Eine zweidimensionale Stichprobe

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1 Eine zweidimensionale Stichprobe liegt vor, wenn zwei qualitative Merkmale gleichzeitig betrachtet werden. Eine Urliste besteht dann aus Wertepaaren (x i, y i ) R 2 und hat die Form (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Beispiel Um die Kursentwicklung zweier Aktien auf mögliche Zusammenhänge (Korrelationen) zu prüfen, betrachtet man deren Kurse x i und y i an verschiedenen Handelstagen i: Handelstag i Kurs x i der 1. Aktie in Euro Kurs y i der 2. Aktie in Euro regression12.pdf, Seite 1

2 Ein Streudiagramm dient der Veranschaulichung der Daten einer zweidimensionalen Stickprobe. Jedes Wertepaar (x i, y i ) wird durch einen Punkt in der (x, y)ebene dargestellt. regression12.pdf, Seite 2

3 Streudiagramm einer zweidimensionalen Stichprobe mit gröÿerem Umfang (Beobachtung über einen längeren Zeitraum) regression12.pdf, Seite 3

4 Analyse einer zweidimensionalen Stichprobe Zunächst können Kenngröÿen wie Erwartungswerte x und y, empirische Varianzen s 2 x und s 2 y bzw. Standardabweichungen s x = s 2 x und s y = s y 2, Median, Quantile etc. jeweils getrennt für die xwerte und die y Werte bestimmt werden. Im Aktienbeispiel erhält man x = 55, s 2 x = 5, 6, s x 2, 37 sowie y = 95, s 2 y = 6 und s y 2, 45. regression12.pdf, Seite 4

5 Die empirische Kovarianz s xy ist ein Maÿ für die gegenseitige Abhängigkeit zwischen den x i und den y i : s xy = 1 ( ) (x 1 x) (y 1 y) (x n x) (y n y) n 1 Interpretation Wenn x i und y i in die gleiche Richtung vom Mittelwert abweichen, geht dieses Wertepaar mit einem positiven Vorzeichen in die empirische Kovarianz ein. Wertepaare, bei denen x i nach oben und y i nach unten abweicht (oder umgekehrt), gehen mit einem negativen Vorzeichen ein. Die Kovarianz ist > 0, wenn sich x i und y i tendenziell in die gleiche Richtung bewegen und < 0, wenn sie sich vorwiegend in entgegengesetzte Richtungen bewegen. regression12.pdf, Seite 5

6 Im Beispiel i x i y i x i x y i y (x i x) 2 (y i y) 2 (x i x) (y i y) Summe Mittel , 6 6 4, 8 in den ersten 4 Spalten Summe/6, in den letzten 3 Spalten Summe/5 Die letzte Zeile der Tabelle enthält: in der x i Spalte und der y i Spalte die Mittelwerte x = 55 und y = 95, in der (x i x) 2 Spalte und der (y i y) 2 Spalte die jeweiligen empirischen Varianzen s 2 x = 5, 6 und s 2 y = 6, in der letzten Spalte die empirische Kovarianz s xy = 4, 8. regression12.pdf, Seite 6

7 Satz Mit den empirischen Standardabweichungen s x und s y gilt s xy s x s y = s 2 x s 2 y s x s y s xy s x s y Bemerkung Der Satz ist analog zu der Aussage Cov(X, Y ) 2 V (X ) V (Y ) für Zufallsvariablen X und Y. Der Pearsonsche Korrelationskoezient oder empirische Korrelationskoezient ist deniert als r xy = s xy s x s y. Nach obigem Satz gilt 1 r xy 1. regression12.pdf, Seite 7

8 Im Beispiel ist r xy = s xy s 2 x s 2 y = 4, 8 5, 6 6 0, 828 Bemerkungen Allgemein gilt s yx = s xy und r yx = r xy. Dies folgt unmittelbar aus der Denition. s xy und r xy hängen (ebenso wie die Darstellung im Streudiagramm) nicht von der Reihenfolge der Wertepaare der Urliste ab. In Anwendungen wird die Urliste oft aufsteigend nach den x i sortiert (also x 1 x 2... x n ). r xy ist nicht deniert, wenn s 2 x = 0 oder s 2 y = 0. Dies ist genau dann der Fall, wenn alle xwerte gleich sind bzw. alle y Werte gleich sind. regression12.pdf, Seite 8

9 Korrelationskoezient und linearer Zusammenhang Es gilt r xy = 1 genau dann, wenn es Konstanten a > 0 und b R gibt mit y i = ax i + b für alle i. r xy = 1 genau dann, wenn es Konstanten a < 0 und b R gibt mit y i = ax i + b für alle i. Ist r xy = ±1, so liegen die Wertepaare im Streudiagramm somit auf einer Geraden. Ist r xy nahe 1 oder 1, so besteht ein annähernd linearer Zusammenhang. Allgemein spricht man von einer positiven Korrelation oder einem positiven linearen Zusammenhang, wenn r xy > 0 und von einer negativen Korrelation oder einem negativen linearen Zusammenhang, wenn r xy < 0. Im Beispiel sind die beiden Aktienkurse positiv korreliert. regression12.pdf, Seite 9

10 Lineare Regression Im Fall r xy = 1 oder r xy = 1 ist y i = ax i + b mit a = y 2 y 1 x 2 x 1 und b = y 1 ax 1. Im allgemeinen Fall r xy < 1 eines nicht exakten linearen Zusammenhangs versucht man a und b zu bestimmen, sodass y i ax i + b möglichst gut für alle i gilt. Dabei wird die Methode der kleinsten Quadrate angewandt: Man sucht die Regressionsgerade y = f (x) = ax + b, für die der mittlere quadratische Fehler n ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 y k f (x k ) = y 1 f (x 1 ) y n f (x n ) k=1 minimal wird. regression12.pdf, Seite 10

11 Satz Die Regressionsgerade y = ax + b mit minimalem quadratischen Fehler erhält man mit a = r xy sy s x = s xy s 2 x und b = y a x. Beweisansatz: Für eine fest gewählte Stichprobe ist der quadratische Fehler eine Funktion in den zwei Variablen a und b. Durch ( Betrachten der partiellen ) Ableitungen erkennt man, dass diese im Punkt (a, b) = r xy sy, y r s xy sy x ein eindeutig x s x bestimmtes lokales Minimum hat, welches das globale Minimum sein muss, da die Funktion nach unten beschränkt ist. Im Beispiel erhält man a = 4,8 5,6 = 6 7 0, 86 und b = = , Die Regressionsgerade hat somit die Form y = f (x) = ax + b = 6 7 x regression12.pdf, Seite 11

12 Regressionsgerade im Beispiel regression12.pdf, Seite 12

13 Regressionsgerade bei gröÿerer Stichprobe regression12.pdf, Seite 13

14 Regressionsgerade geometrisch Die Regressionsgerade verläuft immer durch den Punkt (x, y), den Schwerpunkt des Streudiagramms. Die Steigung ist gegeben durch a = r xy sy s x. Bei positiver Korrelation ist sie also umso gröÿer, je stärker die beiden Variablen korreliert sind. Regressionsgeraden bei unterschiedlicher Anordnung der Datenpunkte regression12.pdf, Seite 14

15 Bemerkung Vertauscht man die Rollen von x und y, so lässt sich analog eine Regressionsgerade mit ã = rxy s 2 y Dabei wird n i=1 x = f (y) = ã y + b und b = x ã y berechnen. ( x i f 2 (y i )) minimiert. Im allgemeinen gilt jedoch nicht f = f 1, d. h. die beiden Regressionsgeraden gehen bei Vertauschung von x und y (geometrisch Spiegelung an der Winkelhalbierenden x = y) nicht ineinander über. regression12.pdf, Seite 15

16 Im Beispiel Regressionsgerade x = f (y) = 4 y 21 (blau), 5 die die Summe über (x i f (y i )) 2 (die Quadrate der horizontalen Abstände) minimiert. regression12.pdf, Seite 16

17 Vergleich der Regressionsgeraden regression12.pdf, Seite 17

18 Bemerkung In vielen Anwendungen ist es vorgegeben, welche der beiden Gröÿen einer zweidimensionalen Stichprobe als unabhängige Variable x und welche als abhängige Variable y zu modellieren ist. Dabei können die x i auch deterministische (nicht zufällige) Gröÿen sein. Wenn man z. B. die zeitliche Entwicklung einer Gröÿe y untersuchen möchte, so wählt man x i als Zeitpunkt und y i den Wert der betrachteten Gröÿe zum Zeitpunkt x i. regression12.pdf, Seite 18

19 Beispiel In einem Studiengang werden folgende Studentenzahlen beobachtet: Jahr x i Studierende y i Vermutet wird ein linearer Wachstumstrend der Studentenzahlen. Man berechnet die Mittelwerte x = 2012 und y = 160 sowie die Varianzen s 2 x = 2, 5, s 2 y = 13, 5 und s xy = 5, der Korrelationskoezient ist r xy 0, 86. Damit erhält man die Regressionsgerade y = f (x) = ax + b mit a = sxy = 2 und b = y a x = sx 2 Setzt man verschiedene xwerte in die Gleichung ein, so erhält man Prognosen für künftige Studentenzahlen: Jahr x Prognose f (x) regression12.pdf, Seite 19

20 Multivariate lineare Regression Bei der multivariaten linearen Regression werden m + 1 Merkmale betrachtet (die hier behandelte einfache Regression entspricht dem Fall m = 1). Dabei wird eines der Merkmale als lineare Funktion der übrigen m dargestellt, sodass der mittlere quadratische Fehler minimal wird. Im Fall m = 2 hat man z. B. eine Stichprobe, die aus Wertetripeln (x i, y i, z i ) besteht. Gesucht sind nun Konstanten a, b, c R, sodass mit z = f (x, y) = ax + by + c der Fehler n i=1 ( z i f (x i, y i )) 2 minimal wird. Die Koezienten a, b, c können mit Mitteln der linearen Algebra betsimmt werden. regression12.pdf, Seite 20

21 Verallgemeinerung auf nichtlinearen Zusammenhang Die lineare Regresion geht von einem linearen Zusammenhang zwischen x und y aus. Dieser ist jedoch in vielen Anwendungen nicht gegeben. Oft lässt sich dann trotzdem noch eine lineare Regression durchführen, indem man die Variablen geeignet transformiert. Beispiele Zwischen x und y wird ein Zusammenhang der Form y = b e ax vermutet. Hat man eine Stichprobe mit Wertepaaren (x i, y i ), so lässt sich eine lineare Regression für (x i, ln y i ) durchführen, welche Konstanten a, b liefert mit ln y i a x i + b y i e ax b mit b = e b. Wird ein quadratischer Zusammenhang y = ax 2 + bx + c vermutet, so lässt sich eine multivariate lineare Regression mit der dreidimensionalen Stichprobe (xi 2, x i, y i ) durchführen, welche a, b, c liefert mit y i a xi 2 + b x i + c. regression12.pdf, Seite 21

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