7. Schichtenströmung 7-1. Aufgabe 7.1 [3]

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1 Schichtenströmung Aufgabe 7.1 [3] Auf einer Unterlage befindet sich eine Ölschicht der Dicke h = 2 mm, auf der eine Platte mit der Geschwindigkeit v 0 gleitet. Ein Druckanstieg in Bewegungsrichtung ist der Platte überlagert. Die Breite der Anordnung ist b. Wie groß ist der Volumenstrom durch den Spalt? Welche Form hat das Geschwindigkeitsprofil (Skizze!)? Welcher Druckgradient müßte vorhanden sein, wenn auf die Unterlage keine Reibungskraft wirken soll? Gegeben: p 1 = 4,0 kpa p 2 = 6,0 kpa l = 0,1 m v 0 = 1,0 m/s b = 1,0 m η = Ns/m 2 Aufgabe 7.2 [3] Auf einem Klotz der Länge l und der Breite b senkrecht zur Bewegungsrichtung ( b >> 1 ) gleitet eine Platte mit der Geschwindigkeit v 0. Zwischen Klotz und Platte befindet sich eine dünne Ölschicht mit der Dicke h, die am Ende des Klotzes durch eine Leiste am Wegfließen gehindert wird. Bestimmen Sie sämtliche Kräfte pro 1 m Breite, die auf den Klotz und die Platte wirken! Welche Geschwindigkeitsverteilung stellt sich im Spalt ein? Gegeben: l = 0,1 m h = 1,0 mm v 0 = 1,0 m/s ρ Öl = 800,0 kg/m 3 ν = m 2 /s Aufgabe 7.3 [3] Ein ringförmiger Spalt mit dem Außenradius R a = 0,02 m, der Spaltbreite δ = m und einer Spaltlänge l = 0,8 m ist mit einer Druckdifferenz zwischen Eintritt und Austritt von p v = 0,5 MPa beaufschlagt. Die Viskosität des Öls beträgt η = 0,2 Ns/m 2 und die Dichte ρ = 800 kg/m 3. Berechnen Sie den Volumenstrom und die REYNOLDSzahl der Ölströmung durch den Spalt!

2 7-2 Aufgabe 7.4 [3] Zwischen zwei parallelen quadratischen Platten von A = 0,25 m 2 befindet sich ein Ölfilm mit der Dicke d = 10-4 m. Die Öldichte beträgt 910 kg/m 3. Wenn die Platten um α = 18 gegen die Horizontale geneigt werden, gleitet die obere 30 N schwere Platte auf der unteren mit einer Geschwindigkeit von v 0 = 0,1 m/s (stationäre Bewegung). Wie groß ist die Viskosität des Öls? Aufgabe 7.5 [4] Die ebene Unterseite eines Lagerschuhs der Länge l und Breite b ist unter dem kleinen Winkel ß gegen eine feste Wand geneigt, die mit der Geschwindigkeit u w in ihrer Ebene verschoben wird. Über der Wand befindet sich Flüssigkeit der Zähigkeit η, von der ein Teil durch den Spalt zwischen Wand und Schuh in der Bewegungsrichtung der Wand hindurchgepreßt wird. a) Wie groß ist der Volumenstrom! V? b) Wie hängt der Überdruck p = p-p 0 im Spalt von der Koordinate x ab (Skizze)? c) An welcher Stelle x 0 tritt der größte Überdruck p max auf und wie groß ist dieser? Man zeige, daß stets gilt: l/2 x 0 l. d) Wie groß ist die Tragkraft F des Lagerschuhs? Gegeben: b; l; s; u w ; ß; η. Aufgabe 7.6 [4] Unter dem Tragschuh eines Stufenlagers der Länge l 1 + l 2 und der Breite b senkrecht zur Zeichenebene verschiebt sich eine ebene Wand mit der Geschwindigkeit u w. Der Spalt zwischen Schuh und Wand ist mit Flüssigkeit der Zähigkeit η gefüllt. a) Man ermittle den Verlauf p (x) = p (x) - p 0 des Überdruckes unter dem Schuh. b) Welcher Volumenstrom! V fließt durch den Spalt? c) Wie groß ist die Tragkraft F des Schuhs? Gegeben: b; h 1 ; h 2 ; l 1 ; l 2 ; u w ; η.

3 7-3 Aufgabe 7.7 [4] Ein ebener Spalt der Weite h 1 erweitert sich längs der Strecke l auf die Weite h 2. Die Spaltweite nimmt dabei linear mit dem Abstand x vom Beginn der Erweiterung zu. Die konstante Breite des Spalts senkrecht zur Zeichenebene hat den Wert b. Durch den Spalt fließt der Volumenstrom! V einer Flüssigkeit der Zähigkeit η. Der Erweiterungswinkel sei sehr klein. a) Wie groß ist die Druckdifferenz p 2 - p 1? b) Welche Bedingung muß für die Gültigkeit des Ergebnisses von a) erfüllt sein? Gegeben: b; h 1 ; h 2 ; l;! V; η; ρ Aufgabe 7.8 [3] Das zur Erzielung der Seitenstabilität einer lotrechten Welle vom Durchmesser d angeordnete Halslager umschließt die Welle in einer Länge l mit dem Spalt h. Der Spielraum ist mit Öl der dynamischen Viskosität η gefüllt, die Welle läuft mit einer Umdrehungszahl n um. Berechnen Sie die Leistung, die für die Überwindung des Reibungswiderstandes im Lager erforderlich ist! Gegeben: d = 15 cm n = 200 min -1 l = 25 cm η = Ns/m 2 h = 0,01cm

4 7-4 Aufgabe 7.9 [7] Für h/r << 1 kann der Lagerspalt des oberen dargestellten, mit Newtonscher Flüssigkeit gefüllten, unbelasteten Gleitlagers abgewickelt werden, so daß die Strömung im kartesischen Koordinatensystem x 1, x 2 behandelt werden kann, in dem die Geschwindigkeitsverteilung durch u x R x 2 1( 2)=Ω, u h 2 = u 3 = 0 gegeben ist. Die Strömung ist stationär, eben und von x 1 unabhängig. Die Stoffwerte ρ, η, λ sind konstant, Volumenkräfte sind zu vernachlässigen, alle Größen sind auf die Tiefeneinheit bezogen. a) Welches Moment M A muß bei stationärem Betrieb auf den Lagerzapfen wirken, welche Antriebsleistung P A ist notwendig? b) Berechnen Sie die Dissipationsfunktion Φ für die angegebene Geschwindigkeitsverteilung! c) Ermitteln Sie die im Lagerspalt dissipierte Energie P V durch Integration der Dissipationsfunktion über das Spaltvolumen! Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der Antriebsleitung P A! d) Welcher Wärmestrom Q! ab muß der Flüssigkeit im stationären Betrieb entzogen werden? e) Wie groß muß der Temperaturgradient an der Lagerschale (x 2 = 0) sein, wenn der gesamte Wärmestrom Q! ab über der Lagerschale abfließt? f) Bestimmen Sie die Temperaturverteilung T (x 2 ) im Spalt, wenn die Lagerschale auf konstanter Temperatur T S gehalten wird. Gegeben: ρ; η; λ; R; h; Ω; T S.

5 7-5 Aufgabe 7.10 [4] Ein Schwingungsdämpfer besteht aus einem geschlossenen zylindrischen Topf, in dem sich ein Kolben vom Radius r 0 bewegen kann. Zwischen Kolben und Gefäßwand bleibt ein konzentrischer Ringspalt der Länge l und der Breite h (h << (r 0, l)) frei. Die Querschnittsfläche der Kolbenstangen ist gegenüber πr 0 ² vernachlässigbar. Der Topf ist mit einer Flüssigkeit der Zähigkeit η gefüllt. - Wie hängt die auf den Kolben wirkende Kraft F mit der Kolbengeschwindigkeit u K zusammen? Gegeben: h, l, r 0, u K, η. Aufgabe 7.11 [4] Eine Breitschlitzdüse zum Gießen von Kunststoffplatten der Breite b besteht aus einem Kreisrohr mit veränderlichem Radius r 0 (x), dem Verteilerrohr, das auf seiner ganzen Länge in einen Spalt der Weite h mündet. Der Einfachheit halber wird angenommen, die Achse des Verteilerrohres sei geradlinig. Der erhitzte flüssige Kunststoff, von dem der Volumenstrom! V 0 in das Verteilerrohr eintritt, verhalte sich wie eine Newtonsche Flüssigkeit der Zähigkeit η. Der Kunststoff tritt aus dem Spalt als ebene Schicht aus. a) Wie muß der Druck p im Verteilerrohr von x abhängen, wenn die Flüssigkeit gleichmäßig, d. h. mit konstanter mittlerer Geschwindigkeit über die ganze Spaltbreite b austreten soll? Ein gleichmäßiger Austritt ist Vorraussetzung dafür, daß die bei dem Vorgang entstehende Kunststofftafel konstante Dicke erhält. Wie groß ist speziell der Zulaufdruck p 1? b) Wie muß der Verteilerrohrradius r 0 dann von x abhängen? Gegeben: b; h; l 0 ; l 1 ; p 0 ; η.

6 7-6 Aufgabe 7.12 [4] Die Skizze zeigt das Prinzip einer Vorrichtung zur Ummantelung von Drähten mit Kunststoff. In einer größeren Ringkammer befindet sich der erhitzte flüssige Kunststoff unter dem Druck p 0 + p, wobei p der Überdruck gegen den Außendruck p 0 ist. Eine zylindrische Düse der Länge l führt von der Ringkammer ins Freie. Der zu ummantelnde Draht wird mit der axialen Geschwindigkeit u d konzentrisch durch diese Düse gezogen, wobei ein Ringspalt der Weite h 1 (h 1 << r 0, l) verbleibt. Infolge der Schleppwirkung und wegen des Überdruckes p fließt Kunststoff durch den Ringspalt zwischen Draht und Düsenwand. Nach Austritt aus der Düse verändert sich die Schichtdicke im allgemeinen auf einen von h 1 verschiedenen Wert h 2. Dabei gleicht sich das Geschwindigkeitsprofil in der Kunststoffschicht aus; in einiger Entfernung hinter dem Düsenaustritt bewegt sich der Kunststoff mit der konstanten Geschwindigkeit u d des Drahtes. Schließlich erstarrt die Kunststoffschicht durch Abkühlung und bildet den gewünschten festen Mantel des Drahtes. Der flüssige Kunststoff möge als Newtonsche Flüssigkeit der Zähigkeit η angesehen werden. Wegen h 1 << r 0 kann man den Ringspalt und die Kunststoffschicht auf dem Draht als eben betrachten. a) Wie groß ist h 2? b) Für welche Drahtgeschwindigkeit u d = u 0 wird h 2 = h 1? c) Wie groß ist der Volumenstrom! V des Kunststoffes? d) Warum muß sich hinter dem Düsenaustritt die Geschwindigkeit in der flüssigen Kunststoffschicht ausgleichen, wenn man voraussetzt, daß die Zähigkeit der Luft vernachlässigbar ist? (Wir nehmen an, der Kunststoff erstarre erst, nachdem sich die Enddicke h 2 unter Ausgleich der Geschwindigkeit eingestellt hat.) Gegeben: h 1 ; l; r 0 ; u d ; p; η.

7 7-7 Aufgabe 7.13 [4] In einem zylindrischen Gehäuse rotiert eine Welle vom Radius r 0 mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Abgesehen von einem schmalen Dichtsteg bleibt zwischen der Welle und dem Gehäuse ein Spalt der Breite h 2 frei. Anfang und Ende dieses Spaltes sind jeweils durch einen Spalt der Länge l und der Breite h 1 mit zwei großen Flüssigkeitsbehältern verbunden. Im linken Behälter steht die Flüssigkeit unter dem Druck p 1, im rechten unter dem Druck p 2 > p 1. a) Welcher Volumenstrom! V einer Newtonschen Flüssigkeit der Zähigkeit η fließt von A nach D, wenn die Breite der ganzen Anordnung senkrecht zur Zeichenebene b beträgt? b) Wie groß muß die Winkelgeschwindigkeit ω mindestens sein, damit! V > 0 wird? c) Man skizziere den Druckverlauf längs ABCD. d) Wie groß ist der Wirkungsgrad η p der Reibungspumpe? Gegeben: b; h 1 ; h 2 ; l; r 0 ; (h 1, h 2 ) << (l, r 0 )); p 2 - p 1 ; η; ω. Aufgabe 7.14 [3] Mit einem Rotationsviskosimeter soll die Viskosität von Öl festgestellt werden. Der Spalt zwischen dem Rotor und der Führung ist h. Der Geschwindigkeitsverlauf über die Spaltbreite h kann linear angenommen werden. Bei einem Versuch wurde die aufgewendete Leistung mit P = 34 W bei einer Drehzahl von n = 200 min -1 gemessen. Wie groß ist die Viskosität des Öls? Gegeben: d = 8,25 cm l = 15 cm h = 1 mm Aufgabe 7.15 [3] Berechnen Sie den Massenstrom, die mittlere und Höchstgeschwindigkeit einer stationären Laminarströmung (Wasser) durch ein Rohr mit Kreisquerschnitt! Die Länge des Rohres ist l = 0,7 m, die Druckdifferenz zwischen den beiden Enden ist p = 2 kpa, der Rohrdurchmesser beträgt d = 0,8 mm und die kinematische Viskosität des Wassers ist ν = 1, m 2 /s.

8 7-8 Aufgabe 7.16 [3] Durch eine Kapillare mit lichtem Durchmesser d = 0,78 mm wird Wasser gepreßt. Die Druckdifferenz zwischen den Enden des Röhrchens, das eine Länge l = 0,1 m besitzt, beträgt 1,2 kpa und die mittlere Geschwindigkeit v = 0,1688 m/s. Bestimmen Sie die dynamische Viskosität! Welche REYNOLDSsche Zahl entspricht dieser Strömung? Aufgabe 7.17 [3] Durch ein glattes Rohr mit 5 cm lichtem Durchmesser strömen 0,14m 3 /h Wasser. Berechnen Sie die Geschwindigkeit in 1 mm Wandabstand! (η = 10-3 Ns/m 2 ) Aufgabe 7.18 [1] An ein zylindrisches Gefäß vom Durchmesser d = 5 cm ist in der Nähe des Bodens ein waagerechtes Haarröhrchen vom Durchmesser d 1 = 0,1 cm und der Länge l = 10 cm angeschlossen. Ursprünglich liege der Flüssigkeitspiegel im Gefäß h = 5 cm über der Rohrachse. Innerhalb von 20 Minuten fließen 50 cm 3 Flüssigkeit aus. Bestimmen Sie die kinematische Zähigkeit der Flüssigkeit! Aufgabe 7.19 [4] Der Inhalt einer Injektionsspritze vom Radius r 1 wird durch Bewegung eines Kolbens durch eine Kanüle von der Länge l 0 und vom Radius r 0 (<< (r 1, l 0 )) hinausgedrückt. Der Kolben legt bis zur vollständigen Entleerung den Weg l 1 zurück; die vom Kolben auf die Flüssigkeit wirkende Kraft hat während der Entleerung den konstanten Wert F. Die Injektionsflüssigkeit hat die Dichte ρ und die Zähigkeit η. Der Druckabfall im Zylinder (d. h.vom Kolben bis zum Eintritt in die Kanüle) sei vernachlässigbar klein; für die Strömung in die Kanüle gelte das Hagen-Poiseuillesche Gesetz. a) Wie groß ist die Entleerungszeit t der Spritze? Speziell berechne man die Entleerungszeit für folgende Zahlenwerte: F = 5 N; l 1 = 2 cm; l 0 = 4 cm; r 1 = 0,5 cm; r 0 = 0,02 cm; η = Ns/m 2 ; ρ = 10 3 kg/m 3. b) Ist für diese Zahlenwerte die Anwendung des Hagen-Poiseuillischen Gesetzes auf die Strömung in der Kanüle berechtigt?

9 7-9 Aufgabe 7.20 [4] Ein zylindrischer Behälter vom Radius b rotiert mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω um seine vertikale Achse. Der Behälter ist mit Flüssigkeit der Dichte ρ und Zähigkeit η gefüllt, die auf der Achse bis zur Höhe h steht. Die Flüssigkeit fließt durch ein horizontales, dünnes Rohr von der Länge l und vom Radius r 0 aus. a) Wie hängt der Überdruck p (x) - p 0 im Rohr von der Koordinate x ab? b) Welcher Volumenstrom! V tritt aus? Gegeben: h; l; r 0 ; b; η; ρ; ω. Aufgabe 7.21 [7] Ein Kolben bewegt sich in einem mit Öl gefüllten Zylinder mit der Geschwindigkeit v K nach unten. Die Geschwindigkeitsverteilung w (r), mit der das Öl die Kolbenbohrung an der Oberkante verläßt, ist relativ zum Kolben gemessen: 2 w (r) = w 0 1 r. r0 Bestimmen Sie die Maximalgeschwindigkeit w 0 mit Hilfe a) eines kolbenfesten, b) eines ortsfesten Koordinatensystems. Gegeben: r 0 ; R; V K ; ρ = const Aufgabe 7.22 [3] Bestimmen Sie für ein Ringrohr (koaxialer Spalt) mit den Radien R a und R 1 und der Länge l für laminare Strömung die mittlere Geschwindigkeit v und die zeitliche Durchflußmenge! V bei gegebenen Druckgefälle (p E - p A )/l!

10 7-10 Aufgabe 7.23 [7] Ein kreiszylindrischer Kanal mit Radius R wird stationär durchströmt. An der Eintrittsfläche A 1 herrscht eine konstante Geschwindigkeit u = U 0. Die Dichte ρ sei über die Querschnitte A 1, A 2, A 3 jeweils konstant. Im Kanal wird die Strömung durch ein langes konzentrisches Rohr mit vernachlässigbarer Wandstärke aufgeteilt in einen Kern (Austrittsfläche A 2 ) und einen äußeren ringförmigen Strahl (Austrittsfläche A 3 ). Am Austrittsquerschnitt A 2 liegt das Geschwindigkeitsprofil 2 u 2r = 1- U 2 R max vor. Der ringförmige Austrittsstrahl A 3 besitzt die Geschwindigkeitsverteilung r ur () = U 2 ln 2r R ln 2 R. Welcher Massenstrom!m ab wird innerhalb des Kanals zu- oder abgeführt? Gegeben: U 0 ; R; ρ/a 1 = ρ/a 3 = ρ 0 ; ρ/ A 2 = ρ 0 /2; U 2max = 2,5 U 0 Aufgabe 7.24 [7] In den skizzierten Behältern fließen durch kreisförmige Leitungen zwei Massenströme zu und einer ab. Die Strömung in den Leitungen ist stationär, die Dichte ρ ist konstant. In den kurzen Rohren ist die Geschwindigkeit an den Stellen A und C über den Querschnitt konstant. In der langen Zuleitung hat sich an der Stelle B ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil ausgebildet. Bekannt sind die Radien der Rohrleitungen R A, R B, R C und die Geschwindigkeiten u A und u B. Wie groß ist die Geschwindigkeit u c?

11 7-11 Aufgabe 7.25 [4] Eine Zerstäubungsanlage besteht aus einem dünnen zylindrischen Rohr vom Radius r 0, das gleichmäßig über seine Länge l verteilt eine große Zahl feiner Düsen besitzt. Diese Düsen sind so beschaffen, daß durch sie pro Längeneinheit des Rohres der Volumenstrom!V = α η (p - p 0) austritt, wenn im Rohr der Überdruck p - p 0 gegen den Außendruck p 0 herrscht; η ist die Zähigkeit der Flüssigkeit, α eine von Zahl und Abmessung der Düsen abhängige Größe. Im Rohr herrsche an jeder Stelle ausgebildete laminare Rohrströmung, wobei allerdings wegen des Abflusses durch die Düsen die mittlere Geschwindigkeit mit x abnimmt. Der in das Rohr eintretende Volumenstrom! V 0 sei bekannt. a) Wie hängt der durch den Schlauch fließende Volumenstrom! V von x ab und wie groß ist der pro Längeneinheit austretende Volumenstrom! V (x)? b) Wie lang darf der Schlauch höchstens sein, wenn! V (l)/! V(0) 0,9 sein soll, wenn also der am Schlauchende pro Längeneinheit austretende Volumenstrom mindestens 90 % des entsprechenden Wertes am Schlauchanfang sein soll? c) Welche Druckverteilung p (x) stellt sich im Schlauch ein, und wie groß ist speziell der Zulaufdruck p 1? Gegeben: l; r 0 ; p 0 ;! V 0 ; α; η. Aufgabe 7.26 [4] Auf einer Ringröhre aus elastischem Material (Länge l 1 + l 2 ) verengt sich der Querschnitt auf einer Strecke der Länge l 1 vom Radius r 2 auf den Radius r 1. Die Verengung läuft mit der Geschwindigkeit u 0 die Röhre entlang. Die Röhre ist mit Newtonscher Flüssigkeit der Zähigkeit η gefüllt. Sowohl im engen als auch im weiten Teil der Röhre stellt sich eine Strömung ein, von der wir annehmen, sie sei eine Poiseuille-Strömung. Strömungsverluste beim Übergang zwischen dem engen und dem weiten Teil der Röhre seien vernachlässigbar. a) Welche Druckdifferenz p a - p b wird von dieser einfachen Peristaltikpumpe erzeugt? b) Welcher Volumenstrom! V 2 tritt durch den Querschnitt A - A? Gegeben: l 1 ; l 2 ; r 1 ; r 2 ; u p ; η.

12 7-12 Aufgabe 7.27 [4] Bei laminarer Strömung im Kreisrohr besteht zwischen der durch die Gleichung p = λ l d ρ 2 u definierten Widerstandszahl λ und der mit dem Rohrdurchmesser gebildeten Reynoldszahl Re = ud / v der Zusammenhang λ = 64 Re Für Rohre mit anderen, vom Kreis nicht zu sehr abweichenden Querschnittsformen gilt dieses näherungsweise, wenn man in den Definitionsgleichungen für λ und die Reynoldszahl den Rohrdurchmesser d durch den hydraulischen Durchmesser d h = 4 A s ersetzt (A = Rohrquerschnittsfläche; s = Länge des benetzten Rohrumfangs). a) Wie groß ist der hydraulische Durchmesser eines schlanken Spaltes der Breite b und der Höhe h (h << b)? b) Man bestimme für diesen Spalt die Widerstandszahl λ und schreibe das Ergebnis in der Form λ = C/Re. Man vergleiche den gefundenen Zahlenwert C mit dem für das Kreisrohr gültigen Wert 64. Gegeben: b; h; u; v. Aufgabe 7.28 [3] Eine Bodenprobe ist zwischen zwei lotrechte um l = 0,5 m voneinander entfernte Metallgewebe eingefüllt, und es wird ein Durchfluß von!m = 0,1 kg/s gemessen. Die Breite senkrecht zur Zeichenebene ist b = 1 m. Die Spiegelhöhen auf beiden Seiten sind H = 0,2 m und h = 0,1 m, es fließt Wasser von 20 C. Bestimmen Sie die Form der Spiegelkurve (Skizze) und die Permeabilität α!

13 7-13 Aufgabe 7.29 [3] Bestimmen Sie aus den folgenden Meßwerten die Permeabilität einer Schüttung von Raschigringen! Behälterdurchmesser: D = 0,4 m Schüttungshöhe: H = 1,8 m Volumenstrom: V! = 0,01 m 3 /s Druckverlust: p v = 50 kpa Viskosität: η = Ns/m2 Dichte: ρ = 950 kg/m 3 Raschigringaußendurchmesser: d 1 = 8 mm Raschigringinnendurchmesser: d 2 = 6 mm Raschigringhöhe: h = 8 mm Anzahl der Ringe: n = Wie groß ist die Porosität und die mittlere Spaltbreite der Schüttung? Aufgabe 7.30 [3] Ein zäher Flüssigkeitsfilm der Dicke δ fließt an einer senkrechten Wand herab. Der Fließvorgang sei stationär und laminar. Die Oberfläche ist glatt. Gegeben sind δ, ρ und ν. Ermitteln Sie: a) die Geschwindigkeit v x des Filmes in Abhängigkeit von der Koordinate y, b) die Maximalgeschwindigkeit v max, c) den an der Wand herabfließenden Volumenstrom! V, d) die an der Wand pro Flächeneinheit wirkende Schubkraft! Aufgabe 7.31 [4] An einer schiefen Ebene (Neigungswinkel α) fließt ein dünner Flüssigkeitsfilm (Dicke h, Breite b, Dichte ρ, Zähigkeit η) infolge der Wirkung seines Eigengewichtes stationär hinab. a) Welches Geschwindigkeitsprofil u (y) stellt sich bei laminarer Strömung ein, und wie groß ist die Maximalgeschwindigkeit u m? b) Wie groß ist der Volumenstrom! V, der die Ebene hinabfließt? Gegeben: b; h; α; η; ρ.

14 7-14 Aufgabe 7.32 [3] In einem vertikalen Spalt fließt eine Flüssigkeit infolge des Schwerkrafteinflusses (kein Druckunterschied vor und hinter dem Spalt). Unterhalb des Spaltes fließt die Flüssigkeit an einer Wand als Rieselfilm weiter. Welche Zahlenwerte haben die Verhältnisse v v 1 2, τ τ w1 w2, Re Re 1 2, δ h? Aufgabe 7.33 [3] Eine Platte der Länge l = 1 m wird mit der Geschwindigkeit v 0 = 0,01 m/s an einer Wand nach oben gezogen. Zwischen Wand und Platte befindet sich eine Ölschicht der Dicke h = 0,002 m. Berechnen Sie pro Meter Breite den Volumenstrom und die Kraft mit der die Platte gezogen werden muß (Schwerkraft der Platte vernachlässigen), unter der Voraussetzung laminarer Strömung! Skizzieren Sie das errechnete Geschwindigkeitsprofil! Gegeben: ρ = 800 kg/m 3 ; η = 0,5 Ns/m 2 Aufgabe 7.34 [7] Aus einem großen Behälter (Radius R) strömt stationär eine Flüssigkeit der Dichte ρ zwischen zwei kreisförmigen Platten mit dem Radius R 2 aus. a) Wie groß ist der austretende Volumenstom! V? b) Geben Sie sie Druckverteilung zwischen den Platten als Funktion von r an! c) Wie groß darf das Verhältnis R 2 /R 1 gewählt werden, damit die Flüssigkeit ander Stelle [1] gerade nicht verdampft. Der Dampfdruck der Flüssigkeit ist p D. Gegeben : H; h; R; R 2 ; p 0 ; ρ; g

15 7-15 Aufgabe 7.35 [4] Zwischen zwei parallelen kreisförmigen Scheiben vom Radius r 0 befindet sich Flüssigkeit der Zähigkeit η. Der Scheibenabstand und damit die Schichtdicke der Flüssigkeit hat den Wert h. Ein Dichtring am Scheibenumfang verhindert, daß Flüssigkeit entweichen kann. Die Scheibe (1) wird mit der Winkelgeschwindigkeit ω angetrieben. Die Scheibe (2) ist über eine dünne Welle mit der Torsionssteifigkeit c an der Stelle b festgehalten und trägt einen Zeiger, der die jeweilige Verdrehung dieser Scheibe anzeigt. Die Reibung zwischen den Scheiben und dem Dichtring kann vernachlässigt werden. Bei hinreichend kleiner Schichtdicke h bewegen sich alle Flüssigkeitsteilchen auf Kreisbahnen um die Achse. a) Wie hängt die Schubspannung τ in der Flüssigkeit vom Abstand r von der Drehachse ab? b) Welches Moment M wird von einer Scheibe auf die andere übertragen? c) Wie hängt der Zeigerausschlag ϕ von der Winkelgeschwindigkeit ω ab (für ω = 0 sei ϕ = 0)? Gegeben: h; r 0 ; c; η; ω.