II. Wertvergleich von Zahlungsströmen durch Diskontierung

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1 Unernehmensfinanzierung Winersemeser 20/2 Prof. Dr. Alfred Luhmer II. Wervergleich von Zahlungssrömen durch Diskonierung Gegenwarswere und Zukunfswere Kalkulaionszinsfuß Bewerung konsaner Zahlungssröme: Annuiäen und ewige enen endien Unerjährige und koninuierliche Verzinsung Darlehensypen verschiedener Amorisaionssrukur

2 Annahmen über den Kapialmark Der Kapialmark is. vollsändig und liquide d.h. beliebige Zahlungssröme sind handelbar, für jede Nachfrage und jedes Angebo finde sich jederzei ein Markparner, der zum Markpreis verkauf bzw. kauf. 2. vollkommen ransakionskosen, Boniäsprobleme und persönliche Präferenzen spielen keine olle das Markengel für. eine Zahlung is proporional zum Berag 2. ein Bündel von Zahlungen is gleich der Summe der Markengele für die einzelnen Zahlungen 2

3 Zeiwer des Geldes Der Wer einer Zahlung von besimmem Berag is umso geringer, je weier der Zahlungszeipunk in der Zukunf lieg. Man kann am heuigen Kapialmark in zukünfigen Zeipunken fällige Beräge gegen bar kaufen und verkaufen. Beispiel: Man verkauf heue 000 ON fällig zum Zeipunk und erhäl dafür 000 bar. Dafür kauf man Geld fällig in +. Je Einhei zahl man heue / + 3

4 Forward Zinssaz / + Im Effek (roer Pfeil) ha man also in 000 ON verkauf und erhäl dafür in + : 000 / + Das is gleichbedeuend mi einer Anlagerendie (siehe Vorlesung Folie 22) von r Man kann also auf dem heuigen Kapialmark (erminmark) prakisch nich für beliebige Zeipunke schon Kredigeschäfe für zukünfige Zeien abschließen; r is der Zinssaz für Kredie von bis + und wird als Forward Zinssaz für Periode auf dem heuigen Mark bezeichne. 4

5 Vereinfachende Annahmen. Zahlungen erfolgen nur zu ganzzahligen Zeipunken. Die Periodenlänge beräg ein Jahr oder is kürzer, so dass ein Jahr aus einer ganzzahligen Anzahl von Perioden beseh. 2. Die einperiodigen Forwardzinssäze r sind konsan, d.h. / + r für alle. r wird als Diskonrae bezeichne; es gil heiß auch Diskonfakor. 3. Alle Zahlungen sind nach Berag und Zeipunk sicher. ( + r) 5

6 Barwer, Zukunfswer Zahlungsreihe: z 0, z,, z Zahlung des Berags z erfolg zum Zeipunk. Diskonierungszinsfuß: r; /( + r) Gegenwarswer (Barwer) im Zeipunk 0: Zukunfswer im Zeipunk : + z r z W ) ( + z r W 0 ) ( 6

7 Beispiel Die Anleihe von Griechenland (WKN AASOK) läuf bis 20. Augus 205 und ha einen 6.0% Kupon (fällig 20. Augus). Bekannlich sind Zins und ückzahlungsansprüche von Saasanleihen sicher. Der Markzinssaz für sichere Anlagen berage 3% pro Jahr. Wie hoch is der Gegenwarswer von nominal 000 dieser Anleihe am 20. Augus 20 (ex Kupon)? 7

8 Lösung Zahlungssrom: Berechnung mi einfachem aschenrechner: 0. Den Diskonfakor in den Speicher eingeben. die leze Zahlung eingeben 2. M (mi dem Diskonfakor aus dem Speicher muliplizieren) 3. addieren der nächsen Zahlung, drücken Schrie 2 und 3 wiederholen bis alle Zahlungen berücksichig sind. Im Beispiel: /.03 Speicher; 06 * M + 6 * M + 6 * M + 6 * M Im Effek: (((06/ )/ )/ )/

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10 Beispiel 2 Ioanas Vaer hae im Gründungsjahr 995 ein Darlehen im Wer von 2 mill. ON aufgenommen, das Ende 203 in einem Berag zurückzuzahlen und bis dahin mi 6% jährlich zu verzinsen is, Zinsen zahlbar zum Jahresende. Ioana ha keinen Zugang zum Kapialmark. Im ahmen eines Exisenzgründerförderprogramm kann sie Miel für die Zins und ilgungszahlungen aufnehmen, rückzahlbar zuzüglich 4% p.a. Zinseszinsen zum Ende 203. Ihr Bankkono, aus dem sie die Darlehenszinsen bezahlen muss, wenn sie die Miel aus dem Förderprogramm nich in Anspruch nimm, weis dauerhaf Schuldsalden auf, die Bankzinsen beragen 0%.. Welchen Wer ha das Exisenzgründerprogramm für Ioana per Ende 203? 2. Angenommen nun, der Darlehensgeber is berei, eine soforige Ablösung hinzunehmen. Auch das würde das Förderprogramm zu den obigen Bedingungen finanzieren. Wie hoch is für Ioana die Obergrenze für die Ablösesumme? 0

11 Kapialkosen Jede Einzahlung, die Ioana erhäl enlase ihr Bankkono, jede Zahlung die sie leisen muss, erhöh ihren Schuldsaldo, den sie mi 0% verzinsen muss. Ihr Kapialkosensaz beräg als 0%; mi diesem Saz wird sie die künfigen Zahlungen diskonieren. zu : Abgesehen von der Möglichkei der Ablösung is die Zahlungsreihe, die ihr das Exisenzgründerprogramm gewähr, die folgende: % von 2 mill. 6% von 2 mill. 06% von 2 mill Zu Vergleichszwecken berechnen wir die Auswirkungen auf den Sand des Bankkonos per Ende 203. (Zukunfswer) Der Zukunfswer der Zahlungen zum Kalkulaionszinsfuß beräg: ² Diesen Zukunfswer ausch sie ein gegen die Zahlung die sie Ende 203 an das Exisenzgründerprogramm leisen muss: ² Der Wer des Förderprogramms per Ende 203 beräg also:

12 zu 2. Wenn Ioana das Darlehen Ende 20 ablös, wird die Bank eine Vorfälligkeisenschädigung verlangen. Die Frage is, wie hoch der Ablöseberag x maximal sein darf, dami Ioanas Bankkono Ende 203 keinen höheren Schuldsaldo aufweis als wenn sie Zins und ilgung aus dem Förderprogramm finanzier, ohne das Darlehen abzulösen. Bei Ablösung zahl Ioana Ende 203 an das Förderprogramm:.04² (x ) das Förderprogramm finanzier wie bisher auch die Zinszahlung zum Ende von 20 Der Berag von.04² (x ) ri bei Ablösung an die Selle der Zahlung von an das Förderprogramm, wenn das Bankdarlehen nich abgelös wird. Es gil also: x /.04² x Die Vorfälligkeisenschädigung darf also ON nich überseigen, wenn die Ablösung voreilhaf sein soll. 2

13 Berechnung mi abellenkalkulaion NBW(r; z ; z 2 ; ; z ) ( + r) z hierbei wird schon z abgezins. Soll das vermieden werden, is das Ergebnis mi ( + r) zu muliplizieren Der Zukunfswer zum Zeipunk ergib sich als NBW( )*( + r)^ Für regelmäßig erfolgende gleichmäßige Zahlungen gib es weiere Funkionen. 3

14 egelmäßige konsane Zahlungen Annuiäen gewöhnlich: Zahlungen erfolgen am Periodenende falls Zahlung am Periodenanfang: annuiy due Sonderfall unbefrise: Ewige ene Barwer: W 0 Mahemaik: Besimmung der Summe z + ² + + ² ³ + + ( ) ( + ² + + ) z ( + ² ) ( ) 4

15 enenbarwer (nachschüssig) Diskonrae r; Diskonfakor: : /(+ r) jährliche Zahlungen z Grenzfall ewige ene: also W 0 z/r ) ( 0 r z z z z z z W 5

16 enenbarwer (vorschüssig) Is der Berag z jeweils am Periodenanfang fällig, so is der Barwer V 0 der ene gleich dem Barwer der nachschüssigen ene, aufgezins um eine Periode. z z V0 ( )( + r) ( + r ) r r Die zu einer nachschüssigen ene von z N äquivalene vorschüssige enenhöhe z V is folglich z z. V d.h. es genüg eine regelmäßige Zahlung von zn, um denselben Barwer zu erreichen wie mi nachschüssigen Zahlungen in Höhe von z N. Umgekehr: in der nachschüssigen enenbarwerformel is die nachschüssige enenhöhe z durch die vorschüssige enenhöhe von (+ r) z V z V / zu ersezen. N 6

17 Ewige enen? Gib es dergleichen in der Praxis? der briische Schazkanzler ha 752 asächlich ewas ähnliches eingeführ, um die aus dem Krieg gegen Frankreich resulierenden Saasschulden zu konsolidieren. Daher heißen diese Papiere Consols. Allerdings war die Bedingung, dass das Parlamen den ückkauf zum Nennwer beschließen konne. Da der Zins sehr niedrig is, beseh daran aber kaum Ineresse. Sifungen sind kein gues Beispiel. Hier gib es meis ein Finanzmanagemen, das versuch, die Miel so anzulegen, dass die ausgelobe Leisung nich von der Inflaion ausgehöhl wird. 7

18 Der amerikanische Hauskäufer Ein Arbeier bei GM ha $ gespar und will ein Haus kaufen. Er verdien $ im Jahr und die Bank biee ihm ein Hypohekendarlehen mi 6% p.a. Feszinszusage (Zinszuschreibung monalich, d.h. 0.5% Zinseszins pro Mona) auf 30 Jahre. ilgung und Verzinsung sollen in monalichen aen von bis zu 28% des Monaseinkommens erfolgen. Zusäzlich behäl die Bank eine Bearbeiungsgebühr (Disagio) von 4% des Darlehensberages ein.. Wieviel wird ihm die Bank maximal leihen? 2. Was bleib ihm für den Hauskauf übrig? 8

19 Lösung Monaseinkommen: / davon 28% 840 (Monaliche ae für Zins und ilgung) es sind 30 mal aen. Darlehenshöhe Barwer der Annuiä zu 6%: z W0 ( ) ( /.005 ) 4005 r Bearbeiungsgebühr: zu. Auszahlung: zu 2. Verfügbare Miel:

20 mi abellenkalkulaion r Jahreszins n Zahlungszeipunke pro Jahr, Dauer in Jahren /n Konoabschlussperiode F bei vorschüssiger, F 0 bei nachschüssiger Zahlung Barwer BW(r/n; n*; z; 0; F) Im Beispiel: BW(0,006; 360; 840; 0; 0) 20

21 Beispiel 3 Ioana überleg, eine neue Verpackungsmaschine zu leasen. Die Verragsdauer is 5 Jahre, danach gehör die Maschine ihr. Der Barpreis der Maschine is ON. Die Leasinggesellschaf rechne mi einem Kalkulaionszinssaz von 8% p.a. und verlang monaliche aen bei monalichem Konoabschluss. Wie hoch is die monaliche Leasingrae? z Ansaz: Lösung der Barwergleichung W0 ( ) nach der unbekannen eilzahlung. r rw z Excel Funkion: MZ(r;;BW;0,0) 2

22 Beispiel 4 Ioana glaub, sie kann sich höchsens eine monaliche eilzahlung von 200 ON leisen. Sie möche daher den Leasingverrag zeilich srecken. Die Leasinggesellschaf ha nichs dagegen, weil die Verpackungsmaschine auch nach zehn Jahren noch einen erheblichen eswer ha. Wie lange muss Ioana die Maschine absoern, wenn sie nur 200 ON monalich erübrigen kann? Ansaz: Lösung der Barwergleichung nach. z rw 0 rw 0 W 0 ( ) r z z rw 0 ln ln z ln( / 200 ln(.0067 ) rw ln z ) / ln Excel Funkion: ZZ(r; z; W 0 ;0;0) 22

23 Effekivrendie Beispiel : Am berug der Kurs 54%. Wie hoch war die die endie r? Ansaz: Lösen der Wergleichung nach r. das geh nich in geschlossener Form, man muss probieren. Excel Funkion: IKV(Z;Schäzwer) Z ein Zellenbereich, in dem die Zahlungen sehen. oder (speziell für Annuiäen mi Abschlusszahlung ZW): Zins(;z; W 0 ;ZW;0) Für Beispiel : Zins(4;6,; 54;00;0) % 23

24 Inerne endie Definiion: Die Diskonierungsrae, bei der der Barwer der aussehenden Zahlungen gleich dem Invesiionsberag wird. Graph der Funkionen BW(r;4;6,; 00;0) 54 (Griechenlandanleihe) und BW(r;4;3,25;00;0) 08,245 (Bundesanleihe ) 80,00 70,00 60,00 50,00 Barwer Kaufpreis 40,00 30,00 20,00 0,00 0,00 0,00 0 0,05 0, 0,5 0,2 0,25 0,3 0,35 20,00 30,00 Diskonfakor r 24

25 Idee Auf dem vollkommenen Kapialmark kann der Barwer sich nich vom Kaufpreis P des Zahlungssroms unerscheiden. Deshalb muss die Markrendie r des Zahlungssroms die Gleichung BW(r;;z;ZW;0) P erfüllen Die Markrendie is je höher deso größer der Mark das isiko einschäz. Bei den zu diskonierenden Zahlen handel es sich nich um Erwarungswere, sondern um vorrangige Zahlungen. In hohen endien komm eine isikoanpassung zum Ausdruck. Leider beobache man am Mark verschieden hohe endien für verschiedene Laufzeien, sons häe man eine Mehode, Sicherheisäquivalene für die vorrangigen Zahlungen z, fällig in Jahren, zu besimmen: SÄ(z ) z ( + r 0 ) /( + r) ; (r 0 Zinssaz für risikofreie Anlagen). Für den Schuldner is die endie ein approximaives Maß der Fremdkapialkosen für Umschichungen im Sinne einer einzuräumenden konsanen jährlichen Verzinsung über die Laufzei 25

26 Unerjährige Verzinsung Erfolg der Zinsabschluss regelmäßig nach einer kürzeren Periode als nach einem Jahr, (z.b. 00 x% monaliche Zinseszinsen bei aenkaufverrägen), so gil für den effekiven Jahreszinssaz r: + r ( + x) 2 Beispiel: x % ; r % Grenzfall: Koninuierliche Verzinsung Anfang des Jahres beräg der Schuldensand, dann beräg der Schuldensand (ohne Umsäze) am n x Jahresende + r lim( + x / n) e x n ln( + r) Für den koninuierlichen Zinssaz x, auch Zinsenergie genann, is die Bezeichnung ρ (rho) üblich. 26

27 Darlehensypen Endilgung, Zinsen werden am Jahresende bezahl (Beispiel Coupon Anleihe); Berag: z Bewerung als Annuiä + Endzahlung W z z z + z + + r ( ) mi ( ) ( + r) r + r bei unerjähriger Zinszahlung sind, und r ensprechend anzupassen (Vorlesung, S. 33). ilgung in gleichen aen, Zins auf esschuld anders: Beispiel 3 Wie würde man eine Abschlusszahlung behandeln? 27

28 Darlehen mi Zins und regelmäßiger feser ilgungszahlung ON werden auf 0 Jahre ausgeliehen, Zinssaz 8%, zu jedem Jahresende sind die Zinsen und eine ilgung von 5000 ON fällig. Anfangs Zins ilgungs Gesam End Zins: 8% Jahr Konosand zahlung zahlung zahlung Konosand

29 Zusammenfassung Kernpunk der Vorlesung: Die enenbarwerformel für nachschüssige Annuiäen mi Abschlusszahlung z : W z + z r ( mi Kann nach verschiedenen Parameern aufgelös werden: direk durch Umsellen nach z oder nach z, durch Umsellen, Ziehen der en Wurzel und anschließendes Logarihmieren nach. ( S. 22) nur numerisch durch Näherungsrechnung nach r. Aufg2.xlsm ) + r 29

30 Anleiung zu Excel Aufgabe 2 Die regelmäßigen Zahlungen sollen zum Monasanfang erfolgen. Der Barwer von Zahlungen in Höhe von z jeweils zum Monasanfang z is also: V ( ) mi r + r vgl. S. 6 Der Barpreis B des Fahrzeugs muss folglich B S + z r ( ) sein, mi der Abschlussz ahlung Versuchen Sie, diesen Ausdruck für die gegebenen Parameer nach der gefragen Größe aufzulösen. Gefrag is nach dem monalichen Zinssaz in % auf 3 Sellen hiner dem Komma genau. S in 30

31 Übungsaufgaben. Angenommen, Sie haben am nominal 000 der Griechenlandanleihe (s. Seie 7) gekauf, als der Markzins 0% berug. a. Was mussen Sie bezahlen (ohne Gebühren) b. Angenommen, unmielbar danach komm plözlich die Nachrich, EFSF seh für die Anleihe ein und der Markzins sink plözlich auf 5%. Wie hoch is Ihr soforiger Gewinn? c. Angenommen nun, die Nachrich is sa der in b. beschriebenen, dass die Deuschen sich weigern, so dass der Markzins auf 5% seig. Was is die Anleihe nun noch wer? 3

32 Übungsaufgaben 2. Der Barwer des Zahlungssroms is 5979 ON bei einem Zinssaz von 0% jährlich. Wie groß is die fehlende Zahlung? (Zahlungen erfolgen jeweils zum Jahresende) Jahr Zahlung ON,000 2? 3 2, , Eine Schiffswerf ha den Aufrag für 5 Billionen Won ein Schiff zu bauen. Es soll in 3 Jahren geliefer werden; der Barwer der Produkionskosen zu einem Kalkulaionszins von 2% beräg 72 Billionen Won. a. Wird die Werf einen Gewinn machen? b. Bei welchem Kalkulaionszinsfuß würde sie gerade ohne Gewinn und Verlus herauskommen? 32

33 Übungsaufgaben 4. Ein Vaer ha in der Loerie gewonnen und versprich seinem 0 jährigen Sohn eine monaliche Unerhalsbeihilfe in Höhe von 000 ON für 5 Jahre, wenn er in ach Jahren ein Physiksudium aufnimm. Eine Bank biee Ausbildungssparen zu 6% Zinsen an. Auf das jeweilige Guhaben gib es 0.5% Zinsen pro Mona (monaliche Abrechnung). a. Wieviel von seinem Gewinn muss er jez einzahlen, um sein Versprechen aus dem Kono besreien zu können? b. Wieviel müsse er 3 bzw. 5 Jahre späer einzahlen? 33

34 Übungsaufgaben 5. Ein Geldverleiher verlang 3% Bearbeiungsgebühr für die Krediprüfung (fällig bei Darlehensauszahlung) und 0% Zinsen pro Jahr. Wie hoch is der wirkliche Jahreszins bei einer Laufzei des Kredis von a. einem b. drei Jahren, wenn die Zinsen jeweils am Jahresende fällig sind? 34