Fachbereich 10 Institut für Wirtschaftswissenschaften Professur für Volkswirtschaftslehre. Spieltheorie. Prof. Dr. Gernot Sieg.

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1 Fachbereich 10 Institut für Wirtschaftswissenschaften Professur für Volkswirtschaftslehre Spieltheorie Prof. Dr. Gernot Sieg Übungsaufgaben Wintersemester 2002/2003

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3 III Inhaltsverzeichnis 1 Statische Spiele mit vollständiger Information 1 2 Dynamische Spiele mit vollständiger Information 12 3 Evolutorische Spieltheorie 18 4 Kooperative Spielthoerie 23 5 Statische Spiele mit unvollständiger Information 27 6 Dynamische Spiele mit unvollständiger Information 32

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5 1 1 Statische Spiele mit vollständiger Information Aufgabe 1.1 Die Firmen E- und D3 konkurrieren um dieselben Kunden. Jede Firma überlegt, ob sie eine Stunde Sendezeit im Fernsehen kaufen soll, um für ihr Produkt zu werben. Zum Angebot stehen Zeiten im Frühstücksfernsehen und im Abendprogramm. Das Fernsehpublikum kann in zwei Gruppen eingeteilt werden. 40% der potentiellen Kunden schauen das Frühstücksfernsehen, der Rest das Abendprogramm. Senden beide Firmen zur selben Zeit, so kaufen bei E- und D3 jeweils 3% der Zuschauer einen Mobilfunkvertrag. Senden beide Firmen zu unterschiedlichen Zeiten, so kaufen 5% der Zuschauer einen Vertrag. Wie lauten die Strategiemengen und die Ereignismatrix? Welche Information benötigt man, um die Auszahlungsmatrix zu bestimmen? Bestimmen Sie eine möglich Auszahlungsmatrix. Lösung 1.1 Die Strategiemengen lauten für beide Firmen Werbung im Frühstücksfernsehen, Werbung im Abendprogramm, kurzgefaßt also. Aufgrund der Werbung schließen die Kunden einen Handyvertrag ab. Das Ereignis ist der Anteil der potentiellen Kunden, die bei einer der Firmen einen Vertrag abschließen. Die Ereignismatrix ist dann E- F A D3 F 1.2, 1.2 2, 3 A 3, 2 1.8, 1.8 Auszahlungsmatrix 1.1: Ereignismatrix Aufgabe 1.1

6 2 Sei der Anteil der abgeschlossenen Verträge an den potentiellen Kunden. Jede Firma bewertet das Ereignis mit einem Nutzen und dieser Nutzenwert ist die Auszahlung. Um die Auszahlungsmatrix zu bestimmen, benötigt man also die Nutzenfunktionen der Spieler. Die Nutzenfunktionen der Firmen kennen wir nicht. Deshalb nehmen wir beispielsweise an, dass die Nutzenfunktionen und sind. Dann erhält man folgende Auszahlungsmatrix: Auszahlungsmatrix 1.2: Aufgabe 1.1 E- F A D3 F , , A , , Die Auszahlungsmatrix ist asymmetrisch, obwohl die Ereignismatrix symmetrisch ist. Aufgabe 1.2 Bestimmen Sie in folgendem Spiel ein Gleichgewicht mit Hilfe des Konzepts der wiederholten Dominanz! Auszahlungsmatrix 1.3: Aufgabe 1.2 Spieler 2 A B C D a 5, 2 1, 4-1, 1 2, -1 Spieler 1 b 4, 0 2, 1 3, 0 3, -1 c -2, -2 1, -1 2, 3 2, 2 d 1, 1 1, 3 1, 2 4, 1 Lösung 1.2 Aktion dominiert Aktion strikt. dominiert strikt. dominert strikt. dominiert und strikt. dominiert strikt. Als Lösung ergibt sich, daß Spieler 1 und Spieler 2 spielt. Aufgabe 1.3 Bestimmen Sie in folgendem Spiel ein Gleichgewicht mit Hilfe des Konzepts der wiederholten Dominanz!

7 3 Auszahlungsmatrix 1.4: Aufgabe 1.3 Links Rechts Oben 0, 0 0, 1 Unten 1, 0 0, 0 Lösung 1.3 Für den Zeilenspieler ist die Aktion Unten dominant. Für den Spaltenspieler ist die Aktion Rechts dominant. Ergebnis wäre (Unten, Rechts). Als Lösung bei wiederholter Dominanz kann sich (Oben, Rechts) oder (Unten, Links), je nachdem, wie die Reihenfolge der Eliminierung dominierter Strategien ist. Bemerkung: Bei schwach dominierten Strategien kann die Reihenfolge der Eliminierung eine Auswirkung auf die Lösung besitzen. Bei strikt dominierten Strategien ist das nicht der Fall. Aufgabe 1.4 Für die Spielshow Geh nach Hause wird folgendes Konzept diskutiert: Der Spieler wirft eine Münze mit den Ausprägungen Kopf und Zahl. Erscheint beim ersten Wurf Kopf, so erhält er 2 EUR. Erscheint beim ersten Wurf Zahl, so darf er weitermachen. Wirft er beim -ten Wurf zum ersten Mal Kopf, so erhält er EUR. a) Sie können den Produktionsassistenten bestechen, um Zuschauerkandidat zu werden. Wieviel würden Sie bieten? b) Wie hoch müßten die Werbeeinnahmen sein, damit Sie die Produktion der Show übernehmen? Lösung 1.4 Siehe Gries, Thomas, Gernot Sieg und Holger Strulik, Repetitorium zur Mikroökonomik, Springer Verlag 1996, S Aufgabe 1.5 Wir betrachten folgende Alternativen: 1 Monat bei ALDI an der Kasse arbeiten ohne Einkommen 1 Monat bei ALDI an der Kasse arbeiten und 1000 EUR Einkommen 1 Monat Bundestrainer und EUR Einkommen 1 Monat leben wie bisher und EUR Einkommen a) Bestimmen Sie die Reihenfolge der Wünschbarkeit der Alternativen so, daß ist.

8 4 b) Betrachten Sie jetzt die Alternative und im Gegensatz eine Lotterie, die Ihnen mit der Wahrscheinlichkeit die Alternative 1 und mit der Gegenwahrscheinlichkeit die Alternative 4 verspricht. Wie hoch muß sein, daß Sie indifferent zwischen und der Lotterie sind? Lösung 1.5 Siehe Gries, Thomas, Gernot Sieg und Holger Strulik, Repetitorium zur Mikroökonomik, Springer Verlag 1996, S. 71 ff. Aufgabe 1.6 Bestimmen Sie die Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien in folgendem Spiel: Auszahlungsmatrix 1.5: Aufgabe 1.6 A B a 0, 0 0, 50 b 50, 0-10, -10 Lösung 1.6 Die Nash-Gleichgewichte sind und. Bemerkung: Das Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien ist Aufgabe 1.7 Welche Strategien können in folgendem Spiel mit Hilfe des Konzepts der wiederholten Dominanz ausgeschlossen werden? Welches sind die Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien? Auszahlungsmatrix 1.6: Aufgabe 1.7 Spieler 2 A B C a 2, 0 1, 1 4, 2 Spieler 1 b 3, 4 1, 2 2, 3 c 1, 3 0, 2 3, 0.

9 5 Lösung 1.7 c wird von a strikt dominiert. B wird von C strikt dominiert. Die reinen Nash-Gleichgewichte sind und. Bemerkung: Das gemischte Nash-Gleichgewicht ist Aufgabe 1.8 Unter zwei Spielern soll ein Euro geteilt werden. Beide Spieler sagen gleichzeitig, welchen Anteil bzw. sie für sich beanspruchen. Ist die Summe der Anteile kleiner oder gleich 1, so erhalten sie diesen Anteil, ist die Summe größer, so erhalten sie nichts. Wie lauten die Nash-Gleichgewichte? Lösung 1.8 Die Nash-Gleichgewichte sind alle Strategiekombinationen für die gilt und denn dann hat kein Spieler einen Anreiz abzuweichen. Seien und so gegeben, daß die Bedingung von oben erfüllt ist. Verlangt der Spieler einen Anteil, so erhält er, da die Auszahlung von Null, die nicht größer als die Auszahlung von ist, die er bei der Nash-Gleichgewichtsstrategie erhält. Verlangt der Spieler einen Anteil, so erhält er die Auszahlung, die nicht größer als die Auszahlung ist. Aufgabe 1.9 Bestimmen Sie die Nash-Gleichgewichte in dem Spiel mit Auszahlungsmatrix für Aufgabe Auszahlungsmatrix 1.7: Aufgabe 1.9 A B a 2, 1 0, 2 b 1, 2 3, 0

10 6 Lösung 1.9 Es existiert kein reines Nash-Gleichgewicht. Das gemischte Nash-Gleichgewicht ist Wir nehmen an, daß der Zeilenspieler die gemischte Strategie spielt und der Spaltenspieler die gemischte Strategie. Die vom Zeilenspieler erwartete Auszahlung beträgt dann Er maximiert die Auszahlung, indem er nach Also gilt und damit. Damit ist Spaltenspieler spielt die gemischte Strategie. Die vom Spaltenspieler erwartete Auszahlung beträgt Er maximiert die Auszahlung, indem er nach ableitet und gleich Null setzt: ableitet und gleich Null setzt: und der Also gilt und damit. Damit ist! Zeilenspieler spielt die gemischte Strategie. und der Aufgabe 1.10 Die Wählerpräferenzen sind gleichmäßig verteilt auf einem ideologischen links rechts Schema. Jeder von 2 Kandidaten für ein politisches Amt sucht sich gleichzeitig mit dem Gegner ein Wahlprogramm aus. Jeder Wähler stimmt für den Kandidaten, deren Programm näher zu seiner Präferenz ist. Beispielsweise bei zwei Kandidaten mit und #" stimmen alle Wähler links von für Kandidat 1 und alle anderen für Kandidat 2. Besitzen beide Kandidaten dasselbe Programm, so erhält jeder Kandidat einen Anteil von. Das Ziel der Kandidaten ist ausschließlich die Maximierung der Stimmenzahl und unabhängig von dem Programm, das sie vertreten. Bestimmen Sie das Nash- Gleichgewicht.

11 Lösung 1.10 Das Nash-Gleichgewicht ist Nehmen wir an, der Gegenspieler wählt. Dann ist die Auszahlung, falls wir auch wählen, gleich. Wählen wir ein Wahlprogramm, dann ist die Auszahlung kleiner als, denn es gilt Wählen wir ein Wahlprogramm, dann ist die Auszahlung kleiner als. Aufgabe 1.11 Zwei Dyopolisten wählen die Angebotsmengen und eines homogenen Gutes. Beide Dyopolisten produzieren ohne Fixkosten und mit konstanten Grenzkosten von 2. Die Preis-Absatz-Funktion lautet. a) Bestimmen Sie das Nash-Gleichgewicht! b) Ist das Nash-Gleichgewicht Pareto-optimal? Beweisen Sie Ihre Antwort! Lösung 1.11 a) Die Reaktionsfunktion des 1 wird berechnet, indem man eine beliebige Produktionsmenge des Gegenspielers annimmt und daraufhin die gewinnmaximale Reaktion bestimmt. Ableiten der Gewinnfunktion führt zu Im Gewinnmaximum ist die Ableitung gleich Null, d.h. 7

12 " " 8 Die optimale Anliefermenge des 1 ist also " Im Nash-Gleichgewicht " " gilt und, d.h. d.h. und somit " " Der Preis ist Auszahlung von jeweils " und beide Dyopolisten erhalten eine b) Das Nash-Gleichgewicht ist nicht Pareto-optimal. Produzieren die Dyopolisten die Mengen, so ist der Preis und die Auszahlungen betragen Die Auszahlungen sind damit (für beide) größer als im Nash-Gleichgewicht. Aufgabe 1.12 Die Vereine SVW und S04 können zur Leistungssteigerung das Medikament Aspin+K einnehmen. Normalerweise sind beide Vereine gleich stark, dopt nur ein Verein, so gewinnt er. Auszahlungsmatrix 1.8: Aufgabe 1.12 Aspin+K Mineralwasser Aspin+K 1, 1 3, 0 Mineralwasser 0, 3 1, 1

13 9 a) Welche Strategie wählen die Mannschaften im Gleichgewicht? b) Der Fernsehsender SAT erwartet geringere Reichweiten, falls die Zuschauer erfahren, daß Aspin+K benutzt wird. Benutzt eine Mannschaft Aspin+K, so sinkt die Auszahlung für SAT um 1. Deswegen werden Dopingproben erwogen. Eine Dopingkommission wird eingesetzt, die Kosten von 1 verursacht und genau eine Mannschaft überprüfen kann. Eine erfolgreiche Dopingprobe erhöht die Auszahlung um 1. Die Mannschaft, die des Dopings überführt wird, erhält einen Punktabzug von mit. Bestimmen Sie die Strategien der Mannschaften, wenn SAT nur den SVW oder nur S04 testet. c) SAT testet beide Mannschaften mit der Wahrscheinlichkeit 1/2. Zeigen Sie, daß für den SVW nicht zu dopen eine dominante Strategie ist. d) Bestimmen Sie die Auszahlungen für SAT. Wird SAT eine gemischte oder eine reine Strategie vorziehen? Lösung 1.12 a) Beide Mannschaften wählen Aspin+K als Aktion. b) Falls SAT nur den SVW testet, wird der SVW nicht mehr dopen. S04 wird weiter Aspin+K spielen. Damit ergibt sich die Auszahlung zu 3 für S04 und 0 für den SVW. c) Falls S04 Aspin+K spielt, so ergibt sich die Auszahlung für SVW bei Aspin+K zu und falls der SVW Mineralwasser wählt zu Falls S04 Mineralwasser wählt, so ergibt sich die Auszahlung für SVW bei Aspin+K zu und bei Mineralwasser Die Auszahlung bei Mineralwasser ist größer, unabhängig, ob S04 dopt oder nicht. d) Bei der Strategie, nur den SVW zu testen, ist die Auszahlung an SAT -2. Bei der Strategie, nur S04 zu testen, ist die Auszahlung an SAT -2. Bei der Strategie, beide mit

14 10 der Wahrscheinlichkeit 1/2 zu testen, ergibt sich eine Auszahlung von -1. Aufgabe 1.13 McDagobert und BurgerSlave sind zwei Schnellimbisse, die je nach Kombination der Höhe der Werbeausgaben folgende Marktanteile erreichen können: Auszahlungsmatrix 1.9: Aufgabe 1.13 BurgerSlave hoch mittel niedrig McDagobert hoch 0, , 90 70, 30 niedrig 40, 60 36, 64 30, 70 a) Wie muß man die Auszahlungen modifizieren, um ein äquivalentes Nullsummenspiel zu erhalten? b) Wie lautet die Minmax Auszahlungen für McDagobert in reinen Strategien? c) Wie lautet die Minmax Auszahlungen für McDagobert in gemischten Strategien? Lösung 1.13 a) BurgerSlave hoch mittel niedrig McDagobert hoch -50, 50-40, 40 20, -20 niedrig -10, 10-14, 14-20, 20 Auszahlungsmatrix 1.10: Aufgabe 1.13 a) b) BurgerSlave spielt mittel und McDagobert erhält 36. c) BurgerSlave wird nicht mittel und hoch gleichzeitig spielen. Spielt BurgerSlave mit der Wahrscheinlichkeit hoch und mit der Wahrscheinlichkeit niedrig, so wird McDagobert hoch spielen, wenn die Auszahlung für hoch höher ist und niedrig, wenn die für niedrig höher ist. Ist die Auszahlung für hoch höher, so kann BurgerSlave die Auszahlung an McDagobert verringern, indem BurgerSlave die Wahrscheinlichkeit für hoch erhöht. Erst wenn McDagobert indifferent zwischen hoch und niedrig ist, kann BurgerSlave die Auszahlung nicht mehr verringern.

15 11 Dann gilt und somit. Die Auszahlung an McDagobert ist. Spielt BurgerSlave mit der Wahrscheinlichkeit mittel und mit der Wahrscheinlichkeit niedrig, so wird McDagobert indifferent sein, falls und somit. BurgerSlave spielt mit mittel und mit niedrig. McDagobert erhält. Da dies die niedrigste Auszahlung ist, ist es die Minmax-Auszahlung.

16 12 2 Dynamische Spiele mit vollständiger Information Aufgabe 2.1 Zwei Spieler teilen einen Euro. Spieler 1 schlägt einen Anteil vor, den er für sich beansprucht. Spieler 2 kann akzeptieren und erhält, oder er lehnt ab. Wenn er ablehnt, kann er einen Vorschlag unterbreiten. Spieler 1 kann diesen Vorschlag annehmen und erhält dann, oder er lehnt ab und beide Spieler erhalten. a) Wie lauten die Nash-Gleichgewichte? b) Wie lautet ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht? Lösung 2.1 a) Die Strategie des ersten Spielers sei, wobei er in der ersten Runde einen Anteil von verlangt und in der zweiten Runde alle Forderungen, die größer als sind, ablehnt. Die Strategie des zweiten Spielers sei, wobei er in der zweiten Runde einen Anteil von verlangt und in der ersten Runde alle Forderungen, die größer als sind, ablehnt. Nash-Gleichgewichte sind und mit beliebig. b) Sei ein Cent die kleinste Einheit, in die der Euro geteilt werden kann. In der letzten Runde bietet Spieler 2 dem eins genau, und der nimmt an. D.h. und. In der ersten Runde wird Spieler 2 alle Forderungen ablehnen, die größer als sind. Teilspielperfekte Nash-Gleichgewichte sind und mit beliebig. Aufgabe 2.2 Betrachten Sie folgendes Spiel: Das Spiel besteht aus 1000 Runden. In der ersten Runde kann Spieler A entweder das Spiel beenden, und er erhält 1 und

17 "! 13 Spieler B 0, oder er setzt das Spiel fort. Setzt er das Spiel fort, so kann Spieler B das Spiel beenden, und er erhält 2 und Spieler A erhält 0, oder er setzt das Spiel fort und die zweite Runde beginnt. In der n-ten ( ) Runde kann Spieler A entweder das Spiel beenden, und er erhält 2 mehr und Spieler B einen weniger als wenn Spieler B das Spiel in der n-1 Runde beendet hätte, oder er setzt das Spiel fort. Setzt er das Spiel fort, so kann Spieler B das Spiel beenden und er erhält 2 mehr und Spieler A erhält einen weniger als wenn Spieler A das Spiel in dieser Runde beendet hätte oder er setzt das Spiel fort und die n+1 Runde beginnt. In der 1000-ten Runde kann Spieler A entweder das Spiel beenden und er erhält 1000 und Spieler B 999, oder er setzt das Spiel fort. Wenn er das Spiel fortsetzt, kann Spieler B entweder das Spiel beenden und er erhält 1001 und Spieler A 999, oder das Spiel wird durch die Spielleiterin beendet und Spieler B erhält 1000 und Spieler A erhält a) Zeichnen Sie den Spielbaum für die ersten 2 und die letzten 2 Runden! b) Wie lautet das teilspielperfekte Gleichgewicht? Lösung 2.2 a) A B A B weiter weiter weiter weiter Schluss Schluss Schluss Schluss (1,0) (2,1) (1,3) (0,2) Abbildung 2.1: Runde 1 und 2 A B A B weiter weiter weiter weiter ##$ (1001,1000) Schluss (999,998) Schluss Schluss (998,1000) (1000,999) Abbildung 2.2: Runde 999 und 1000 Schluss (999,1001)

18 14 b) Das teilspielperfekte Gleichgewicht lautet: Spieler A wird immer dann, wenn er am Zug ist beenden. Spieler B wird immer dann, wenn er am Zug ist, beenden. In der letzten Runde ist es für Spieler B am besten, zu beenden. Dieses antizipierend wird Spieler A auch beenden. Durch Rückwärtsinduktion erhält man, dass Spieler A sofort beendet. Die Auszahlung ist dann an A und an. Aufgabe 2.3 Das Stufenspiel wird zweimal wiederholt, wobei nach der ersten Runde das Ergebnis bekanntgegeben wird. Es gibt keine Diskontierung. Existiert ein teilspielperfektes Gleichgewicht, bei dem in der ersten Runde die Auszahlungen erreicht werden? Wenn ja, wie lautet es? Wenn nein, warum nicht? Auszahlungsmatrix 2.1: Aufgabe 2.3 Spieler 2 A B C a 3, 1 0, 0 5, 0 Spieler 1 b 2, 1 1, 2 3, 1 c 1, 2 0, 1 4, 4 Lösung 2.3 Die folgende Strategie ist ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht. In der ersten Runde wird so gespielt, daß die Auszahlung gleich ist, d.h.. Hält sich der Gegenspieler an diese Strategie, so wird in der zweiten Runde so gespielt, daß die Auszahlung gleich ist, d.h.. Hält sich ein Spieler nicht an die Absprache für die erste Runde, so wird in der zweiten Runde so gespielt, daß die Auszahlung gleich ist, d.h.. Die Strategie für den Zeilenspieler ist also Runde 1: Runde 2: falls in Runde 1 falls in Runde 1 falls in Runde 1 falls in Runde 1 falls in Runde 1 dann dann dann dann dann

19 15 falls in Runde 1 falls in Runde 1 falls in Runde 1 falls in Runde 1 dann dann dann dann und für den Spaltenspieler Runde 1: Runde 2: falls in Runde 1 falls in Runde 1 falls in Runde 1 falls in Runde 1 falls in Runde 1 falls in Runde 1 falls in Runde 1 falls in Runde 1 falls in Runde 1 dann dann dann dann dann dann dann dann dann Die Drohungen sind glaubwürdig, da die Strategiekombinationen für das Teilspiel, das zu Beginn der zweiten Runde beginnt, Nash-Gleichgewichtsstrategien des Teilspiels sind. Im Gleichgewicht erhält der Zeilenspieler eine Auszahlung von. Weicht der Zeilenspieler in der ersten Runde auf ab, so gewinnt er eine Einheit, verliert aber in der zweiten Runde zwei Einheiten, d.h. er erhält und damit lohnt sich das Abweichen nicht. Weicht der Zeilenspieler in der ersten Runde auf ab, so erhält er, was auch nicht vorteilhaft ist. Im Gleichgewicht erhält der Spaltenspieler eine Auszahlung von. Weicht der Spaltenspieler in der ersten Runde auf ab, so erhält er und damit weniger als im Gleichgewicht. Weicht der Spaltenspieler in der ersten Runde auf ab, so erhält er und damit weniger als im Gleichgewicht. Ein Abweichen in der ersten Runde ist nicht sinnvoll. Die Strategiekombination ist ein teilspielperfektes Gleichgewicht. Aufgabe 2.4 Zwei Dyopolisten wählen die Angebotsmengen und eines homogenen Gutes. Beide Dyopolisten besitzen eine Kostenfunktion ohne Fixkosten und mit Grenzkosten

20 " 16 von 2. Die Preis-Absatz-Funktion ist. Die beiden Dyopolisten treffen mehrmals hintereinander aufeinander und addieren die Gewinne. Die Wahrscheinlichkeit, daß das Spiel fortgesetzt wird, ist. Bestimmen Sie ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht, bei dem die Auszahlungen an die Spieler höher sind, als wenn beide Spieler lediglich die Nash-Gleichgewichtsstrategien des Stufenspiels wiederholen würden. Welche Bedingung muß erfüllt sein, daß ein solches Gleichgewicht existiert? Lösung 2.4 Die Reaktionsfunktionen sind " und im Nash-Gleichgewicht des Stufenspiels bieten beide die Menge " an. Der Preis ist somit und der Gewinn. Ein Anbieter im Monopol würde die Menge anbieten. Vereinbaren beide Dyopolisten, nur noch die Menge anzubieten, so ist der Preis gleich und der Gewinn gleich. Das gesuchte Gleichgewicht erhält man, wenn beide Spieler folgende Triggerstrategie wählen: In der ersten Runde wird angeboten. Falls der Gegenspieler von der Absprache anzubieten abweicht, so folgt ab der nächsten Runde die Nash- Gleichgewichtsstrategie mit einem Angebot von ". Bietet der Gegenspieler an, so ist die optimale Antwort " Der Preis ist dann und der Gewinn ist. Falls man " sich an die Absprache hält, ist die Auszahlung " Bricht man die Absprache, so erhält man Die Auszahlung bei Einhalten der Absprache ist höher, falls

21 17 ist. Ist, so bilden die Triggerstrategien ein Nash-Gleichgewicht. Das Nash-Gleichgewicht also ist teilspielperfekt.

22 18 3 Evolutorische Spieltheorie Aufgabe 3.1 Wir betrachten das Spiel mit folgender Auszahlungsmatrix: Auszahlungsmatrix 3.1: Aufgabe 3.1 a b a 4, 4 0, 2 b 2, 0 2, 2 a) Wie lauten die Nash-Gleichgewichte? b) Wie lauten die ESS? Lösung 3.1 a) Die Nash-Gleichgewichte sind, und. b) und sind strikte Gleichgewichte und damit ESS. Für gilt, daß alle dieselbe Auszahlung von gegen erhalten wie gegen : Wenn wir einen Mutanten erhält als finden der gegen sich selbst eine höhere Auszahlung gegen ihn, so ist keine ESS. Es gilt: und

23 Da könnte der Mutant ist keine ESS. überleben. Die s untereinander erhalten 2. erhält gegen auch 2. erhält gegen die Auszahlung 3, erhält gegen sich selbst aber 4. Aufgabe 3.2 Wir betrachten das Spiel mit folgender Auszahlungsmatrix: 19 Auszahlungsmatrix 3.2: Aufgabe 3.2 a b a 4, 4 0, 2 b 2, 0 2, 2 a) Wie lauten die Replikatorgleichungen? b) Welches sind die dynamischen Gleichgewichte? Lösung 3.2 Sei der Anteil der Spieler, die die Strategie spielen. Dann wird von gespielt. Da ist, reicht es aus, den Anteil zu betrachten. a) Spielt man, so erhält man Die durchschnittliche Auszahlung an die Population ist Die Replikatorgleichung für ist also b) Man erhält ein dynamisches Gleichgewicht, falls, d.h. falls oder

24 20. Dieses ist der Fall, wenn Die Gleichgewichte sind also und und. Aufgabe 3.3 Wir betrachten das Spiel mit folgender Auszahlungsmatrix: Auszahlungsmatrix 3.3: Aufgabe 3.3 a b a 2, 2 1, 4 b 4, 1 0, 0 a) Bestimmen Sie eine Replikatorgleichung? b) Welches sind die dynamischen Gleichgewichte? c) Zeigen Sie, welche der Gleichgewichte stabil und welche nicht stabil sind. Lösung 3.3 Sei der Anteil der Spieler, die die Strategie spielen. a) Spielt man, so erhält man Die durchschnittliche Auszahlung an die Population ist Die Replikatorgleichung für ist also b) Man erhält ein dynamisches Gleichgewicht, falls Dieses ist der Fall, wenn, oder, d.h. falls, d.h. Die Gleichgewichte sind also und und. ist.

25 21 Da " " ist das Gleichgewicht stabil und die beiden anderen instabil. Anders ausgedrückt:, falls und falls. D.h., wächst, wenn es kleiner als ist und fällt, wenn es größer als ist. Damit ist stabil und die beiden anderen Gleichgewichte instabil. Aufgabe 3.4 Wir betrachten das asymmetrische Spiel mit folgender Auszahlungsmatrix: Auszahlungsmatrix 3.4: Aufgabe 3.4 a b a 0, 0 3, 2 b 1, 6 2, 3 a) Wie lautet die Replikatorgleichung für die Zeilenspieler? b) Wie lautet die Replikatorgleichung für die Spaltenspieler? c) Bestimmen Sie die dynamischen Gleichgewichte. Lösung 3.4 Sei der Anteil der Zeilenspieler, die die Strategie spielen und der Anteil der Spaltenspieler, die die Strategie spielen. a) Spielt man, so erhält man Die durchschnittliche Auszahlung an die Zeilenspieler ist Die Replikatorgleichung für ist also

26 22 Spielt man, so erhält man Die durchschnittliche Auszahlung an die Spaltenspieler ist Die Replikatorgleichung für ist also b) Man erhält ein dynamisches Gleichgewicht, falls falls Dieses ist der Fall, wenn Dieses ist der Fall, wenn,, oder oder und, d.h., d.h. Die Gleichgewichte sind also,,, und.. ist. ist. falls

27 23 4 Kooperative Spielthoerie Aufgabe 4.1 Sie müssen als Manager in Ihrem Budget Euro einsparen und überlegen, wie Sie diesen Betrag auf die zwei Abteilungen aufteilen. Die Abteilungsleiter der Abteilungen und wissen, daß Einsparungen in Höhe von in der Abteilung einen Nutzen von und in der Abteilung von verursachen. Da Sie diese Funktionen nicht kennen, schlagen Sie folgendes vor: Wenn die Abteilungsleiter sich einigen, wie die Euro Einsparungen aufgeteilt werden, werden Sie den Vorschlag übernehmen. Andernfalls werden Sie proportional zum bisherigen Budget in der Abteilung Euro und in der Abteilung Euro einsparen. Werden die Abteilungsleiter sich einigen und wenn ja, worauf? Lösung 4.1 Da die Drohung des Abteilungsleiters nicht Pareto-optimal ist, besteht ein Verhandlungsspielraum. Einigen sich die Abteilungsleiter nicht, so müssen sie einsparen, wenn sie sich einigen nur. Nach der Nash-Verhandlungstheorie ergibt sich als Ergebnis der Verhandlungen das Maximum des Nash-Produkts. Wir betrachten Werte der Größenordnung Der Drohpunkt ist der Nutzen aus der Nichteinigung, d.h. " und Das Nash-Produkt ist demnach und durch Einsetzen der Werte erhält man!"

28 " 24 Pareto-Optimalität ist nur dann gegeben, wenn die Summe der Einsparungen gleich ist, hier also gilt. Einsetzen führt zu!"!"!"!" Durch Ableiten erhält man " als Optimalitätsbedingung mit dem Ergebnis Da die Einsparungen positiv sein müssen, gilt und Aufgabe 4.2 Wir betrachten ein 3-Personen-Spiel mit der charakteristischen Funktion,,,, und. a) Wie lautet ein Element des Kerns? b) Bestimmen Sie den Shapley-Wert.,, Lösung 4.2 " a) ist ein Element des Kerns, denn es gilt " " 1. ist individuell rational, da, und. " 2. ist effizient. Es gibt keinen anderen Auszahlungsvektor mit ". " 3. kann nicht verworfen werden. Bei der Koalition und gilt für ein. Die Koalition erhält zusammen nur 42, und damit weniger als. Die Koalition erhält zusammen 24 und damit weniger als ". Die Koalition erhält zusammen 40 und damit nicht mehr als.

29 25 b) Der Shapley-Wert für den ersten Spieler berechnet sich folgendermaßen. Falls der Spieler 1 die Koalition verläßt, tritt eine Nutzenänderung in Höhe von ein. Falls der Spieler 1 die Koalition verläßt, tritt eine Nutzenänderung in Höhe von ein. Falls der Spieler 1 die Koalition verläßt, tritt eine Nutzenänderung in Höhe von ein. Falls der Spieler 1 die Koalition verläßt, tritt eine Nutzenänderung in Höhe von ein. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Spieler in einer Einer-Koalition auftritt, ist Die Wahrscheinlichkeit, daß der Spieler in einer Zweier-Koalition auftritt, ist Die Wahrscheinlichkeit, daß der Spieler in einer Dreier-Koalition auftritt, ist Damit ergibt sich der Shapley-Wert für den ersten Spieler zu Für den zweiten Spieler gilt: und für den dritten Spieler Bemerkung: Der Shapley-Wert liegt nicht im Kern, da die Koalition ihn verwerfen kann. Aufgabe 4.3 Drei Dörfer sollen mit Wasserleitungssystemen bedient werden. Die Kosten jeden einzelnen Dorfes, sich selbst zu versorgen, betragen 30. Zwei Dörfer zusammen können für 48 versorgt werden. Werden alle drei Dörfer mit einem Netz bedient, so kosten es 75. Zeigen Sie, dass der Kern leer ist!

30 26 Lösung 4.3 Es existiert kein stabiler Kostenvektor. Falls sich zwei Dörfer zusammenschließen, beispielsweise 1 und 2, so ergibt sich und die gesamten Kosten sind 78. Falls alle zusammen versorgt werden, ergeben sich Kosten von 75 und beispielsweise ist möglich, durch den verworfen werden kann. Auch mit Gesamtkosten 75 ist möglich und eine Pareto-Verbesserung zu, aber nicht stabil, da die Dörfer 2 und 3 zusammen mit " mehr aufbringen, als sie zusammen müssten. Für die große Koalition wäre allein stabil, aber nicht kostendeckend. Der Kern ist leer. Die Kostenfunktion ist eine diskrete Version der subadditiven Kostenfunktion, da die Durchschnittskosten nach einem Minimum wieder ansteigen.

31 27 5 Statische Spiele mit unvollständiger Information Aufgabe 5.1 Zwei Dyopolisten wählen die Angebotsmengen und eines homogenen Gutes. Beide Dyopolisten besitzen eine Kostenfunktion ohne Fixkosten und mit Grenzkosten von 2. Die Nachfrage ist mit der Wahrscheinlichkeit von hoch, d.h. die Preis-Absatz- Funktion ist, und mit der Wahrscheinlichkeit von niedrig, d.h. die Preis-Absatz-Funktion ist. Während der eine Dyopolist weiß, ob die Nachfrage hoch oder niedrig ist, weiß es der andere nicht. Wie lautet das Bayessche Gleichgewicht? Lösung 5.1 Es gibt zwei Typen für den ersten Monopolisten, bei hoher Nachfrage und bei niedriger Nachfrage, und einen für den zweiten. Der erste wählt je nach Typ eine der Mengen oder, während der zweite anbietet. Der erste Dyopolist kennt seinen Typ und maximiert, falls er vom Typ ist mit dem Ergebnis Ist er vom Typ, so optimiert er analog und bietet an. Der zweite Dyopolist kann auf zwei Typen treffen, weiß aber nicht, auf welchen er jeweils trifft. Er weiß nur, daß er auf Typ mit Wahrscheinlichkeit und auf Typ

32 " 28 mit Wahrscheinlichkeit trifft. Trifft er auf den Typ, so ist die Nachfrage hoch und der Gegenspieler spielt. Er maximiert also oder mit eingesetzten Zahlen Ableiten führt zu und somit zu Einsetzen von und führt zu " und damit zu " Deshalb gilt. Eingesetzt in die Gleichungen für und und ergibt Es gilt auch Zusammen mit den Gleichungen für und kann man die Größen bestimmen: Als Ergebnis erhält man.

33 Aufgabe 5.2 Zwei Dyopolisten wählen gleichzeitig die Angebotsmengen und eines homogenen Gutes um ihren Gewinn zu maximieren. Die Preis-Absatz-Funktion ist Jeder Dyopolist kann entweder hohe Kosten mit mit besitzen. 29 oder niedrige Kosten Die Wahrscheinlichkeiten, dass die Dyopolisten hohe bzw. niedrige Kosten besitzen sind: hohe Kosten niedrige Kosten hohe Kosten niedrige Kosten Berechnen Sie das Bayessche Gleichgewicht! Lösung 5.2 Nach der Bayesschen Regel ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten für Dyopolist 1, dass Dyopolist 2 hohe Kosten hat wenn Dyopolist 1 hohe Kosten hat zu und dass Dyopolist 2 niedrige Kosten hat zu. Analog gilt für Dyopolist 1, dass Dyopolist 2 mit der Wahrscheinlichkeit niedrige und mit hohe Kosten besitzt, wenn er selbst niedrige Kosten hat. Die Auszahlung an Dyopolist 1 ist dann Dyopolist 1 maximiert seine Auszahlung falls gilt

34 30 und Man erhält also und deshalb und analog Wegen der Symmetrie sind die Reaktionsfunktionen für Dyopolist 2 analog und Wegen der Symmetrie der Dyopolisten gilt im Gleichgewicht. Einsetzen führt zu und und somit zu Analog berechnet man "

35 31 und somit " Einsetzen ergibt und deshalb also Einsetzen führt zu.

36 32 6 Dynamische Spiele mit unvollständiger Information Aufgabe 6.1 Ein Unternehmen bietet Stellen für Arbeiter mit unterschiedlicher Produktivität. Es gibt zwei Typen von Arbeitern, die mit hoher Produktivität und mit niedriger Produktivität. Jeder Arbeiter kennt seine eigene Produktivität, die Unternehmen kennen sie nicht. Es gibt einen Anteil von produktiven Arbeitnehmern. Die Arbeitnehmer können eine Ausbildung des Niveaus absolvieren, die ihnen zertifiziert wird. Diese Ausbildung erhöht nicht ihre Produktivität. Die Kosten, das Ausbildungsniveau zu erreichen, sind für den Typ mit hoher Produktivität und für den Typ mit niedriger Produktivität. Jeder Arbeitnehmer kann ein Ausbildungsniveau wählen und einem Lohnangebot an die Firma machen, d.h. den Vertrag vorschlagen. Die Firma nimmt entweder an oder lehnt ab, je nachdem ob der Vertrag vorteilhaft ist oder nicht, d.h. die Differenz von ist oder nicht. Zeigen Sie, daß die Verträge und in einem trennenden perfekten Bayesschen Gleichgewicht vorkommen können. Lösung 6.1 Die Strategie der Arbeiter ist falls ist., falls ist und Die Strategie des Unternehmens ist, alle Vertragsangebote mit mit und und alle Vertragsangebote mit und beliebig anzunehmen. Alle anderen Vertragsangebote werden abgelehnt. Die Vorstellung des Unternehmens ist, daß alle Angebote mit von Arbeitern mit niedriger Produktivität kommen, alle anderen von Arbeitern mit hoher. Die Auszahlung der Arbeiter ist. Die Strategie eines Arbeiters hoher Produktivität ist optimal. Die Auszahlung beträgt. Bei einer höheren Lohnforderung würde der Vertrag

37 33 abgelehnt und die Auszahlung wäre Null. Bei einem niedrigeren Ausbildungsniveau wäre der maximale Lohn und bei einem Ausbildungsniveau von Null, das ohne Kosten zu erwerben ist, wäre die Gesamtauszahlung. Die Strategie eines Arbeiters niedriger Produktivität ist optimal. Die Auszahlung beträgt. Die Ausbildung auf das Niveau verursacht Kosten von. Bei einer Lohnforderung von, die bei angenommen wird, erhält er die Auszahlung, die nicht höher ist als bei der Wahl von. Die Vorstellungen der Unternehmen sind richtig. Alle Arbeiter mit hoher Produktivität schlagen den Vertrag vor. Bei diesem Vertrag erwartet das Unternehmen, daß der Arbeiter vom Typ ist. Alle Arbeiter mit niedriger Produktivität schlagen den Vertrag vor. Bei diesem Vertrag erwartet das Unternehmen, daß der Arbeiter vom Typ ist. Für das Unternehmen lohnt es, wenn es einen hochproduktiven Typ erwartet, Verträge bis zu einem Lohn von anzunehmen. Entsprechend der Vorstellung werden alle Vertragsangebote mit mit und angenommen. Vertragsangebote mit werden abgelehnt, da der Lohn höher ist als die Produktivität von. Vertragsangebote mit werden abgelehnt, da eine Produktivität von erwartet wird und deshalb die Lohnforderung zu hoch ist. Vertragsangebote mit werden angenommen, da die Produktivität nicht kleiner als die Lohnforderung ist. Aufgabe 6.2 Betrachten Sie das Spiel mit dem in Abbildung 6.1 dargestellten Spielbaum. ( 1, 1 ) u [p] L t 1 R [q] u ( 2, 2 ) ( 2, 0 ) ( 0, 0 ) u d Empfänger [1 p] L t2 R [1 q] d d ( 0, 1 ) Abbildung 6.1: Signalspiel 0.75 Natur 0.25 Empfänger d u ( 0, 0 ) ( 1, 0 ) ( 1, 1 )

38 34 a) Bestimmen Sie das trennenden Gleichgewicht. b) Bestimmen Sie das Pooling-Gleichgewicht. Lösung 6.2 a) wählt L, wählt R, und und der Empfänger wählt in L up und in R down. b) Wir haben ein Pooling in R, der Empfänger wählt up, da die Vorstellung ist., dann wählt der Empfänger in L up, so dass keinen Anreiz zum Abweichen hat. Für ist R dominant. Aufgabe 6.3 Betrachten Sie folgendes Spiel wobei der Zeilenspieler die Option besitzt, nicht am Auszahlungsmatrix 6.1: Aufgabe 6.3 A B a 2, 1 0.5, 0.5 b 0, 0 1, 2 Spiel teilzunehmen und eine Auszahlung von würde dann erhalten. zu erhalten. Der Spaltenspieler a) Stellen Sie den Spielbaum dar! b) Wie lauten die teilspielperfekten Gleichgewichte? c) Welches Gleichgewicht erhält man durch Vorwärtsinduktion? Lösung 6.3 a) Der Spielbaum, falls der Zeilenspieler als Z und der Spaltenspieler als S abgekürzt werden, ist in der Abbildung 6.3 dargestellt. b) Nash-Gleichgewichte des Teilspiels sind mit der Auszahlung, mit der Auszahlung und ein gemischtes Gleichgewicht, bei dem der Zeilenspieler und der Spaltenspieler spielt. Die erwartete Auszahlung an den Zeilenspieler ist dann. Spieler 1 wird das Spiel beenden, wenn er nicht mindestens 1.5 erreicht. Deshalb ist es ein teilspielperfektes Gleichgewicht, wenn der Zeilenspieler (Schluss, b) und der Spaltenspieler B spielt. Ein weiteres ist, wenn der Zeilenspieler (Schluss, ) und der Spaltenspieler spielt.

39 35 Z Weiter Schluss a Z b A B A B Abbildung 6.2: Spielbaum zu Aufgabe 6.3 a) Das dritte ergibt sich, wenn der Zeilenspieler (Weiter, a) und der Spaltenspieler A spielt. c) Bei Vorwärtsinduktion spielt der Zeilenspieler (Weiter, a) und der Spaltenspieler A.