Ferienkurs Experimentalphysik 4

Transkript

1 Ferienkurs Experimentalphysik 4 Vorlesung 5 Quantenstatistik Florian Lippert & Andreas Trautner

2 Inhaltsverzeichnis 1 Quantenstatistik Vorüberlegungen Verteilungsfunktionen Bosonen Fermionen Zustandsdichte Freies Elektronengas Photonengas Abbildungsverzeichnis 1 Verteilung auf zwei Teilchen X,Y auf Zustände 1,2,3 entsprechend der Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein und Fermi-Dirac Statistik Bose-Einstein und Fermi-Dirac Verteilungsfunktion bei endlicher Temperatur Spektrale Energiedichte des Planckschen Gesetzes für Schwarzkörperstrahlung. 6

3 1 Quantenstatistik 1.1 Vorüberlegungen Wir wollen jetzt Systeme mit einer sehr großen Anzahl an Teilchen, wie z.b. Gase oder Festkörper betrachten. Genau wie für Einteilchensysteme wollen wir Observablen, hier sog. Zustandsgrößen, berechnen. Beispiele hierfür sind Druck, Gesamtenergie, Temperatur, Wärmekapazität usw. In erster Näherung betrachten wir N identische Teilchen in einem Volumen V ohne gegenseitige Wechselwirkung. Die Gesamtwellenfunktion ist somit wieder einfach ein Produkt von N Einteilchen-Wellenfunktionen. Hierbei soll q i für die Ortskoordinaten sowie a i für alle weiteren Quantenzahlen stehen. Auch hier muss das Pauli-Prinzip gelten, d.h. zwei identische Fermionen dürfen nicht den gleichen Zustand besetzen, Ψ(q 1,..., q i,..., q j,...) = + Ψ(q 1,..., q j,..., q i,...) für Bosonen Ψ(q 1,..., q i,..., q j,...) = Ψ(q 1,..., q j,..., q i,...) für Fermionen. (1) Abb. 1: Verteilung auf zwei Teilchen X,Y auf Zustände 1,2,3 entsprechend der Maxwell- Boltzmann, Bose-Einstein und Fermi-Dirac Statistik. Um den Unterschied zwischen einem klassischen und einem quantenmechanischen Vielteilchensystem zu verdeutlichen betrachten wir ein einfaches Beispiel. Betrachte ein System aus zwei identischen Teilchen X und Y, die jeweils 3 mögliche Zustände 1,2,3 besetzen können. Im klassischen Fall sind X und Y unterscheidbar und die verschiedenen 1

4 Besetzungsmöglichkeiten der Zustande 1-3 sind in Abb. (1, links) gegeben. Für den Fall eines Quantensystemes und für bosonische Teilchen X und Y sind diese ununterscheidbar und die Zustände sind gegeben in Abb. (1, mitte). Betrachtet man schließlich X und Y als Fermionen, so sind diese wiederum ununterscheidbar und unterliegen zusätzlich noch dem Pauli-Prinzip, sodass sich die Besetzungsmöglichkeiten wie in (1, rechts) ergeben. Wir sehen hier bereits prinzipelle Eigenschaften von Quantenvielteilchensystemen: Bosonen neigen dazu gleiche Zustände bevorzugt zu besetzen während Fermionen immer unterschiedliche Zustände besetzen (müssen). Der Mischfall entspricht dem klassischen Grenzwert. 1.2 Verteilungsfunktionen Numerieren wir jetzt alle möglichen Zustände eines Vielteilchensystems (in unserem Beispiel 1-3) mit i = 1, 2,... durch, so ist das System vollständig charakterisiert durch die Angabe der jeweiligen Besetzungszahl des Zustandes n i. Wir müssen nicht konkret berücksichtigen, welches Teilchen sich in welchem Zustand befindet, da die Teilchen identisch und damit ohnehin ununterscheidbar sind. Im Allgemeinen ist die Besetzungszahl n i eines Zustandes abhängig von der Energie E i des jeweiligen Zustandes Bosonen Für Bosonen kann jeder Zustand mit beliebig vielen Teilchen besetzt werden. Insbesondere gilt, dass im Grundzustand alle Teilchen den Zustand n 1 mit der niedrigsten Energie E 1 < E i besetzen werden. Im Grenzfall großer Systeme werden die Energien E i so nah zusammen liegen, dass wir die Energie eines Zustandes ɛ als kontinuierliche Variable auffassen. Damit ist es möglich den Erwartungswert der Besetzungszahl n(ɛ) für Zustände mit Energie im Intervall [ɛ, ɛ + dɛ], die sogenannte Verteilungsfunktion, herzuleiten. Es ergibt sich: n(ɛ) = 1 e ɛ µ kt 1. (2) Hierbei ist µ das sog. chemische Potential (eine vom konkret betrachteten System abhängige Konstante), k die Boltzmann-Konstante sowie T die Temperatur. Diese Funktion gibt also an, wieviele Teilchen einen Zustand der Energie ɛ besetzen Fermionen Für Fermionen ist aufgrund des Pauli-Prinzips klar, dass n i nur die Werte 1 oder 0 annehmen kann. Der Zustand der niedrigsten Energie E 1 kann somit im besten Fall von 2

5 Abb. 2: Bose-Einstein und Fermi-Dirac Verteilungsfunktion bei endlicher Temperatur. lediglich zwei Teilchen (Spin up/down) besetzt werden. Die Berechnung der Grundzustandsenergie gestaltet sich demnach wesentlich schwieriger. Analog zum bosonischen Fall kann man die Verteilungsfunktion herleiten und es ergibt sich: f(ɛ) = 1 e ɛ µ kt + 1. (3) Die beiden Funktionen sind in Abb. (2) für endliche Temperatur dargstellt. Es sollte nicht überraschen, dass für T 0 (Grundzustand) die Verteilungsfunktion für Fermionen eine Stufenfunktion reproduziert. Es werden einfach sukzessive alle Energieniveaus mit Fermionen besetzt die nach dem Pauli-Prinzip erlaubt sind. Somit ergibt sich eine Verteilungsfunktion, die sobald alle Teilchen in Zustände verteilt sind apprupt abbricht. Die höchste besetzte Energie bezeichnet man auch als die Fermi-Energie ɛ F. 1.3 Zustandsdichte Nachdem wir die Verteilungsfunktion berechnet haben (die angibt wieviele Teilchen sich in einem Zustand der Energie ɛ aufhalten) ist es für die Berechnung von Zustandsgrößen nötig, auch die Zustandsdichte D(ɛ) zu ermitteln, welche angibt wieviele Zustände es mit einer derartigen Energie gibt. Die Gesamtanzahl an Teilchen mit einer Enegie im Bereich dɛ ist also gegeben Anzahl der Zustände mit dieser Energie mal Besetzungszahl 3

6 für einen solchen Zustand, dn = f(ɛ)d(ɛ). (4) dɛ Oder in integraler Form, dann ist die Gesamtteilchenzahl des Systems gegeben als N = ˆ 0 dɛf(ɛ)d(ɛ). (5) Völlig analog gelten obige Gleichungen natürlich für Bosonen wenn man jeweils die Verteilungsfunktion ersetzt. Für die Berechnung von Zustandsgrößen letztendlich muss man die Verteilung entpsrechend gewichten, so ist beispielsweise die Gesamtenergie eines Systems gegeben als ɛ ges = ˆ 0 dɛɛf(ɛ)d(ɛ). (6) Die Zustandsdichte ist im Gegensatz zu den Verteilungsfunktionen eine stark vom betrachteten System abhängige Größe, d.h. wir erhalten sie durch gegebene Randbedingungen, wie im Folgenden einige Beispiele erläutern sollen. (7) 1.4 Freies Elektronengas Als einfaches Beispiel eines vielteilchen Quantensystem betrachten wir ein System von N wechselwirkungsfreien Elektronen in einem unendlich hohen Potentialtopf des Volumens L 3. Das ist ein sehr einfaches Modell für Valenzelektronen in einem Metall. Die möglichen Lösungen für die Wellenfunktion in x-richtung lauten wie gewohnt ψ(x) sin(k n x). (8) Mit der üblichen Randbedingung einer verschwindenden Wellenfunktion an den Rändern des Potentialtopfes ergibt sich die Quantisierung möglicher Impulse, k nx = π L n x mit n x N. (9) Völlig analoges gilt für y- und z-richtung. Damit ergibt sich für die Energie im n-ten Zustand ɛ n = 2 2m (k2 n x + k 2 n y + k 2 n z ) = 2 π 2 2mL 2 (n x 2 + n y 2 + n z 2 ) = 2 π 2 2mL 2 n2. (10) Zur Berechnung der Zustandsgrößen des Systems benötigen wir die Zustandsdichte. Wir wollen im Grenzwert großer n arbeiten. Die Anzahl der Zustände mit gleicher Energie ist die Entartung der einzelnen Energieniveaus, d.h. wieviele verschiedene Realisierungsmöglichkeiten (n x, n y, n z ) es gibt, die zu einem gleichen n führen. Für n = 4

7 n 2 x + n 2 y + n 2 z lässt sich n als Betrag eines Vektors in drei Dimensionen auffassen. Da n i 0 befindet sich dieser Vektor lediglich im 1. Oktanden. Das vom Vektor definierte Volumen des Kugeloktanden entspricht der Gesamtanzahl der Zustände, da pro Einheitsvolumen ein möglicher Zustand (n x, n y, n z ) existiert. Die Zahl der Zustände im Intervall [n, n + dn] ist gegeben durch D(n)dn mit der Zustandsdichte D(n). Das entspricht aber einfach dem 1 Volumen einer Kugelschale der Dicke dn, also 8 D(n)dn = 1 8 4πn2 dn. (11) Bis jetzt haben wir den Spin komplett vernachlässigt, bei Berücksichtigung verdoppelt sich die Anzahl der Zustände. Wir wollen nun die Zustandsdichte pro Energie angeben. Benutzt man nun den Zusammenhang (10) um in (11) n durch ɛ zu substituieren, ergibt sich und damit dn dɛ = ( 2m 2 ) 1/2 L 2π 1 ɛ, (12) ( ) 3/2 2m L 3 D(ɛ)dɛ = ɛdɛ. (13) 2 2π 2 Mit der Fermi-Dirac Verteilung und der Zustandsdichte haben wir nun alle nötigen Funktionen zusammen um Zustandsgrößen für unser System berechnen zu können. 1.5 Photonengas Analog zum freien Elektronengas wollen wir jetzt Photonen in einem Hohlraum des Volumens V = L 3 mit reflektierenden Wänden betrachten. Auch hier gilt die Bedingung verschwindender Wellenfunktion an den Rändern, woraus sich wiederum die gleiche Impulsquantisierung wie in (9) ergibt. Der Unterschied im Vergleich zu den zuvor betrachteten Elektronen liegt einerseits in der bosonischen Natur der Photonen, andererseits in der Dispersionsrelation, ω 2 = k 2 c 2 = π2 c 2 L 2 (n2 x + n 2 y + n 2 z) = π2 c 2 L 2 n2. (14) Wiederum betrachten wir zur Berechnung der Zustandsdiche die Kugelschale zwischen n und n + dn, woraus sich D(n) ergibt wie in (11). Auch das Photon hat - obwohl es ein Spin 1 Teilchen ist - zwei interne Freiheitsgrade, da es Masselos ist. Demnach resultiert auch hier ein zusätzlicher Faktor 2 für die Anzahl möglicher Zustände. Mit der, nun anderen, Dispersionsrelation ergibt sich dn dω = L πc, (15) 5

8 Abb. 3: Spektrale Energiedichte des Planckschen Gesetzes für Schwarzkörperstrahlung. Und damit die Zustandsdichte D(ω)dω = ω3 L 3 dω. (16) c 3 π2 Zur Berechnung von Zustandsgrößen müssen wir nun natürlich auch die bosonische Besetzungsstatistik (2) verwenden. In unserem Fall ist das chemische Potential µ = 0, da es keine Arbeit kostet Potonen zum Gas hinzuzufügen. Wir können jetzt zum Beispiel die Gesamtenergie eines solchen Photonengases in abhängigkeit der Temperatur berechnen. E ges (T ) = ˆ 0 dωn(ω)d(ω)e(ω) = ˆ 0 dω ω2 L 3 c 3 π 2 e ω ω kt 1. (17) Der Integrand ist dabei die sog. Spektrale Energie, aus dem sich bei Division durch das Volumen L 3 die spektrale Energiedichte ergibt, u(ω, T ) = c 3 π 2 ω 2 e ω kt 1. (18) Das ist das Plancksche Gesetz für Schwarzkörperstrahlung, wir haben es aus der Quantisierung des Photonenfeldes und der bosonischen Quantenstatistik hergeleitet. Abbildung (3) zeigt beispielhaft die spektralen Energiedichten für verschiedene Temperaturen. 6