Westfälische Hochschule - Fachbereich Informatik & Kommunikation - Bereich Angewandte Naturwissenschaften. 2. Mechanik

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1 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik Ziele der Vorleun:.) Eineilun der phikalichen Größen in kalare und ekorielle Größen.) Kinemaik Bechreibun der Beweun on Körpern - Tranlaoriche Beweunen (radlinie Beweunen) - Roaoriche Beweunen (Drehbeweunen) - Kombinaion au beiden Beweunaren 3.) Definiion der Gechwindikei 4.) Definiion der Bechleuniun 5.) Beweuneeze für eradlinie Bahnen. 5.. Kinemaik

2 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik. Mechanik Eineilun phikalicher Größen Skalare Größen werden durch nur eine Maßzahl und ihre Einhei charakeriier. Zur Charakeriierun on ekoriellen Größen benöi man den Bera (die Läne) und die Richun der Größe, d.h. e ind i.d.r. drei Maßzahlen und die Einhei nowendi. Sie können al Vekoren dareell werden. Vekor: Er i eine Größe mi Bera und Richun. Dareell wird er durch Pfeile. Die Pfeilläne enprich dem Bera de Vekor. Skalare Größen: z.b. Mae, Zei, Temperaur, Soffmene, Lichärke Vekorielle Größen: z.b. Läne, Sromärke.. Kinemaik Die Kinemaik i die Beweunlehre on Körpern. Tranlaoriche Beweun radlinie Beweun Bild.. : Geradlinie Bahn eine Körper 6.. Kinemaik

3 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik Roaionbeweun Drehbeweun Bild.. : Gekrümme Bahn eine Körper Kombinaion au Drehbeweun und radlinier Beweun U M r r co r in r r S Bild.. 3: Bahnkure eine Punke auf einem Rad Zkloide r( -in ) r(-co ) Drehwinkel U z.b. ekoppele Beweunen: Auorad, Lufchraube (am Fluzeu) 7.. Kinemaik

4 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik... Die Gechwindikei Uner der mileren Gechwindikei m eine Körper erehen wir da Verhälni au der zurückeleen Werecke und der dazu benöien Zei Δ. dim Läne m ; dim, Dimenion (dim) ib an au welchen elemenaren Größen dim Zei ich eine zuammeneeze Größe zuammenez.[ ] m roß k k klein Bild.. 4: Gleichförmie Beweun im We-Zei-Diaramm Momenane Gechwindikei Die momenane Gechwindikei, nach Bera und Richun, eine Körper bei einer unleichförmien Beweun, zu einem beimmen Zeipunk, erib ich au der Seiun der Tanene an der Bahnkure f (). Diee Seiun i leichbedeuend mi der Bildun de Differenialquoienen. Für den Bera il: lim an d d 3 a. Allemein il in erkürzer Schreibweie: β γ 3 Momenane Gechwindikei d d Bild.. 5: Unleichförmie Beweun 8.. Kinemaik

5 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik... Die Bechleuniun Uner der mileren Bechleuniun a m eine Körper erehen wir da Verhälni au der Änderun der Gechwindikei in einem beimmen Zeiinerall Δ. Milere Bechleuniun am dim Läne/Zei dim a dim Zei [ a] m B: a kon. C: a ariabel Bild.. 6: Gechwindikei-Zei-Diaramm Die momenane Bechleuniun a erib ich durch Bildun de Differenialquoienen au der Gechwindikei d und der Zei d. Eine Verzöerun (Abbremun) lie or, wenn die Bechleuniun neai i. Momenane Bechleuniun d a lim d d a d 9.. Kinemaik

6 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik..3. Beweun auf erader Bahn Herleiun de Zuammenhane zwichen der Bechleuniun a, der Gechwindikei und der f a, f a, wenn a eeben i. Werecke, d.h. euch i: ( ), ( ) a d konan a d d a d a C d a d Die Ineraionkonane erib ich au der Anfanbedinun für. Au a C C. a d a d a C d d ( a ) Die Ineraionkonane erib ich au der Anfanbedinun: für. Au a C C. a a ½ a Bild.. 7: Die Fläche uner der Gechwindikeikure enprich der zurückeleen Enfernun... Kinemaik

7 Formeln der Tranlaion-Kinemaik Bechleuniun Anfanbedinunen Definiion a, ( )d leichmäßie Gechwindikei (leichförmie Beweun) a zur Zei Gechwindikei Or, -Diaramm, -Diaramm E a ( ) E d zur Zei leichmäßie Bechleuniun a kon. zur Zei a a zur Zei a a a a

8 Zuammenfaun: Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik. In der Phik unercheide man kalare und ekorielle Größen. Skalare Größen ind durch eine Mezahl und eine Einhei eindeui beimm. Bei den ekoriellen Größen komm noch die Richun hinzu.. Die Kinemaik i die Beweunlehre on Körpern. Körper können eine eradlinie (ranlaoriche) Beweun, eine Drehbeweun oder eine Kombinaion au beiden Beweunen durchführen. 3. Gechwindikei - Die milere Gechwindikei wurde definier al m d - Die momenane Gechwindikei wurde definier al an ; wobei der d Seiunwinkel der Tanenen an die f() Kure bei i. 4. Bechleuniun - Die milere Bechleuniun wurde definier al am d - Die momenane Bechleuniun wurde definier al a d d d 5. Zuammenhan zwichen Bechleuniun, Gechwindikei und We. I die Bechleuniun a al Funkion der Zei bekann, o lä ich auehend on d a d E a) die Gechwindikei beimmen: () a ( ) d d b) daon auehend lä ich über der zurückelee We d E () d beimmen. ( ) I die Bechleuniun a konan, o erib ich: a a.. Kinemaik

9 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik Ziele der Vorleun:.) Kinemaiche Bechreibun der Beweun on Körpern auf Kreibahnen - Einführun on Winkel, Winkelechwindikei, Winkelbechleuniun, Drehzahl und Periodendauer - Beweuneeze bei Kreibahnen.) Einführun in die Vekorrechnun - Zerleun eine Vekor in eine Komponenen - Vekoraddiion 3.) Anwendun der Kinemaik auf den chiefen Wurf und eine Spezialfälle: freier Fall, enkrecher Wurf, waaerecher Wurf 4.) Einführun der bei Kreibeweunen aufreenden Radialbechleuniun 5.) Geenüberellun on ranlaorichen und roaorichen Beweuneezen 3.. Kinemaik

10 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik..4. Beweun auf der Kreibahn Zuammenhan zwichen der Winkelanabe in Gradmaß und der Winkelanabe in Boenmaß. r ϕ Bild.. 8: Definiion de Winkel in Boenmaß Boenabchni ϕ Radiu m ϕ m [ ] rad Umfan π r ϕ 36 ˆ Radiu r π ϕ ϕ 8 36 r π ϕ r ϕ ϕ ϕ ϕ r ϕ Bild.. 9: Vekordarellun für den Winkel 4.. Kinemaik

11 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik Uner der mileren Winkelechwindikei ω m erehen wir da Verhälni au dem überrichenen Winkel ϕ und der dazu benöien Zei Δ. ϕ Milere Winkelechwindikei ωm dim Läne / Läne ω ; [ ] Zei m m ω / Die Momenane Winkelechwindikei ω erib ich durch Bildun de Differenialquoienen au Winkel und Zei. dϕ Momenane Winkelechwindikei ω ϕ d Die Momenane Winkelbechleuniun erib ich durch Bildun de Differenialquoienen au Winkelechwindikei und Zei. dω Momenane Winkelbechleuniun ω ϕ d dim dimω Läne / Läne / Zei dim Zei Zei ; [ ] ω ϕ r ϕ ϕ ϕ ϕ r ϕ ω Bild.. : Vekordarellun der Roaionrößen 5.. Kinemaik

12 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik Zuammenhan zwichen Roaion- und Tranlaionrößen r ϕ ( r ϕ) d d dϕ r r d d d ( r ω) d d dω a r r d d d ω Uner der Drehzahl n bei konaner Winkelechwindikei ω erehen wir da Verhälni au der Anzahl der Umdrehunen z und der dazu benöien Zei. Drehzahl: z n [ n ] ( Hz) Dauer einer Umdrehun Periodendauer T n [ ] T Zuammenhan zwichen der Drehzahl und der Winkelechwindikei dϕ π ω π n d T 6.. Kinemaik

13 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik Beweun auf der Kreibahn Herleiun de Zuammenhan zwichen der Winkelbechleuniun, der Winkelechwindikei ω und dem Winkel ϕ. konan dω d d ω d d ω d ω C Die Ineraionkonane erib ich au der Anfanbedinun: bei ei ω ω ω C C ω ω ω dϕ ω dϕ ω d ( ω )d d d ϕ ( ω ) d ϕ ω C Die Ineraionkonane erib ich au der Anfanbedinun: bei ei ϕϕ ϕ ω C C ϕ ϕ ω ϕ 7.. Kinemaik

14 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik..5. Gechwindikei und Bechleuniun al Vekor ( ) P ( ) P ( ) 3 ( ) 3 ( ) Bild.. : Bahnkure P 3 ( ) 3 ( ) Bahnkure Da d d und d leicheriche zur Tanene erläuf erläuf in Richun der Tanenen an die Bahnkure. a d d Bechleuniun ri auf:. wenn der Bera on ich änder. wenn ich die Richun on änder. Vekorzerleun Bild.. : Vekorzerleun im rechwinklien Koordinaenem nach dem Saz de Phaora il für den Bera de Vekor: für den Winkel il: an arcan Für den Bera der Vekorkomponenen il: in in co co Ein Vekor kann in eine Komponenen in Richun der jeweilien Koordinaenache zerle werden und lä ich omi al Summe der Komponenenekoren darellen. 8.. Kinemaik

15 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik Addiion on zwei beliebien Vekoren R R R R γ ( - ) β R Bild.. 3: Grafiche Addiion on zwei Vekoren.) Geomeriche Vekoraddiion Der Bera de Vekor R erib ich au dem Coinuaz R coβ, mi β 8 ( ). Die Winkel, γ ereben ich au dem Sinuaz R arcin inβ in inβ inγ R γ arcin inβ R.) Komponenen Vekoraddiion R der - bzw. -Ache aneben. R ; wobei R R und die Einheiekoren in Richun 9.. Kinemaik

16 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik Addiion on beliebi ielen Vekoren R 4 3 R Kinemaik

17 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik Freier Fall und enkrecher Wurf Allemein il: Bei der Beweun on Körpern uner der Einwirkun der Graiaion i die Graiaionbechleuniun für die Bechreibun maßebend. Für die zurückelee Werecke h nach der Zei il: h h Für den Gechwindikeiekor il: Die poiie Koordinaenache erläuf parallel zu..) Freier Fall und parallel zu ;.) Wurf nach unen konan ; parallel zu ; 3.) Wurf nach oben konan; a) am Anfan: aniparallel zu ; ( - ) - b) am Umkehrpunk: ( ) - ( ) c) nach Umkehrpunk: parallel zu ; (- ) 3.. Kinemaik

18 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik Herleiun on Formeln zur Berechnun on Gechwindikei und Fallzei au Anfanechwindikei und Fallhöhe bzw. Fluhöhe a) Beim Wurf nach unen il für die durchfallene Höhe: h h. Da ein eindimenionale Problem orlie, brauchen wir die Größen nur nach ihren Beräen und Vorzeichen zu berachen. Zudem ezen wir h und wählen die poiie h-achenrichun nach unen..) Berechnun der Fallzei nach der Fluhöhe h: h ± h h h h h Für die Fallzei beim freien Fall, d.h., il dann h.) Berechnun der Fallechwindikei nach der Fluhöhe h: h h b) Für den Wurf nach oben il: h für poiie h-achenrichun nach oben. Bei ähnlichem Vorehen wie uner a) erib ich:.) h und.) h h 3.. Kinemaik

19 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik Schiefer Wurf R co in co in ink R 3 R ink ink3 3 R3 3 Bild.. 4: Schiefer Wurf.) Beimmun der maimalen Wurfhöhe Bei der maimalen Wurfhöhe i die Gechwindikei, alo hma hma h h ma ma mi in in.) Beimmun der Wurfzei Seien Fallen die Seizei erib ich au: Seien Seien die Fallzei erib ich au: h ma Fallen Fallen in Fallen h ma in in Seien Seien Fallen in 33.. Kinemaik

20 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik 3.) Beimmun der Wurfweie Nach der Wurfzei ha der Körper in -Richun folende Srecke zurückele: E E in co in in, da in co in i. Die Wurfweie i alo für in, d.h. 45 maimal. Für den Orekor () der Wurfbahn il: ( ) ( ) ( ) Bild.. 5: Beimmun de Orekor beim chiefen Wurf euch Bahnkure: f() mi ( ) an co 34.. Kinemaik

21 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik Spezialfall: Waarecher Wurf _ () Bild.. 6: Bahnkure beim Waarecher Wurf Beim waaerechen Wurf il:, dann erib ich für die Bahnkure: ( ) an co 35.. Kinemaik

22 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik..6. Radialbechleuniun 3 3 ϕ P 3 d P ϕ r P Bewe ich ein Körper mi konan auf einer Kreibahn, o erfähr d er emäß a dennoch eine Bechleuniun, da ich die Richun d der Gechwindikei ändi änder. Bild.. 7: Zur Ableiun der Radialbechleuniun. n kon. ω kon. kon..) Beimmun der Richun der aufreenden Bechleuniun a ZP Die Richun on a ZP wei enlan der Richun on d. Berache man die Gechwindikei an zwei erchiedenen Punken P und P 3 und bilde die Differenz 3 3 o erhäl man die Richun on 3. Vollzieh man den Grenzüberan o da P P 3, o erib ich die Gechwindikeidifferenz d. Dieer Vekor zei in Richun de Drehpunke..) Der Bera der Bechleuniun erib ich au folenden Überleunen: Im Gechwindikeidreieck il ϕ. Bei der Bildun de Grenzüberan P P 3 eh in d über und e il eak: d dϕ d d dϕ erib azp ω d d mi r ω azp r ω bzw. mi ω r a ZP r Diee Bechleuniun die radial in Richun der Drehache wirk, um einen Körper auf einer Kreibahn zu halen, wird Zenripealbechleuniun enann. Eine beramäßi leich roße, aber eneeneez wirkende Bechleuniun üb der Körper auf die Halerun und dami auf die Drehache au, die den Körper auf die Kreibahn zwin. Sie wird Zenrifualbechleuniun a ZF enann Kinemaik

23 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik..7. Geenüberellun on ranlaorichen und roaorichen Beweunen Zwichen beiden Beweunaren elen folende elemenare Zuammenhäne: d dϕ d dω r ϕ ; r r ω; a r r d d d d Tranlaion Gechwindikei: Roaion d dϕ Winkelechwindikei: ω d d d Bechleuniun: a Winkelbechleuniun: d Radialbechleuniun: dω d Zenripealbechleuniun azp Zenrifualbechleuniun azf ω r ω a ZP r We bei leichförmier Bechleuniun: a konan a Winkelwe bei leichförmier Winkelbechleuniun: konan ϕ ω ϕ Endechwindikei: a Endwinkelechwindikei: ω ω a konan: a konan: ω ω ϕ ( ) ( ) (-) wenn abebrem wird, d.h. a bzw. eneen der Beweunrichun bzw. ω zei Kinemaik

24 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik Zuammenfaun.) Zur kinemaichen Bechreibun der Beweun on Körpern auf Kreibahnen werden folende Größen eineführ: π - Winkel ϕ in Grad und Boenmaß. E il der Zuammenhan ϕ B ϕ, Winkel al 8 Vekor ϕ - die milere Winkelechwindikei wurde definier al ωm dϕ - die momenane Winkelechwindikei wurde definier al ω d ω - die milere Winkelbechleuniun wurde definier al m dω - die momenane Winkelbechleuniun wurde definier al d - Beweuneeze: dω Auehend on der Winkelbechleuniun lä ich die Winkelechwindikei ω d E ω ω d und a.) ( ) ( ) dϕ b.) on ω auehend, der überrichene Winkelϕ E beimmen ϕ ( ) ϕ ω( ) d d Für eine konane Winkelbechleuniun konan il dann mi E : ω ω und ϕ ϕ ω.) Einführun in die Vekorrechnun a) In einem kareichen Koordinaenem mi, und z-ache, kann man jeden Vekor V in eine, und z-komponenen, V, V und V z zerleen. Lie der Vekor V in der - -Ebene und chließ mi der -Ache den Winkel ein, dann il: V V co, V V in b) Die Vekoraddiion on zwei Vekoren V R V V kann auf zwei Aren durcheführ werden: - bei der eomerichen Addiion wird der zweie Vekor mi einem hineren Ende an die Spize de eren Vekor eez. Der reulierende Vekor erreck ich dann om hineren Ende de eren Vekor bi zur Spize de zweien Vekor. Die Läne diee Vekor erib ich mi Hilfe de Coinuaze zu V R V V V V coβ wobei β 8 ( ) il und, die Winkel zwichen den beiden urprünlichen Vekoren VV, und der -Ache ind Kinemaik

25 Wefäliche Hochchule - Fachbereich Informaik & Kommunikaion - Bereich Anewande Naurwienchafen. Mechanik Die Lae on V R relai zu V bzw.v V V arcin inβ ; γ arcin inβ VR V R erib ich au dem Sinuaz. - Bei der Komponenen-Vekoraddiion werden einfach die Komponenen der einzelnen Vekoren addier um die Komponenen de neuen Vekor zu erhalen. V V V V VR VR V V V V VR V z V z V z V z VRz 3.) Beim chiefen Wurf wird die Beweun in eine horizonale (-Ache) und eine daon unabhänie erikal erlaufende Beweun (-Ache) zerle und mi den bekannen kinemaichen Geezen bechrieben. o Für den Bechleuniunekor il: a ; für den Gechwindikeiekor erib ich darau ( ), weier fol für den ( ) Orekor zu einem Bahnpunk zum Zeipunk : ( ) ( ). Für die Bahnkure f () erib ich darau an co 4.) Da bei einer Kreibeweun mi konanem Bera der Gechwindikei, der Gechwindikeiekor d ändi eine Richun änder, mu ween a eine Bechleuniun orhanden ein, die den Körper auf die Kreibahn zwin. d Diee Bechleuniun i eine Radialbechleuniun. Sie wird Zenripealbechleuniun a ZP enann und zei zur Drehache. Für den Bera il: azp r ω. Die leich roße eneeneez wirkende Bechleuniun wird Zenrifualbechleuniun a ZF enann. 5.) Der Zuammenhan zwichen ranlaorichen und roaorichen Größen i beramäßi eeben über r ϕ, r ω und a r. Die ich erebenden Beweuneeze haben die leiche Form; e müen ledilich die Korrepondierenden Größen ϕ, ω und a erez werden Kinemaik