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1 Insiu für Halle Insiue for Economic Research Wirschafsforschung Halle Berücksichigung von Schäzunsicherhei bei der Kredirisikobewerung Vergleich des Value a Risk der Verlusvereilung des Kredirisikos bei Verwendung von Boosrapping und einem asympoischen Ansaz Henry Dannenberg Januar 009 Nr. 3 IWH-Diskussionspapiere IWH-Discussion Papers

2 Berücksichigung von Schäzunsicherhei bei der Kredirisikobewerung Vergleich des Value a Risk der Verlusvereilung des Kredirisikos bei Verwendung von Boosrapping und einem asympoischen Ansaz Henry Dannenberg Januar 009 Nr. 3

3 IWH Auor: Henry Dannenberg el.: (0345) he responsibiliy for discussion papers lies solely wih he individual auhors. he views expressed herein do no necessarily represen hose of he IWH. he papers represen preliminary work and are circulaed o encourage discussion wih he auhor. Ciaion of he discussion papers should accoun for heir provisional characer; a revised version may be available direcly from he auhor. Commens and suggesions on he mehods and resuls presened are welcome. IWH-Discussion-Papers are indexed in RePEc-Econpapers. Herausgeber: INSIU FÜR WIRSCHAFSFORSCHUNG HALLE IWH Prof. Dr. Ulrich Blum (Präsiden), Dr. Huber Gabrisch (Forschungsdirekor) Das IWH is Miglied der Leibniz-Gemeinschaf Hausanschrif: Kleine Märkersraße 8, Halle (Saale) Posanschrif: Posfach , Halle (Saale) elefon: (0345) elefax: (0345) Inerneadresse: hp://www.iwh-halle.de IWH-Diskussionspapiere 3/009

4 IWH Berücksichigung von Schäzunsicherhei bei der Kredirisikobewerung Vergleich des Value a Risk der Verlusvereilung des Kredirisikos bei Verwendung von Boosrapping und einem asympoischen Ansaz Zusammenfassung Bei der Kredirisikobewerung müssen die Parameer Ausfallwahrscheinlichkei und -korrelaion geschäz werden. Diese Schäzung erfolg uner Unsicherhei. In der Lieraur werden asympoische Konfidenzregionen diskuier, um diese Unsicherhei bei der simulanen Schäzung beider Parameer zu beweren. Diese Regionen sezen allerdings eine sehr lange Daenhisorie für eine genaue Bewerung voraus. Als Alernaive biee sich bei kurzen Daenhisorien Boosrapping an. Diese Mehode is allerdings deulich recheninensiver. Im vorliegenden Beirag wird unersuch, ab welcher Anzahl hisorisch verfügbarer Perioden Boosrapping und eine Wald-Konfidenzregion zu einer vergleichbaren Bewerung des Kredirisikos gelangen. Die hier genuzen Mehoden führen zu ähnlichen Ergebnissen, wenn über 100 hisorische Perioden zur Verfügung sehen. Schlagwörer: Kredirisikobewerung, Konfidenzregion, Schäzunsicherhei, Boosrapping IWH-Diskussionspapiere 3/009 3

5 IWH Esimaion Uncerainy in Credi Risk Assessmen Comparison of Credi Risk Using Boosrapping and an Asympoic Approach Absrac For credi risk assessmen, probabiliy of defaul and correlaion have o be esimaed simulaneously. However, hese esimaes are uncerain. o assess his uncerainy he lieraure has discussed he use of asympoic confidence regions. his kind of region hough needs a long credi hisory for exac assessmen. An alernaive mehod o generae a confidence region for a shor credi hisory is boosrapping. Hence, i could be more appropriae o assess esimaion uncerainy wih boosrapping han wih asympoic mehods if only a shor credi hisory is available. Based on a simulaion sudy, i is analyzed how many periods should be available for assessing credi risk aking accoun of esimaion uncerainy if boosrapping and a Wald confidence region shall achieve similar resuls. his aricle shows ha more han 100 cycles have o be available for similar resuls. Keywords: confidence region, credi porfolio risk, esimaion uncerainy, boosrapping JEL: C15, D81, G11 4 IWH-Diskussionspapiere 3/009

6 IWH Berücksichigung von Schäzunsicherhei bei der Kredirisikobewerung Vergleich des Value a Risk der Verlusvereilung des Kredirisikos bei Verwendung von Boosrapping und einem asympoischen Ansaz 1 Einleiung In vielen Risikomodellen bleiben Schäzfehler bei der Besimmung von Risikoparameern unberücksichig. Hierdurch wird vernachlässig, dass diese Parameer häufig nur geschäz werden, also selber einen Unsicherheisfakor und dami auch ein Risiko darsellen.1 So sind hisorisch beobachbare Ausprägungen, auf denen eine Schäzung beruh, auch nur zufällige Realisaionen der zu schäzenden Risikovereilung. Erfolgen in der Vergangenhei zufällig nur wenige Ausfälle, beseh die Gefahr, ein Ausfallrisiko zu unerschäzen. Umgekehr beseh naürlich auch die Möglichkei, auf Grundlage von hisorischen Beobachungen, das Risiko zu überschäzen. Beide Fälle sellen für das Risikomanagemen ein Problem dar. Im ersen Fall wird gegebenenfalls eine zu geringe Risikovorsorge berieben, also zum Beispiel zu wenig Eigenkapial vorgehalen. Im zweien Fall wird hingegen zu resrikiv gehandel. Das heiß, es wird zu viel Eigenkapial für die Risikodeckung eingeplan, wodurch Rendieziele schwieriger zu erreichen sind. Die Schäzunsicherhei sell dami einen separaen Risikofakor dar. Die Vernachlässigung dieses Mea-Risikos bei der Risikobewerung führ daher zu einer ineffizienen Kapialallokaion. Der folgende Beirag befass sich mi der Frage, wie Schäzunsicherhei bei der Kredirisikobewerung berücksichig werden kann. Hierbei erfolg eine Fokussierung auf die Risikoparameer Ausfallwahrscheinlichkei und Ausfallkorrelaion zwischen Unernehmen in einer Periode (im Folgenden auch als Korrelaion bezeichne). Die mi der Schäzung von Modellparameern verbundenen Probleme sind in der Lieraur bekann. So forder der Baseler Ausschuss für Bankenaufsich, dass im Bankensekor für die mi der Schäzung der Modellparameer verbundenen Fehler Sicherheiszuschläge zu berücksichigen sind, die in Beziehung zur möglichen Fehlerspannweie 1 Vgl. Gleißner, Romeike (008), S. 8. IWH-Diskussionspapiere 3/009 5

7 IWH sehen. Der Ausschuss sag jedoch wenig darüber aus, wie diese Sicherheiszuschläge zu besimmen sind. In der Lieraur wird die Verwendung von Konfidenzinervallen beziehungsweise von Konfidenzregionen zur Beschreibung von Schäzunsicherhei diskuier. Dieser Ansaz finde auch versärk bei der Kredirisikobewerung Berücksichigung. So wird beispielsweise hinsichlich der Ausfallwahrscheinlichkei diskuier, die mi ihrer Schäzung verbundene Unsicherhei beispielsweise durch Wald-, Agresi- Coull-oder Jeffrey-Inervalle aber auch auf Boosrapping basierende Inervalle zu beschreiben.3 Gegen die Verwendung dieser für die Ausfallwahrscheinlichkei diskuieren Inervalle sprich jedoch, dass sie die Unabhängigkei der Ausfallereignisse voraussezen. Modifikaionen wie von Miao und Gaswirh (004) vorgeschlagen, berücksichigen zwar Abhängigkeien, aber nur, wenn sie zwischen im Daensaz direk aufeinanderfolgenden Beobachungen vorliegen.4 Beide Annahmen sind für die Krediporfoliorisikomodellierung nich besonders geeigne, da von Abhängigkeien zwischen allen Kredinehmern eines Porfolios auszugehen is. Unsicherhei bei der Bewerung der Abhängigkeissrukur unersuchen beispielsweise Cassar e al. (007). Konfidenzregionen, bei denen die oben beschriebenen Annahmen zur Unabhängigkei nich erforderlich sind, beschreiben beispielsweise Höse (007) und Hamerle e al. (005). Diese Auoren enwickeln Modelle, die es ermöglichen, bei der simulanen Schäzung von Ausfallwahrscheinlichkeien und Ausfallkorrelaionen asympoische Konfidenzregionen für beide Parameer abzuleien. Auch befassen sie sich mi der Frage, welchen Einfluss die Schäzunsicherhei auf den Value a Risk (VaR) der Verlusvereilung eines Krediporfolios und dami auf den Eigenkapialbedarf eines Unernehmens ha. Die verwendeen asympoischen Konfidenzinervalle basieren jedoch auf der Annahme, dass die auf Basis einer Maximum-Likelihood-Schäzung geschäzen Parameer asympoisch normalvereil sind.5 So wird uner anderem vorausgesez, dass Daen für einen hisorisch sehr langen Zeiraum zur Verfügung sehen.6 Diese Annahme is für die Praxis möglicherweise wenig realisisch. Alernaiven zu asympoischen Konfidenzinervallen können auf Boosrapping basierende Inervalle darsellen. Ein wesenlicher Voreil des Boosrappings is darin zu sehen, dass es frei von resrikiven Annahmen hinsichlich der Parameer is.7 Das heiß, die Verlezung der Annahme der Vgl. Basel Commiee on Banking Supervision (005), RN Vgl. Chrisensen e al. (004); Dannenberg (008); Hanson, Schuermann (006); Lawrenz (008); Pluo, asche (005); Sein (003); rück, Rachev (005) 4 Vgl. Miao, Gaswirh (004), S. 14 ff. 5 Vgl. Hamerle e al. (005), S Vgl. Höse (007), S Vgl. Chernick (008), S. 8 ff. 6 IWH-Diskussionspapiere 3/009

8 IWH asympoischen Normalvereilung der Maximum-Likelihood-Schäzer wäre für das Boosrapping unproblemaisch. Der Nacheil des Boosrappings beseh jedoch darin, dass eine analyische Berechnung nich möglich is. Dami is diese Mehode deulich rechen- und dami zeiinensiver als die asympoische Lösung. Vor diesem Hinergrund sell sich die Frage, ab welcher Anzahl hisorisch verfügbarer Perioden beide Mehoden zu einer ähnlichen Einschäzung des Krediausfallrisikos bei Berücksichigung von Schäzunsicherhei führen und dami die Verwendung eines asympoischen Ansazes unbedenklich is. Im Folgenden soll dieser Frage anhand einer Simulaionssudie nachgegangen werden. Als Krierium der Vergleichbarkei beider Mehoden dienen hier die Mielwere der VaR-Vereilungen. Die asympoische Konfidenzregion wird durch eine Wald-Konfidenzregion beschrieben. Der folgenden Unersuchung lieg ein Bea-Binomial-Modell zugrunde. Der Einfachhei halber wird ein Ein-Raingklassenfall berache. Bei dem Bea-Binomial-Modell handel es sich um ein Krediporfoliomodell, welches den Bernoulli-Mischungsmodellen zuzuordnen is.8 Die Bernoulli-Mischungsmodelle zählen zu den bekannesen Ansäzen für die Modellierung von abhängigem Krediausfallverhalen. Im folgenden Abschni wird dieses Modell zunächs beschrieben. In Abschni 3 wird dargesell, wie asympoische beziehungsweise auf dem Boosrapping beruhende Konfidenzregionen hergeleie werden. Abschni 4 erläuer, wie basierend auf den Konfidenzregionen die Vereilungen der Values a Risk abgeleie werden. In Abschni 5 wird anhand einer Simulaionssudie unersuch, ob durch die Verwendung asympoischer Konfidenzregionen die Values a Risk und dami indirek auch der Eigenkapialbedarf in Abhängigkei von der verfügbaren Kredihisorie signifikan über- oder unerschäz wird. Abschließend werden in Abschni 6 die Ergebnisse der Arbei zusammengefass und weierer Forschungsbedarf formulier. 8 Das Bea-Binomial-Modell ensprich weigehend der Ein-Fakor-Version von CrediRisk+ (Vgl. Frey, Mc eil (003): S. 69). IWH-Diskussionspapiere 3/009 7

9 IWH Das verwendee Bea-Binomial-Modell Zur Modellierung des Krediporfoliorisikos wird zur vereinfachen Veranschaulichung im Folgenden ein Bernoulli-Mischungsmodell mi einer Boniäs- beziehungsweise Raingklasse unersell. Die Bernoulli vereile Ausfallvariable H n eines Kredinehmers n ( n= 1,,..., ) nehme in der Periode den Wer Eins an, wenn dieser ausfäll. Sons sei H n Null. Alle Forderungen gegen einen Kredinehmer n innerhalb einer Periode werden zu einer Forderung zusammengefass. Die durchschniliche Boniä aller Kredinehmer der Raingklasse in Periode wird durch die Zufallsvariable πɶ ( = 1,,..., ) (sochasische Ausfallwahrscheinlichkei der Raingklasse) beschrieben. Beliebige Realisaionen des Vekors aller sochasischen Ausfallwahrscheinlichkeien ɶ π : = ( ɶ π1, ɶ π,..., ɶ π ) seien durch π : = ( π1, π,..., π ) ( ( π1, π,..., π ) (0;1) ) bezeichne. Im Bea-Binomial- Modell wird für πɶ eine Beavereilung unersell. Diese häng uner anderem auch von einer Korrelaion ρ zwischen verschiedenen Ausfällen in einer Periode ab. Is allerdings ein besimmer Wer π (und dami zum Beispiel eine gue oder schleche Konjunkur) gegeben, wird (bedinge) Unabhängigkei zwischen den Ausfallvariablen H n angenommen. Die auf eine zufällige Realisaion bedingen Vereilungen der Ausfallvariablen H n sind somi sochasisch unabhängige (beding unabhängige) Bernoullivereilungen und es gil: unabhängig H ɶ π = π Bin(1; π ), n= 1,,...,. (1) n Die Anzahl der Ausfälle H am Ende einer Periode ergib sich aus der Summe der Ausfallvariablen H n : H : = H, = 1,,...,, n= 1 n () wobei die Porfoliogröße bezeichne. Dami ergeben sich als bedinge Vereilungen der Ausfallvariablen Binomialvereilungen: H ɶ π = π Bin( ; π ). (3) Da es sich bei den Realisaionen π um zufällige Ausprägungen von πɶ handel, wird im Bernoulli-Mischungsmodell eine Annahme hinsichlich der πɶ zugrundeliegenden Vereilung Fɶ π ( π ) geroffen. Die Mischung dieser Vereilung mi den sich aus (3) ergebenden Binomialwahrscheinlichkeien führ zur unbedingen Wahrscheinlichkeisfunkion der Anzahl der Ausfälle H : 8 IWH-Diskussionspapiere 3/009

10 IWH h h P( H = h ) = π (1 π ) d Fɶ π ( π ). (4) h Im hier verwendeen Bea-Binomial-Modell werden die sochasischen Ausfallwahrscheinlichkeien durch Beavereilungen modellier. Dami ergib sich als unbedinge Wahrscheinlichkeisfunkion der Anzahl der Ausfälle H : P( H ) (1 ) (1 π ) α 1 β 1 h h = h = π π h B( α, β ) π, (5) wobei B( α, β ) die Beafunkion: B(, ) x α β = (1 x) dx α β (6) 0 mi α (0; ) und β (0; ) bezeichne.9 Zwischen der Ausfallkorrelaion ρ beziehungsweise der erwareen Ausfallwahrscheinlichkei p und den Parameern der Beafunkion α, β beseh folgender funkionaler Zusammenhang: p(1 ρ) α = und ρ (1 p)(1 ρ) β =. 10 (7) ρ Dami sind 0< ρ < 1 und 0< p< 1. Es wird weier angenommen, dass im Falle eines Ausfalls gegen den ausgefallenen Kredinehmer n eine Forderung (Exposure a Defaul) in Höhe von Eins beseh. Wenn es zu einem Ausfall komm, sei unersell, dass der gesame Forderungsberag dieses Kredinehmers ausfäll (Loss given Defaul = Eins). Dami reduzier sich die Verlusvereilung des Krediporfolios auf die Vereilung der Anzahl der innerhalb einer Periode aufreenden Krediausfälle H. Zur Paramerisierung dieses Modells is die Schäzung der beiden Parameer ρ und p erforderlich. Die simulane Schäzung dieser beiden Größen erfolg miels Maximum- Likelihood-Mehode. Hierfür wird unersell, dass die zugrundeliegende unbekanne Ausfallwahrscheinlichkei p und Ausfallkorrelaion ρ im Periodenvergleich konsan sind. Es liegen keine periodenübergreifenden Abhängigkeien vor. Folgende auf Gleichung (5) basierende Log-Likelihood-Funkion wird maximier:11 9 Vgl. zum Bernoulli-Mischungsmodell und zur Bea-Binomialvereilung Höse (007), S. 34 ff.; Frey, Mc eil (003), S. 67 f.; Embrechs, Frey, Mc eil (005), S. 35 ff. 10 Vgl. Höse (007), S Vgl. Höse (007), S IWH-Diskussionspapiere 3/009 9

11 IWH p 1 p l( p, ρ, h) = c+ ln Γ( h p+ ) + ln Γ( h 1 + p+ ) ρ ρ = 1 (8) p(1 ρ) (1 p)(1 ρ) 1 lnγ + lnγ + lnγ 1+ ρ ρ ρ 1 ρ + ln Γ. ρ Hierbei beschreib h den Vekor hisorisch beobacheer Ausfallzahlen. Es wird unersell, dass sich die Porfoliogröße = mi = 1,,..., im Zeiverlauf nich änder, wobei die Anzahl der hisorisch beobachbaren Perioden darsell. Γ bezeichne die Gammafunkion: a 1 s a s e ds Γ ( ) =. (9) 0 Die Konsane c is unabhängig von den Modellparameern und kann daher bei der Maximierung vernachlässig werden. Die beiden Schäzer pɶ und ρɶ, die diese Funkion maximieren, werden numerisch besimm. Die Parameer der Beafunkion können auf Grundlage dieser beiden Schäzer ermiel werden: ɶ α pɶ (1 ɶ ρ ) ɶ ρ = und ɶ β (1 pɶ )(1 ɶ ρ ) =. ɶ ρ (10) Durch Einsezen dieser beiden Parameer sowie π =ɶ p und in Gleichung (5) kann die Vereilung der Anzahl der Ausfälle P( H = h ) innerhalb einer Periode abgeleie werden. Diese berücksichig jedoch noch nich die mi der Schäzung verbundene Schäzunsicherhei. Im folgenden Abschni wird gezeig, wie diese durch Konfidenzregionen beschrieben werden kann. 10 IWH-Diskussionspapiere 3/009

12 IWH 3 Herleiung der Konfidenzregion Höse (007) konsruier eine asympoische Wald-Konfidenzregion für die beiden Parameer Ausfallkorrelaion und Ausfallwahrscheinlichkei.1 Diese wird für einen Parameervekor ( p, ρ ) berechne mi: (( ) ( )), ɶ, (, ) ((, ɶ ) (, ))' pɶ ρ p ρ I p ρ pɶ ρ p ρ χ,1,13 (11) q wobei χ,1 q für 0< q< 1 das q-quanil einer Chiquadravereilung mi zwei Freiheisgraden bezeichne. I ( p, ρ ) bezeichne eine zu schäzende Informaionsmarix. Die Elemene dieser Informaionsmarix können dabei wie folg besimm werden:14 1 P( H i+ 1) P( H i 1) I ( p, ρ) 11= (1 ρ) +, i= 0 ( p(1 ρ) + iρ) ((1 p)(1 ρ) + iρ) 1 ρ 1 pp( H i+ 1) (1 p) P( H i 1) I ( p, ρ) 1 = I( p, ρ) 1=, ρ + i= 0 ( p(1 ρ) + iρ) ((1 p)(1 ρ) + iρ) 1 1 p P( H i+ 1) (1 p) P( H i 1) 1 I ( p, ρ) =. + ρ i= 0 ( p(1 ρ) + iρ) ((1 p)(1 ρ) + iρ) (1 + ρ( i 1)) (1) p=ɶ p und ρ = ɶ ρ in (1) kann die Informaionsma- Durch Einsezen der Parameer rix geschäz werden. Die von Höse (007) vorgeschlagene Konfidenzregion kann jedoch nur für das vorgegebene Verrauensniveau gewährleisen.15 Diese Einschränkung kann aus zwei 1 Höse (007) konsruier darüber hinaus auch weiere Konfidenzregionen. Insbesondere eine auf dem Likelihood-Verhälnis basierende Konfidenzregion (LV-Region) könne für kurze Daenhisorien möglicherweise besser geeigne sein als das hier verwendee Wald-Inervall. Allerdings is die LV-Region so konsruier, dass ein gegebenes Verrauensniveau hinsichlich der beiden Parameer mindesens eingehalen wird. Dieses Vorgehen is möglicherweise problemaisch. Brown, Cai, DasGupa (001, S. 113) lehnen beispielsweise das für Aneilswere im Unabhängigkeisfall konsruiere Clopper-Pearson-Inervall, welches ebenfalls ein gegebenes Verrauensniveau mindesens einhäl, ab, weil sie es für wasefully conservaive halen. Für die LV-Region sprich eine von Höse durchgeführe Simulaionssudie, welche der LV-Region eine hohe Abdeckwahrscheinlichkei aesier (Höse (007), S. 167). Diese Sudie erfolg jedoch nur für ein Porfolio (N = 5000, p = ρ = 0, 05 ). Brown, Cai, DasGupa (001, S. 10) weisen allerdings darauf hin, dass die Abdeckwahrscheinlichkei eines Konfidenzinervalls sehr sensibel auf den Sichprobenumfang reagieren kann. Daher wird das für die LV-Region sprechende Argumen hier geringer gewiche als das gegen sie sprechende Argumen und daher im Folgenden das vorgeschlagene Wald-Inervall berache. 13 Vgl. Höse (007), S Vgl. Höse (007), S Vgl. Höse (007), S IWH-Diskussionspapiere 3/009 11

13 IWH Gründen problemaisch sein. Zum einen sehen häufig nur kurze Zeiräume zur Schäzung der Parameer zur Verfügung. Zum anderen werden Ausfallwahrscheinlichkeien von Boniäsklassen häufig nur auf Jahresbasis bewere. Ein auf Jahresbasis geschäzes Modell erforder also Beobachungen, die viele Jahre in die Vergangenhei reichen, um asympoische Konfidenzregionen zu schäzen. Es sell sich dami zum einen die Frage nach der Daenverfügbarkei und zum anderen nach der Akualiä von wei in die Vergangenhei reichender Daen. Höse (007) ese die Güe der von ihr dargesellen asympoischen Konfidenzregion für Kredihisorien von = 16 und = 56. Sie sell fes, dass vor allem für die Korrelaion in kurzen Kredihisorien dieses Inervall wenig geeigne is. Für = 56 erziel sie jedoch bereis für beide Parameer eine gue Abdeckung.16 Wie eingangs beschrieben, kann das Boosrapping für kleine Sichproben die geeigneere Mehode zur Herleiung von Konfidenzinervallen beziehungsweise regionen sein, da auf resrikive Annahmen hinsichlich der Vereilung der Maximum-Likelihood- Schäzer verziche werden kann. Es wird zwischen nichparamerischen und paramerischen Boosrapping unerschieden.17 Hier soll die paramerische Version zur Anwendung kommen.18 Diese sez voraus, dass eine Vorsellung hinsichlich der den hisorischen Beobachungen zugrundeliegenden Vereilung exisier. Für diese Arbei ensprich diese der in Gleichung (5) beschriebenen Wahrscheinlichkeisvereilung der Anzahl der Krediausfälle, welche, wie oben dargesell, auf Grundlage hisorischer Beobachungen paramerisier werden kann. Aus dieser Vereilung werden beim paramerischen Boosrapping ensprechend der Anzahl der hisorisch verfügbaren Perioden zufällige Ausfallzahlen mi Zurücklegen gezogen. Diese Ausfallzahlen repräsenieren eine Boosrap-Sichprobe, für welche die Ausfallwahrscheinlichkei und Ausfallkorrelaion ensprechend Gleichung (8) geschäz werden können. Durch das wiederhole Erzeugen von Boosrap-Sichproben kann eine Vielzahl an Paaren der beiden zu schäzenden Parameer erzeug und ausgewere werden. Zusammenfassend seien hier die einzelnen Schrie zur Ermilung der Boosrap-Inervalle dargesell: (S1) Paramerisierung der Vereilung aus Gleichung (5) uner Verwendung der Gleichungen (8) und (7) auf Grundlage der hisorisch verfügbaren Daen. (S) Ziehen (mi Zurücklegen) von zufälligen Ausfallzahlen auf Basis der in S1 paramerisieren Vereilung (erzeugen einer Boosrap-Sichprobe). (S3) Schäzen der Parameer pɶ und ρɶ auf Grundlage der in S erzeugen Boosrap-Sichprobe uner Verwendung von Gleichung (8). 16 Vgl. Höse (007), S. 160 ff. 17 Vgl. Vose (005), S. 181 ff.; Chernick (008), S. 10 ff. 18 Hier wird als zugrundeliegende Wahrscheinlichkeisvereilung der Krediausfälle die Bea-Binomial- Vereilung aus Gleichung (5) unersell. Da dami die den hisorischen Daen zugrundeliegende Vereilung im Modell als bekann angenommen wird, is die paramerische Boosrap-Mehode angemessen. 1 IWH-Diskussionspapiere 3/009

14 IWH (S4) Speichern des in S3 ermielen Parameerpaares. (S5) x-maliges Wiederholen der Schrie S-S4. Im Folgenden soll zur Veranschaulichung ein Beispiel dienen. Für dieses sei angenommen, dass ein = 500 Kredinehmer umfassendes Porfolio berache wird. Es können Beobachungen zu Krediausfallereignissen für = 5 hisorische Perioden zur Verfügung gesell werden. In den hisorischen Perioden hae das Porfolio ebenfalls eine Größe von = 500 mi = 1,, 5. Es wurden in den einzelnen Jahren h ' = (3; 4; ; ; 4) Krediausfälle beobache. Dami schwank die Ausfallquoe AQ, also das Verhälnis von Ausfallzahl und Porfoliogröße zwischen 0,4% und 4,8%. Im Durchschni der fünf Jahre fielen 3% der Kredinehmer aus. In abelle 1 werden die Rahmenbedingungen des Beispiels zusammenfassend dargesell. abelle 1: Rahmenbedingungen des Beispiels h h AQ = ,6% ,8% ,4% ,4% ,8% Quelle: Fikives Beispiel Im Anhang 1 erfolg für dieses Beispiel ein Vergleich von mi Boosrapping erzeugen Parameerpaaren und der Wald-Konfidenzregion. Dieser Vergleich deue darauf hin, dass je nach gewählem Verrauensniveau eine größere beziehungsweise geringere Anzahl der mi Boosrapping erzeugen Werepaare außerhalb der asympoischen Konfidenzregion liegen kann als es zu erwaren gewesen wäre. Es is zu vermuen, dass dies zu unerschiedlichen Kredirisikobewerungen führen kann, wenn zur Beschreibung der Schäzunsicherhei eine dieser beiden Mehoden gewähl wird. Im Folgenden wird daher für eine Vielzahl von möglichen Beobachungen in Abhängigkei von einem gegebenen Verrauensniveau unersuch, ob durch die Verwendung von asympoischen Konfidenzregionen das Kredirisiko im Vergleich zur Verwendung von auf Boosrapping basierenden Konfidenzregionen signifikan über- oder unerschäz wird. Da Höse (007) für = 56 eine Abweichung der Schäzer von der Normalvereilungsannahme als unproblemaisch für den Einsaz der Wald-Konfidenzregion ermiel, is zu vermuen, dass Boosrapping und asympoische Mehode für < 56 zu einer vergleichbaren Risikoeinschäzung führen. IWH-Diskussionspapiere 3/009 13

15 IWH 4 Herleiung der Vereilung des Value a Risk Eine eabliere Kennzahl zur Bewerung von Risiken sell der Value a Risk (VaR α ) dar. Dieser is als eine maximale Abweichung von einem Referenzwer beschrieben, die für ein gegebenes Konfidenzniveau α innerhalb einer Periode einreen kann.19 Wird die Abweichung zur Gewinnschwelle berache, kann aus dem Value a Risk auch der Eigenkapialbedarf eines Unernehmens abgeleie werden. Der Value a Risk sell dami eine enscheidende Größe bei der Risikobewerung dar. Da hier angenommen wird, dass der Exposure a Defaul und der Loss given Defaul jeweils den Wer Eins annehmen, reduzier sich das Krediausfallrisiko auf die in Gleichung (5) beschriebene Vereilung. Für ein gegebenes Werepaar ( pɶ, ρɶ ) kann diese paramerisier und hinsichlich ihrer Quanile ausgewere werden. Für das oben beschriebene Beispiel ergib sich die in Abbildung 1 dargeselle Vereilung. Diese weis einen VaR 99% von rund 63 Ausfällen auf, was einer Ausfallquoe von 1,6% ensprich. Abbildung 1: Dichefunkion der Porfolioverluse ( p ɶ =,98%, ɶ ρ = 0, 045, N = 500) Diche 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0, Anzahl Ausfälle Quelle: Eigene Berechnungen Wie im vorangegangenen Abschni beschrieben, beseh hinsichlich der Parameerschäzung Unsicherhei. Das heiß, dass das dem Risiko zugrundeliegende asächliche aber unbekanne Parameerpaar durchaus auch andere Were als den Maximum-Likelihood-Schäzer annehmen kann. Dabei umfass eine Konfidenzregion alle jene Parameerpaare, von denen mi einer Wahrscheinlichkei von 1-q eines das asächliche aber unbekanne Werepaar beschreib. Im obigen Fall lieg beispielsweise das Werepaar ( p= 5%, ρ = 0,04) auch in der Konfidenzregion zum Verrauensniveau von 95%. Würde also ein solches Verrauensniveau angesreb werden, könne auch dieses Parameerpaar das unbekanne aber asächliche Paar sein. In diesem Fall würde der VaR 99% 19 Vgl. Kapalanski (00), S. 3; Albrech, Maurer (005), S. 13 und dor ziiere Lieraur. 14 IWH-Diskussionspapiere 3/009

16 IWH auf 0,% seigen. Andererseis is bei diesem Verrauensniveau auch das Werepaar ( p= 1%, ρ = 0,01) ein Elemen der Konfidenzregion. Solle es sich hierbei um das asächlich zugrundeliegende Werepaar handeln, dann enspräche der VaR 99% der Ausfallquoe nur 5%. Basierend auf einer der asympoischen Konfidenzregion zugrundeliegenden Vereilung beziehungsweise basierend auf Boosrapping is es möglich, miels Mone-Carlo-Simulaion eine Vereilung des VaR des Kredirisikos abzuleien.0 Die Mone-Carlo- Simulaion wird gewähl, da sie sowohl für eine Ableiung aus der asympoischen Konfidenzregion als auch bei Verwendung von Boosrapping genuz werden kann. Mi beiden Mehoden wird jeweils zufällig eine große Anzahl Parameerpaare erzeug. Bei Verwendung der asympoischen Mehode werden diese aus der der Konfidenzregion zugrundeliegenden Vereilung gezogen. Diese Werepaare werden in Gleichung (5) eingesez und aus den so paramerisieren Vereilungen die jeweiligen VaR abgeleie. Eine ausführliche Beschreibung der Vorgehensweise erfolg im Anhang. Für die im folgenden Abschni dargesellen Ergebnisse werden jeweils VaR für jede Mehode und Daenhisorie erzeug und aus diesen die VaR-Vereilungen abgeleie. Für das oben beschriebene Beispiel ergeben sich die in Abbildung dargesellen Vereilungen des VaR 99%. Es wird deulich, dass bei Anwendung der asympoischen Mehode (schwarze Balken) hier im Beispiel die Vereilung des VaR 99% nach rechs verschoben is. Die Vereilung des VaR 99% bei Anwendung der asympoischen Mehode weis einen Mielwer von 13,6% auf, was in ewa 68 Ausfällen ensprich. Dieser is deulich größer als der Mielwer der mi Boosrapping ermielen Vereilung in Höhe von 10,9% (ewa 55 Ausfälle). Bei der Inerpreaion dieser Were is zu berücksichigen, dass der Mielwer einer VaR-Vereilung keinen direken Rückschluss auf den Eigenkapialbedarf eines Unernehmens zuläss. Hierfür is es erforderlich, die Verlusvereilung uner Berücksichigung von Schäzunsicherhei herzuleien. Auf Grundlage dieser Vereilung kann der asächliche VaR α besimm werden. Die Herleiung dieser Verlusvereilung is allerdings mi einer zusäzlichen Simulaion verbunden, wodurch die gesame Simulaionsdauer erheblich erhöh wird. Um hier die Simulaionszei in einem verrebaren Rahmen zu halen, werden im Folgenden nich die asächlichen VaR α verglichen. Vielmehr dien ein Vergleich der Mielwere der VaR-Vereilungen als Indikaor dafür, ab welcher Anzahl hisorisch verfügbarer Perioden der asympoische Ansaz ähnliche Ergebnisse erzeug wie Boosrapping. Signifikan verschiedene Lageparameer dieser Vereilungen sind ein Hinweis dafür, dass beide Mehoden zu unerschiedlichen Risikoeinschäzungen führen. 0 Vgl. Dannenberg (007), S. 63 f. IWH-Diskussionspapiere 3/009 15

17 IWH Abbildung : Vereilung des VaR 99% bei Anwendung der asympoischen Mehode (schwarze Balken) und Boosrapping (graue Balken) zur Modellierung der Schäzunsicherhei 0,16 Wahrscheinlichkei 0,1 0,08 0,04 0 1% 7% 13% 19% 5% 31% Ausfallquoe Quelle: Eigene Berechnungen 16 IWH-Diskussionspapiere 3/009

18 IWH 5 Vergleich der Vereilungen des VaR miels Simulaionssudie Eingangs wurde die Vermuung formulier, dass asympoische Konfidenzregionen zur Bewerung von Schäzunsicherhei bei der Kredirisikobewerung wenig geeigne sein können, wenn nur eine geringe Anzahl hisorischer Perioden zur Verfügung seh, auf deren Grundlage die Parameerschäzung erfolg. Hier soll anhand eines Vergleichs von Lageparameern der Vereilungen der VaR unersuch werden, ob sich diese signifikan voneinander unerscheiden. Es is zu vermuen, dass mi zunehmender Anzahl hisorisch verfügbarer Perioden die Wahrscheinlichkei abnimm, dass die mi den beiden Verfahren ermielen Lageparameer der VaR-Vereilungen signifikan voneinander abweichen. Als Lageparameer wird der Mielwer der jeweiligen Vereilung berache. Der Vergleich erfolg auf Grundlage paramerischer Zweisichprobeness. Kann Varianzheerogeniä angenommen werden, erfolg der es uner Verwendung eines approximaiven Gaußess. Wird hingegen Varianzhomogeniä angenommen, erfolg der es auf Grundlage eines -ess. Varianzhomogeniä wird uner Verwendung eines F-ess überprüf.1 Im in abelle 1 dargesellen Fall is beispielsweise der Mielwer der auf der asympoischen Konfidenzregion beruhenden VaR 99% -Vereilung zum 1%-Niveau signifikan größer als der auf Boosrapping beruhenden Vereilung. Da mi einem Zweisichprobenes nur verglichen werden kann, ob die beiden Mehoden bei einer gegebenen Kredirisikohisorie zu ähnlichen Ergebnissen führen, beseh die Möglichkei, dass ein beobachees Ergebnis von der gewählen Kredirisikohisorie abhäng. Würden beispielsweise in abelle 1 in den einzelnen Jahren andere Ausfallzahlen beobache werden, wäre es möglich, dass der Zweisichprobenes zu einem anderen Ergebnis geführ häe. Um dies zu überprüfen is es erforderlich, für einen gegebenen hisorisch verfügbaren Zeiraum verschiedene Kredihisorien zu esen. Im Folgenden werden daher jeweils zufällig 00 Kredihisorien erzeug. Für diese werden die Vereilungen der VaR abgeleie und auf Unerschiede der Lageparameer unersuch. Auf diese Weise sehen für jede unersuche Periodenlänge 00 Auswerungen zur Verfügung. Die einzelnen Kredihisorien werden erzeug, indem für jede berachee hisorische Periode zufällig eine Anzahl Ausfälle aus dem Inervall [0;5] gleichvereil gezogen wird. In abelle werden die Ergebnisse der Simulaionssudie dargesell. Unersuchungen erfolgen für die Periodenlängen = 5, = 5, = 50, = 75 und = 100, = 150. Die Raingklassengröße wird über alle Perioden mi N = 500 als konsan angenommen. Es wird jeweils der Aneil der unersuchen Sichproben angegeben, bei dem die asympoische Mehode zu einem signifikan höheren oder geringeren beziehungsweise nich sig- 1 Vgl. Bleymüller, Gehler, Gülicher (1998), S. 109 ff. IWH-Diskussionspapiere 3/009 17

19 IWH nifikan verschiedenen mileren VaR im Vergleich zur Boosrap-Mehode führ. Die Unersuchung erfolg für verschiedene Verrauensniveaus des VaR α, mi α = 90%, 95%, 99% und 99,9%. Der Zweisichprobenes erfolg zum 5%-Niveau. abelle : Mielwervergleich der VaR-Vereilungen (N = 500, Signifikanzniveau: 5% ) =5 =5 =50 =75 =100 =150 Die asympoische Mehode führ im Vergleich zum Boosrapping zu Aneil der Beobachungen VaR 90% VaR 95% VaR 99% VaR 99,9% signifikan größeren mileren VaR 100% 100% 100% 100% signifikan kleineren mileren VaR 0% 0% 0% 0% keinen signifikanen Unerschieden 0% 0% 0% 0% signifikan größeren mileren VaR 100% 100% 100% 100% signifikan kleineren mileren VaR 0% 0% 0% 0% keinen signifikanen Unerschieden 0% 0% 0% 0% signifikan größeren mileren VaR 45,5% 61% 73,% 78% signifikan kleineren mileren VaR 0% 0% 0% 0% keinen signifikanen Unerschieden 54,5% 39% 6,5% % signifikan größeren mileren VaR % 5,5% 34,5% 47,5% signifikan kleineren mileren VaR 4,5%,5% 0,5% 0% keinen signifikanen Unerschieden 73,5% 7% 65% 5,5% signifikan größeren mileren VaR 4% 4,5% 13% 3,5% signifikan kleineren mileren VaR 10% 5,5% 3% 1,5% keinen signifikanen Unerschieden 87% 87,5% 80,5% 76,5% signifikan größeren mileren VaR % 3% 4% 6% signifikan kleineren mileren VaR 10% 10% 5% 4% keinen signifikanen Unerschieden 88% 87% 91% 90% Quelle: Eigene Berechnungen Es wird deulich, dass der Aneil der Sichproben, bei denen keine signifikanen Unerschiede zwischen den Mielweren der VaR-Vereilungen gemessen werden, wie erware, mi der Periodenlänge zunimm (vgl. Abbildung 3). Bei den hier unersuchen Periodenlängen führen ersmals für = 50 die beiden Mehoden nich bei allen Sichproben zu signifikanen Unerschieden. Wenn signifikane Unerschiede gemessen wurden, waren die Mielwere der mi der asympoischen Mehode hergeleieen Vereilung für = 5, = 5 und = 50 ses größer als die mi Boosrapping generieren Mielwere. Ab = 75 werden auch signifikan kleinere Mielwere bei Verwendung der asympoischen Mehode beobache. Der Aneil dieser Sichproben nimm dabei mi der Periodenlänge zu. Bis zu einer Periodenlänge von = 100 kann fesgesell werden, dass bei einem geringen Verrauensniveau des VaR ein größerer Aneil der unersuchen Sichproben keine signifikanen Unerschiede im Vergleich zu den VaR mi hohem 18 IWH-Diskussionspapiere 3/009

20 IWH Verrauensniveau aufweis. Dieser Unerschied is jedoch bei = 150 nich mehr zu beobachen. Es is daher zu vermuen, dass im hier dargesellen Fall ab dieser Periodenlänge die Ungleichhei zwischen den Vereilungen der VaR weniger durch die Periodenlänge sondern vielmehr durch die Raingklassengröße verursach wird. Das leg den Schluss nahe, dass je nachdem welches Verrauensniveau des VaR berache wird, zwischen 100 und 150 hisorische Perioden zur Verfügung sehen müssen, um mi der asympoischen Mehode ähnliche Ergebnisse zu erzielen wie mi dem Boosrapping. Abbildung 3: Aneil der Sichproben, bei denen keine signifikanen Unerschiede der Mielwere der VaR-Vereilungen bei Verwendung der asympoischen Mehode beziehungsweise Boosrapping gemessen werden Aneil der Sichproben ohne signifikane Unerschiede 100,0% 80,0% 60,0% 40,0% 0,0% 0,0% Anzahl Perioden VaR (90% Niveau) VaR (95% Niveau) VaR (99% Niveau) VaR (99,9% Niveau) Quelle: Eigene Berechnungen Es sell sich die Frage, ob ein Zusammenhang zwischen der gewählen Kredihisorie und der Wahrscheinlichkei beseh, dass mi der asympoischen Mehode ein größerer beziehungsweise kleinerer Mielwer der VaR-Vereilung beobache wird als bei Verwendung von Boosrapping. Abbildung 4 zeig für = 100 und VaR 90% die Maximum- Likelihood-Schäzer der zugrundliegenden Ausgangssichproben und die Ergebnisse der Zweisichprobeness. Die Periodenlänge = 100 sowie das Niveau des VaR 90% wird gewähl, da hier für die drei Fälle, dass mi der asympoischen Mehode größere, kleinere beziehungsweise gleiche Mielwere gemessen werden, Beobachungen vorliegen. Die Abbildung deue darauf hin, dass in den Fällen, in denen mi der asympoischen Mehode signifikan größere Mielwere der VaR-Vereilung gemessen werden, in der Ausgangsichprobe endenziell eher geringe Korrelaionen vorliegen. Werden mi Boosrapping hingegen größere Mielwere der VaR-Vereilung beobache, liegen in der Ausgangssichprobe endenziell Beobachungen mi hoher Korrelaion vor. Für die Abbildung wurden zu den 00 Sichproben von abelle zusäzlich 350 Sichproben ausgewere. IWH-Diskussionspapiere 3/009 19

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