenoberfläche, die eingehalten werden müssen, damit ein zuverlässiger Schutz vor Korrosion gewährleistet ist. Tabelle 1.1 stellt die Stromdichtekriterien für unterschiedliche Medien dar. Medium Sand- und Kiesböden Mischböden bindige Lehm- oder Tonböden stehendes Grundwasser fließendes Grundwasser Schutzstromdichte 0.5A/m² (0.05mA/cm²) 0.2A/m² (0.02mA/cm²) 0.1A/m² (0.01mA/cm²) 0.1A/m² (0.01mA/cm²) 0.2A/m² (0.02mA/cm²) Tabelle 1.1: Mindeststromdichte für das Erreichen des kathodischen Schutzes in unterschiedlichen Medien[9]. Anhand verschiedener Oberflächen der Fehlstellen oder auch aufgrund ihrer Lage im Erdboden und damit veränderten Belüftungsbedingungen, können an den Phasengrenzen unterschiedliche Strom-Spannungskennlinien vorliegen. In Folge dessen kann es im Netzwerk nach Abbildung 1.15 zu Spannungen an den Zwischenwiderständen R fn und damit zu Strömen von einer Fehlstelle zur Anderen kommen. Fließt ein solcher zusätzlicher Strom über einen Ausbreitungswiderstand so erhöht sich die daran anliegende Spannung. Insgesamt kann dies zu Verschiebungen der Arbeitspunkte der einzelnen Fehlstellen im Vergleich zu einer Einzelschaltung führen. Es ist durchaus vorstellbar, dass unter bestimmten Bedingungen die Interaktion der Fehlstellen untereinander zu einer nicht mehr ausreichenden Schutzstromdichte an einigen Fehlstellen führen kann. 40 VON 130

45 2 PHASENGRENZE METALL-BODEN Kapitel 2 2 Phasengrenze Metall-Boden 2.1 Konzept Basierend auf den Grundlagen aus Kapitel werden als nächstes unterschiedliche Metall-Boden-Phasengrenzen unter Laborbedingungen nachgebildet und daraus charakteristische Kennlinien abgeleitet, durch die ein Zweipol in seinem stationären Verhalten eindeutig definiert werden kann. Dazu wird eine Messeinrichtung benötigt, die Umgebungsbedingungen imitieren kann, wie sie vom Erdboden an Rohrleitungsfehlstellen vorliegen. Diese äußern sich z.b. durch unterschiedliche Größen der Fehlstellen sowie variierenden Belüftungsgrad und spezifischen Widerstand des Umgebungsmediums. Als Zweipol-Kennlinien werden für unterschiedliche Konfigurationen Stromdichte- Potentialkurven aufgezeichnet. Anhand der erzeugten Daten werden konzentrierte nichtlineare Bauelemente für das Netzwerk aus Abbildung 1.22 bestimmt. Das Widerstandsverhalten der einzelnen Elemente soll schließlich auf eine geeignete Art und Weise, wie z.b. durch Polynombildung, erfasst werden. Eine solche mathematische Beschreibung der einzelnen Fehlstellen erlaubt es, sie in beliebige Kombinationen zu bringen und mit Hilfe eines Schaltungssimulationsprogramms das Gesamtverhalten im Computer zu simulieren. Das eigentliche Ziel ist letztendlich herauszufinden, ob kritische Kombinationen existieren, die den kathodischen Schutz beeinträchtigen oder sogar ganz aufheben können. Dies wären dann Anordnungen die in der Praxis vermieden werden sollten um doch noch einen ausreichenden Korrosionsschutz zu gewährleisten. 41 VON 130

46 2 PHASENGRENZE METALL-BODEN 2.2 Versuchsaufbau und Durchführung Nach Kriterien aus Kapitel 2.1 ist ein Messaufbau nach Abbildung 2.1 errichtet worden. Bei der Erdbodennachbildung handelt es sich um einen Glasbehälter mit den Maßen 145cm x 77cm x 50cm (L x B x H) welcher mit gewöhnlichem Sand (ca. 700kg) gefüllt ist. Als Elektrolyt dient eine acl-lösung mit einer Konzentration von 0.01 mol/l. Das Volumen der eingefüllten Elektrolytlösung ist so bemessen, dass ein beständiger Grundwasserstand von 4-5cm erreicht wird. Eine Kontrolle des Wasserstandes ist durch ein in dem Sandbehälter platziertes, im Inneren vom Sand befreites Kunststoffrohr möglich. Bei Bedarf kann überschüssige Flüssigkeit aus dem Behälter durch eine elektrische Tauchpumpe befördert werden. Zur besseren Verteilung des Elektrolyts ist vor dem Befüllen der Boden des Behälters mit einer speziellen Drainagefolie ausgelegt worden. Um die Verdunstung des Elektrolyts zu minimieren, ist der Sandbehälter von oben mit Polystyrolplatten abgedeckt und anschließend mit einer speziellen Folie abgedichtet worden. U ein, aus Isolierung MiniLog R i Log.2 Potentiostat Fehlstelle Konstantstromquelle I Bezugselektrode Gegenelektrode Belüftungsgrad U Phasengr. hoch φ Ruhe R p URa mittel C d R a (F,I) gering U ein Abbildung 2.1: Versuchsaufbau zur Aufnahme von Stromdichte-Spannungskennlinien. 42 VON 130

47 2 PHASENGRENZE METALL-BODEN An den Versuchsaufbau gestellte Bedingungen sind noch einmal in der Tabelle 2.1 zusammengefasst. Bei den angegebenen Fehlstellennachbildungen handelt es sich um Stahlplättchen, die in einem speziellen Verfahren bis auf die jeweils benötigte Oberfläche wasserdicht isoliert werden. Über ein zuvor daran befestigtes Kabel wird der notwendige elektrische Kontakt mit der freien Oberfläche der Fehlstelle hergestellt. Parameter Oberfläche Fehlstelle (kreisrund) Spezifischer Bodenwiderstand Typ Belüftung Variation 1cm², 10cm², 100cm² Ωm gering / mittel / hoch Tabelle 2.1: Versuchsparameter und ihre Variation. Der Belüftungstyp und die Höhe des spezifischen Bodenwiderstandes hängen bei diesem Versuchsaufbau zusammen und können durch den Einbauort der Fehlstelle im Sandbehälter verändert werden. Unbelüftete Sandschichten befinden sich etwa bis zu der Höhe des Elektrolytstandes im Behälter und haben dadurch zwangsläufig den geringsten spezifischen Widerstand von ungefähr 30Ωm. Mit der steigenden Höhe verbessert sich auch der Belüftungsgrad. Mittelbelüftete Sandschichten gehen einher mit einem spezifischen Widerstand von ca. 50Ωm. Schließlich erreicht die Belüftung ihr Maximum in der Oberflächenschicht, bei der Werte von bis zu 120Ωm erreicht werden können. Überprüft werden kann der spezifische Bodenwiderstand durch Messungen nach der so genannten Soilbox-Methode. Dabei wird an der benötigten Stelle etwas Bodenmaterial entnommen und in eine speziell dafür vorgesehene Plastikbox eingefüllt. Diese Soilbox besitzt an ihren Seiten Metallplatten bekannten Querschnitts. An diese Platten wird, durch die in der Box befindliche Bodenprobe, Wechselstrom geleitet. Über zwei zusätzlich längs in der Mitte der Box angebrachte dünne Drähte kann jetzt der Spannungsabfall in der Bodenprobe gemessen werden. Nach dem Ohmschen Gesetzt ergibt sich daraus sowie aus der Kenntnis der Stromstärke und der Querschnittsfläche der Soilbox der spezifische Bodenwiderstand der aktuellen Bodenprobe. Bei der Versuchsdurchführung wird eine Gegenelektrode als Opferanode benötigt. In diesem Fall ist eine Gegenelektrode aus Eisensilzium verwendet 43 VON 130

48 2 PHASENGRENZE METALL-BODEN worden, welche möglichst weit von Einsatzort der künstlichen Fehlstellen auf dem Grund des Behälters platziert worden ist. Vor Beginn des jeweiligen Versuches muss die Größe des Ausbreitungswiderstandes bestimmt werden, die später für Berechnungen der J- U-Kennlinie aus den aufgenommenen Daten benötigt wird. Die dazu verwendete, so genannte dreipolige Widerstandsmessmethode ähnelt der zuvor beschriebenen Soilbox-Methode. Ein speziell dafür vorgesehenes Widerstandsmessgerät speist einen konstanten Wechselstrom über die im Boden befindliche Fehlstelle einerseits und die Gegenelektrode andererseits ein. Verglichen zu Ausführungen im Kapitel bildet sich an der Erdoberfläche um die Fehlstelle ein Potentialtrichter aus. Wird eine Bezugselektrode möglichst weit am Rand dieses Trichters platziert und der Spannungsabfall hin zur Fehlstelle gemessen, so ergibt sich daraus, nach der Division mit der vorliegenden Stromstärke, der momentane Ausbreitungswiderstand. Nachfolgend wird das eigentliche Versuchsprinzip näher erläutert. Die im Sandboden des Behälters eingeschlossene Fehlstelle bildet über den Elektrolyt und die Gegenelektrode, angeschlossen an die Leistungsanschlüsse des Potentiostats, einen Stromkreis. Seine Stromstärke wird vom Potentiostat so geregelt, dass zwischen der Bezugselektrode und der Fehlstelle das aktuell eingestellte Potential aufgebaut wird. Zu einer kontinuierlichen Potentialänderung wird ein programmierbarer Potentiostat eingesetzt, der einer Spannung in Form eines Dreiecks mit vorgegebener Änderungsgeschwindigkeit folgen kann. Ein solches Verfahren wird Cyclovoltammetrie genannt. Die gemessenen Stromdichte-Potentialwerte werden in Form von Spannungen an speziellen Anschlüssen des Potentiostats durch einen 2-Kanal Gleichspannungslogger aufgezeichnet. Das im Erdboden während des Versuchsablaufs entstehende elektrische Netzwerk lässt sich durch das bereits aus Kapitel bekannte vereinfachte Ersatzschaltbild nach Abbildung 2.1 darstellen, wobei der Polarisationswiderstand R p als variabel und der Ausbreitungswiderstand R a als konstant angenommen werden. Unter dieser Annahme erfolgt bei Kenntnis der Stromdichte und des zugehörigen Einschaltpotentials die Bestimmung der J-U- Kennlinie an der Phasengrenze nach Gleichungen (2.1), (2.2): J Phasengr. = A I Fehlstelle (2.1) U = U U = U IR Phasengr. ein Ra ein a (2.2) 44 VON 130

49 2 PHASENGRENZE METALL-BODEN Abbildung 2.2 zeigt das Beispiel für eine J-U-Kennlinie einer Fehlstelle in mittleren Sandschichten. In Blau ist die eigentlich aufgenommene Kennlinie dargestellt. Die vorhandene Hysterese der Kennlinie ist klar zu erkennen. Gründe dafür werden später in der Versuchauswertung angegeben. In Lila ist diese Kennlinie um den, vor dem Versuchsbeginn durch die dreipolige Messung ermittelten Ausbreitungswiderstand der Größe 490Ω, geschert worden, um die Stromdichte nach der Spannung an der Phasengrenze aufzutragen. (JPhasengr.) Stromdichte in ma/cm² Spannung in mv (U Ein, U Phasengr., U Phasengr) A in cm²: 10 ρ in Ohm*m: ρ in Ωm: 41 du/dt in mv/s: J-U-Kennlinie aufgenommen J-U-Kennlinie Ra=200Ohm Ω J-U-Kennlinie Ra=490Ohm Ω Ruhepotential Abbildung 2.2: Beispiel einer J-U-Kennlinie und ihre Scherung mit R a = const.. Es ist nachvollziehbar dass ein solcher Stromdichteverlauf nicht möglich ist, weil negative Widerstände in der Realität nicht auftreten können. Rote Farbe kennzeichnet eine Widerstandsscherung um konstante 200Ω. Dabei ist der größtmögliche Wert für den Widerstand R a angenommen worden bei dem die Steigung noch positiv bleibt. Dies kann jedoch ebenfalls keine befriedigende Lösung sein, denn das dabei gemessene Potential an der Phasengrenze nimmt mit -1500mV übermäßig hohe Werte ein, die so in der Praxis nicht auftreten können. Realistisch sind Werte bis -1200mV. Die oben genannten Indizien sprechen also gegen einen Ausbreitungswiderstand der konstant angenommen werden darf. Vielmehr handelt es sich um einen Widerstand der sich mit der durchflossenen Stromdichte, sowie zeitlich ändern kann. Unter Berücksichtigung der zu Beginn dieser Versuchsreihe entstandenen Erkenntnisse ist der Messaufbau nach Abbildung 2.3 modifiziert worden. Zusätzlich zu den bereits beschriebenen Geräten ist das aus Kapitel bekannte Telemetriegerät MiniTrans zum Einsatz gekommen. Das Gerät steuert 45 VON 130

50 2 PHASENGRENZE METALL-BODEN in einem vorher programmierten Takt ein Relais an, welches den Stromkreis zwischen dem Potentiostat und der Fehlstelle unterbricht. Gleichzeitig misst MiniTrans unmittelbar bei jeder Stromunterbrechung das zwischen der Fehlstelle und der Bezugselektrode anliegende Ausschaltpotential. Aufgrund der Doppelschichtkapazität C d an der Phasengrenze bleibt das Ausschaltpotential nach der Stromunterbrechung für sehr kurze Zeiten erhalten und kann vom MiniTrans erfasst werden Die gemessenen Daten werden als SMS über das GSM-Netz an einen Computer mit entsprechender Empfangsvorrichtung gesendet. MiniTrans Takt J U ein GND MiniLog Relais Log. 1 Potentiostat Potentiostat Fehlstelle I Bezugselektrode Gegenelektrode U Phasengr. φ Ruhe R p URa C d R a U ein,aus Abbildung 2.3: Versuchsaufbau zur Aufnahme von J-U-Kennlinien nach Modifikation. 46 VON 130

51 2 PHASENGRENZE METALL-BODEN 2.3 Messergebnisse in Abhängigkeit der Bodenbelüftung Nach der Modifikation des Messaufbaus sind für unterschiedliche Sandschichten und Fehlstellenoberflächen Stromdichte-Potentialkurven aufgenommen worden. Abbildung 2.4 Stellt den Verlauf der Stromdichte für eine nachgebildete Fehlstelle der Oberfläche 1cm² in der unteren unbelüfteten Sandschicht mit einem spezifischen Widerstand von 33Ωm. Das Anfangspotential ist mit -600mV etwas positiver als das Ruhepotential. Noch positivere Werte führen zur Korrosion und verändern die Oberfläche der Fehlstelle nachhaltig, so dass anschließend keine eindeutig reproduzierbaren Verläufe im kathodischen Bereich mehr aufgenommen werden können. Das maximal verwendete Einschaltpotential von -2600mV liegt unter dem in der Praxis normalerweise eingestellten Wert, ermöglicht aber eine genügend weite Übersicht über die Effekte die beim kathodischen Korrosionsschutz stattfinden können. Die Spannungsänderung pro Sekunde ist auf mV/s eingestellt worden. Eine derart langsame Veränderung sollte die dynamischen Einflüsse auf das Endergebnis seitens der Doppelschichtkapazität C D minimieren. Die sich dabei ausbildenden elektrischen Felder können damit als stationär betrachtet werden. Die blaue Kennlinie in Abbildung kennzeichnet den durch Spannungslogger aufgenommenen Verlauf der Stromdichte in Abhängigkeit vom Einschaltpotential. Die Rote Kurve entsteht aus den gleichen Stromdichtedaten wie bei Blau, jedoch aufgetragen nach dem durch MiniTrans gemessenen Ausschaltpotential. (JPhasengr.) Stromdichte in ma/cm² A in cm²: 1 ρ in Ohm*m: ρ in Ωm: 33 du/dt in mv/s: J-U-Kennlinie aufgenommen Ruhepotential Uref in mv J-U-Kennlinie IRfrei gemessen mit MiniTrans Spannung in mv (U Ein, U Phasengr. ) Abbildung 2.4: J-U-Kennlinie einer 1cm²-Fehlstelle in unbelüfteter Umgebung. 47 VON 130

52 2 PHASENGRENZE METALL-BODEN In gleicher Weise wie oben beschrieben sind weitere Versuche mit Fehlstellen bei unterschiedlichen Belüftungsbedingungen durchgeführt worden. Abbildung 2.5 zeigt eine 10cm²-Fehlstelle in mittelbelüfteten Sandschichten und Abbildung 2.6 ebenfalls die gleiche Fehlstelle in der oberen, belüfteten Schicht. (JPhasengr.) Stromdichte in ma/cm² Spannung in mv (U Ein, U Phasengr. ) A in cm²: 10 ρ in Ohm*m: ρ in Ωm: 50 du/dt in mv/s: J-U-Kennlinie aufgenommen Ruhepotential Uref in mv J-U-Kennlinie IRfrei gemessen mit MiniTrans Abbildung 2.5: J-U-Kennlinie einer 10cm²-Fehlstelle in Sandschichten mittlerer Belüftung. (JPhasengr.) Stromdichte in ma/cm² 0-0,01-0,02-0,03-0,04-0,05-0,06-0,07-0, Spannung in mv (U Ein, U Phasengr. ) A in cm²: 10 ρ in Ohm*m: ρ in Ωm: 90 du/dt in mv/s: J-U-Kennlinie aufgenommen Ruhepotential Uref in mv J-U-Kennlinie IRfrei gemessen mit MiniTrans Abbildung 2.6: J-U-Kennlinie einer 10cm²-Fehlstelle in belüfteter Umgebung. 48 VON 130

53 2 PHASENGRENZE METALL-BODEN 2.4 Auswertung und Feststellung des zeitlich veränderlichen Ausbreitungswiderstandes Bei der Auswertung der vorliegenden Versuchsreihe ist festgestellt worden das das Ausschaltpotential nun mehr keine höheren Werte annimmt als -1100mV. Ab diesem Wert fängt die Stromdichte an exponentiell anzusteigen. Ähnlichkeiten zwischen den Kennlinien für unbelüftete und mittelbelüftete Fehlstellen sind deutlich vorhanden. Bei beiden ist die Stromdichte bis -1100mV relativ gering und steigt danach plötzlich an, während es bei Fehlstellen in belüfteten Sandschichten zu einem relativ konstanten Anstieg der negativen Stromdichte kommt. Durch die Variation der Fehlstellenoberflächen ist die Vermutung entstanden, dass unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Ausbreitungswiderstände für die jeweilige Fehlstellenoberfläche, sich Kennlinien bis -1100mV aus der selben Schicht durch Multiplikation einer charakteristischen Stromdichte mit der Oberfläche der aktuellen Fehlstelle erzeugen lassen. Bei wenig bis ganz unbelüfteten Sandschichten ist das Verhältnis zwischen dem Widerstand an der Phasengrenze und dem Ausbreitungswiderstand bis -1100mV sehr groß, so dass in den Abbildungen im letzten Kapitel blaue Kennlinien den Roten folgen. Bei belüfteten Schichten überwiegt dagegen von Anfang an der Ausbreitungswiderstand bei gleichzeitig niedrigen Werten des Widerstandes an der Phasengrenze, so dass die blaue und die rote Kennlinie auseinander gehen. Aus der elektrochemischen Sicht handelt es sich mit steigender Belüftung immer mehr um eine Mischelektrode (Metall-Sauerstoff). Das bedeutet, dass zu der J-U- Kennlinie eines reinen Metalls, wie beispielsweise Eisen, in einem Elektrolyt verglichen zu Abbildung 1.2, eine zusätzliche Stromdichte durch eine vermehrt stattfindende Reduktion des Sauerstoffs, also eine Abgabe der Metallelektronen an den Sauerstoff im Elektrolyt, hinzukommt. Bereits im Kapitel 2.2 ist der hystereseartige Verlauf der J-U-Kennlinien beobachtet worden. Insgesamt kann bei allen aufgenommenen Kennlinien eine mehr oder weniger ausgeprägte Hysterese festgestellt werden. Dafür sind zwei Ursachen denkbar: 1) Eine anhaltende Polarisation P an der Phasengrenze, was bedeuten würde, dass die Stromdichte nicht nur abhängig von momentan angelegtem Potential ist, sondern auch von der aktuellen Polarisation der Fehlstelle im Boden, sprich dem vorher an die Fehlstelle maximal angelegtem Potential. Dieser Anteil an der Gesamthysterese findet sich in den roten Kennlinien aller Abbildungen aus Kapitel 2.3 bis zu einem Potential von -1100mV wieder. 49 VON 130

54 2 PHASENGRENZE METALL-BODEN 2) Der größere Anteil der an der Gesamthysterese muss vom Ausbreitungswiderstand herkommen, denn für höhere Stromdichten ist das Verhalten der Phasengrenze als relativ konstant anzusehen. Der Ausbreitungswiderstand muss also trotz der bereits vorliegenden langsamen Versuchsgeschwindigkeit, einer zeitlichen Änderung unterliegen. Ebenfalls ist die Abhängigkeit von der Stromdichte am Ausbreitungswiderstand denkbar. In Kapitel 3 werden diese Einflussfaktoren näher untersucht. 50 VON 130

55 2 PHASENGRENZE METALL-BODEN 2.5 Modellierung der Kennlinien durch Exponentialfunktionen Ergebnisse aus dem vorangegangenen Unterkapitel müssen als nächstes vorbereitet werden, um sie später in eine Computersimulation umzusetzen. Grundsätzlich gibt es in der Informatik die Möglichkeit die gewonnen Daten in so genannte Look-Up-Tables dem Rechner zu Verfügung zu stellen. Dies bedeutet, dass beispielsweise in vorliegendem Fall die vorhandenen Stromdichte -Potential-Kurven einfach übernommen werden können. Eine Look-Up-Table würde dann jedem diskret aufgenommenen Potentialwert einen Stromdichtewert zuordnen. Die Eindeutigkeit dieser Zuordnung muss gewährleistet sein, deswegen müssten dann jegliche Hysteresen interpoliert werden. Eine andere Methode der Datenverarbeitung, welche in diesem Fall auch angewendet worden ist, ist die Beschreibung der J-U-Charakteristik durch ein Polynom. Eine solche analytische Darstellung der Ergebnisse bietet einige Vorteile gegenüber einer Tabelle: Die Information ist auf das Wesentliche konzentriert und der Speicherplatz dadurch reduziert. Es kann auch für die Zwischenwerte der Tabelle ein Stromdichtewert angegeben werden, Speziell für eine weitere Verarbeitung mit dem Simulationsprogramm SPICE bietet sich die Polynomumsetzung an, weil SPICE die Möglichkeit unterstützt Zweipole als nichtlineare Spannungsgesteuerte Stromquellen aufzunehmen. Als Ansatz für den gesuchten Ausdruck sind zunächst Polynome der Form wie in Gleichung (2.3) verwendet worden. Sie bestehen aus zwei Exponentialfunktionen mit einer linearen Funktion in der Mitte. A F steht dabei für die Oberfläche der Fehlstelle mit der das Polynom multipliziert werden muss um die aktuell an der Fehlstelle eingeprägte Stromstärke zu erhalten. Spannung U r gibt das jeweilige Ruhepotential an. Mit Spannungen U 1 und U 2 kann das Durchbruchsverhalten der Exponentialfunktionen einzeln gesteuert werden. J S1,2 sind Sättigungsstromdichten die ebenfalls einzeln verändert werden können. K 1,2 sind konstante Faktoren, welche die Exponentialfunktionen zusätzlich an die vorliegenden Gegebenheiten anpassen. ρ kann als ein spezifischer Widerstand interpretiert werden. Von dieser Größe hängt die Steigung des geraden Bereiches der Kennlinie zwischen den beiden Exponentialanstiegen ab. U U I = A J e + + J e ρ K1 ( U U r U1 ) r K2 ( U U r U 2 ) F S1 S 2 (2.3) 51 VON 130

56 2 PHASENGRENZE METALL-BODEN Aufgrund der Addition der Ströme kann die Gleichung (2.3) als eine Parallelschaltung zweier entgegengesetzt gepolten Dioden und eines ohmschen Widerstandes aufgefasst werden, siehe Abbildung 2.7 Metall Phasengrenze Elektrolyt D k U r R a R m D a i u Z p Abbildung 2.7: Ersatzschaltbild der modellierten Impedanz an der Phasengrenze. Für größere Oberflächen hat es sich jedoch im weiteren Verlauf der Arbeit herausgestellt, dass aufgrund hoher Vorfaktoren, die Exponentialfunktionen für die im Betrag ansteigenden Potentialwerte sehr steile Flanken erzeugen können, mit denen es bei SPICE-Simulationen zu Bereichsüberschreitungen und damit zu Fehlermeldungen kommen kann. Abhilfe konnte durch eine Änderung der Polynome dahingehend geschaffen werden, dass nur die Stromdichte am spezifischen Widerstand ρ mit der Fläche A F multipliziert wird. Gleichung (2.4) zeigt die Form des Polynoms nach der Änderung. Die Flanken der Exponentialfunktionen bleiben nach wie vor sehr steil, so dass sich am Aussehen der Stromdichte-Potentialkennlinien nicht viel im Vergleich zu Gleichung (2.3) ändert. Abbildung 2.8 zeigt eine Zusammenstellung der Kenlinien für die Flächen 1cm² und 10cm² nach den jeweils drei unterschiedlich belüfteten Sandschichten. A ( U U ) I = I e + + I e ρ K1 ( U U r U1 ) F r K2 ( U U r U 2 ) S1 S 2 (2.4) 52 VON 130

57 2 PHASENGRENZE METALL-BODEN 0.05 (IPhasengr.) Stromstärke in ma Grund 10cm² Grund 1cm² Mitte 10cm² Mitte 1cm² Oben 1cm² Oben 10cm² Potential in mv (U Phasengr.) Abbildung 2.8: Modellierte Stromstärke in Abhängigkeit von Fehlstellenoberfläche, anliegendem Potential und Sandschicht. Auf dem Grund befindliche Sandschichten entsprechen dabei einer unbelüfteten Umgebung, die mit steigender Höhe (Mitte und Oben) sich hin zu einer besseren Belüftung ändert. 53 VON 130

58 3 BODENWIDERSTÄNDE Kapitel 3 3 Bodenwiderstände 3.1 Ausbreitungswiderstand Klassisch und nun zeitlich veränderlich Die Auswertung der Messergebnisse im letzten Kapitel hat gezeigt, dass der Ausbreitungswiderstand einer Fehlstelle im Erdboden nicht, wie vorher vermutet, als konstant angenommen werden kann. Viel mehr unterliegt er den Einflüssen der Zeit sowie der elektrischen Stromdichte, welche in diesem Kapitel näher untersucht werden sollen. Für die Berechnung eines stromlosen Ausbreitungswiderstandes hat sich die Formel (1.47), bewährt. Die bis hierhin durchgeführten Versuche zur Bestimmung der Phasengrenzimpedanz deuten auf eine stetige Minderung der Widerstandsgröße im Laufe der Kenlinienaufnahme hin. Ausgehend von diesem Widerstand R a für J=0 werden als nächstes Versuche mit Fehlstellen unterschiedlicher Oberfläche durchgeführt bei denen konstante Ströme aufgeprägt werden und dabei das zeitliche Verhalten, sowie eine eventuelle Stromdichteabhängigkeit der Ausbreitungswiderstände ermittelt werden sollen. Von Interesse sind natürlich auch die Auswirkungen von unterschiedlich belüfteten Sandschichten auf die Änderung des Ausbreitungswiderstandes. Darüber wird die Variation der Einbauhöhe der Fehlstellen im Sandbehälter Aufschluss bringen. Am Ende dieses Kapitels werden Funktionen entwickelt, welche bei späterer Simulation mit SPICE im Produkt mit dem Ausbreitungswiderstand für J=0 je nach Situation den aktuell richtigen Widerstand ergeben. 54 VON 130

59 3 BODENWIDERSTÄNDE Versuchsaufbau und Durchführung Ausgangspunkt für Versuche in diesem Kapitel ist die Messeinrichtung nach Beschreibung von Kapitel 2.2. Zur Einprägung von konstanten Strömen wird der vorhandene Potentiostat als eine Konstantstromquelle betrieben, Abbildung 3.1. Dazu wird über den hochohmigen Anschluss der Bezugselektrode hin zur Arbeitselektrode ein Widerstand mit einem konstanten Wert R i geschaltet. Fehlstellen unterschiedlichen Flächeninhaltes werden der Reihe nach unter Variation der Einbauhöhe und damit auch der Belüftung im Sandbehälter platziert und mit dem Anschluss für Bezugselektrode am Potentiostat elektrisch leitend verbunden. Die im Sandbehälter aus der vorherigen Versuchsreihe bereits vorhandene Gegenelektrode wird in gleicher Weise am Potentiostat angeschlossen. Nach dem Einschalten des Geräts wird die Spannung U über dem Widerstand R i so eingestellt, dass eine gewünschte kathodische Stromstärke an der Fehlstelle sich nach dem Ohmschen Gesetz auf einen festen Wert einstellt. Dieser Wert wird vom Potentiostat stets durch die Regelung der Ausgangsspannung aufrechterhalten, unabhängig davon, welche Prozesse an der Phasengrenze bzw. am Ausbreitungswiderstand stattfinden. U ein, aus MiniLog Log.2 R i Potentiostat Fehlstelle Konstantstromquelle I Bezugselektrode Gegenelektrode U Phasengr. φ Ruhe R p URa C d R a (F,I) U ein Abbildung 3.1: Versuchsaufbau zur Untersuchung des Ausbreitungswiderstandes. 55 VON 130

60 3 BODENWIDERSTÄNDE Ziel der nachfolgenden Versuche ist es mit einem parallel zur Fehlstelle und der Gegenelektrode angeschlossenen Spannungslogger über längere Zeit das Einschaltpotential zu beobachten und einen Zeitpunkt zu bestimmen ab dem keine nennenswerte Potentialänderung mehr erfolgt. Eine solche Vorgehensweise ermöglicht es Bedingungen am Ausbreitungswiderstand herzustellen die als stationär betrachtet werden können. Um anschließend die aktuelle Größe des Ausbreitungswiderstandes zu ermitteln gibt es zwei Möglichkeiten, die dafür geeignet sind: 1) Die erste Möglichkeit besteht darin, den Stromkreis zu unterbrechen und eine dreipolige Widerstandsmessung mit einem speziell dafür vorgesehenen Wechselspannungsgerät durchzuführen, wie in Kapitel 2.2 bereits ausführlich beschrieben worden ist. 2) Die zweite Möglichkeit basiert auf der Messmethode der Ein- und Ausschaltpotentiale. Dazu wird nach dem Erreichen des stationären Zustandes mit Hilfe eines Spannungsloggers das Potential an der Fehlstelle registriert. Der Spannungslogger muss zuvor auf eine für ihn relativ hohe zeitliche Auflösung programmiert werden. In diesem Fall sind Potentialänderungen mit der maximal einstellbaren Abtastrate von 10 Hz aufgezeichnet worden. Als nächstes wird der kathodische Schutzstrom an der Fehlstelle abgestellt, während das Potential weiterhin vom Spannungslogger erfasst wird. Es handelt sich jetzt um das Ausschaltpotential, welches durch die an der Phasengrenze vorhandene Kapazität für einen kurze Zeitdauer aufrechterhalten wird, vergl. Abbildung 3.1. Aus der Subtraktion der einzelnen Spannungsanteile kann nach der Formel (3.1) die aktuell über dem Ausbreitungswiderstand anliegende Spannung U Ra ausgerechnet werden. Anschließend kann nach dem Ohmschen Gesetz (3.2) daraus auch der momentane Ausbreitungswiderstand errechnet werden. U Ra = Uein U Phasengr. (3.1) U Ra = I Ra (3.2) Zur Überprüfung und dem Vergleich der Resultate sind beide oben vorgestellte Methoden zur Bestimmung des Momentanausbreitungswiderstandes nacheinander ausgeführt werden. Dabei entstandene Messergebnisse sind Gegenstand des Kapitels VON 130

61 3 BODENWIDERSTÄNDE Auswertung und Feststellung der Änderung des Ausbreitungswiderstandes nach Zeit und Stromdichte Bereits zu Beginn der Versuchsdurchführung hat sich schnell gezeigt, dass der stationäre Zustand für eine jeweilige konstante Stromdichte am Ausbreitungswiderstand, sich durchschnittlich erst nach einem Zeitraum von ca. 7 Tagen einstellt. Dies ist für Versuchszwecke sicher ein langwieriger Prozess, der jedoch in der Praxis des Kathodischen Korrosionsschutzes, bei einer zeitlichen Konstanz der Fehlstellenanordnung über Jahre, problemlos erreicht werden kann. Insgesamt sind während der vorliegenden Versuchsreihe 15 Stromdichte-Widerstandspunkte durch eine ständige Erhöhung der negativen Schutzstromdichte nach der Tabelle 3.1 ermittelt worden. Dies entspricht jeweils 5 J-R a -Wertepaaren pro Fehlstellenanordnung und kann einen ausreichend genauen, qualitativen Verlauf der Abhängigkeit des Ausbreitungswiderstandes von der ihn durchflossenen Stromdichte liefern. Für alle bei den Versuchen beteiligte Fehlstellen lässt sich zunächst einmal eine deutliche Verkleinerung des Widerstandes R a zu höheren kathodischen Strömen hin feststellen. Je nach Oberfläche sind hierbei Faktoren zwischen ca. ½ und ¼ in Bezug auf die Ausgangsgröße zu verzeichnen. A=10cm² A=1cm² A=10cm² Unbelüftet Mittelbelüftet Gut Belüftet ρ=32ωm ρ=48ωm ρ=120ωm J R a J R a J R a -0.0mA/cm² 500Ω -0.0mA/cm² 2000Ω -0.0mA/cm² 1800Ω -0.02mA/cm² 475Ω -0.2mA/cm² 1425Ω -0.01mA/cm² 1560Ω -0.05mA/cm² 364Ω -0.5mA/cm² 760Ω -0.02mA/cm² 1210Ω -0.10mA/cm² 271Ω -1.0mA/cm² 524Ω -0.03mA/cm² 1190Ω -0.15mA/cm² 253Ω -1.5mA/cm² 482Ω -0.05mA/cm² 979Ω Tabelle 3.1: Mindeststromdichte für das Erreichen des kathodischen Schutzes in unterschiedlichen Medien. 57 VON 130

62 3 BODENWIDERSTÄNDE Um die Ausmaße der größten Widerstandsänderung zu verdeutlichen ist der mittlere Teil der Tabelle 3.1 in Abbildung 3.2 dargestellt. Verschiedenfarbige Kurvenverläufe entstehen aus Toleranzen bei Messungen des Ausschaltpotentials nach der Methode 2) aus Kapitel Die Problematik entsteht vermutlich aufgrund einer eingangsseitigen Wechselstromimpedanz des Spannungsloggers, die bewirkt, dass das Messgerät plötzlich auftretenden Spannungsänderungen nicht unmittelbar folgen kann. Nach zusätzlichen Widerstandsmessungen mit der Methode 1) aus Kapitel hat sich die in Schwarz gezeichnete Kennlinie in Abbildung 3.2, also diejenige zu deren Berechnung das Ausschaltpotential 0.4s nach dem eigentlichen Ausschalten herangezogen wurde, als die Richtige erwiesen. Dieser zeitliche Abstand von 0.4s ist auch bei der Berechnung des Ausbreitungswiderstandes an den beiden anderen Fehlstellenanordnungen angenommen worden und ist durch Kontrollmessungen mit dem Widerstandsmessgerät bestätigt worden. (Ra) Ausbreitungswiderstand in Ohm Stromdichte in ma/cm² (J Phasengr.) A in cm²: 1 ρ in Ohm*m: ρ in Ωm: 48 Ra(J=0) in Ohm: 2500 t= 0.2sec t= 0.3sec t= 0.4sec t= 0.5sec Abbildung 3.2: Ausbreitungswiderstand R a in Abhängigkeit von der eingestellten Stromdichte J Phasengr.. Der Effekt der Minderung des Ausbreitungswiderstandes besitzt bei allen drei untersuchten Fehlstellenanordnungen ähnliche Verläufe. Es erfolgt zunächst einmal ein steiler Abfall beim Widerstand, der sich dann für ansteigende Stromdichten in eine Art Grenzwert auf einen bestimmten Betrag stabilisiert. Allgemein betrachtet könnte ein prozentuell auf den Ausgangswiderstand R a (bei J=0) bezogener Grenzwertwiderstand für eine beliebig große Fehlstelle gleicher Form aus Gründen der Skalierbarkeit auch stets gleich sein. Diese Aussage müsste durch weitere Versuche mit viel höheren Stromdichten überprüft werden, wäre jedoch für den praktischen Einsatz von geringerem Interesse weil solche hohen Stromdichten in der Praxis des kathodischen Korrosionsschutzes nicht erreicht werden. 58 VON 130

63 3 BODENWIDERSTÄNDE Eine mögliche Erklärung für die Änderung des Ausbreitungswiderstandes mit steigender Stromdichte gibt die Abbildung 3.3 an. Wie aus Kapitel bekannt, entstehen an einer kathodisch geschützten Metallfehlstelle, welche von einem salzhaltigen Elektrolyt mit beispielsweise Na + Cl - Ionen umgeben ist, NaOH Moleküle. Diese, auch als Natronlauge bekannte Verbindung, verändert den PH- Wert in der näheren Umgebung der Fehlstelle hin zu höheren, alkalischen Werten und verbessert damit die Leitfähigkeit des Elektrolyts an dieser Stelle. Dem Prozess der Anhäufung der NaOH-Moleküle an der Fehlstelle steht der Abbau der selbigen durch den Konzentrationsgradienten gegenüber. Er sorgt dafür, dass sich über den gesamten Elektrolytraum eine gleichmäßige NaOH-Konzentration einstellt. Beide Prozesse bilden nach einer bestimmten Zeitdauer ein Gleichgewicht aus, welches letztendlich für die aktuelle Größe des Ausbreitungswiderstandes verantwortlich ist. I R i Fehlstelle Potentiostat Konstantstromquelle NaOH NaOH Gegenelektrode NaOH J NaOH Abbildung 3.3: Veränderung des Ausbreitungswiderstandes bei einer kathodisch geschützten Fehlstele durch Entstehung von aoh-molekülen. Zum Abschluss dieser Versuchsreihe ist die jeweilige Schutzstromdichte pro Anordnung wieder reduziert worden, um die Erholung des Ausbreitungswiderstandes von dem maximalen Stromdichteeinfluss zu konstatieren. Dabei hat sich bei dieser rückwärtigen Betrachtung herausgestellt, dass zwar ein stetiger Wiederanstieg des Ausbreitungswiderstandes stattgefunden hat, dieser jedoch mit einer viel geringeren Änderungsgeschwindigkeit als bei der Vorwärtskennlinie zuvor abgelaufen ist. Für eine vollständige Erholung des Ausbreitungswiderstandes wäre damit vermutlich ein Zeitraum über mehrere Wochen notwendig. 59 VON 130

64 3 BODENWIDERSTÄNDE Modellierung der Kennlinien durch Polynome Vergleichbar mit Ausführungen des Kapitels 2.5 müssen die ermittelten Daten für eine Weiterverarbeitung in einer Schaltungssimulation als Polynome formuliert werden. Da im späteren Verlauf dieser Arbeit vorzugsweise mit spannungsgesteuerten Quellen gearbeitet wird, müssen die vorliegenden Stromdichtewerte in entsprechende Spannungswerte umgerechnet werden. Nach der Umrechnung und der Normierung der Widerstandswerte auf den Ausgangswiderstand bei J=0 ergibt sich ein Verlauf der Widerstandsänderung nach Abbildung 3.4. Dieser ist für verschiedene Oberflächen der Fehlstellen in Abhängigkeit von der Ausbreitungswiderstand anliegenden Spannung aufgetragen und kann vereinfacht als unabhängig von der Belüftung angesehen werden. (Ra/Ra(J=0)) Widerstand normiert A=1cm² A=10cm² A=100cm² Spannung in mv (U Ra) Abbildung 3.4: Modellierte Abhängigkeit des Ausbreitungswiderstandes R a von anliegender Spannung U Ra bei verschiedenen Fehlstellenoberflächen und Sandschichten. Für die Nachbildung sind jeweils die negativen Hälften der so genannten Lorentzfunktion durch Änderung unterschiedlicher Parameter benutzt worden. 60 VON 130

65 3 BODENWIDERSTÄNDE Gleichung (3.3) gibt die allgemeine Form der Lorentzfunktion an, während (3.4) den verwendeten Ausdruck für die in Rot dargestellte Kennlinie aus Abbildung 3.4 zeigt. Die Parameter L und c entsprechen konstanten Werten und können zur Anpassung der Lorentzfunktion an die Gegebenheiten beliebig verändert werden. Weitere Gleichungen für die Oberflächen 1cm² und 100cm² sind im Anhang enthalten. 2 L ( x c ) = L + L ( x c ) + c (3.3) 2 Ra ( U ) 1 3V = + R ( U = 0) 4 30U + 4V a 2 2 (3.4) 61 VON 130

66 3 BODENWIDERSTÄNDE Gegenseitige Beeinflussung bei Ausbreitungswiderständen Zwei oder mehr Fehlstellen im Boden bilden ein Netzwerk, nach Abbildung 1.22 aus Kapitel 1.5.3, welches auch nichtlineare Ausbreitungswiderstände enthält. Bis jetzt sind lediglich elektrochemische Veränderungen an den Widerständen untersucht worden. Ein ganz wichtiger Faktor ist die gegenseitige Beeinflussung der Ausbreitungswiderstande, welche sich aus feldtheoretischen Überlegungen ergibt. Zwei Fehlstellen können dabei ihre Ausbreitungswiderstände in Abhängigkeit von Entfernung und Oberfläche deutlich ändern. Die stattfindende Beeinflussung ist ein komplexer feldtheoretischer Prozess, der im Rahmen von parallel zu dieser Arbeit verlaufenden Diplomarbeiten näher untersucht wird. Feldverläufe von Fehlstellenkonfigurationen werden im Computer mit Hilfe eines speziellen Simulationsprogramms erzeugt und ausgewertet. Abbildung 3.5 zeigt die bereits vorliegenden ersten Ergebnisse der Untersuchungen in Form einer Abhängigkeit der normierten Ausbreitungswiderstände von zwei Fehlstellen gleicher Oberfläche bei reziprok aufgetragenem Abstand D 12 ihrer Kanten zueinander. Ausbreitungswiderstand R a1 bzw. R a2 / R A 1 =A 2 =100cm² ρ= 50Ωm Ra1 bzw. Ra2 Linear (Ra1 bzw. Ra2) inverser Abstand der Fehlstellen D 12-1 in m -1 Abbildung 3.5: Änderung der normierten Ausbreitungswiderstände zweier Fehlstellen der Oberfläche 100cm² in Abhängigkeit von reziprokem Abstand ihrer Kanten. Die in Blau dargestellte Kennlinie verbindet die tatsächlich aus der Simulation hervorgegangenen Einzelwerte. Der bereits relativ lineare Verlauf ist mittels einer Geraden in Schwarz angenähert worden. Nach aktuellem Stand der Untersuchungen können auch bei unterschiedlich großen Fehlstellenoberflächen 62 VON 130

67 3 BODENWIDERSTÄNDE die Änderungen des normierten Widerstandes durch Geraden unterschiedlicher Steigungen angeben werden, die von reziprokem Abstand (bis maximal 50cm) der Fehlstellen zueinander abhängig sind. Es ist also für die Beschreibung des Ausbreitungswiderstandes R a1 einer Fehlstelle in Abhängigkeit vom Abstand und der Oberfläche einer zweiten Fehlstelle (beide mit kreisrunder Form) eine Näherung nach (3.5) geeignet. Widerstand R 01 besitzt den Wert des Ausbreitungswiderstandes ohne Beeinflussung. Der Koeffizient C A1-A2 ist eine Funktion der Oberflächen der beteiligten Fehlstelen und wird im nächsten Kapitel bestimmt. Dabei muss weiterhin beachtet werden, dass D 12 vom Kantenabstand zum Abstand der beiden Fehlstelenmittelpunkte umgerechnet worden ist. ρ R = C + R 12 a1 A1 A2 01 D12 (3.5) 63 VON 130

68 3 BODENWIDERSTÄNDE Modellierung der Beeinflussung durch äherungsfunktionen Zur Ausgangsgleichung in (3.5) sind Koeffizienten C A1-A2 durch Feldsimulationen mit unterschiedlich großen Fehlstellenoberflächen entstanden. Tabelle 3.2 gibt einen Überblick über die erzielten Werte bei einer Variation der Fehlstellenoberflächen, wie sie in der ersten Zeile angegeben ist. A in cm A A A A A C A1-A k Tabelle 3.2: Koeffizienten C A1- A2 und Konstanten k für verschiedene Fehlstellenkonfigurationen. Um die Gleichung (3.5) universell anwendbar zu gestalten muss der Koeffizient C A1-A2 als Funktion von Fehlstellenoberflächen entwickelt werden. Beim Betrachten der Tabelle 3.2 fällt eine näherungsweise Abhängigkeit der Koeffizienten C A1-A2 vom Quotient der Fehlstellenradien nach Formel (3.6) auf. C A1 A2 r r 2 = 1 k (3.6) Nach Umformung und Einsetzen der Wurzelterme für die Radien können die Konstanten k der jeweiligen Fehlstellenanordnung berechnet werden (3.7). Entsprechende Werte sind in der Tabelle 3.2 eingetragen. r A k= C = C r 1 1 A1 A2 A1 A2 2 A2 (3.7) Die Funktionsbildung in (3.7) genügt nicht besonders hohen Genauigkeitsanforderungen, wie aus relativ großen Streuung von k in der Tabelle 3.2 ersichtlich ist. 64 VON 130

69 3 BODENWIDERSTÄNDE Es folgt die Bildung des Mittelwertes (3.8) für k aus allen Einzelwerten. k 1 = ka 1 A2 1 (3.8) Damit ergibt sich für den Ausbreitungswiderstand eine Gleichung nach (3.9) R A 0.126ρ = + R 2 12 a1 01 A D 1 12 (3.9) Die Schritte (3.10) bis (3.13) zeigen die Umformung der Funktion (3.9) für den späteren Gebrauch in der SPICE-Simulation. 1 ρ12 = ( ρ1+ ρ2 ) 2 (3.10) R 01 ρ1 π = 4 A 1 4R ρ = 1 A 01 1 π (3.11) A R = ( R A + R A ) + R A π D 2 a (3.12) R = R A + R A + R 2 a D 12 A 1 (3.13) In (3.14) erfolgt schließlich eine Normierung auf den Widerstand R 01, so dass am Ende praktisch ein einheitsloser Beeinflußungsfaktor entsteht. R a R02 A 2 = A R01 D 12 R01 A 1 (3.14) 65 VON 130

70 3 BODENWIDERSTÄNDE 3.2 Zwischenwiderstand Feldtheoretische Simulationsergebnisse Den Zwischenwiderständen aus Abbildung 1.22 (Kapitel 1.5.3) kann bei der Charakterisierung des Netzwerkes eine geringere Bedeutung beigemessen werden. Diese Erkenntnis ergibt sich unter anderem auch nach Auswertung der Abbildung 3.6. Dort ist der Zwischenwiderstand von zwei Fehlstellen der Oberfläche 100cm² nach der Entfernung D 12 ihrer Kanten voneinander aufgetragen. Bei den hier visualisierten Daten handelt es sich ebenfalls um Ergebnisse der Feldsimulationen aus den in Kapitel erwähnten Arbeiten Zwischenwiderstand R 12 bzw. R A 1 =A 2 =100cm² ρ= 50Ωm R12 bzw. R21 Linear (R12 bzw. R21) Abstand D 12 in m Abbildung 3.6: Zwischenwiderstand zweier Fehlstellen der Oberflächen 100cm² in Abhängigkeit vom Abstand D 12 der Fehlstellenkanten. Der Anstieg des Zwischenwiderstandes (in Blau) erfolgt sehr steil und nahezu linear mit dem steigenden Abstand D 12, was durch das Anlegen einer Näherungsgeraden besonders gut erkennbar ist. Bereits bei einer Entfernung der Kanten von nur 5cm zueinander beträgt der Wert des Zwischenwiderstandes ein Vielfaches des Ausbreitungswiderstandes, welcher damit den größten Teil des kathodischen Schutzstromes leitet. Für die Herleitung einer Näherungsfunktion zur feldtheoretischen Beschreibung des Zwischenwiderstandes wird der Ansatz nach (3.15) verwendet, denn der lineare Kennlinienverlauf hat sich auch bei Konfigurationen von Fehlstellen verschiedener Oberfläche bestätigt. Der 66 VON 130

71 3 BODENWIDERSTÄNDE Koeffizient C A1-A2 ist, angelehnt an das Kapitel 3.1.5, ebenfalls eine Funktion der Oberflächen der beteiligten Fehlstelen wird im nachfolgenden Kapitel für den Zwischenwiderstand neu bestimmt. Dabei muss auch hier beachtet werden, dass D 12 vom Kantenabstand zum Abstand der beiden Fehlstelenmittelpunkte umgerechnet worden ist. R C ρ D 12 A1 A (3.15) 67 VON 130

72 3 BODENWIDERSTÄNDE Modellierung durch äherungsfunktionen Für verschiedene Anordnungen nach Zeile 1 der Tabelle 3.3 sind Werte für die Koeffizienten C A1-A2 berechnet worden. Als nächstes muss hierfür ein Ausdruck gefunden werden, der die Änderung des Koeffizienten in Abhängigkeit der Fehlstellenoberflächen annähernd richtig beschreibt. A in cm A A A C A1-A2 in m k Tabelle 3.3: Koeffizienten C A1-A2 und Konstanten k für verschiedene Fehlstellenkonfigurationen. Werden die Koeffizientenwerte für die Flächenkonfigurationen 100cm²-100cm² und 100cm²-1cm² gegenübergestellt, so fällt ein Faktor der Größe 10 auf, der die beiden unterscheidet. Dieser Faktor entspricht dem Quotient der Radien. Auch zwischen den Konfigurationen 100cm²-100cm² und 100cm²-10cm² kann näherungsweise der Radienquotient der Größe 3.16 als Faktor festgestellt werden. Die auf diese Weise ermittelte Funktion als Quotient aus Fehlstellenradien kann jedoch nicht die gesuchte Funktion sein, denn sie ist nicht kommutativ. Es ist nachvollziehbar, dass eine Funktion benötigt wird, bei der auch nach dem Vertauschen der beiden Variablen für die Fehlstellenoberflächen gleiche Ergebnisse für die Koeffizienten berechnet werden können. Gleichung (3.16) zeigt einen möglichen Lösungsansatz. C A1 A2 = k 1 A A 1 2 k = C A A A1 A2 1 2 (3.16) Die Funktion besteht aus dem reziproken geometrischen Mittelwert der beiden Oberflächen A1 und A2, multipliziert mit einem konstanten Faktor k. Nach dieser Funktion in (3.16) berechnete Konstanten k sind in der Tabelle 3.3 in der unteren Zeile aufgelistet. Für eine bessere Anpassung wird der Mittelwert über alle Konstanten gebildet (3.17). 68 VON 130

73 3 BODENWIDERSTÄNDE ka1 A (3.17) Damit bekommt die Gleichung für den Zwischenwiderstand das nachfolgende Aussehen (3.18). Für A 1 =A 2 erinnert diese an die bekannte Formel zur Widerstandsberechnung bei Zylindern. D min12 ist eingeführt worden um die Gleichung in (3.18) nach dem minimalen geometrisch möglichen Abstand zwischen zwei runden Fehlstellen, die in einer Ebene liegen, zu eichen R = ( D12 Dmin12 ) A A ρ 1 2 (3.18) Damit besitzt D min12 die Größe der Summe der beiden Fehlstellenradien und berechnet sich damit wie in (3.19) angegeben. ( ) D = r + r = 1 A + A π min (3.19) Schließlich ergibt sich nach dem Einsetzen des Abstandes D min12 in die Gleichung (3.18) die Größe des Zwischenwiderstandes in Abhängigkeit von den beteiligten Parametern nach Gleichung (3.20) 1 2 ( ) R12 12 D12 A1 A2 A A ρ = + π (3.20) 69 VON 130

74 4 EVOLUTIONÄRE ALGORITHMEN Kapitel 4 4 Evolutionäre Algorithmen 4.1 Optimierung durch Evolutionäre Strategien Grundlagen In den Kapiteln 2 und 3 ist das elektrische Verhalten von einzelnen Fehlstellen einer Rohrleitung modelliert worden. Die erstellten Modelle lassen sich zu beliebigen Anordnungen formieren. Die im Kapitel gestellte Frage nach einer kritischen Anordnung lässt sich jedoch nicht unmittelbar beantworten. Zu groß ist die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten. Außerdem liegt keine analytische Gesamtfunktion vor, die durch das Einsetzen der beteiligten Bedingungen als Variablen die Berechnung der zugehörigen Stromdichtewerte an den Fehlstellen ermöglichen würde. Viel mehr muss zur Feststellung der Stromdichte jede Fehlstellenanordnung einzeln unter SPICE simuliert werden. Es bietet sich an, zur Lösung eines solchen komplexen Optimierungsproblems die Methode der evolutionären Algorithmen einzusetzen. Es handelt sich dabei um einen Oberbegriff für computergestützte Optimierungsverfahren, die sich an den von Charles Darwin entdeckten Prinzipien der Evolutionstheorie in der Natur orientieren. Die Grundidee dabei ist es äußerlich charakteristische Eigenschaften (Phänotyp) einer Lösungsanordnung wie z.b. Oberfläche der beteiligten Fehlstellen oder ihre Entfernung zueinander mit Hilfe einer Kodierung auf die Gen-Ebene (Genotyp) abzubilden. Aufgrund der Eindeutigkeit einer solchen Abbildung entsteht auf der Gen-Ebene ein einzigartiger Zahlenkode der jede potentielle Lösung der Optimierungsaufgabe individuell beschreibt und daher als Individuum bezeichnet wird. Jedem Individuum wird ein so genannter 70 VON 130

75 4 EVOLUTIONÄRE ALGORITHMEN Fitnesswert zugeordnet. Im biologischen Sinne erfolgt mit steigender Fitness eine bessere Anpassung des Individuums an seine Umwelt und damit verbundene Erhöhung seiner Überlebenschancen. Auf technische Anwendung übertragen drückt der Fitnesswert das Ergebnis der zu optimierenden Funktion aus, in die zuvor alle durch den Genotyp enthaltenen, dekodierten Variablen des Individuums eingesetzt worden sind. Angelehnt an Vorgänge in der Natur werden stets neue Individuen erzeugt und auf ihren Fitnesswert hin beurteilt. Die besseren bleiben erhalten und bilden anschließend die Grundlage für neue Generationen [14]. Im Allgemeinen kann bei den evolutionären Algorithmen zwischen zwei Hauptrichtungen unterschieden werden: 1) Genetische Algorithmen (GA) Diese Art der evolutionären Algorithmen ist von John Henry Holland in den USA entwickelt worden. Ihr Hauptmerkmal basiert auf der Kodierung des Genotyps durch binäre Zahlen, also 0 und 1. Genetische Algorithmen erwiesen sich bisher als vorteilhaft für Optimierung kombinatorischer Probleme bei dessen Variablen des Genotyps es sich um Schaltzustände handelt, die keine erkennbare Rangordnung besitzen [15] 2) Evolutionäre Strategien (ES) Im Gegensatz zu GA werden bei dieser Optimierungsart für den Genotyp reelle Zahlen verwendet. Als Begründer der evolutionären Strategien gelten Ingo Rechenberg und Hans-Paul Schwefel aus Deutschland. Diese Algorithmusart wird bevorzugt für Optimierung von kontinuierlichen Systemen angewendet [15]. Trotz einiger Unterschiede im Detail besitzen beide Algorithmenarten folgenden Aufbau [16]: Initialisierung Vor dem eigentlichen Optimierungsbeginn wird zuerst eine Ausgangspopulation von µ Individuen erzeugt. Dazu werden die im Genotyp enthaltenen Variablen stochastisch gleichverteilt innerhalb ihrer definierten Grenzen gestreut. Eine solche Vorgehensweise beabsichtigt eine gleichmäßige Verteilung der Ausgangsindividuen über den gesamten Suchraum. Die Größe der Ausgangspopulation ist ein wichtiger Faktor, weil sie auch im weiteren Verlauf des Algorithmus die Population vorgibt aus der Individuen zur Optimierungszwecken geschöpft werden. Zur Initialisierung gehört auch eine anschließende Bewertung der einzelnen Individuen durch Zuordnung ihrer jeweiligen Fitnesswerte. Abhängig von weiterem Vorgehen kann bereits an dieser Stelle eine Sortierung der Individuen nach ihrem Fitnesswert sinnvoll sein. 71 VON 130

76 4 EVOLUTIONÄRE ALGORITHMEN Elternwahl Aus der entstandenen Population werden λ Individuenpaare ausgewählt. Die Auswahl ist ein gleichverteiltes Ziehen mit zurücklegen, wobei sich ein Paar aus zwei unterschiedlichen Individuen zusammensetzen muss. Denkbar ist auch eine Auswahl nach dem so genannten Glücksradprinzip. Dabei werden den zuvor nach ihrer absteigenden Fitness geordneten Individuen der Population ebenfalls Wahrscheinlichkeitsdichten in absteigender Größe zugeordnet. Kurz gefasst besitzt ein Individuum mit einem besseren Fitnesswert eine steigende Wahrscheinlichkeit gewählt zu werden. Die ausgewählten Individuen können als Elternpaare interpretiert werden aus denen im nächsten Schritt Nachkommen gebildet werden. Rekombination Aus den einzelnen Genotyp-Variablen von zwei Eltern entsteht in einer neu kombinierten Weise der Genotyp des Nachkommens. Es gibt unterschiedliche Methoden, wie dabei vorgegangen werden kann. Beispielsweise können alle einzelnen Variablen der Eltern gemischt werden und anschließend durch eine Abfolge von Zufallsziehungen der Kindesgenotyp gebildet werden. Problematisch wird diese Methode für Variablen, die für unterschiedlich große Bereiche definiert sind, was meistens der Fall ist. Aus diesem Grund wird bevorzugt für jede Stelle des Kindesgenotyps mit gleicher Wahrscheinlichkeit die entsprechende Variable eines der beiden Eltern eingesetzt. Beide beschriebenen Vorgehensweisen gehören zu den diskreten Rekombinationsarten, weil sie die zur Verfügung stehenden Variablenwerte nicht verändern sondern diese nur lediglich neu kombinieren. Im Gegensatz dazu steht die intermediäre Rekombinationsart. Sie erzeugt die Variablen des Nachkommens durch eine Mittelwertbildung der elterlichen Ausprägungen. Mutation Als Mutation werden zufallsgesteuerte Veränderungen am Genotyp des Nachkommens nach der Rekombination bezeichnet. Sie geschehen in den meisten Fällen durch eine Addition von Zahlenwerten zu den jeweiligen Genotyp-Variablen. Eine detailliertere Beschreibung des im Rahmen dieser Arbeit implementierten Mutationsprozesses findet in Kapitel statt. Mutation wird als eine der wichtigsten Vorgänge bei evolutionären Algorithmen betrachtet. Durch ihre ungerichtete Wirkung sorgt sie dafür, dass stets neue, leicht veränderte Individuen mit besseren Fitnesswerten entstehen, die über Generationen hinweg zwar einen weichen aber konstanten Anstieg der Fitness im Suchraum ermöglichen. Selektion Ein nach Ablauf der Mutation entstandener Nachkomme wird zunächst auf seine Fitness hin überprüft. Alle in seinem Genotyp enthaltenen Variablen werden hierfür in die zu optimierende Funktion eingesetzt. Der so berechnete Fitnesswert charakterisiert den Nachkommen in Bezug auf seine Optimierungsleistung gegenüber anderen Individuen. Aus der Gesamtheit der Nachkommen werden nachfolgend durch Selektion die besten Individuen 72 VON 130

77 4 EVOLUTIONÄRE ALGORITHMEN ausgewählt. Durch Festlegung der Selektionsbedingungen kann entscheidend Einfluss auf das Verhalten des evolutionären Algorithmus genommen werden. Das nachfolgende Kapitel geht daher näher auf den Prozess der Selektion ein und damit auch auf unterschiedliche Formen der Populationsentwicklung eines evolutionären Algorithmus. 73 VON 130

78 4 EVOLUTIONÄRE ALGORITHMEN Verschiedene Formen der Selektion Aus einer Vielzahl verschiedener Selektionsmöglichkeiten werden als nächstes zwei besonders häufig eingesetzte Varianten vorgestellt: Komma-Selektion Bei dieser mit (µ, λ) abgekürzten Selektionsart werden aus µ Eltern λ Kinder erzeugt. Anschließend werden aus den λ Nachkommen nur die besten µ selektiert. Sie bilden damit die neue Population aus der wiederum auf die gleiche Weise eine neue Generation entsteht. Das Komma in der Bezeichnung steht also für eine getrennte Betrachtung der Eltern und Kinderindividuen. Sie dürfen nicht gemischt werden, so dass sich die Lebenszeit eines jeden Individuums auf die Dauer einer Generation beschränkt. Es ist nachvollziehbar, dass Fitnesswerte der Kinderindividuen nicht zwingend besser sein müssen als die der Elternindividuen. Durch die Eltern repräsentierte gute Optimierungslösungen können damit bereits mit der nächsten Generation verloren gehen. Aus diesem Grund empfiehlt sich bei dieser Selektionsvariante das Anlegen einer generationsübergreifenden Bestenliste. Plus-Selektion Gebräuchlich dafür ist die Kurznotation (µ+ λ). Im Gegensatz zur Komma-Selektion werden die aus der Population µ gebildeten Nachkommen gemeinsam mit ihren Eltern auf ihre Fitness hin bewertet. Die besten µ Individuen aus vorhandenen Eltern und Kindern werden als Elternpopulation für die nächste Generation festgelegt. Diese Selektionsvariante ermöglicht es einigen Individuen mit guten Fitnesswerten über mehrere Generationen zu überleben. Eine Bestenliste, wie sie für die Komma-Selektion üblich ist, wird nicht zwingend benötigt, weil Individuen mit der besten Fitness stets in der aktuellen Population zu finden sind. Anhand der oben beschriebenen Selektionsarten lassen sich Probleme erkennen, die ein evolutionärer Algorithmus während des Optimierungsprozesses überwinden muss. Zu einem muss er in der Lage sein, einer in der Fitnesslandschaft gefundenen Steigung durch geringfügige Variablenänderungen des Genotyps zu folgen. Im übertragenen Sinne wird dieser Vorgang mit dem Erklimmen eines Berggipfels durch einen Bergsteiger verglichen. Dafür ist die Plus-Selektion im Allgemeinen besser geeignet, weil eine einmal gefundene Fitnesserhöhung im Suchraum nicht mehr so schnell aufgegeben wird. Andererseits muss der Evolutionsalgorithmus die nötige Flexibilität besitzen um von der Spitze eines relativen Maximums zum Fuße eines anderen, womöglich höheren, überzuwechseln. Ein solches Verhalten wird in der Fachsprache als Gipfelspringen bezeichnet. Bei dieser Disziplin ist die Komma-Selektion oft im Vorteil. 74 VON 130

79 4 EVOLUTIONÄRE ALGORITHMEN 4.2 Aufbau und Funktion der eingesetzten evolutionären Strategie Parameterumsetzung Vor dem eigentlichen Optimierungsbeginn muss die auf der Phänotyp-Ebene enthaltene Information der zu optimierenden Funktion in die Genotyp-Ebene übersetzt werden. Das Optimierungsproblem in vorliegendem Fall ist vom äußeren Erscheinungsbild gekennzeichnet durch unterschiedlich große Oberflächen A der Fehlstellen, ihre Belüftung bzw. damit verbundene Lage F _Lage sowie eine geometrische Form der gesamten Fehlstellenanordnung, die sich aus den Abständen D der einzelnen Fehlstellen zueinander ergibt. Abbildung 4.1 gibt einen Überblick über die beschriebenen Parameter einer beispielhaften Anordnung, bestehend aus drei Fehlstellen. Da es sich bei den Parametern zumindest zukünftig um kontinuierliche d.h. reellwertige Variablen handeln soll, wird an dieser Stelle zur Kodierung des Genotyps die Evolutionsstrategie (ES) ausgewählt. Auf der Genotyp-Ebene wird daher eine potentielle Lösung des Optimierungsproblems durch einen Vektor mit reellen Zahlen als Elementen repräsentiert. Die Bestimmung des Fitnesswertes erfolgt über die Bildung des Betragsminimums der Stromdichten an allen beteiligten Fehlstellen. Die Sucheigenschaften des Optimierers verbessern sich damit im Vergleich zur Messung der Stromdichte an nur einer ausgewählten Fehlstelle. Phänotyp Genotyp J min A 1 F 1_Lage D 12 D 13 A 2 F 2_Lage D 23 A 3 F 3_Lage Min(J 1, J 2, J 3 ) J 1 J J 3 2 Abbildung 4.1: Umsetzung der Optimierungsparameter von der Phänotyp in die Genotyp- Ebene. 75 VON 130

80 4 EVOLUTIONÄRE ALGORITHMEN In Kapitel 2 aufgenommenen Stromdichte-Potential-Kennlinien liegen zunächst einmal für diskrete Oberflächen der Größen 1cm², 10cm² und 100cm² vor und sind außerdem auch nur für drei Belüftungsbedingungen definiert. Aus diesem Grund ist eine Vereinfachung des Genotyps durch Zusammenfassung der Variablen für die Oberfläche und Belüftung nach Abbildung 4.2 möglich. Für den resultierenden Parameter gibt es insgesamt 9 Möglichkeiten. Sie entstehen aus der Kombination von je drei oben genannten Einzelwerten der Oberfläche und Belüftung. Die Rangliste für den neu entstandenen Parameter F wird in der Polynomdatei festgelegt. Genauere Beschreibung dieser Datei findet in Kapitel 5 statt. Zusammenfassung des Genotyps J min F 1_Lage A 1 F 2_Lage A 2 D 12 F 3_Lage A 3 D 23 D 13 J min F 1 F 2 D 12 F 3 D 23 D 13 J min F 1 F 2 D 12 F 3 D 23 D 13 Abbildung 4.2: Minimierung des Genotyps durch Zusammenfassung von Variablen. Zur Steigerung der Optimierungsleistung ist eine so genannte Mutative Schrittweitenregelung (MSR) implementiert worden. Zusätzlich zum Genotyp wird eine Art Maske angelegt die jeder Variable des Genotyps eine eigene Standardabweichung zuordnet, welche später die Größenordnung der Mutation vorgibt. Abbildung 4.3 zeigt den Aufbau dieser Sigma-Maske. Ein solches Gesamtsystem wird als Evolutionsmodell zweiter Ordnung genannt. Die Population der Nachkommen bekommt neben den mutierten Variablen auch eine Information darüber, mit welcher Standardabweichung mutiert worden ist. Ein zweiter Evolutionsprozess in Form der adaptiven Schrittweite findet während des eigentlichen ersten Suchprozesses statt [15]. Die Fortschrittgeschwindigkeit kann praktisch durch den Algorithmus selbst geregelt werden. 76 VON 130

81 4 EVOLUTIONÄRE ALGORITHMEN Sigma - Maskierung J min F 1 F 2 D 12 F 3 D 23 D 13 σ F1 σ F2 σ D12 σ F3 σ D23 σ D13 Abbildung 4.3: Festlegung der Standardabweichungen für jede Variable des Genotyps. Auf das Berggipfelmodell übertragen bedeutet es, dass der Optimierer bei flacheren Anstiegen die Schrittweite vergrößert, während er bei steilen Funktionsflanken so zu sagen einen Gang zurückschaltet. Weitere Informationen über die Verarbeitung und Bestimmung der Standardabweichungen werden in Kapitel gegeben. 77 VON 130

82 4 EVOLUTIONÄRE ALGORITHMEN Aufbau der graphischen Bedienoberfläche Der im vorangegangenen Kapitel beschriebene evolutionäre Algorithmus ist mit Hilfe von Visual Basic als Teil einer Windows-Anwendung programmiert worden. Die gesamte Anwendung besteht aus mehreren zusammengesetzten Programmen und wird in Kapitel 5 ausführlich beschrieben. Der hier relevante Teil besteht aus einer graphischen Bedienoberfläche (Graphical User Interface GUI) und dem eigentlichen, im Hintergrund ablaufenden Algorithmus, sowie dem Schaltungssimulationsprogramm SPICE mit dessen Hilfe die Fitnesswerte der einzelnen Individuen während der Optimierung berechnet werden. Abbildung 4.4 zeigt den Aufbau der GUI. In weiterem Verlauf dieses Kapitels wird lediglich die Bedienung der GUI erklärt, die Funktionsweise wird anschließend in Kapitel erläutert. Grob aufgeteilt besteht die Bedienoberfläche aus einer Reihe von Anzeige- und Steuerelementen. Zu den Anzeigeelementen gehören die Darstellung der Polynomdatenbank, der Datenbanken für Beispieleltern und Kind. Außerdem bildet das große Fenster auf der rechten Seite das wichtigste Anzeigeelement. Abbildung 4.4: Graphische Oberfläche zur Bedienung der evolutionären Strategien. 78 VON 130

83 4 EVOLUTIONÄRE ALGORITHMEN Dort werden nach dem in Kapitel beschriebenen Muster die Daten eines Genotyps pro Zeile untereinander angezeigt. Die Ansicht lässt sich unterhalb des Fensters durch Betätigung der Knöpfe Populationsliste und Bestenliste umschalten. Zusätzlich kann für bestimmte Zwecke (siehe Kapitelende) auf Exportlistenansicht umgeschaltet werden. Vor dem Beginn der eigentlichen Optimierung müssen die Kriterien der Optimumsuche festgelegt werden. In der GUI setzen sich diese aus 8 Bedienfeldern zusammen die in Abbildung 4.5 und Abbildung 4.6 zu sehen sind. Am Bedienelement SPICE-Simulation kann das Einschaltpotential an der Rohrleitung bezüglich einer Kalomelelektrode in 1mV-Schritten zwischen -500mV und -5000mV eingestellt werden. Für den eingestellten Wert berechnet die SPICE-Simulation im Verlauf der Optimierung entsprechende Stromdichtewerte an den Fehlstellen. In den Feldern Population und Rekombination können die aus Kapitel bekannten Größen µ und λ eingestellt werden. Die Suchtiefe beim Optimierungsproblem wird über die Anzahl der Generationsdurchläufe bestimmt. Abbildung 4.5: Bedienfelder zur Einstellung von Optimierungskriterien, Teil I. Unterschiedliche Varianten zur Bestimmung der Eltern aus der Population sind in Kapitel diskutiert worden. Es sind zunächst einmal beide Möglichkeiten implementiert worden. Testläufe mit der Option Glücksrad haben jedoch gezeigt, dass der Algorithmus sich zu schnell auf ein relatives Maximum fixiert und dieses nicht mehr aufgibt, was ihn daran hindert die Suche nach dem 79 VON 130

84 4 EVOLUTIONÄRE ALGORITHMEN absoluten Maximum fortzusetzen. Aus diesem Grund ist diese Option wieder verworfen worden. Neben den Grundkriterien für Population können Wahrscheinlichkeitsparameter für die Standardabweichungen verändert werden. Im Feld Ausgangsmutation, mitten in der Abbildung 4.6, können einzelne Standardabweichung der Genotyp- Maske bei der Erstellung der zufälligen Ausgangspopulation in ihrer Größe beeinflusst werden. Die Größen gelten auch nur unmittelbar für die erstellten Individuen und werden im späteren Verlauf vom Evolutionsalgorithmus geregelt. Die Eingabe erfolgt in % und bezieht sich auf die Differenz zwischen dem maximalen und dem minimalen Wert der jeweiligen Variable. Bei der Ausgangsgröße der Standardabweichung wird nur zwischen den Variablen der Fehlstellen und den Abständen unterschieden. Um die Entwicklung der Standardabweichungen während Optimierungsverlaufs steuern zu können befinden sich im Feld Exogene Konstanten die Parameter τ 1 und τ 2. Der rechnerische Zusammenhang wird in Kapitel angegeben. An dieser Stelle kann nur darauf hingewiesen werden, dass τ 1 mit steigenden Werten alle Standardabweichungen eines Individuums im Vergleich zu einem anderen Individuum erhöht, während τ 2 die Ausprägungen der einzelnen Standardabweichungen desselben Individuums untereinander vergrößert. Schließlich kann vor dem Beginn der Optimierung die Selektionsart, Abbildung 4.6 rechts, so wie in Kapitel geschildert worden ist, variiert werden. Abbildung 4.6: Bedienfelder zur Einstellung von Optimierungskriterien, Teil II. Nach der Eingabe aller Parameter gibt es zwei Möglichkeiten um mit dem Optimierungsprozess zu beginnen. Erstens kann durch Aktivierung des Knopfes Erstellen im Feld Neue Zufallspopulation in der Abbildung 4.4 unten links das Laden einer zufälligen Population in Gang gesetzt werden. Daraufhin werden die Genotypen einzelner Individuen rechts im großen Anzeigefenster zeilenweise untereinander eingeblendet. Dieser Vorgang kann beliebig oft auch nach Veränderungen der oben beschriebenen Kriterien durchgeführt werden, bis die Ausgangspopulation den Anforderungen des Benutzers entspricht. Anschließend 80 VON 130

85 4 EVOLUTIONÄRE ALGORITHMEN kann der Optimierungsprozess durch Betätigung des Knopfes Start in Abbildung 4.4 in Gang gesetzt werden. Die zweite Möglichkeit ist es, direkt nach Eingabe aller Kriterien durch das Auslösen des Startknopfes mit der Optimierung zu beginnen. Eine zufällige Ausgangspopulation wird dann vom Programm selbständig erzeugt und weiterverarbeitet. Nach einem erfolgreichen Durchlauf aller Generationen wird das Optimierungsergebnis in Form einer Bestenliste im rechten großen Anzeigefenster dargestellt. Es ist bereits nach den Stromdichtewerten sortiert, so dass Individuen mit den besseren Fitnesswerten, also positiveren Stromdichten sich weiter oben in der Liste befinden. Das beste Ergebnis erscheint damit an der obersten Stelle der Tabelle. Durch das Anklicken von Checkboxen oberhalb der Anzeigefläche können Spalten, welche Zusatzinformationen enthalten, ein oder ausgeblendet werden. So lassen sich beispielsweise die einzelnen verwendeten Polynome einsehen oder auch die Nummer der Fehlstelle, an der die betragsmäßig kleinste Stromdichte innerhalb einer Anordnung gemessen worden ist. Auch die Darstellung der Generationsnummer, in der das aktuell angezeigte Individuum erzeugt worden ist, lässt sich über die beschriebenen Checkboxen einblenden. Eine nützliche Option bietet das Erzeugen einer Exportliste über den entsprechenden Button in Abbildung 4.4. Die Bestenliste wird daraufhin ansteigend nach Generationszahl sortiert und so gefiltert, dass jeweils das beste innerhalb der zugehörigen Generation vorliegende Individuum angezeigt wird. Als Zusatzfeature werden alle bei der Optimierung beteiligten Parameter rechts neben der Individuentabelle eingeblendet. Nach dem markieren der Anzeige mit Strg-A kann die Tabelle mit Strg-C in die Zwischenablage kopiert werden und damit anschließend in eine Excel-Tabelle eingefügt und weiterverarbeitet werden. 81 VON 130

86 4 EVOLUTIONÄRE ALGORITHMEN Funktionsweise der implementierten Algorithmen Abbildung 4.7 gibt einen Überblick über den strukturellen Aufbau der implementierten Evolutionsstrategien. Die einzelnen Individuenlisten sind in der Programmiersprache Visual Basic als Datenbanken bzw. DataTables realisiert worden. In Kapitel diskutierte, unterschiedliche Selektionsstrategien sind beide umgesetzt worden und haben nur einen marginalen Einfluss auf den Aufbau des Algorithmus. Nachfolgend wird die Umsetzung aller wichtigen Schritte des Algorithmusablaufes im Einzelnen erklärt. Funktionsprinzip der verwendeten evolutionären Strategien (ES) (µ+λ)-es (µ, λ)-es Vorhandene Pop.-DB wird beibehalten. Vorhandene Pop.-DB wird gelöscht. Elter (Vater) F 1_V F 2_V Rekombination, D 12_V F 3_V D 23_V D 13_V Mutation Kinder-DB Nachkomme Selektion Individuum 5 Rekombination Eltern-DB der Variablen (diskret) Individuum 2 Individuum 5 Elternwahl Initialisierung Populations-DB Individuum 1 Individuum 2 Individuum 3 Individuum 4 Individuum 8 F 1_V F 2_M D 12_M F 3_V D 23_M D 13_V Bestenliste-DB F 1_M F 2_M D 12_M F Individuum Elter (Muter) Zw.-Popul.-DB 3_M D 23_M D 6 13_M Individuum 1 Individuum 6 Individuum 3 Individuum 7 Individuum 7 Individuum 5 Individuum Abbildung 4.7: Struktur des implementierten evolutionären Algorithmus. 82 VON 130

87 4 EVOLUTIONÄRE ALGORITHMEN Nach der Initialisierung entstehende Liste mit zufälligen Individuen wird in der Populationsdatenbank abgelegt. Gleichzeitig erfolgt die Sicherung dieser ersten Individuen in der Bestenliste. Die Elternwahl erfolgt wie in Kapitel beschrieben nach der gleichen Wahrscheinlichkeit für alle Individuen aus der Populationsliste. Bei der Rekombination der Variablen kommt die in Kapitel beschriebene diskrete Rekombinationsart zum Einsatz. Wie in Abbildung 4.8 dargestellt, werden die einzelnen Variablen des Nachkommens ohne Vertauschung der Reihenfolge mit gleicher Wahrscheinlichkeit aus den beiden Elternvariablen gebildet. Dies bedeutet, dass der Nachkomme für jede Variable entweder die sich an dieser Stelle befindende Variable der Mutter oder des Vaters zugewiesen bekommt. Rekombination der Variablen (diskret) Elter (Vater) F 1_V F 2_V D 12_V F 3_V D 23_V D 13_V Nachkomme F 1_V F 2_M D 12_M F 3_V D 23_M D 13_V Elter (Muter) F 1_M F 2_M D 12_M F 3_M D 23_M D 13_M Abbildung 4.8: achkommensbildung durch diskrete Rekombination der Elternvariablen. Eine besondere Beachtung muss der Rekombination der Abstände D geschenkt werden. Diese Größen sind definiert als die Entfernung der Mittelpunkte zweier kreisförmigen Fehlstellen in cm. Befinden sich zwei Fehlstellen in unterschiedlich belüfteten Sandschichten, so sind Grenzwerte für den minimalen Abstand ihrer Mitten zueinander zu beachten. Diese Grenzwerte, sowie auch die Grenzwerte für die maximale Entfernung sind in der Polynomdatei gespeichert und können verändert werden. Die Standardwerte für den minimalen Abstand zweier Fehlstellen betragen für eine Oben-Grund-Konfiguration 30cm und für eine Oben-Mitte- sowie Mitte-Grund-Konfiguration 15 cm. Fehlstellen in der gleichen Belüftungsschicht können sich bis auf die Summe ihrer Radien, aufgerundet auf die nächst größere, ganze cm-zahl nähern. Die Unterscheidung 83 VON 130

88 4 EVOLUTIONÄRE ALGORITHMEN bei den Minimalabständen führt ohne weitere Maßnahmen zu Problemen bei der Bildung des Nachkommens. Angenommen eine Abstandsvariable an einer bestimmten Stelle des Genotyps besitzt aufgrund der Lage zweier Fehlstellen zueinander (Oben, Grund) den Minimalabstand von 30 cm. Wird dieser Abstand nun bei der Rekombination zufällig als Abstand zwischen zwei Fehlstellen in der gleichen Belüftungsschicht ausgewählt, so ist dieser vom aktuellen Mindestabstand sehr weit entfernt und kann durch Mutation nur über sehr viele Generationen erreicht werden. Die eigentliche Information des minimalen möglichen Abstandes wird dabei falsch interpretiert und geht dadurch zwangsläufig verloren. Abhilfe ist hier über die Anpassung der Abstandswerte bei der Rekombination an die neuen Gegebenheiten geschaffen worden. Abbildung 4.9 verdeutlicht das Prinzip. Vor der Rekombination erkennt der Algorithmus die Lage der Fehlstellen zwischen denen der Abstand rekombiniert werden soll und bestimmt seinen prozentuellen Anteil am Intervall zwischen dem maximalen und dem minimalen zugelassenen Abstand. Anschließend wird der zuvor berechnete prozentuelle Abstandswert an die neue Anordnung angewendet. Was also jetzt zählt ist nicht mehr der absolute, sondern der relative Abstand von Fehlstellen, der je nach Anordnung unterschiedlich ausfällt. D MM D OG Abbildung 4.9: Anpassung der Variable Abstand auf veränderte Gegebenheiten. Die Bildung der Standardabweichungen der Sigma-Maske für den Nachkommen erfolgt nach dem in Kapitel beschriebenen Prinzip der intermediären Rekombination. Standardabweichungen des Nachkommens werden der Reihe nach als Mittelwerte aus den elterlichen Sigma-Ausprägungen gebildet. Abbildung 4.10 veranschaulicht den beschriebenen Vorgang 84 VON 130

89 4 EVOLUTIONÄRE ALGORITHMEN Sigma - Rekombination (intermediär) Elter (Vater) 0.5 x σ F1_V σ F2_V σ D12_V σ F3_V σ D23_V σ D13_V Nachkomme σ F1_N σ F2_N σ D12_N σ F3_N σ D23_N σ D13_N Elter (Muter) 0.5 x σ F1_M σ F2_M σ D12_M σ F3_M σ D23_M σ D13_M Abbildung 4.10: Intermediäre Rekombination der Standardabweichungen beim achkommen. Als nächster Schritt im Ablauf der implementierten Evolutionsstrategie erfolgt die Mutation des Nachkommens. Hierfür müssen zuerst einmal die einzelnen Standardabweichungen mutiert werden. Den Prozess der Mutation stellt die Abbildung 4.11 dar. Die bereits in der Sigma-Maske nach der Rekombination enthaltenen Standardabweichungen werden einzeln der Mutationsvorschrift in der Mitte der Abbildung 4.11 als σ n zugeführt. Sigma - Mutation Nachkomme vor Mutation σ F1 σ F2 σ D12 σ F3 σ D23 σ D13 Mutationsvorschrift = 1 2 n σ σ + ( ( 0,1) ( 0,1)) n n e τ τ Nachkomme nach Mutation σ F2_M σ D12_M σ F3_M σ D23_M σ ' F1 σ ' F2 σ ' D12 σ ' F3 σ ' D23 σ ' D13 Abbildung 4.11: Mutation der einzelnen Standardabweichungen in der Sigma-Maske. 85 VON 130

90 4 EVOLUTIONÄRE ALGORITHMEN Unter Berücksichtigung der in Kapitel eingeführten exogenen Wahrscheinlichkeitskonstanten τ 1 und τ 2, sowie zwei von einander unabhängigen normalverteilten Zahlen (0,1) und n (0,1) wird die mutierte Standardabweichung σ n berechnet. Die Zahl (0,1) wird jeweils nur einmal pro Individuum erneuert, während die Zahl n (0,1) mit jeder Standardabweichung innerhalb eines Individuums neu bestimmt wird. Das hier angewandte Mutationsverfahren sorgt zum einen dafür, dass entstehende Standardabweichungen stets positiv bleiben, zum anderen wird das natürliche Verhalten nachgeahmt, in dem kleine Änderungen viel häufiger als große auftreten. Die nachfolgende Mutation der Variablen gestaltet sich verhältnismäßig einfach. Zu den durch Rekombination entstandenen Variablen des Nachkommens werden zufällige normalverteilte Zahlen mit der aktuellen mutierten Standardabweichung σ n addiert. Diese Vorgehensweise ist in Abbildung 4.12 gezeigt. Mutation Mutation der Variablen der Variablen Nachkomme vor Mutation F 1 F 2 D 12 F 3 D 23 D N(0,1) x σ ' F1 σ ' F2 σ ' D12 σ ' F3 σ ' D23 σ ' D13 Nachkomme nach Mutation F ' 1 F ' 2 D ' 12 F ' 3 D ' 23 D ' 13 Abbildung 4.12: Mutation der achkommensvariablen durch Addition normalverteilter Zahlen (0,1) mit der Standardabweichung σ n. Nach einer anschließenden Simulation des entstandenen Netzwerkes, welches durch die Variablen des Nachkommens charakterisiert ist, erfolgt die Zuordnung des ermittelten Fitnesswertes zum Genotyp des simulierten Individuums. Die Bildung des Nachkommens ist an dieser Stelle abgeschlossen und er wird daraufhin aus der Kinderdatenbank, in der er sich momentan befindet in die Zwischenpopulation abgelegt. Dorthin gelangen auch alle, nach ihm während eines Generationsdurchlaufes auf die gleiche Weise erzeugten Kinderindividuen. Zur Erhaltung aller Nachkommen für einen späteren Gesamtvergleich ihrer Fitness wird jedes produzierte Individuum zusätzlich in die Bestenlisten- Datenbank kopiert. 86 VON 130

91 4 EVOLUTIONÄRE ALGORITHMEN Das weitere Vorgehen des Algorithmus ist von der gewählten Selektionsart abhängig. Abbildung 4.7 zeigt auf der linken Seite noch einmal die beiden zur Verfügung stehenden Möglichkeiten: Plus- und Komma-Selektion. Gründe für ihre Existenzberechtigung sind in Kapitel diskutiert worden. Aus der programmiertechnischen Sicht unterscheiden sich beide Selektionsarten wie folgt: Bei der Komma-Selektion werden die vorhandenen µ Elternindividuen aus der Populationsdatenbank entfernt und durch eine entsprechende Anzahl von Nachkommen mit besten Fitnesswerten ersetzt. Diejenigen, Kindesindividuen, die nicht zu den µ besten gehören, werden gelöscht. Für die Plus-Selektion werden zunächst einmal die produzierten Nachkommen in die vorhandene Populationsdatenbank importiert. Im nächsten Schritt werden jetzt alle Individuen in der Populationsdatenbank absteigend nach ihren Fitnesswerten sortiert. Schließlich wird die Individuenanzahl der Populationsdatenbank auf die µ Besten verkürzt, unabhängig davon, ob die Individuen zur Eltern- oder zur Kindergeneration gehören. Alle restlichen Individuen werden ebenfalls, wie bei der Komma- Selektion, verworfen. Nach der Festlegung einer neuen Population ist ein Generationsdurchlauf abgeschlossen. Der Algorithmus beginnt mit dem erneuten Abarbeiten der gleichen Evolutionsschritte, wie sie in diesem Kapitel beschrieben worden sind. Zum Abbruch der auf diese Weise entstehenden Schleife, kommt es, wenn die eingegebene Anzahl der Generationen erreicht worden ist. Die Inbetriebnahme, sowie die Wahl geeigneter Parameter und die erzielten Optimierungsergebnisse werden im nachfolgenden Kapitel beschrieben. 87 VON 130

92 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN Kapitel 5 5 Auswertung und Beurteilung der Wechselwirkungen von Fehlstellen auf erdverlegten Rohrleitungen 5.1 Computerprogramm zur Simulation der Stromverteilung an kathodisch geschützten Fehlstellen Leistungsvermögen des Programms Zur Simulation der Stromverteilung an kathodisch geschützten Fehlstellen einer Rohrleitung ist im Rahmen dieser Diplomarbeit eine Software entwickelt worden. Sie besteht aus einer graphischen Bedienoberfläche sowie einem Schaltungssimulationsprogramm die über einen Austausch von Dateien miteinander kommunizieren. Nachfolgend sind die wichtigsten Merkmale der erstellten Software zusammengefasst: Das Programm ist als eine unter Windows XP ausführbare Anwendung konzipiert. Das für den Betrieb benötigte Schaltungssimulationsprogramm ist kosten und lizenzfrei. Seine Bedienung ist vereinfacht und erfordert keine Programmierkenntnisse. 88 VON 130

93 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN Bis zu 4 Fehlstellen werden in Abhängigkeit von ihrer Oberfläche und ihrem Belüftungsgrad visuell verändert auf einer Rohrleitung dargestellt. Zusätzliche Angaben, wie das Ruhepotential jeder einzelnen Fehlstelle, werden eingeblendet. Ausbreitungswiderstände werden in ihrer Größe passend zur jeweiligen Fehlstelle und den Bodengegebenheiten vom Programm automatisch eingestellt und können manuell verändert werden. Zulässige Ober und Untergrenzen für den entsprechenden Ausbreitungswiderstand werden angezeigt. Einzelne konzentrierte Bauelemente, wie Phasengrenzwiderstände, Ausbreitungswiderstände und Zwischenwiderstände, können zu Simulationszwecken als spannungsgesteuerte Stromquellen vorgegeben werden, siehe dazu Kapitel 2.5, und Die Eingabe der nichtlinearen Stromquellen findet vom Benutzer definierbaren Annäherungsgleichungen über eine Exceltabelle statt und ist damit einfach und ohne Programmierkenntnisse zu realisieren. Es können Stromdichten oder Stromstärken von beliebigen Anordnungen aus 1 bis 4 Fehlstellen in Abhängigkeit vom Einschaltpotential an der Rohrleitung berechnet und graphisch ausgegeben werden. Bei der Bestimmung der gegenseitigen Beeinflussung von Fehlstellen berücksichtigt das Programm sowohl den spezifischen Widerstand des umliegenden Erdbodens als auch den Abstand der Fehlstellen zueinander sowie ihre Belüftung und Oberfläche, vergl. Kapitel und Im Optimierungsmodus ist eine automatische Suche und Auswertung von kritischen Fehlstellenkonfigurationen möglich, bei denen der Betrag der kleinsten an einer Fehlstelle auftretenden Stromdichte nicht mehr für einen sicheren kathodischen Korrosionsschutz ausreicht. Beispiele für solche Risikokataloge werden in Abhängigkeit von den beteiligten Fehlstellen in den Kapiteln 5.2.2, und angegeben. 89 VON 130

94 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN Aufbau und Bedienung der graphischen Programmoberfläche Dieses Kapitel geht auf den äußeren Aufbau und die Bedienung der erstellten Software ein. Eine Beschreibung der Funktionsweise wird in Kapitel nachgeliefert. Die Software ist mit Hilfe von Visual Basic (VB. et) programmiert worden. Nach Startausführung unter Windows präsentiert sich dem Benutzer eine Bedienoberfläche, welche sich aus insgesamt drei Registerkarten zusammensetzt. Im Register mit der Bezeichnung Einstellungen befinden sich die Pfadangaben für die Simulationssoftware SPICE sowie für Dateien, die zum Informationsaustausch während der Simulation verwendet werden. Dazu gehört auch die Polynomdatei in Excelformat, die in Kapitel vorgestellt wird. Der eigentliche Simulationsteil befindet sich unter dem Registereintrag Simulation, siehe Abbildung 5.1. Er ist wiederum in Anzeige- und Bedienfelder unterteilt. Farbig hervorgehoben ist das zu simulierende Netzwerk welches aus einzelnen Fehlstellen der Rohrleitung nach Abbildung 1.22 entsteht. Abbildung 5.1: Registerkarte Simulation des Fehlstellen-Simulationsprogramms. 90 VON 130

95 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN Die Anzahl der vorhandenen Fehlstellen, auf der in Silbergrau dargestellten Rohrleitung in Abbildung 5.1, lässt sich durch das Anklicken entsprechender Checkboxen oberhalb der Leitung zwischen 1 und 4 variieren. Die blaue Konstantspannungsquelle steht für das Einschaltpotential an der Rohrleitung bezüglich eines genügend weit entfernten Nullpotentials an einer Kalomelelektrode. Werte des Einschaltpotentials lassen sich in den Grenzen von -500mV bis -5000mV mit einer Auflösung von 1mV vorgeben. Die Größe und der Belüftungsgrad jeder einzelnen Fehlstelle kann in einem speziell dafür vorgesehenen Bedienfeld auf der rechten Seite der graphischen Oberfläche eingestellt werden (Abbildung 5.2). Dieses wird erreicht, indem eine beliebige Fehlstelle mit dem Mauszeiger angeklickt wird. Die Größe der Fehlstelle wird durch ihre Oberfläche in cm² charakterisiert. Zurzeit stehen folgende drei diskrete Werte für die Oberfläche zur Verfügung: 1cm², 10cm² und 100cm². Ihre Formen sind nach jetzigem Stand erst einmal auf kreisrund beschränkt. Die Angabe über den Belüftungsgrad am Ort der Fehlstelle korrespondiert mit ihrer Lage im Boden nach Beschreibung in Kapitel 2.2. Als Zusatzinformation werden das aktuelle Ruhepotential sowie das für die Fehlstelle charakteristische Polynom eingeblendet. Diese Informationen entnimmt das Programm aus der Polynomdatei. Abbildung 5.2: Bedienfeld Fehlstellencharakteristik. Nach der Auswahl einer Fehlstelle wird ihr vom Programm automatisch ein passender Ausbreitungswiderstand zugeordnet. Ausbreitungswiderstände sind gelbfarbene Bauteile in Abbildung 5.1. Über das Anklicken eines dieser Widerstände mit der Maus bietet sich dem User auf der rechten Seite der graphischen Oberfläche ein Bedienfeld an, Abbildung 5.3, vergleichbar mit dem oben beschriebenen. Je nach Größe und Lage der Fehlstelle im Erdboden werden minimale und maximale Werte für den Ausbreitungswiderstand vorgeschlagen. Sie werden zuvor in der Polynomdatei festgelegt. Die Standardeinstellung für die Größe des Ausbreitungswiderstandes befindet sich stets in der Mitte zwischen den beiden Grenzwerten. 91 VON 130

96 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN Abbildung 5.3: Bedienfeld Ausbreitungswiderstand. Sind durch den Programmbenutzer zwei oder mehr Fehlstellen aktiviert worden, so kommen zwischen ihnen automatisch Zwischenwiderstände zum Vorschein. In Abbildung 5.1 sind sie durch Bauteile in den Farben Grün und Orange repräsentiert. Im Gegensatz zu den Ausbreitungswiderständen werden sie durch Angabe des Abstandes zwischen den beteiligten Fehlstellen definiert. Das Bedienelement dazu ist in Abbildung 5.4 gezeigt. Die Maßeinheit ist cm. Je nach Position und Größe der Fehlstellen muss ein Mindestabstand eingehalten werden, der sich aus den Bedingungen ergibt, die in der Polynomdatei gespeichert sind (Kapitel 5.1.3). Abbildung 5.4: Bedienfeld Zwischenwiderstand. Vor dem eigentlichen Beginn der Stromverteilungssimulation müssen noch die zu plottenden Ströme ausgewählt werden. Die Auswahl kann in dem dafür vorgesehenen Bedienfeld durchgeführt werden, Abbildung 5.5. Jedes der Checkboxen steht für eine bestimmte Stromstärke im gesamten Netzwerk. Die unteren Elemente sind dabei die Ströme an den Phasengrenzen der Fehlstellen. 92 VON 130

97 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN Oben liegende Checkboxen markieren die Ströme, die durch Zwischenwiderstände fließen. Als Zusatzoption kann von der Stromdarstellung I auf Stromdichtedarstellung J über die entsprechend gekennzeichneten, so genannten Radio Buttons gewechselt werden. Abbildung 5.5: Bedienfeld Stromauswahl. Nach Einstellung aller Parameter wird der Simulationsvorgang durch das Betätigen des Knopfes Start im unteren rechten Bereich der graphischen Benutzeroberfläche (Abbildung 5.1.) eingeleitet. Als Ergebnis erscheint ein Diagramm welches die zuvor ausgewählten Ströme bzw. Stromdichten farbig passend zu Markierungen unter Abbildung 5.5. im eingestellten Potentialintervall zeichnet. Ein solches Beispieldiagramm ist in Abbildung 5.6 zu sehen. Abbildung 5.6: Stromdichte-Spannungskurven, Beispieldiagramm. 93 VON 130

98 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN Definitionsbereiche und Abhängigkeiten der Widerstände von der Wahl der Fehlstellenanordnung Die Simulationssoftware ist bei ihren Berechnungen neben den Ausgangsdaten, die als Polynome vorliegen, auch auf Grenzwerte und Abhängigkeiten der einzelnen Widerstände von vorliegenden Anordnungsgegebenheiten angewiesen. Diese Informationen beinhaltet die so genannte Polynomdatei. Sie ist eine Tabelle in Excel-Format. Ein Teil der in ihr enthaltenen Zeilen steht für jeweils eine Fehlstelle bestimmten Ausmaßes und Belüftungsgrades. Im anderen Teil sind mögliche Kombinationen aufgeführt die aus zwei Fehlstellen gebildet werden können, so kann eine Konfiguration bestehend aus einer Fehlstelle in der mittleren Sandschicht und einer in der oberen Sandschicht enthalten sein. Für ihren minimalen Abstand zueinander sowie für die Wahl des passenden Zwischenwiderstandes können auf diese Weise Bedingungen festgelegt werden. Im vorliegenden Fall ist der minimale mögliche Abstand zwischen den Fehlstellen auf 15cm begrenzt. Dies ist der Mindestabstand, der eingehalten werden muss damit die zwei Fehlstellen sich noch in unterschiedlichen Sandschichten befinden können. Liegt bei beiden Fehlstellen die gleiche Sandschicht vor, so ist der minimale Abstand für diesen Fall mit 0cm angegeben. Das Programm ist jedoch so ausgelegt, dass es für diesen Fall automatisch den kleinstmöglichen Abstand zwischen zwei Fehlstellen aufgrund ihrer Abmessungen annimmt. Für einen möglichst richtigen Zwischenwiderstand einer Anordnung wird ihr ein Polynom zugeordnet, der für die Größe des spezifischen Bodenwiderstandes ρ einen Mittelwert aus beiden beteiligten Sandschichten verwendet. Insgesamt sind die Daten einer Zeile nach Spalten sortiert, in einer Reihenfolge, die durch die oberste Zeile, den Header, vorgegeben wird. 94 VON 130

99 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN Funktionsweise des Programms Dieses Kapitel beschreibt den strukturellen Programmablauf, also die Prozesse, die nach Auslösen des Startvorganges vom Programm ausgeführt werden. Hierbei muss zwischen einer Einzelsimulation und einer Optimumsuche unterschieden werden. Abbildung 5.7 zeigt vereinfacht die Abfolge der Schritte, die während einer einzelnen Simulation zu einer Fehlstellenkonfiguration stattfinden. Ausgangspunkt ist die grafische Bedienoberfläche für Einzelsimulationen nach Kapitel Programmablauf bei Einzelsimulation GUI Simulationsprogramm SPICE Simulation Circuit Circuit -File -File UTMEG Abbildung 5.7: Strukturierter Programmablauf während der Simulation einer Einzelanordnung. 95 VON 130

100 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN Nach Auswahl der zu simulierenden Konfiguration und Einstellung aller dazugehörigen Parameter erstellt das Programm im Hintergrund eine Textbeschreibung des entstandenen Netzwerkes mit seinen spezifischen Bauelementen. Die Beschreibung erfolgt in einem SPICE-üblichen Format, indem alle Schaltungsknoten durchnummeriert werden und Bauteile unter Angabe ihrer Knotennummern und Größen definiert werden. Die so entstandene Textdatei wird als Circuit File genant und mit der Endung.cir abgespeichert. Zeitgleich wird im Hintergrund das SPICE-Simulationsprogramm gestartet. Über eine Ansteuerung in der Kommandozeile wird eine Reihe von Befehlen an SPICE übergeben. Darunter befinden sich unter anderem auch die Pfadangaben für das Circuit File sowie Einstellungen, die für die Darstellung des Strom- Spannungsdiagramms relevant sind. Ergebnis der SPICE-Simulation sind Stromstärke bzw. Stromdichtevektoren, die passend zu jedem Potentialwert auf der x-achse einen y-wert enthalten. Eine Darstellung der simulierten Ergebnisse in einem Diagramm erfolgt über die in SPICE integrierte Software mit der Bezeichnung UTMEG. Über die Registerkarte Evolutionärer Algorithmus gelangt der Benutzer zu der in Kapitel beschriebenen graphischen Oberfläche zur Optimierung des vorliegenden Fehlstellennetzwerkes mittels evolutionärer Strategien. In diesem Optimierungsmodus unterscheidet sich der Programmablauf vom oben geschilderten. Abbildung 5.8 verdeutlicht die Unterschiede. Nach Festlegung der Suchparameter und Start des evolutionären Algorithmus verhält sich das Programm zunächst einmal in gleicher Weise wie oben beschrieben. Es wird ebenfalls eine Textdatei mit Netzwerkdaten erstellt und mit Hilfe von SPICE verarbeitet. Die als Vektoren vorliegenden Ergebnisse werden dagegen nicht mehr graphisch in einem Diagramm dargestellt sondern wiederum in einer Textdatei Output.txt gespeichert. Das Abspeichern dieser Datei erfolgt in einem zuvor auf der Registerkarte Einstellungen angegebenem Verzeichnis. Das Format der darin enthaltenen Vektoren wird im Allgemeinen als Comma Separated Values (CSV) bezeichnet, was bedeutet, dass die einzelnen Werte durch ein spezielles Zeichen getrennt werden müssen, wie beispielsweise ein Komma. Im vorliegenden Fall sind einzelne Vektorenelemente zur besseren Übersicht durch Tabulatoren getrennt worden. Auf diese Art weitergereichte Stromstärkewerte werden vom Optimierungsprogramm ausgelesen und anschließend in Abhängigkeit von der Oberfläche der beteiligten Fehlstellen in Stromdichten umgewandelt. Weiterhin ermittelt das Programm daraus die kleinste Stromdichte und ordnet diese dem aktuell simulierten Individuum als Fitnesswert zu. Anhand des Fitnesswertes kann der Evolutionsalgorithmus Entscheidungen über die weitere Existenz dieses Individuums treffen, verglichen zu Ausführungen in Kapitel Der hier erläuterte Ablauf wird anschließend für das nächste Individuum in Gang gesetzt. Es entsteht eine Schleife, welche über die gesamte Anzahl der Generationen in dieser Weise abgearbeitet wird. 96 VON 130

101 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN Programmablauf beim Optimierungsprozess GUI Evolutionsstrategie Outp. Outp. -Files -Files SPICE Simulation Circuit Circuit -File -File Abbildung 5.8: Strukturierter Programmablauf während der Suche nach einer kritischen Fehlstellenanordnung. 97 VON 130

102 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN 5.2 Anwendung der Evolutionsstrategie Festlegung von Suchkriterien und Rahmenbedingungen Bevor in Kapitel mit der Optimierung begonnen werden kann, müssen zunächst einmal die Kriterien der Suche und die Wahl der zu simulierenden Fehlstellenkonfigurationen überlegt werden. Als Erstes muss ein geeignetes kathodisches Einschaltpotential für alle Einzelfehlstellen auf der Rohrleitung gefunden werden. Eine Bedingung dafür ist ein mit Sicherheit ausreichender Korrosionsschutz, der auch für die größte vorhandene Fehlstelle, in diesem Fall 100cm², gewährleistet ist. Die zweite Bedingung ist die Vermeidung von Überschutz an den kleinsten Fehlstellen durch eine möglichst moderate Potentialeinstellung. Mindeststromdichten für den Kathodischen Korrosionsschutz sind in der Tabelle 1.1 definiert worden. Aufgrund der vorliegenden klaren Unterschiede im spezifischen Widerstand zwischen den drei verschiedenen Sandschichten kann das zu simulierende Medium als ein Mischboden angenommen werden. Demnach beträgt die Mindeststromdichte dafür 200mA/m², also 0.02mA/cm². Eine Unterschreitung dieses Grenzwertes würde Korrosionsbildung ermöglichen. Tabelle 5.1 zeigt Stromdichtewerte bezogen auf einzelne Fehlstellen bei -1600mV(Kalomel) Einschaltpotential. Fehlstellenlage Oberfläche in cm² Stromdichte in ma/cm² Oben Mitte Grund Mitte Oben Grund Oben Mitte Grund Tabelle 5.1: Stromdichte J an einzelnen Fehlstellen bei einem Einschaltpotential U ein von -1600mV(Kalomel). 98 VON 130

103 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN Mit ca mA/cm² wäre bei einer solchen Einstellung des Einschaltpotentials auch die Größte 100cm²-Einzelfehlstelle bei ungünstigsten Bodenbedingungen noch ausreichend vor Korrosion geschützt. Bezogen auf eine Kupfer(Cu)- Kupfersulfat(CuSo 4 )-Elektrode beträgt das Einschaltpotential ca. -1.7V, vergl. Kapitel 1.1.1, und ist damit ein durchaus in der Praxis gebräuchlicher Wert. Von weiterem Interesse ist die gegenseitige Beeinflussung der Fehlstellen zueinander in Abhängigkeit von ihrer Anzahl zu untersuchen. Für Simulationszwecke werden Anordnungen bestehend aus 2 bis 4 Fehlstellen erzeugt. Dadurch kann überprüft werden, wie sich eine steigende Fehlstellenzahl auf die minimale Schutzstromdichte J auswirkt. Nicht zu vernachlässigen ist die Bedeutung der einzelnen Oberflächen der Fehlstellen, weil grundsätzlich mit steigender Einzeloberfläche auch die Stromdichte abnimmt. Große Fehlstellen sind jedoch in der Praxis eher eine Ausnahme, so dass eine Untersuchung von kleinen (1cm²) bis Mittelgroßen (10cm²) Fehlstellen ebenfalls gesondert stattfindet. Auf die Simulation der Stromdichteverteilung von Konfigurationen aus ausschließlich kleinen (1cm²) Fehlstellen ist verzichtet worden, da sich eine Abschätzung der Ergebnisse aus den beiden vorherigen Versuchsvarianten als möglich herausgestellt hat. Insgesamt sind nach Berücksichtigung aller oben genannten Argumente 6 verschiedene Rahmenbedingungen für den Einsatz der Optimierung mit Hilfe der evolutionären Algorithmen nach Tabelle 5.2 entstanden. Konfiguration 2 Fehlstellen 3 Fehlstellen 4 Fehlstellen Einschaltpotential -1600mV -1600mV -1600mV Fehlstellenoberflächen (1,10,100)cm² und (1,10)cm² Fehlstellenlage (Belüftung) Oben, Mitte, Grund (1,10,100)cm² und (1,10)cm² Oben, Mitte, Grund (1,10,100)cm² und (1,10)cm² Oben, Mitte, Grund Tabelle 5.2: Rahmenbedingungen für den Einsatz der Optimierung durch evolutionäre Algorithmen. 99 VON 130

104 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN Suchergebnisse und Auswertung kritischer Konfigurationen für eine Anordnung aus 2 Fehlstellen In die Suche nach der am schlechtesten durchströmten Fehlstelle bei einer Zweieranordnung sind zuerst Fehlstellen aller Größen (100cm², 10cm² und 1cm²) einbezogen worden. 4 verschiedene Suchdurchläufe mit unterschiedlichen Parametereinstellungen sind ausgeführt worden. Tabelle 5.3 zeigt die Zusammenstellung der verwendeten Parameter. Suche Eltern Kinder Selektion Generat. σ F σ D τ 1 τ (µ+ λ)-es 20 9% 15% (µ+ λ)-es 20 9% 15% (µ+ λ)-es 20 9% 15% (µ, λ)-es 20 9% 15% Tabelle 5.3: Sucheinstellungen des ev. Algorithmus bei 100cm², 10cm² und 1cm²- Oberflächen. Entsprechende Suchverläufe sind in Abbildung 5.9 in Abhängigkeit von der Generationenzahl dargestellt Stromdichte J in ma/cm² Generationen Suche 1 Suche 2 Suche 3 Suche 4 J-Schutz Abbildung 5.9: Stromdichteverlauf nach Generationenzahl während der Optimierung (alle Suchverläufe deckungsgleich ab der 16 Generation). 100 VON 130

105 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN Die waagerechte gestrichelte Linie in Rot gibt die minimale Stromdichte von -0.02mA/cm², die für den kathodischen Korrosionsschutz notwendig ist. Bei der Optimierung sind die Werte für Eltern und Nachkommenzahlen variiert worden. Für die die exogenen Konstanten und die prozentuellen Einstellungen der Standardabweichungen haben sich die Werte aus der Tabelle 5.3 bewährt, so dass sie im Laufe aller nachfolgenden Optimierungsläufe beibehalten worden sind. Die Auswertung des Diagramms in Abbildung 5.9 zeigt ein insgesamt relativ schnelles Konvergenzverhalten der benutzten evolutionären Algorithmen. Innerhalb von höchstens 20 Generationen ist das jeweilige Optimum gefunden worden. Das hängt damit zusammen, dass die gestellte Optimierungsaufgabe lediglich aus 3 Variablen besteht und damit das Suchverfahren nicht vor große Herausforderungen stellt. Das Ergebnis der Suchen 1-3 ist nach Veränderung der Selektionsart zusätzlich bestätigt worden. Bei Komma-Selektion konvergiert der evolutionäre Algorithmus in der Regel langsamer, jedoch ist die Wahrscheinlichkeit höher das auch wirklich das absolute Maximum gefunden wird. Bei allen gefundenen Optima handelt es sich stets um dieselbe Fehlstellenanordnung, wie sie in Abbildung 5.10 zu sehen ist. Sie besteht aus zwei Fehlstellen mit der Oberfläche 100cm², von denen sich eine in der oberen Sandschicht und die zweite, mit der geringsten Stromdichte, in der mittleren Sandschicht befindet. Der Abstand ihrer Mittelpunkte beträgt 15cm und ist damit der kürzeste mögliche Abstand, bei dem sich die Fehlstellen noch in unterschiedlichen Sandschichten aufhalten können. Die gefundene Anordnung ist aus der Sicht des Korrosionsschutzes nicht kritisch, weil die minimale Stromdichte, wie in Abbildung 5.9 zu erkennen, sich zwar der Schutzstromdichte nähert, diese jedoch nicht unterschreitet. Weitere Informationen zur Stromdichteverteilung an zwei Fehlstellen werden am Ende dieses Kapitels gegeben. Oben Mitte J Min Grund Abbildung 5.10: Anordnung aus zwei Fehlstellen (je 100cm²) bei der die minimale mögliche Stromdichte an der Fehlstelle in der mittleren Sandschicht auftritt. 101 VON 130

106 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN Bereits die Auswertung der Konfigurationen aus zwei Fehlstellen hat gezeigt, dass große Fehlstellen einem größeren Risiko unterliegen eine zu geringe Schutzstromdichte aufzubauen. Von Interesse ist es auch zu überprüfen wie sich dieses Risiko mit abnehmender Fehlstellenoberfläche verändert. Dazu sind als nächstes Oberflächen der Größe 100cm² aus der Polynomdatei entfernt worden und diese anschließend dem evolutionären Algorithmen zugeführt worden. Die eingestellten Parameter während der Optimierung sind in der Tabelle 5.4 aufgeführt. Suche Eltern Kinder Selektion Generat. σ F σ D τ 1 τ (µ+ λ)-es 20 9% 15% (µ+ λ)-es 20 9% 15% (µ, λ)-es 20 9% 15% Tabelle 5.4: Sucheinstellungen des ev. Algorithmus bei 10cm² und 1cm²-Oberflächen. Stand der minimalen Stromdichte nach Durchlaufen der jeweiligen Generation ist in Abbildung 5.11 dargestellt. Die Grenze für die Schutzstromdichte bei -0.02mA/cm² ist ebenfalls eingeblendet Stromdichte J in ma/cm² Generationen Suche 1 Suche 2 Suche 3 J-Schutz Abbildung 5.11: Stromdichteverlauf nach Generationenzahl während der Optimierung (alle Suchverläufe deckungsgleich ab der 7 Generation). 102 VON 130

107 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN Verglichen zum Optimierungsprozess zu Beginn dieses Kapitels standen den evolutionären Algorithmen weniger Kombinationsmöglichkeiten zur Verfügung. Entsprechend schneller ist damit die optimale Konfiguration gefunden worden. Sie besteht aus zwei Fehlstellen der Oberfläche 10cm², die sich beide möglichst nah aneinander (D 12 =4cm) anordnen. Wie in Abbildung 5.12 zu erkennen ist, liegen beide in der mittleren Sandschicht. Die Anordnung ist, verglichen mit der vorhergehenden, viel unkritischer, weil die Schutzstromdichte mehr als um den Faktor 3 geringer ist, als die gefundene minimale Stromdichte. Auffällig ist, dass die Größe der Fehlstellen nun offenbar im Vergleich zur vorherigen Konfiguration nicht mehr ausreicht um negative Einflüsse aus anderen Sandschichten auszunutzen. Die verhältnismäßig hohen Abstände würden die Beeinflussung vermutlich schwächen. Stattdessen wird der Abstand zwischen den Fehlstellen so verkürzt, dass die gegenseitige Verringerung des Ausbreitungswidersandes besonders intensiv wird und es dadurch zur Abnahme von Stromdichten kommt. Oben Mitte J Min Grund Abbildung 5.12: Anordnung aus zwei Fehlstellen (je 10cm²) bei der die minimale mögliche Stromdichte an der Fehlstelle in der mittleren Sandschicht auftritt. Zum Abschluss des Kapitels ist eine allgemeine Betrachtung der gegenseitigen Einflüsse von zwei Fehlstellen aufeinander von Interesse. In der Tabelle 5.5 sind ausgewählte Anordnungen in einem Risikokatalog zusammengefasst. Ihre Reihenfolge ist nach dem Betrag der kleinsten, in der Anordnung vorkommenden Stromdichte an einer Fehlstelle, aufsteigend sortiert. Die entsprechende Fehlstelle ist dabei fett dargestellt. Zur Verdeutlichung der für den kathodischen Korrosionsschutz annähernd kritischen Konfigurationen sind diese bei einer Unterschreitung von mA/cm² gelb markiert. Die Schutzstromdichte beträgt nach wie vor mA/cm² und wird in diesem Fall nicht unterschritten. 103 VON 130

108 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN Die in Gelb eingefärbten Konfigurationen liegen in Bezug auf ihre minimalen Stromdichten in der Tabelle 5.5 sehr eng beieinander. Es handelt sich dabei um Kombinationen aus Fehlstellen mit ausschließlich 100cm² Oberflächen. Charakteristisch dabei ist ihre besonders nahe Lage zueinander, die für eine möglichst große gegenseitige Beeinflussung notwendig ist. Auch ein Abstand von 30cm² zwischen zwei 100cm²-Fehlstellen aus unterschiedlich belüfteten Bodenschichten sorgt noch für eine relativ hohe Beeinflussung (J= mA/cm²), die jedoch als überaus unkritisch anzunehmen ist. Fehlstellen ab 10cm² und geringer sind auch bei stärksten Wechselwirkungen noch weit jenseits der Korrosionsgrenze. F1-Lage A1 in cm² F2-Lage A2 in cm² D12 in cm J-Min in ma/cm² Mitte 100 Oben Grund 100 Mitte Oben 100 Oben Grund 100 Mitte Mitte 100 Oben Oben 100 Grund Oben 10 Oben Mitte 100 Mitte Oben 100 Oben Oben 100 Mitte Grund 10 Oben Grund 100 Grund Grund 100 Grund Mitte 100 Mitte Oben 1 Mitte Mitte 100 Grund Mitte 1 Mitte Grund 100 Grund Grund 100 Mitte Mitte 10 Grund Oben 1 Grund Mitte 10 Mitte Oben 10 Mitte Mitte 10 Mitte Mitte 10 Grund Oben 10 Oben Grund 1 Grund Mitte 1 Grund Oben 1 Oben Grund 1 Oben Mitte 1 Mitte Grund 1 Grund Tabelle 5.5: Risikokatalog für Anordnungen aus zwei Fehlstellen. 104 VON 130

109 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN Mit steigender Entfernung zwischen den Fehlstellen nimmt die gegenseitige Beeinflussung deutlich ab. Als Beleg dafür können die Stromdichten der Anordnung aus zwei, in der mittleren Bodenschicht liegenden Fehlstellen mit je 100cm² Oberfläche, verglichen werden. Nach dem Risikokatalog in Tabelle 5.5 besitzt eine solche Konfiguration für den Abstand 12 cm von Mittelpunkt zu Mittelpunkt eine minimale Stromdichte J von mA/cm². Mit einem vergrößerten Abstand von 50cm ändert sich die Stromdichte J auf mA/cm² und ist damit nahezu der, einer unbeeinflussten 100cm²- Fehlstelle, gleich, vergl. Tabelle 5.1. Insgesamt lässt sich für das vorliegende Kapitel zusammenfassen, dass zwei bis zu 100cm² große runde Fehlstellen in einer beliebigen Geometrie bei einem angelegten Einschaltpotential von -1600mV(Kalomel) noch vor Korrosion geschützt sind. Eine nennenswerte Wechselwirkung zwischen zwei Fehlstellen über verhältnismäßig große Entfernungen konnte nicht nachgewiesen werden. Eine zusätzliche wichtige Erkenntnis kann zumindest für runde Fehlstellen der vorliegenden Größen 100cm², 10cm² und 1cm² ausgesprochen werden. Trotz der höheren relativen Beeinflussung der größeren Fehlstellen auf die Kleineren, liegt die kleinste Stromdichte J bei einer Anordnung aus zwei Fehlstellen stets an der Größeren der beiden an. Die große Fehlstelle wirkt sich auf die Kleine also nicht so negativ aus, wie in erster Linie auf sich selbst. Bei der Betrachtung der Kriterien für einen sicheren kathodischen Korrosionsschutz ist die Oberfläche einer Fehlstelle damit ein sehr wichtiger Faktor. 105 VON 130

110 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN Suchergebnisse und Auswertung kritischer Konfigurationen für eine Anordnung aus 3 Fehlstellen In diesem Kapitel werden Anordnungen aus drei Fehlstellen im Hinblick auf die, für den kathodischen Korrosionsschutz kritische Konfigurationen, hin untersucht. Dazu werden, in gleicher Weise wie in Kapitel zunächst einmal die Oberflächen (100cm², 10cm² und 1cm²) betrachtet. Auch hier sind wieder 4 Optimierungssuchläufe ausgeführt worden, deren Kenndaten in der Tabelle 5.6 zusammengefasst sind. Suche Eltern Kinder Selektion Generat. σ F σ D τ 1 τ (µ+ λ)-es 30 9% 15% (µ+ λ)-es 50 9% 15% (µ+ λ)-es 30 9% 15% (µ, λ)-es 30 9% 15% Tabelle 5.6: Sucheinstellungen des ev. Algorithmus bei 100cm², 10cm² und 1cm²- Oberflächen. Einen Überblick über die Entwicklung der Stromdichte nach Erreichen aufsteigender Generationszahlen gibt die Abbildung 5.13 wieder Suche 1 Stromdichte J in ma/cm² Generationen Suche 2 Suche 3 Suche 4 J-Schutz Abbildung 5.13: Stromdichteverlauf nach Generationenzahl während der Optimierung (Suchverläufe 1, 2 und 3 deckungsgleich ab der 17 Generation). 106 VON 130

111 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN In diesem Fall ist es erkennbar, dass die Schutzstromdichte deutlich unterschritten wird. Bei der Wahl der Eltern und Nachkommensparameter des Optimierers sind verschiedene Varianten ausprobiert worden. Als besonders effizient auf der Seite des evolutionären Algorithmus mit der Plus-Selektion haben sich die Suchen 1 und 3 herausgestellt. Die Suche 2 musste nach 50 Generationen abgebrochen werden, weil sich der Algorithmus auf ein Nebenmaximum fixiert hatte. Nach Umschalten des Optimierers auf die Komma- Selektion konnte ebenfalls die bis dahin gefundene Fehlstellenkombination bestätigt werden. In Abbildung 5.14 ist diese kritische Kombination qualitativ nachgestellt worden. Drei Fehlstellen der Größe 100cm² bilden ein gleichschenkliges Dreieck. Die beiden Fehlstellen in der mittleren Sandschicht liegen möglichst nah aneinander. Die minimale Stromdichte von ca mA/cm² tritt bei der auf dem Grund liegenden Fehlstelle auf, die sich 15cm unterhalb der beiden Anderen befindet. Da es sich aufgrund der Schutzstromunterschreitung um eine kritische Kombination handelt, ist die entsprechende Fehlstelle in Abbildung 5.14 rostfarben gekennzeichnet worden. Oben Mitte J Min Grund Abbildung 5.14: Anordnung aus drei Fehlstellen (je 100cm²) bei der die minimale mögliche Stromdichte an der Fehlstelle in der unteren Sandschicht auftritt. Ergänzend dazu hat eine zusätzliche Einzelsimulation mit Hilfe der unter Kapitel beschriebenen Bedienoberfläche den Verlauf der Stromdichte an allen drei Fehlstellen für das Einschaltpotential U ein zwischen -1200mV und -2000mV bestimmen können. Abbildung 5.15 veranschaulicht das erzielte Ergebnis. Obwohl es drei Fehlstellen gibt, sind insgesamt nur zwei Kennlinien zu sehen. Dies hat mit der Symmetrie der Anordnung zu tun, so dass an den beiden in den mittleren Bodenschichten liegenden Fehlstellen gleiche Bedingungen herrschen. 107 VON 130

112 5 AUSWERTUNG UND BEURTEILUNG DER WECHSELWIRKUNGEN VON FEHLSTELLEN AUF ERDVERLEGTEN ROHRLEITUNGEN Damit sind auch ihre Stromdichten stets gleich. Sie sind in der Farbe Gelb dargestellt. 100cm² Grund je 100cm² Mitte Abbildung 5.15: Stromdichteverlauf für eine kritische Anordnung aus drei Fehlstellen der Größen je 100cm². Die rote Kennlinie zeigt damit die an der unteren Fehlstelle gemessene Stromdichte J. In Grün gestrichelte Linie kennzeichnet das aktuell anliegende Einschaltpotential U ein von -1600mV. Wie deutlich in Abbildung 5.15 zu sehen ist liegt die Stromdichtewert für die beiden mittleren Fehlstelen bei ca mA/cm². D.h. der entstehende negative Gesamteinfluss der Anordnung auf die beiden in der Mitte liegenden Fehlstellen wirkt sich nicht ausreichend aus, so dass sie keinen Schaden durch Korrosion nehmen würden. In ähnlicher Weise wie im vorherigen Kapitel ist auch für Anordnungen aus 3 Fehlstellen ein Risikokatalog angefertigt worden. Dieser wird am Ende dieses Kapitels vorgestellt. 108 VON 130