Baudynamik und Zustandsanalyse

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1 Baudynamik und Zustandsanalyse Eine Einführung in die Baudynamik mit Mathematica Das vorliegende Skript wurde im Original mit dem Programmsystem MATHEMATICA von WOLFRAM-Research [ geschrieben und erstmals auf den Webseiten der Hochschule für Technik und Wirtschaft in Dresden (University of Applied Sciences) [ veröffentlicht. Die Schrift trägt den Charakter eines Arbeitskonzepts, so dass ich für Hinweise und Anregungen aller Art, einschließlich zu Rechtschreibung, Grammatik und Druckbild sehr dankbar bin. Mit meinem Beitrag erhebe ich keinen Anspruch auf irgendeine Vollständigkeit bzw. Allgemeingültigkeit. Ich möchte einzig und allein an exemplarischen Problemstellungen der Baumechanik logisch einfache mathematisch-physikalische Lösungsmethoden zur Diskussion stellen. Mirko Slavik, Dresden 21 Beanspruchungen infolge Wind 21.9 KÁRMÁNsche Querschwingungen Im Frühjahr 1975 habe ich mich im Zusammenhang mit einem Vortrag in Vorbereitung zu meiner Diplomarbeit erstmals und bis zum September 2010 leider auch letztmalig mit den KÁRMÁNschen Querschwingungen beschäftigt. Damals ging es um die aerodynamische Beurteilung der Stützen der aufgeständerten Fahrbahn einer weitgespannten Zweigelenkbogenbrücke über den Plauenschen Grund in Dresden, wobei ich mich hauptsächlich an den umfangreichen Untersuchungen zu den Ständern der Moldaubrücke bei Ždákov [121] orientiert hatte Bei vergleichbaren, insbesondere kreiszylindrischen Konstruktionen war beobachtet worden, dass es bei bestimmten Windgeschwindigkeiten zu Querschwingungen kommen kann, deren Ursache die bereits im Absatz (vgl. auch Absatz ) erwähnten, sich wechselseitig, quasi periodisch ablösenden Wirbel sind Die Ablösung der Grenzschicht einer Strömung und die damit einhergehende Wirbelbildung ist an die Tatsache gebunden, dass die Strömungspartikel gegen einen Druckanstieg (vgl. u. a. Absatz ) anlaufen, wie dies zum Beispiel im Strömungsschatten eines Hindernisses auftritt, da der dort zu verzeichnende Abfall der Strömungsgeschwindigkeit eine relative Druckzunahme bewirkt (siehe Bild , vgl. auch die versteckte Zelle nach dem Absatz ). -3 c p, theoretisch Ablösepunkt Ruhezone c p, real a) b) -3 Bild : Erklärungshintergrund für das Wechselspiel zwischen Grenzschichtablösung und Druck- verteilung am Kreiszylinder nach [117]: a) Grenzschichtentwicklung und b) Druckverteilung Versteckte Zelle zur theoretischen Berechnung der idealen Druckverteilung an einem Kreiszylinder

2 2 baudyn_21_9_wind_querschwingungen.nb (siehe Bild b) Derartige Grenzschichtablösungen, die stets an Reibung und relative Druckschwankungen gekoppelt sind, stellen außerordentlich komplexe, nichtlineare Vorgänge dar, weshalb die zeitliche Voraussage, wann exakt ein Wirbel entsteht nicht möglich ist (vgl. hierzu auch [59]). Wenn sich jedoch ein Wirbel ablöst, erhöht sich der Strömungswiderstand, was man sich auch mit einer gegenläufigen Zirkulationsströmung erklären kann, die die stationäre Umfangsgeschwindigkeit verlangsamt (siehe die obere Seite des Kreiszylinders im Bild a). Infolge dessen kommt es zu einem relativen Druckanstieg in der laminaren Umfangsströmung, der sich in einer Druckkraft, quer zur Strömungsrichtung manifestiert. a) v F quer v b) c) d) Zonen der Ablösepunkte Bild : Querkraftentstehung und Wirbelstraßen nach [117]: a) Entstehung einer Kraft quer zur Strömungsrichtung b) unterkritischer Bereich bis kritischer Bereich Re zahl

3 baudyn_21_9_wind_querschwingungen.nb 3 zahl - c) kritischer bis überkritischer Bereich Re zahl d) transkritischer Bereich Re zahl > Die ursprünglich quasi-symmetrische Geschwindigkeitsverteilung der ungestörten Strömung wird aus dem Gleichgewicht gebracht und führt zu einer Erhöhung der Umfangsgeschwindigkeit auf der gegenüberliegenden, unteren Seite des betreffenden Kreiszylinders. Die Druckverteilung wird unsymmetrisch. Es baut sich ein Unterdruck auf, der die bereits im Entstehen begriffene Querkraft füttert. Würde der Störkörper zusätzlich noch querverschieblich, sprich schwingungsfähig sein, käme es zu einer weiteren Verstärkung dieses Effektes. Die Querkraftentstehung besitzt offensichtlich einen außerordentlich komplexen Hintergrund (vgl. hierzu auch die versteckte Zelle nach dem Absatz ) Gehen wir von ähnlichen aerodynamischen Verhältnissen, wie auf der Oberseite aus, dann tritt im Strömungsschatten des unteren Bereiches ein relativ stärkerer Druckanstieg als oben auf. Somit muss es auch auf der Unterseite zum Ablösen eines Wirbels und damit zu den bereits beschriebenen Folgeerscheinungen kommen. Die sich aufbauende Querkraft wirkt jetzt zeitlich versetzt in die entgegengesetze Richtung Bei REYNOLDSzahlen im unterkritischen bis kritischen Bereich (vgl. Tabelle ) ist für den Prozess der sich ablösenden Wirbel ein zeitlich begrenztes, relativ stabiles periodisches Gleichgewicht kennzeichnend. Hierfür typisch ist ein Nachlauf, der von alternierenden gegenläufigen Wirbeln geprägt ist (siehe Bild b). In der Fachliteratur bezeichnet man ihn als KÁRMÁNsche Wirbelstraße [124] (vgl. hierzu Absatz bzw. die versteckte Zelle nach dem Absatz ). Eine solche Wirbelstraße hat eine quasi-periodische Querkrafterregung zur Folge. In ihrer Längsrichtung treten ebenfalls pulsierende Kräfte auf, die aber gegenüber den Amplituden der Querkräfte in der Regel vernachlässigbar sind. Deren Frequenz ist doppelt so groß wie die der Quererregung. Die reduzierte Geschwindigkeit einer Wirbelstraße beträgt nach [95] ungefähr 85% der ursprünglichen, ungestörten Strömungsgeschwindigkeit Nach RUSCHEWEYH [117] besteht eine enge Kausalität zwischen regelmäßigen Wirbelablösungen und geraden Ablöselinien, wie sie beispielsweise an Körpern mit Ecken meist vorhanden sind. Bei einem Kreiszylinder ist die Wirbelablösung hingegen an eine homogene Entwicklung längs des Umfanges gebunden. Im unterkritischen bis kritischen Bereich entsteht in der Regel eine vom Staupunkt ausgehende laminare Grenzschicht, im transkritischen Bereich ist dies jedoch von Anfang an eine turbulente Grenzschicht (vgl. Absatz ). In beiden Fällen können sich diese Grenzschichten ausreichend lang aufbauen, um am jeweiligen Ablösepunkt (siehe Bild b und d) die erforderliche innere Homogenität aufzuweisen. Deshalb treten bei beiden quasi-periodische, wenn auch unterschiedlich stabile Wirbelbilder auf Im kritischen bis überkritischen Bereich (Bild c) findet allerdings vor dem Ablösepunkt ein Umschlagen der laminaren in eine turbulente Grenzschicht statt (vgl. Absatz ). Da dieser Prozess sowohl örtlich als auch zeitlich inhomogen ist, sind die Ablöselinien stochastischer Natur und die Wirbel instabil. Damit sind auch nur geringe Quererregungskräfte zu erwarten Die quasi-periodische Querkrafterregung im transkritischen Bereich ist nach [117] erst im Jahre 1961 entdeckt worden. Sie dient u. a. als Erklärung dafür, weshalb es auch bei sehr großen Schornsteinen zu Querschwingungen kommen kann Die KÁRMÁNschen Querschwingungen ordnet RUSCHEWEYH [117] in eine Schwingungsart ein, die zwischen Zwangserregung und Selbsterregung steht. Da die Quererregerkräfte beim Zylinder in

4 4 baudyn_21_9_wind_querschwingungen.nb der Regel erst im hinteren Störkörperbereich (engl. afterbody) einwirken, sind bei Hindernissen, bei denen ein solcher Teil nicht vorhanden ist, keine Querschwingungen zu beobachten Kreiszylinder oder kreiszylinderähnliche Konstruktionen, die Wind-, aber auch Wasserströmungen ausgesetzt sind, treten relativ häufig auf. Ein Beispiel sind die bereits oben erwähnten Stützen bei aufgeständerten Brückenfahrbahnen. Desweiteren sind Frei- und Rohrleitungen, Seile und Stäbe von Hängekonstruktionen, Türme und Maste, Schornsteine und sich im Wasser befindende Fundament- bzw. Stützkörper zu nennen Der Ablösevorgang der Grenzschichten hängt von der REYNOLDSzahl, der Oberflächenrauigkeit, der Lage und Ausbildung der Kanten und dem Verhältnis Durchmesser zur Länge einer Konstruktion ab. Die Ablöse-, sprich Erregerfrequenz f err [Hz] bestimmt man mittels der STROUHALzahl St, benannt nach dem tschechischen Physiker Čenek STROUHAL ( ). Sie ist eine Kennzahl für turbulente Strömungen und lautet: St = f err L char mit f err - Ablöse- oder Druckschwankungsfrequenz; entspricht der Anzahl der abgelösten Wirbel je Sekunde an einem Ablösepunkt in [Hz], - charakteristische Strömungsgeschwindigkeit in [m/s] (vgl. auch Absatz ), L char - charakteristische Länge (Breite) in [m] Die charakteristische Geschwindigkeit entspricht in der Regel der mittleren ungestörten Anströmgeschwindigkeit. Als charakteristische Länge (Breite) wird bei einem Kreiszylinder der Durchmesser d angesehen. Im Bereich Re zahl (10 1 ) (10 5 ), der von laminaren Grenzschichten und stabilen Wirbelstraßen geprägt ist, liegen die STROUHALzahlen relativ eng zwischen St 0,14-0,22 [103][117]. Ab Re zahl (10 4 ) 10 5 bis Re zahl (10 6 ) 10 7 schwanken die in der Literatur ausgewiesenen Werte wesentlich stärker und zwar zwischen St 0,16-0,32 [103][117]. Die zugehörigen Grenzschichten sind turbulent und die Wirbelstraßen folglich stochastisch. Im transkriti-schen Bereich Re zahl > (10 6 ) 10 7 kommt es zu einer relativen Stabilisierung der Wirbelablösungen (vgl. Tabelle ), weshalb die STROUHALzahlen sich um die Werte St 0,15-0,20 einpegeln. Der im Bild veranschaulichte Vergleich verdeutlicht, dass die Eigenbewegung eines Störkörpers einen starken Einfluss auf die STROUHALzahl und folglich auf die Ablösefrequenz hat (man vgl. hierzu die im Absatz erwähnte Ambivalenz der Wirbelentstehung). St 0,6 ortsfest 0,4 0,2 0 elastisch Re zahl

5 Beachtung muss aber nicht nur einer einzelnen Konstruktion gewidmet werden, sondern auch nacheinander angeordneten Baustrukturen, die sich eventuell im Schatten einer Wirbelstraße befinden könnten (vgl. hierzu Absatz ). So sind zum einen sehr schlanke Bauwerke, die in der Nähe eines kompakten Gebäudes stehen, gefährdet. Zum anderen sollten mehrere gleichartige, grazile Baukörper, wie zum Beispiel Schornsteine, wenigstens einen Abstand voneinander haben, der 10-15mal größer als deren maßgebende charakteristische Länge ist [95] Am Ende des letzten Jahrhunderts, siehe u. a. [95] und [103], stellte man fest, dass trotz erheblicher Fortschritte, was die Entschlüsslung der aerodynamischen Mechanismen betraf, es hinsichtlich der Voraussage der zu erwartenden Erregerkräfte noch keinen allseitig befriedigenden Ansatz gab. Das KÁRMÁNsche Querschwingungsproblem gehört womöglich zu einem jener komplexen, nichtlinearen Phänomene, bei denen wegen der hohen Sensibilität in den Anfangswerten (siehe Abschnitt 8 bzw. [59]), eine in sich geschlossene Berechnungsmethodik, die dem Windingenieur eine ausreichend sichere Vorhersage ermöglicht, offensichtlich nicht formulierbar ist Das Hauptaugenmerk sollte deshalb auf geeignete konstruktive Gegenmaßnahmen gelenkt werden, die die Entstehung von periodischen Ablöseerscheinungen verhindern oder auftretende Querbaudyn_21_9_wind_querschwingungen.nb 5 Bild : STROUHALzahl vs. REYNOLDSzahl bei einem ortsfesten glatten Zylinder (gestrichelt) und einem aeroelastischen Modellschornstein (ausgezogen) gemäß [95, Bild 7.3, S. 112] Da die größten Erregerkräfte jedoch bei STROUHALzahlen von St 0,2 auftreten, schlägt RUSCHEWEYH [117] diesen Wert für baupraktische Berechnungen als zu wählende Ansatzgröße für den gesamten REYNOLDSzahlbereich vor. Richtwerte für die STROUHALzahlen nichtkreisförmiger Profile können den Normen bzw. der Literatur, wie z. B. in [117, Bd. 2, S. 70f.] oder in [103, S. 231] entnommen werden Bei Querschnitten, die wie z. B. Rechteck- und Quadratprofile nicht rotationssymmetrisch sind (Bild ), spielt die Anströmrichtung eine entscheidende Rolle, da unterschiedlich geneigte Anströmflächen die Breite der Wirbelstraßen, aber auch die Ablösefrequenz der Wirbel beeinflussen. Verschiedene Formen der Kantenausbildung können Veränderungen in der STROUHALzahl von bis zu 25% zur Folge haben [117]. St 0,15 0,12 0,15 0,10 0,05 0,06 0,11 WIND d b 0, d/b Bild : STROUHALzahl für Rechteckprofile mit scharfen Kanten und rechtwinkliger Anströmung (gemäß [97])

6 6 baudyn_21_9_wind_querschwingungen.nb schwingungen hinreichend tilgen. So stellen zusätzliche formgebende Oberflächenelemente, wie z. B. Drahtwendel, Ringe, Störstreifen und Verstärkungsflansche außerordentlich wirksame Störmaßnahmen dar. Sie erhöhen allerdings auch den Windwiderstand des jeweiligen Objektes. Hingegen ist die Anordnung von passiven, geschweige von aktiven Schwingungsdämpfern sehr kostenintensiv. Bei der im Absatz erwähnten Brücke in Ždákov erhöhte man übrigens die Dämpfung der als schwingungsgefährdet erkannten Ständer passiv, indem deren Hohlräume mit scharfkantigem Feinschotter aufgefüllt worden waren. Anmerkung: Zur Problematik der aktiven Schwingungsdämpfung bei Windbeanspruchungen verweisen wir auf die interessante Arbeit von KÖRLIN [122] Im Weiteren werden die oben genannten Probleme und Schwierigkeiten in der theoretischen Voraussage der Wirkungen KÁRMÁNscher Querschwingungen näher beleuchtet. Falls baupraktische, normgerechte Bemessungen erforderlich sind, empfehlen wir u. a. die sehr übersichtliche und solide Ausarbeitung über winderregte Hängerschwingungen, die unter Federführung von K.-G. SCHÜTZ [123] stand. Dem eigenen Credo gehorchend werde ich, wie in all meinen anderen Skripten, an Normen gebundene bzw. an Vorschriften orientierte Berechnungsrezepte weitgehend meiden. Mir geht es vordergründig um das Aufzeigen der mathematisch-physikalischen Hintergründe In Anlehnung an die im Absatz definierte differenzielle Kraft z F (MORISONgleichung), wird eine zeitabhängige, auf die Längeneinheit bezogene Gesamtwindlast Q quer (t) z F(t) eingeführt. Sie wirkt seitlich auf den Störkörper. In der Literatur unterteilt man sie zwecks besseren Verständnisses formal in drei Komponenten: Q quer[z, t] = Q y,tur[z, t] + Q wirbel[z, t] + Q aerodyn[z, t] wobei Q y,tur (z, t) - querwirkender Lastanteil des turbulenten Windes (vgl. z. B. Absatz ) Q wirbel (z, t) - durch Wirbelbildung verursachte Querlast; sie tritt sowohl bei fehlender als auch bei vorhandener Strukturbewegung auf; im letzteren Fall sind starke Abhängigkeiten zwischen Last und Bewegung zu verzeichnen Q aerodyn (z, t) - bewegungsinduzierte Last In [95] werden zwei turbulente Strömungszustände hervorgehoben, bei denen eine erhöhte Wahrscheinlichkeit des Auftretens wirbelinduzierter Querschwingungen besteht. Das sind erstens relativ geglättete, beruhigte Windverhältnisse, wie sie beispielsweise in wenig bebauten Küstenbe-reichen anzutreffen sind. In geglätteten Strömungen entstehen signifikant häufiger Querschwingungen von Baustrukturen als in sehr turbulenten Arealen. In beruhigten Windströmungen kann es gemäß [95] auch zu einem starken Anwachsen der sogenannten negativen aerodynamischen Dämpfung kommen Im zweiten Fall handelt es sich um Bereiche mit anwachsenden Kleinwirbeln, die z. B. im Nachlauf einer schlanken, sich in der Nähe befindenden Struktur ähnlicher Abmessungen entstehen können. Die sich vergrößernden Kleinwirbel erhöhen den Kraftkoeffizienten, der im Zusammenhang mit den Wirbelablösungen steht Um die mathematisch-physikalischen Zusammenhänge besser zu verstehen, nutzen wir das vereinfachte zweidimensionale Querschwingungsmodell des Bildes Der zweiseitig elastisch gelagerte, starre Balken schwinge nur in der y-z-ebene. Die mittlere Hauptrichtung der stationären

7 baudyn_21_9_wind_querschwingungen.nb 7 Windanströmung liegt in der x-achse. Es wird vorausgesetzt, dass der Balken sich nur parallel zur z- Achse in y-richtung bewegen kann. Da die beiden Feder- und Dämpferelemente parallel geschaltet sind, gilt für die Federsteifigkeiten k = k 1 + k 2 und die Dämpfungskoeffizienten c = c 1 + c 2 (vgl. hierzu und im Weiteren auch die Abschnitte 7 und 8). d k 1 c 1 Q quer (t) df(t) dz z starrer Kreiszylinder H k 2 y x c 2 Bild : Vereinfachtes zweidimensionales Querschwingungsmodell Unter den oben getroffenen Annahmen ist der im Bild ausgewiesene starre Balken auf einen einfachen, krafterregten Einmassenschwinger, der für Q quer (z, t) Q quer (t) der Differenzialgleichung (7.1) gehorcht, reduzierbar: m y''[t] + c y'[t] + k y[t] = Q quer[t] H (Q y,tur[t] + Q wirbel[t] + Q aerodyn[t]) H Die meisten Fragezeichen bei den KÁRMÁNschen Querschwingungen bezogen auf bauliche Anlagen im Wind bestehen hinsichtlich der Verteilung der Erregerfrequenzen und der Erregungskräfte. 2 Letztere sind im entscheidenden Maße von der Strömungsenergiedichte (Staudruck) 0,5 ρ abhängig, weshalb alle weiteren Einflussfaktoren vorerst in einen verallgemeinerten orts- und zeitabhängigen aerodynamischen Kraftbeiwert c f (x, y, z, t) gepackt werden, der je nach Fragestellung aufgesplittet bzw. stark vereinfacht werden kann, um die drei Komponenten, Turbulenz, Wirbelbildung und aerodynamische Dämpfung zu bedienen. Wir schreiben: Q quer[z.t] c f[x, y, z, t] d[z] 1 2 ρ vchar[z]2 mit der Dimension N kg [-] [m] m m m2 3 s m 2 m

8 8 baudyn_21_9_wind_querschwingungen.nb wobei d(z) - Durchmesser des Zylinders [m], c f (x, y, z, t) - dimensionsloser orts- und zeitabhängiger, aerodynamischer Kraftbeiwert, ρ - Dichte des strömenden Mediums [kg/m³ ], v x (z) (z) - mittlere (charakteristische) Windgeschwindigkeit [m/s] Bei Baustrukturen hängt der verallgemeinerte Kraftbeiwert c f (x, y, z, t) von vielen Parametern ab, zwischen denen eine sehr komplexe Abhängigkeitsstruktur besteht [117]: - Verteilung der Geschwindigkeit über die Höhe z; man vergleiche hierzu die Aussagen zum Windprofil des Abschnittes Anströmrichtung sowie deren zugehörige Turbulenzintensitäten (siehe auch Absatz ) - Querschnittsform, REYNOLDSzahl, STROUHALzahl, Oberflächenrauigkeit - Schwingungsformen; sie beeinflussen die generalisierten Erregerkräfte sowie die Korrelationslängen (siehe Absatz bzw. [117][126]) - Verhältnis Schwingweg zur charakteristischen Querschnittsbreite; es existiert eine fundamentale Rückkopplung zwischen Querschwingung und Wirbelablösung hinsichtlich deren Erzeugung überhaupt, aber auch bezüglich ihrer Intensität und Stabilität - Einfluss der Randbedingungen (Lagerausbildung, Anschlüsse, Querschnittssprünge u. v. a. m.) In [95] wird bezüglich der beiden in den Absätzen und beschriebenen Szenarien ein modifizierter, allein auf den Anteil Q wirbel (z, t) bezogener Kraftbeiwert c f,w (z, t) eingeführt, den man als Zufallsprozess mit dem Erwartungswert null betrachtet (s. a. die versteckte Zelle unten). Für seine Standardabweichungen werden Werte im Bereich svc f, w 0, ,16 ausgewiesen, wobei der hohe Wert im Kontext zur Auswertung von Messungen steht, die bei zwei benachbarten 130 m hohen Essen vorgenommen worden waren (siehe Absatz ). Hierbei wurde auch eine starke Abhängigkeit von der Turbulenzintensität INT x (z) (siehe Absatz ) festgestellt. Versteckte Zelle zum modifizierten Kraftbeiwert c f, w aus [95, S. 113 ff.] Wie bereits des Öfteren erwähnt, existieren beim KÁRMÁNschen Querschwingungsphänomen Rückkopplungseffekte zwischen den verursachenden Strömungsmechanismenund den Störkörperbewegungen. Obzwar diese Rückkopplungen mathematisch sehr schwierig abzuschätzen und zu beurteilen sind, dürfen sie jedoch nicht außer Acht gelassen werden Eines der nichtlinearen Teilprobleme dieser Rückkopplungserscheinungen stellt der Lock-in- Effekt dar, den wir in ähnlicher Form bereits bei Brückenschwingungen infolge Fußgängerlasten kennengelernt haben (siehe Absätze ff und ff. bzw. [91]). Unter bestimmten Randbedingungen kommt es zu einer Synchronisation der dominanten Wirbelablösefrequenz (Druck-schwankungsfrequenz) mit der Eigenfrequenz des Baukörpers (siehe auch den im Absatz beschriebenen Wirbelablösemechanismus) Ein weiteres Teilproblem betrifft die Korrelationslänge, sprich die Frage nach der erforderlichen Einflusslänge, die für die Querwindlasten längs einer Baustruktur angesetzt werden muss, um die maßgebenden Beanspruchungen berechnen zu können. Beobachtungen zeigten eine eindeutige Abhängigkeit zwischen Bauteilbewegung und Korrelationslänge. Mit zunehmender Querbewegung wächst auch der notwendige Einflussbereich. Den Lock-in-Effekt und die Korrelationslänge muss man miteinander verknüpfen. Als ein geeignetes Hilfsmittel könnte sich die Anwendung dynamischer Ein-

9 baudyn_21_9_wind_querschwingungen.nb 9 flusslinien erweisen (siehe [23]) Für die bewegungsinduzierte Last Q aerodyn (z, t) der Gleichung ( ) findet man in [95] die interessante Beziehung: Q aerodyn [z, t] = - c träg [z, t] y''[z, t] - c däm [z, t] y'[z, t] Der erste Term ist der Beschleunigung des Störkörpers proportional und repräsentiert die Trägheit des vom Baukörper verdrängten Mediums (vgl. Absatz f.). Der zweite hat die mechanische Bedeutung einer Dämpfung, die der Geschwindigkeit proportional ist (vgl. u. a. die Absätze und f.) Im Anwendungsfall einer in Luft bewegten Baustruktur ist der Trägheitsanteil wegen des in der Regel geringen Masseverhältnisses von Luft zum Baukörper vernachlässigbar. Der aerodynamische Dämpfungsanteil hingegen, den RUSCHEWEYH [117] als aerodynamische Massendämpfung bezeichnet, spielt in der Aerodynamik eine wichtige Rolle. So reduziert ein negativer aerodynamischer Dämpfungsbeiwert c däm die effektive Bauwerksdämpfung. Es kommt folglich zu einer zusätzlichen aerodynamischen Anregung statt Dämpfung Der obige lineare Ansatz der aerodynamischen Dämpfung ist für kleine Querbewegungen, d. h % der charakteristischen Länge (Breite) hinreichend. Für Systeme mit größeren Verschiebungen sind in der Literatur nichtlineare Dämpfungsansätze vorgeschlagen worden [95]. Wir erhalten mit den beiden modifizierten Dämpfungsbeiwerten c1 däm (z, t) und c3 däm (z, t) und unter Wegfall des Trägheitsanteils: Q aerodyn[z, t] - c1 däm[z, t] y'[z, t] - c3 däm[z, t] (y'[z, t]) Der kubische Term dient der Selbstbegrenzung des schwingenden Systems im Falle negativer Dämpfungen (siehe auch Absatz ). Die negative Dämpfung erklärt man sich als selbstinduzierte Kräfte. Sie repräsentiert die stete Energieentnahme aus einem nicht versiegenden Strömungsumfeld, welches die ureigentliche Quelle der Querschwingungen darstellt. Wie aber dieser Energieentzug physikalisch konkret abläuft, ist bisher noch nicht eindeutig geklärt. Die aerodynamischen Dämpfungsbeiwerte basieren weitgehend auf der Interpretation empirischer Daten In einem vereinfachten Berechnungsmodell bedienen wir uns des Einmassenschwingers aus dem Bild , womit die Ortsabhängigkeit apriori eliminiert ist. Bleiben die Querturbulenzanteile und die Trägheitswirkungen der Luft, wie oben bereits erwähnt, vernachlässigt, erhält man für die Gleichung ( ) den unten angeführten Ausdruck:

10 10 baudyn_21_9_wind_querschwingungen.nb m y''[t] + c y'[t] + k y[t] = Q quer[t] H = (Q y,tur[t] + Q wirbel[t] + Q aerodyn[t]) H mit Q y,tur[t] 0 Q wirbel[t] = c f,w[t] d 1 2 ρ vchar2 siehe Absatz 21 _ 6 _ 26 und 21 _ 6 _ 28 c f,w[t] = cfw Sin[2 π f err t] wobei nach Absatz 21 _ 9 _ 13 f err = Q aerodyn[t] = - c1 däm y'[t] + c3 däm (y'[t]) 3 St vchar d k m := ω12 und c m := 2 ωb1 (siehe Absatz 7 _ 4) folgt y''[t] + 2 ω b1 y'[t] + ω 1 2 y[t] = H m cfw Sin 2 π St d t d 1 2 ρ 2 - c1 däm y'[t] + c3 däm (y'[t]) Die Lösung der obigen Differenzialgleichung erfolgt in Analogie zu der bereits im Abschnitt 7 bzw. 8 verwendeten fraktalen Methode. Als Basismodell wird ein Zylinderrohr gewählt, das sich in einem quasi-stationären Luftstrom befinde. Seine Parameter lauten d = 2 m, H = 1 m und m = 516 kg. Zum Zeitpunkt t = 0 t 0 = (n=0) Δt ist der Einmassenschwinger in Ruhe. Für den Initiator nutzen wir die Erkenntnis aus dem Absatz und beginnen mit einer sehr, sehr kleinen Zahl x Um die Ergebnisse besser einordnen und mit der Literatur vergleichen zu können, führen wir an dieser Stelle die SCRUTONZAHL Sc (Massendämpfungsparameter[126]) sowie die dimensions-lose reduzierte Geschwindigkeit v red ein. Die Definition dieser beiden Kennparameter lautet: Sc = 2 M Λ ρ d 2 v red = mit f 0 d St = ferr d f err = St f 0 v red für St 0.2 und v red f err = f 0 bzw. f 0 = f err d - Durchmesser des Zylinders [m], ρ - Dichte des strömenden Mediums [kg/m³], Λ - logarithmische Dämpfungsdekrement(siehe Absatz 2.2.3) M - reduzierte Masse je Längeneinheit [kg/m] (hier gilt M m ) H - mittlere Windgeschwindigkeit [m/s] St - STROUHALzahl (siehe Absatz ) f 0 - natürliche Eigenfrequenz in [Hz] (hier gilt f 0 f 1 )

11 baudyn_21_9_wind_querschwingungen.nb Sowohl zu den wirbeleregten als auch den selbstinduzierten Querschwingungen, wie Flattern und Galloping existiert eine sehr umfangreiche Spezialliteratur, doch eine schlüssige, allgemeingültige Ingenieurtheorie konnte nach meiner Erkenntnis bisher noch nicht gefunden werden. Das Hauptproblem stellt die Frage nach der physikalischen Beschreibung der selbstinduzierten Querkräfte ( negative Dämpfung) und der Selbstanpassung der Wirbelfrequenzen (Lock-in-Effekt) an die Schwingungsfrequenz des Störkörpers dar. Anmerkung: Im Kontext mit den weiter unten angestellten Überlegungen zum eigenem Berechnungsmodell stellt sich die Frage, ob negative Dämpfung und Lock-in-Effekt schlussendlich womöglich nicht dasselbe Phänomen erfassen, falls man den Lock-in-Effekt nicht allein als Synchronisation der Frequenzen ansieht, sondern ihn dahingehend erweitert, dass es infolge dieser Synchronisation in einer bewegten Luftsäule auch zu einer effektiven Vergrößerung der Erregerkräfte kommen könnte Um den Lock-in-Effekt zu umgehen, scheint es am einfachsten, Vorhersagemodelle zu generieren, bei denen eine Übereinstimmung der Eigen- mit der Erregerfrequenz von vornherein hergestellt wird. Da im diesbezüglich folgenden, fiktiven Beispiel eine relativ kleine Windgeschwindigkeit vorliegt, ist für den Kraftkoeffizienten in Anlehnung an [126, S. 87] ein Wert von c f,w = 0,7 in Ansatz gebracht worden, der übrigens ein Maximum im Gesamtspektrum der Werte darstellt, die in der uns zur Verfügung stehenden Literatur aufzufinden waren. Anmerkung: Zwecks einer besseren Beurteilung der Wegamplituden wird bei den Eingangsparametern neben der quasistatischen Verschiebung infolge der Querkraftamplitude 0,5 c f, w H d ρ 2 (KÁRMÁNkraft) zusätzlich die zugehörige quasistatische Verformung bei einer maximalen Windgeschwindigkeit von max = 35,1 m/s (siehe Tabelle ) ausgewiesen. Beide Werte haben die Dimension [m]. Die maximale dynamische Durchbiegung im linearen, stationären Resonanzzustand ohne Berücksichtigung einer nichtlinearen aerodynamischen Dämpfung betrüge übrigens 0,697 m. d = 2, H = 1, m = 516, ρ = , ν = , η = ν ρ ; = 5, Δt =.005, ω 1 = 2 π 0.5, Λ =.02, St =.2, cfw =.7, ω b1 = Λ ω 1 2 π ; m c1 däm = ω b1 H, c3däm = -2 2 m ωb1 ; H xn+1-2 xn + xn-1 (x n+1 - x n-1) erg = Solve + 2 ω b1 Δt 2 2 Δt H m St vchar cfw Sin 2 π d (x n+1 - x n-1) -c1 däm 2 Δt n Δt d 1 2 ρ vchar2 +c3 däm (x n+1 - x n-1) 2 Δt + ω 1 2 x n 3, xn+1 ;

12 12 baudyn_21_9_wind_querschwingungen.nb x 0 = 0; x 1 = ; v 0 = 0; a 0 = 0; maxn = ; Table[t n = n Δt, {n, 0, maxn}]; Do x 1+n = erg[[3, 1, 2]], v n = (x n+1 - x n-1) 2 Δt, a n = x n+1-2 x n + x n-1 Δt 2, {n, 1, maxn} weg = Table[{t n, x n}, {n, 0, maxn, 5}]; geschw = Table[{t n, v n }, {n, 0, maxn, 5}]; Eigenfrequenz [Hz]: 0.5 Erregerfrequenz [Hz]: 0.5 Reduzierte Geschwindigkeit v red [-]: 5. SCRUTONzahl Sc[-]: REYNOLDSzahl Re zahl [-]: Struktur-Dämpfungsgrad β = ωb1 ω1 [-]: Amplitude der KÁRMÁNkraft [N]: Zugehörige quasi-statische Wegamplitude [m]: Zugehöriger stationärer DMF [-]: Zugehörige maximale dynamische Wegamplitude [m]: Effektivwert der Verschiebung [-]: Maximalwert der Verschiebung [-]: Maximale quasi-statische Wegamplitude [m] bei max. :

13 baudyn_21_9_wind_querschwingungen.nb 13 Versteckte Zelle zum Beiwert c1 däm, der K a aus [78, S. 637 ff.] gleichgesetzt wird Weitgehend offen sind die realen Größen der beiden modifizierten Dämpfungsbeiwerte c1 däm (z, t) und c3 däm (z, t). Um sie zu bestimmen, bedarf es der Durchführung von In-situ-Messungen. Die Annahme negativer aerodynamischer Dämpfungen (selbstinduzierter Querkräfte) ist an bestimmte strömungsmechanische Konfigurationen gebunden. Sind sie betragsmäßig größer als die positiven Strukturdämpfungen, dann kommt es zu instabilen, quasi unbegrenzten Schwingungsausschlägen. Deshalb wurde in der obigen fiktiven Beispielberechnung, die eine negative aerodynamische Dämpfung enthält, als stabilisierendes Element das kubische Korrekturglied mit c3 däm (z, t) aktiviert, da auch in der Realität sich selbstbegrenzende Schwingungseffekte auftreten [95] Die Analyse der nichtlinearen Dämpfungskräfte, die die bewegungsinduzierten Kräfte des querschwingenden Störkörpers erfassen sollen, nahmen eine Schlüsselstellung in der von VICKERY und BASU [127] entwickelten semi-empirischen stochastischen Methode ein, mit der es gelang, eine bessere Beurteilung der Schwingungen hoher schlanker Baustrukturen vorzunehmen. Neben den selbstinduzierten Einwirkungen stellen die klassischen wirbelinduzierten Querkräfte und die aus der Windlängsrichtung resultierenden, quergerichteten Turbulenzen (siehe Absätze bis 8) zwei weitere Hauptquellen der Querschwingungen in ihrem Berechnungsmodell dar Mit dem Begriff der negativen aerodynamischen Dämpfung hatte und habe ich gewisse Schwierigkeiten. In meinem Verständnis geht die Dämpfung bezogen auf einen bestimmtes schwingendes Objekt stets mit einem Energieverlust infolge Energieumwandlung einher. Sie hat somit eine Verkleinerung der betreffenden Schwingungsamplitude zur Folge Die Problematik der KÁRMÁNschen Querkräfte ist für mich einer der Präzedenzfälle physikalischer Erscheinungen bei dem das zielorientierte Ingenieurdenken sich an der Komplexität der natürlichen Prozesse offensichtlich die Zähne ausbeißt. Kennzeichen der Entstehung KÁRMÁNscher Wirbelstraßen sind deren Vielfalt, Nicht-Vorhersagbarkeit und Instabilität. Das Auftreten von Wirbeln an Störkörpern selbst, aber auch ihre Wirkungen auf nichtlineare dynamische System tragen in sich die

14 14 baudyn_21_9_wind_querschwingungen.nb Tendenz zum Chaos [59]. Die Vielfalt der Wirkmechanismen in komplexen Systemen erfordert eine Vielfalt an Berechnungsmodellen. Eine komplexe Verhaltensstruktur allein mit einem Modell erfassen zu wollen, ist ein gewagtes Unterfangen Bei der Suche nach einer Zauberformel zur Vorhersage extremer Beanspruchungen sind die Windingenieure in ein ziemlich unübersichtliches Minenfeld geraten. Das Eintreten des Resonanzfalles ω 1 ω s hat eine Auftrittswahrscheinlichkeit mit dem Wert Null. Legte man diesen Zustand dennoch zur Abschätzung zugrunde, wie es im Absatz geschehen ist, dann wären bei sehr kleinen Strukturdämpfungen unrealistisch hohe dynamische Vergrößerungen zu erwarten (siehe die DMF-Werte des Absatzes 7.34). Das Ausnutzen der in der Natur vorhandenen Breitbandigkeit der Erregerfrequenzen mittels der Methoden der statistischen Dynamik (siehe Abschnitt 21.6 und 21.8) hat zwar erfolgreiche qualitative Lösungsstrategien zu Tage gefördert, doch die bei Messungen und Versuchen nachgewiesenen nichtlinearen Lock-in-Effekte, gepaart mit den Amplitudenvergrößerungen infolge selbstinduzierter Erregerkräfte, stellten den stochastischen Ansatz quantitativ gesehen wieder in Frage. Hierauf reagierend haben VICKERY und BASU [127] versucht, eine Antwort zu geben, wobei sie aber dem Ansatz der aerodynamischen Dämpfung die Treue hielten Um der Notwendigkeit zu entgehen, eine negative Dämpfung einführen zu müssen, wurde von mir alternative Gedankenmodelle ausprobiert, bei denen ich zunächst auf die zur Zeit übliche stochastische Modellbildung zugunsten einer iterativen nichtlinearen Analyse verzichtete. Entscheidend für den Lock-in-Effekt sind meines Erachtens die in der Realität stets auftretenden Geschwindigkeitsdifferenzen, die u. a. auch infolge der Störkörperbewegungen geweckt werden und eine nichtlineare Veränderung der Erregerfrequenzen zur Folge haben. Außerdem erzeugen die Querschwingungen des Störkörpers bei niedrigen SCRUTONzahlen weitere signifikante Erregerkräfte, die in der Realität von den Querturbulenzen noch zusätzlich überprägt werden können. Mit meinem Modell konnte ich bei Werten von Sc < 1,1 ohne jegliche Manipulation und ohne auf das Konstrukt der negativen Dämpfung zurückgreifen zu müssen, zum Kollaps führende Wegamplituden erzeugen. Versteckte Zelle enthält die gedanklichen sowie mathematisch-physikalischen Hintergründe der gewählten hypothetischen Vorgehensweise Anhand einer Parameteruntersuchung ist die aus der Literatur bekannte Tatsache, dass bei niedrigen SCRUTONzahlen Sc < 10 und bei reduzierten Geschwindigkeiten im Intervall 5,5 < v red < 6,5 die größten Schwingwegamplituden zu erwarten sind, tendenziell bestätigt worden. Dies betrifft auch die in [127] ausgewiesenen Größenordnungen der ermittelten Schwingwege. Bei den Simulationen zeigte sich, dass offensichtlich mehrere stationäre Zustände existieren, was auf die Existenz von Bifurkationen im nichtlinearen System hindeutet. Der Einfluss von Windturbulenzen in Querrichtung wurde vorerst nicht eingebunden. Er würde zu tendenziell größeren Werten führen, aber vermutlich nichts Wesentliches an den qualitativen Aussagen verändern, sofern in der Natur keine Rückkopplungseffekte infolge des schwingenden Hindernisses existieren. Dies bedarf noch einer intensiven Prüfung. Als effektiver Kraftbeiwert ist in Anlehnung an [127] c f,w 0,43 gewählt worden. Die Zeitdauer der simulierten Einschwingprozesse betrug jeweils T = 3000 s. Für die im Bild ausgewiesenen Werte lautete die reduzierte Geschwindigkeit v red 5,5. Das folgende Beispiel verdeutlicht den Verlauf eines typischen instationären Einschwingvorganges bei einer relativ kleinen SCRUTONzahl (Sc 4).

15 baudyn_21_9_wind_querschwingungen.nb 15 Anmerkung: In der versteckten Zelle nach den Eingabeparametern ist eine impulsförmige Störerregung aufbereitet, die als fiktiver Auslösungsmechanismus eines Lock-in-Effektes gedacht war, aber in den durchgeführten Berechnungen noch keine Anwendung gefunden hat. maxn = , = 5, Δt =.005, ω 1 = 2 π , d = 2, H = 1, m = 516, Λ =.02, ω b1 = Λ ω1 2 π, ρ = , ν = , η = ν ρ, St =.2 ; Eigenfrequenz [Hz]: Erregerfrequenz [Hz]: 0.5 Reduzierte Geschwindigkeit v red [-]: SCRUTONzahl Sc[-]: REYNOLDSzahl Re zahl [-]: Struktur-Dämpfungsgrad β = ωb1 ω1 [-]: Amplitude der KÁRMÁNkraft [N]: Zugehörige quasi-statische Wegamplitude [m]: Zugehöriger stationärer DMF [-]: Zugehörige maximale dynamische Wegamplitude [m]: Gewähltes Zeitfenster in [s]: t start = 50; t ende = 2950; Effektivwert der bezogenen Verschiebung [-]: Maximalwert der bezogenen Verschiebung [-]:

16 16 baudyn_21_9_wind_querschwingungen.nb Versteckte Zelle zur Dokumentation der Parameteruntersuchung In der mit dem Bild dokumentierten Analyse sind sowohl die Effektivwerte als auch die Maximalwerte der Durchbiegungen zu jeweils einer bestimmten Simulation berechnet worden. Zum Zwecke eines Vergleichs wurden blau die empfohlenen Bemessungswerte y max nach DIN 4133 d (1991) [126] hinzugefügt, wie sie sich für die Parameter des im Absatz untersuchten fiktiven Musterbeispiels ergaben.

17 baudyn_21_9_wind_querschwingungen.nb 17 Bild : Maximalwerte (schwarz) und Effektivwerte (rot) ausgewählter instationärer Schwingungsprozesse in Abhängigkeit von der SCRUTONzahl (blaue Vergleichswerte gemäß [126]) Die von VICKERY und BASU [127] stammende, häufig zitierte Darstellung der Abhängigkeit der auf den Kreiszylinderdurchmesser d bezogenen Querschwingwege in Abhängigkeit von der SCRU- TONzahl (Bild ) stellen die Effektivwerte (RMS-Werte, siehe hierzu auch Absatz )) einer Messung dar. Diese Abbildung aus [127] nutzend sprechen HOLMES [128] aber auch BACHMANN et. al. [80] hingegen von Spitzenwerten, was aber offensichtlich nicht richtig ist.

18 18 baudyn_21_9_wind_querschwingungen.nb ( ) y eff d [_] 0,10 Bereich der 0,01 0,001 Lock-in-Effekte Übergangsbereich keine Lock-in-Effekte Sc [_] Bild : Bezogene effektive Schwingwege in Abhängigkeit von der SCRUTONzahl gemäß [127] bzw. [128] Der Vergleich der beiden Grafiken zeigt tendenziell eine gute Übereinstimmung, über die es sich lohnte zu diskutieren, da erstere ohne das fragwürdige Konstrukt einer negativen aerodynamischen Dämpfung erzeugt worden ist. Der im Bild erkennbare rasante Abfall im Bereich der SCRU- TONzahlen zwischen Sc 5 und Sc 10 konnte anhand meiner theoretisch simulierten instationären Einschwingprozesse nicht bestätigt werden. Analysiert man hierzu aber die Arbeit [127] etwas gründlicher, wird erkennbar, dass dieser Übergangsbereich einen breiten Wertekorridor besitzt. So y bewegen sich die eff -Werte der in [127] simulierten stationären Prozesse z. B. bei Sc 5 in d Abhängigkeit von der Turbulenzintensität zwischen 0,15 und 0,015 (siehe [127, Part I, Fig. 11]).