Working Paper Bewertung von Kreditprodukten und Credit Default Swaps

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1 econstor Der Open-Access-Publkatonsserver der ZBW Lebnz-Informatonszentrum Wrtschaft The Open Access Publcaton Server of the ZBW Lebnz Informaton Centre for Economcs Hedorn, Thomas Workng Paper Bewertung von Kredtprodukten und Credt Default Swaps Arbetsberchte der Hochschule für Bankwrtschaft, No. 36 Provded n Cooperaton wth: Frankfurt School of Fnance and Management Suggested Ctaton: Hedorn, Thomas (00) : Bewertung von Kredtprodukten und Credt Default Swaps, Arbetsberchte der Hochschule für Bankwrtschaft, No. 36, Ths Verson s avalable at: Nutzungsbedngungen: De ZBW räumt Ihnen als Nutzern/Nutzer das unentgeltlche, räumlch unbeschränkte und zetlch auf de Dauer des Schutzrechts beschränkte enfache Recht en, das ausgewählte Werk m Rahmen der unter nachzulesenden vollständgen Nutzungsbedngungen zu vervelfältgen, mt denen de Nutzern/der Nutzer sch durch de erste Nutzung enverstanden erklärt. Terms of use: The ZBW grants you, the user, the non-exclusve rght to use the selected work free of charge, terrtorally unrestrcted and wthn the tme lmt of the term of the property rghts accordng to the terms specfed at By the frst use of the selected work the user agrees and declares to comply wth these terms of use. zbw Lebnz-Informatonszentrum Wrtschaft Lebnz Informaton Centre for Economcs

2 Nr. 36 Bewertung von Kredtprodukten und Credt Default Swaps Thomas Hedorn Dezember 00 ISSN Kontakt: Prof. Dr. Thomas Hedorn Bankbetrebslehre, nsb. Rskomanagement und Dervate Hochschule für Bankwrtschaft, Frankfurt am Man e-mal: Herausgeber: Hochschule für Bankwrtschaft Prvate Fachhochschule der BANKAKADEMIE Sternstraße Frankfurt/M. Tel.: 069/ Fax: 069/ vom 0..0

3 Abstract: The Paper shows the evaluaton of credt rsky products. Default probabltes for rsk adjusted cash flows or rsk adjusted dscountng are the backbones for the evaluaton of bonds and credts. The second approach s usng the market value of shares and ther mpled volatlty to calculate the asset value of the frm and the ndrect probablty of default. The last part gves the arbtrage arguments for prcng credt default swaps. Inhalt:. Enletung...3. Bewertungen von rskobehafteteten Cash Flows Ratng Rskoadjusterte Cash Flows Rskoadjustertres Dskonterung Zusammenhang von Spreads und Ausfallwahrschenlchketen Optonstheoretsche Ansätze zur Bewertung von Kredtrsken Bewertung von Credt Default Swaps Referenzanlehe und Transaktonskosten Approxmaton des Floatng Rate Spreads Approxmaton von Ausfallntenstäten Konstante Hazard Rates Laufzetstruktur von Credtspreads Ausblck Lteraturverzechns...3 Men besonderer Dank glt Dr. Wolfgang Schmdt für wertvolle Hnwese. vom 0..0

4 . Enletung In den letzten Jahren hat sch de Bewertung von Kredtrsken stark verändert. Standen n der Vergangenhet n der Praxs oft ntutve Verfahren m Vordergrund, hat de Entwcklung zu deutlch mathematscheren Ansätzen geführt. Des legt unter anderem an der Entwcklung von Kredtdervaten, de es nun möglch machen, solche Rsken aktv zu handeln, während klasssch das Kredtgeschäft von ener Buy-and-Hold-Stratege geprägt war. Marktpresrsken werden schon sehr lange aktv gehandelt, auch der Markt für deren Dervate st lqude. En wesentlcher Untersched zwschen Marktpres- und Kredtrsken legt n der Lquderbarket. Im Marktberech können Postonen mest sehr kurzfrstg verändert werden, während des m Kredtberech n der Vergangenhet kaum möglch war. Durch de Velzahl der Kredtrsken (unterschedlche Adressen) wrd sch des auch n der Zukunft ncht wesentlch verändern. Auf desen Lqudtätsaspekt wrd n deser Arbet jedoch ncht weter engegangen. Im Zentrum der Überlegungen steht de Bewertung von Kredtprodukten auf Grund hrer Ausfallgefahr. Auch her gbt es enen wesentlchen Untersched zu den klassschen Handelsprodukten. Be Marktpresrsken kann m Großen und Ganzen be effzenten Märkten von ener Normalvertelung der Rendten ausgegangen werden (vgl. z.b. Sauter 996). Für enen Marktpreshändler steht dem Downsde Rsk mest ene Upsde Chance mt ähnlcher Wahrschenlchket und Größe gegenüber. Für enen Kredtrskohändler ergeben sch relatv klene Gewnnchancen (Ratng-Verbesserung, Spreadverrngerung) be deutlch größeren Verlusthöhen und wahrschenlchketen (Downratng, Spreadauswetung, Insolvenz). Mt anderen Worten: Für enen AAA geratete Frma gbt es kene guten Nachrchten! Des führt zu ener schefen Vertelung der Kredtrendten (vgl. z.b. JPMorgan 997), de Bewertungen mt Hlfe der Normalvertelung ncht zulässt. vom 0..0

5 Marktrsken Kredtrsken Wahrschenlchket Wahrschenlchket Gewnne Verluste Gewnne Verluste Abbldung: Vertelung der Rendte Adressenrsko Ausfallrsko Bontätsrsko Unter Adressenrsken versteht man de Gesamthet aller Kosten, de durch den Ausfall enes Kontrahenten entstehen. Her snd m Wesentlchen de Kredtausfälle (Kredtrsko), der Wederendeckungsaufwand für andere Produkte, we z.b. Dervate, und das Vorlestungsrsko zu nennen. Im Folgenden wrd auf das Kredtrsko abgestellt. Deses Rsko kann durch den Ausfall, durch ene Bontätsveränderung des Unternehmens oder durch ene generelle Spreadauswetung (Rskoaufschlag auf den rskofreen Zns) des Marktes für das gleche Rsko entstehen. Bontätsveränderung des Schuldners Spreadveränderungen des Marktes Abbldung: Adressenrsko 4

6 Be der Bewertung stehen n deser Arbet de Ausfallrsken m Mttelpunkt. Trotzdem reageren dese Produkte auf ene veränderte Bontät, wel sch dann zwangsläufg de Ausfallwahrschenlchket verändert hat. Im folgenden werden dre n der Praxs wchtge Bewertungsansätze vorgestellt. De erste Gruppe basert auf ener Analyse der Cash Flows. Dabe kann entweder mt dem für de erwarteten Ausfälle adjusterten Cash Flow gearbetet werden (rskoadjusterter Cash Flow) oder entsprechend en Spread auf den Zns aufgeschlagen werden (rskoadjusterte Dskonterung). Dese Verfahren stehen be der Bewertung des Underlyng (Kredt, Bond) m Vordergrund. De zwete Gruppe basert auf Optonstheoretschen Ansätzen, be denen aus Aktenkursen und deren Volatltät auf de Ausfallwahrschenlchket geschlossen wrd. Des wrd prmär be der Portfoloanalyse benutzt. De drtte Gruppe basert auf dem Arbtragegedanken und stellt de Bezehung von Kredtdervaten zur Bewertung von Anleheprodukten dar. Als durchgehendes Bespel wrd en zwejährger Kredt bzw. Anlehe bzw. Credt Default Swap (CDS) auf de Luftschloß AG benutzt. Se hat en AA Ratng und zahlt enen Zns von 0%, während der rskofree Zerozns (Spotsatz) für en und zwe Jahre be 9,6% legt. Intenstätsmodelle (Jarrow /Turnbull 995 und Lando 998) werden n der Arbet ncht besprochen, da der Ensatz n der Praxs auf Grund hrer hohen Komplextät be den Engabeparametern umstrtten st. 5

7 . Bewertungen von rskobehafteteten Cash Flows Um enen ausfallgefährdeten Cash Flow zu analyseren, muss zuerst ene Enschätzung der Bontät erfolgen (Ratng), als zweter Bausten wrd dann der erwartete Verlust be enem Ausfall geschätzt (00% - Konkursquote)... Ratng De relatve Bontätsenschätzung wrd mest als Ratng bezechnet. Des kann von ener externen Ratng Agentur stammen oder durch de egene Kredtanalyse (nternes Ratng) festgelegt werden. Das Zel dabe st es, jedem Kunden ene Ausfallwahrschenlchket zuzuordnen. De Güte enes Ratng hängt davon ab, ob es gelngt n ener Ratngkategore für ene langen Zetraum de zukünftgen Ausfallwahrschenlchketen rchtg abzuschätzen (Backtestng). In den letzten Jahren geht der Trend weg von der Blanzanalyse zu Cash Flow orenterten Ansätzen. Im Vordergrund steht ene Branchenanalyse und de relatve Konkurrenzstuaton. Hnzu kommen de geplanten Cash Flows der Frma, de Güte der vergangenen Planungen und nsbesondere de Enschätzung der A- gentur über das Management. Dabe wrd abgestellt auf de überzeugende Stratege, en tefes Verständns für de Rsken und de persönlche Integrtät der handelnden Personen. Auf deser Bass entsteht dann de Kredtenschätzung. An deser Stelle muss betont werden, dass be ener prmären Bewertung von Kredten en externes Ratng zwar als Anhaltspunkt dent, es aber gerade darum geht, bessere Prognosen als de aus öffentlch verfügbaren Quellen zu erstellen. Außerdem deckt en externes Ratng ene große Bandbrete ab, ndvduelle Kredtbewertungen hngegen wechen nnerhalb ener Ratngstufe stark vonenander ab. Bespelhaft werden n deser Arbet Stand & Poors Ratngs benutzt, des hat aber kene Implkaton n Bezug auf andere Ratngverfahren. Zudem wrd de Ratngskala von AAA (beste Bontät) bs D (m Default) auf de Hauptgruppen verengt, da sonst ene emprsche Kontrolle kaum möglch st. Auf deser Bass entsteht nun ene Ratngenschätzung und damt ene erwartete Zahlungsstörung. 6

8 KUMULIERTE AUSFALLRATEN Ratng Zahlungsstörung nach Jahren des Ursprungsratngs AAA AA A BBB BB B CCC Quelle: S&P CredtWeek, , ztert nach CredtMetrcs, S.7 Abbldung Kumulerte Ausfallraten, Quelle: J.P. Morgan (997) Es wrd deutlch, dass de Kredtqualtät nur grob engeschätzt werden kann. Insbesondere zegt sch bem Übergang zum Non-Investment-Grade (BB und schlechter) en drastscher Sprung. Gerade n den schlechten Bontäten bedeutet en Downratng ene dramatsche Verschlechterung der Kredtqualtät, ohne dass des n dem extremen Maße tatsächlch stattgefunden haben muss. 7

9 50,00% 40,00% 30,00% 0,00% 0,00% 0,00% A AA AAA B CCC BB BBB Abbldung: grafsche Darstellung der kumulerten Ausfallraten von Unternehmensanlehen Be der grafschen Darstellung der Ausfallraten von Unternehmensanlehen zegt sch, dass de Ausfallwahrschenlchketen guter Bontäten m Zetablauf eher zunmmt, während be schlechten Bontäten de Hauptrsken eher n den ersten Jahren legen. Entsprechend müsste der Spread (Rskoaufschlag) be den guten Bontäten mt längere Laufzet eher zunehmen während des be den schlechten Bontäten sogar zu ener Abnahme führen könnte. Weterhn wrd deutlch, dass der Untersched von AA und AAA be der emprschen Ausfallwahrschenlchket eher gerng st. En weterer Inputfaktor st de geschätzte Recovery. Des wrd be den Ratngagenturen m Regelfall auf Bass des Börsenkurses enen Monat nach dem Kredteregns geschätzt. De bekanntesten Studen kommen auf ene Recovery erstrangger Anlehen von ca. 50%, be nachranggen Anlehen legt se um ca. 0% nedrger. Erstaunlch st dabe de nur lecht höhere Recovery be bescherten Anlehen. 8

10 Rangstufe DURCHSCHNITTLICHE KONKURSQUOTEN Durchschnttlche Konkursquote Standardabwechung der Konkursquote erstrangg, beschert 53,8% 6,86% erstrangg 5,3% 5,45% nachrangg 3,74% 0,8% Quelle: Carty & Lebermann, 996 Abbldung: Durchschnttlche Konkursquoten, Quelle: J.P. Morgan (997) Jedoch beruht deses Materal hauptsächlch auf Daten von US-Anlehen und schwankt sehr stark. De Erfahrungen n Deutschland sprechen eher für enen sehr vel nedrgeren Ansatz. Im Markt werden Zahlen von 0% - 30% gehandelt, ene systematsche Untersuchung st mr leder ncht bekannt. Wahrschenlchket Höhe der Rückzahlung n % Abbldung: Wahrschenlchket der Konkursquote erstrangg bescherter Anlehen von (Quelle: Moody s) Abbldung: Schwankung der Ausfallraten, Quelle: J.P. Morgan (997) Entsprechend muss de erwartete Recovery des jewelgen Kontrahenten ndvduell geschätzt werden. Deser Aspekt st um so wchtger, je schlechter de Bontät st. Wrd der Ausfall wahrschenlcher, kann ene hohe Recovery den Kredt mmer noch wertvoll werden lassen. 9

11 .. Rskoadjusterte Cash Flows Auf Bass der Ausfallwahrschenlchket (p ) und der Konkursquote kann dann der Cash Flow (C ) zu jedem Zetpunkt () aufgebaut werden. De erwartete Zahlung beruht auf der Überlebenswahrschenlchket (-p ) und dem Erlös m Falle enes Konkurses. Wert C Ausfall ( p ) N Ausfall + s + p ( r ) Konkusquote C Der Cash Flow wrd mt dem rskofreen Zns dskontert. Da de Zahlungen aber ncht scher snd, muss zusätzlch en Aufschlag für deses Rsko der Schwankung enbezogen werden. Des st ncht der Spread für de Bontät, sondern ene persönlche Rskopräme für de Varabltät der Erwartungswerte, der der ndvduellen Rskonegung des Investors entsprcht. Zudem besteht n der Realtät das Problem, dass n enem Konkursfall der Rückzahlungsbetrag sofort fällg gestellt wrd. Zusätzlch st es ncht scher, ob aufgelaufene Znsen auch befredgt werden, oder nur der Nomnalbetrag. Bespel: Bewertung des zwejährgen Luftschloss Kredts mt 0% Verznsung, erstrangg, erwartete Recovery 0%, rskofreer Zns 9,6%, ndvdueller Rskoaufschlag 0,%, de Analysten gehen von kumulerten Wahrschenlchketen von p 0,% und p 0,% aus. Wert Kredt CashFlow ( 0,% ) 0 + 0,% 50% 0 ( 0,% ),097 00, ,097 0,% 0% 0 Aus deser Cash Flow Analyse ergbt sch en werthaltger Kredt. Der Nachtel deses Ansatzes beruht auf der hohen Unscherhet und Instabltät der Ausfallwahrschenlchketen. Enersets st de Ausfallerfahrungen mt guten Bontäten sehr begrenzt, da se selten ausfallen. Aber auch de Erfahrung mt ursprünglch schlechten Kredten st klen, da se gar ncht erst engegangen werden. 0

12 Orgnal ratng Defaults (unts) Tme to Default by Ratng Category Avg. years from org. ratng Last ratng pror to D Defaults (unts) AAA AAA 0 AA AA 0 A A 0 BBB BBB 7 BB BB B B 9 CCC CCC 67 Totals Totals 488 Abbldung: Datenbass Defaults S&P, Quelle: Assender. (998) Hnzu kommt das Problem, dass Ausfälle zyklsch snd. Durchschnttlche Ausfallraten werden sehr schlecht, de wrklchen Ausfälle ener bestmmten Perode approxmeren. Für genauere Analysen st mest de Datenbass zu schwach. Rated Corporate Defaults By Number Of Issuers Abbldung: Anzahl der S&P gerateten Defaults n enzelnen Jahren, Quelle: Assender. (998) De Bewertung des Underlyng beruht also auf eher subjektven Krteren. Der Kredtanalyst muss über de Bontät ndvduelle Ausfallwahrschenlchketen und zusätzlch ene Recovery ableten. Auf Bass deser Informaton muss überlegt werden, we der Kredtzyklus für de Laufzet des Kredts aussehen wrd. Mt Hlfe

13 der unerwarteten Verluste (Ökonomsches Egenkaptal) und der Rskoberetschaft entsteht somt de Wertenschätzung enes Kredts bzw. ener Anlehe. Aus der Summe deser Enschätzungen ergbt sch m Kaptalmarktberech dann der Marktpres..3. Rskoadjustertres Dskonterung Der Im Anlehenmarkt am häufgsten verwendete Ansatz st de Dskonterung des Cash Flows mt enem für das Ausfallrsko adjusterten Spread. Dazu wrd der laufzetkongruente Zerozns ener Staatsanlehe als Grundlage genommen, um dann den ndvduellen Spread (s) des Emttenten aufzuschlagen. Wert Kredt Markt C N _ free + ( + r s ) Dabe st n ener Ratngklasse durchaus ene Bandbrete von Aufschlägen am Markt vertreten, es wrd n der Realtät also das ndvduelle Rsko bewertet. Folgende Tabelle gbt en Gefühl für de gehandelten Rendteunterschede. Ratng Spreads zum rskofreen Zns AAA 0,8% 0,8% 0,9% 0,30% 0,30% AA 0,40% 0,40% 0,4% 0,44% 0,44% A 0,5% 0,54% 0,57% 0,59% 0,60% BBB 0,7% 0,74% 0,77% 0,79% 0,70% BB 0,95% 0,06%,6%,5%,3% B,56%,76%,97%,3%,8%

14 CCC,47%,86% 3,5% 3,5% 3,76% Abbldung: Indkatve Aufschläge für verschedene Bontäten, Quelle: egene Berechnungen Bespel: Bewertung ener zwejährgen Lucky Anlehe mt 0% Kupon, erstrangg, rskofreer Zns 9,6%; ndvdueller Spread 0,4% Wert KredtMarkt 0, + 0, 00,00 Aus Scht des Marktes st de Anlehe far bewertet. Adressenrskoaufschläge verändern sch schnell m Zetablauf. Während de AAA-Spreads Anfang der 90er Jahre mest zwschen 0 30 Basspunkten lagen, erhöhten se sch Ende der 90er Jahre auf 30 bs 50 Basspunkte, um während der Long-Term-Captal-Krse n 998 auf über 70 Basspunkte zu stegen. Der langfrstge Durchschntt dürfte um 30 Basspunkte legen, jedoch hat sch der Markt n den letzten Jahren eher auf en Nveau von 40 Basspunkten engespelt (vgl. z.b. Rees 00). Mt desem Verfahren können Cash Flows far bewertet werden, doch legen oft kene geegneten Verglechsanlehen vor. Entsprechend versucht man, aus der Bewertung ähnlcher Rsken auf den rchtgen Spread zu schleßen. Insbesondere zegt sch, dass auch nnerhalb ener Ratngkategore sehr unterschedlche Aufschläge am Markt bezahlt werden. Als nteressantes Bespel kann de Entwcklung von Staatsanlehen des Euroraums nach dessen Enführung angeführt werden. Im Zetraum von Januar 999 bs Aprl 000 hatten AAA bewertete österrechsche Staatsanlehen enen Spread von 0,33% über den Deutschen Paperen. Das AA+ geratete Irland zahlte ca. 0 Basspunke wenger, als de bontätsmäßg höher engeschätzten Österrecher (vgl. Geyer A. / Kossmeer S./ Pchler S. 00). 3

15 Abbldung: Rendteuntersched zu deutschen Staatsanlehen von Januar 999 bs Dezember000 Quelle: Geyer A. / Kossmeer S./ Pchler S. (00).4. Zusammenhang von Spreads und Ausfallwahrschenlchketen Zur Darstellung des Zusammenhangs zwschen dem Rskoaufschlag und der Ausfallwahrschenlchket wrd mt enem enperoden Modell gearbetet. Der Investor erhält ene Währungsenhet n enem Jahr de mt dem rskofreen Zns (r) und dem multplkatven Spread (s ) dskontert wrd. ( I ) PV ( + r ) ( + s' ) Alternatv kann de erwartete Zahlung n Abhänggket von der Überlebenswahrschenlchket der Rückzahlung (-p) und der Konkursquote dskontert werden. ( II ) PV ([ p] + p Konkursquote) ( I mt II ) + r ( + r ) ( + s' ) + r ([ p] + p Konkursquotze) 4

16 Löst man des nach der Ausfallwahrschenlchket auf ergbt sch: ( + s' ) p p Konkursquote p p p + p Konkursquote ( Konkursquote) ( + s' ) ( Konkursquote) ( + s' ) ( + s' ) Als sehr grobe Approxmaton für klene Ausfallwahrschenlchketen und klene Konkursquoten st der Spread ungefähr glech der Ausfallwahrschenlchket. p s 5

17 3. Optonstheoretsche Ansätze zur Bewertung von Kredtrsken Der Optonsansatz nutzt de Aktenkurse des Emttenten als Grundlage für de Bewertung von Kredten. Es wrd versucht den Marktwert der Aktva mt Hlfe der Marktkaptalserung zu bestmmen. Dabe wrd der Gesamtwert der Akten als Call auf de Frma nterpretert. Wenn be Fällgket des Kredts der Marktwert der Frma klener als de Kredtsumme st, wrd de Insolvenz erklärt und de Frma gehört den Kredtgebern. Ist jedoch der Frmenwert größer, werden de Bestzer de Schulden zurückzahlen und den Kredt tlgen. Des kann als Call auf de Frma, mt dem Strke Kredtsumme und der Laufzet der Fällgket der Kredte nterpretert werden. Be Fällgket der Opton wrd se ausgeübt, wenn der Frmenwert größer als de Kredtsumme ( Strke) st. Auszahlunsmatrx Egenkaptalgeber Ergebns für Egenkaptalgeber Unternehmenswert > Kredtsumme Unternehmenswert Kredtsumme Unternehmenswert < Kredtsumme 0 Unternehmenswert > Kredtsumme Unternehmenswert < Kredtsumme Auszahlungsmatrx Call auf Frma mt Strke Kredtsumme Wrkung Ausübung Call zahlt Strke bekommt Frma Ergebns Unternehmenswert mnus Kredtsumme Call verfällt wertlos 0 Abbldung: Frmenwert als Call De zur Zet bekannteste Interpretaton deser Grunddee von Merton stellt das KMV Modell dar (vgl. z.b. Ong 999). Dabe wrd de Höhe des Fremdkaptals (Debt) aus der Blanz festgestellt. Der Frmenwert setzt sch aus dem Egenkaptal und dem Fremdkaptal zusammen. Am Markt kann jedoch nur der Call beobachtet werden, der neben dem nneren Wert auch enen Zetwert enthält. Der Marktwert der Assets st also klener als Marktkaptalserung plus dem Fremdkaptal. 6

18 Um das Problem zu lösen, wrd der Wert der Marktkaptalserung mt Hlfe der Call-Bewertung berechnet. Value _ Equty d d Value_Assets ln + Debt s d s Asset Value_Assets N d T Asset r + T s Assets ( ) e r T Debt N( d ) T Deser Wert hängt von der Laufzet (T), dem rskofreen Zns (r), dem gesuchten Gesamtwert der Aktva (Value_Assets), dem Fremdkaptal (Debt) und der unbekannten Rendteschwankung der Aktva (σ Assets ) ab. N steht für den kumulatven Normalvertelungswert. Leder kann de Volatltät der Assets ncht drekt m Markt abgelesen werden. Jedoch kann mt Hlfe der mplzten Volatltät von Optonen de Rendteschwankung der Akten (σ Equty ) berechnet werden. De Schwankungen der Akten snd ncht dentsch mt der Bewegung des Frmenwerts, da de Poston enen Leverage hat. De Egenkaptalschwankung st damt deutlch stärker als de Frmenwertschwankung. Des kann durch de Relaton der gesamten Aktva (Value_Assets) zum Wert des Egenkaptals ausgedrückt werden. Be ener Erhöhung der Fremdfnanzerung nmmt de Schwankung des Egenkaptals zu, da dann der Aktenpuffer m Bezug auf de Gesamtschwankung klener geworden st. Hnzu kommt noch der Effekt, dass sch de Opton ncht lnear zum Wert der Frma entwckelt, sondern nur mt dem Faktor Delta ( ) verknüpft st. Dabe entsprcht Delta der ersten Abletung der Callformel m Bezug auf den Wert der Assets. δvalue _ Equty δvalue _ Assets N ( d ) Als zwete Glechung ergbt sch also der Zusammenhang, dass de Aktenvolatltät der geleveragten und Delta-gewchteten Assetvolatltät entsprechen muss: σ Value_Assets Value _ Assets Equty s N Value Equty Value Equty σ Assets ( d ) Assets 7

19 Dese beden Glechungen werden durch ene Suchprozess für den Frmenwert (Value_Asets) und deren Schwankung (σ Assets ) gelöst. Mt desem Ergebns kann nun N(d ) berechnet werden. Mt deser Wahrschenlchket üben de Bestzer des Unternehmens hren Call aus, zahlen also den Kredt zurück. Daher entsprcht -N(d ) N(-d ) der Ausfallwahrschenlchket, denn der Call wrd ncht ausgeübt, wenn am Ende der Laufzet das Frmenwert klener als de Fremdkaptalsumme sr. Mt Hlfe der ermttelten Werte kann nun der egentlche Kredt bewertet werden. Dabe betet sch de Interpretaton enes Puts an. Für den Kredtgeber stellt sch de Auszahlung als Bestz enes rskofreen Zerobonds mt dem Endwert der Kredtsumme und dem Verkauf enes Puts mt dem Strke Kredtsumme dar. Be Fällgket werden de Put-Bestzer ausüben, wenn der Frmenwert unter der Kredtsumme legt. Damt erhält der Kredtgeber de Frma und muss den Bond abgeben, m anderen Fall verfällt der Put wertlos und de Kredtsumme wrd durch den Bond getlgt. AUSZAHLUNGSMATRIX BOND UND VERKAUF EINES PUT MIT STRIKE KREDITSUMME Wrkung Ergebns der Poston Unternehmenswert > Kredtsumme Put verfällt wertlos Bond Kredtsumme Unternehmenswert < Kredtsumme Put wrd ausgeübt: zahlt Bond, bekommt Unternehmen Unternehmenswert Abbldung: Kredt als Put Bespel: De Luftschloß AG hat ene Marktkaptalserung von 40 Mo. und st mt 00 Mo. verschuldet. Alle Kredte snd n zwe Jahren fällg. De Aktenvolatltät legt be 33%. Zuerst muss der Marktwert der Aktva und deren Volatltät mt Hlfe der Bewertung des Calls ermttelt werden. Der numersche Suchprozess ergbt ene Lösung be enem Value_Assets von,6 und ener Assetvolatltät von 0,8%. 8

20 r kontnuerlcher Zns (, ) 9,53% ln Value _ Equty 40 d d σ Equty,6 N(,658) 443 Value_Assets ln + Debt d s Asset Value_Assets N 0,9960 s Asset Value_Assets N Equty e 0,0953 r + T T,658 s 0,08 r T ( d ) e Debt N ( d ) 00 N(,505) 443,6 ln + 0, ,08,505,6 40 ( d ) s N (,658) 0,08 0, 33 3 Assets T 0,9939 Assets 0, Da N(d ) de Ausübungswahrschenlchket des Puts st, ergbt sch de Ausfallwahrschenlchket mt - N(d ) N(-d )0,6% Damt kann jetzt der Kredt als Put bewertet werden:,658 P Put Strke e r t N ( d ) Asset Wert N ( ) _ d P Put Luftschloß e 0,0953 (,505),6 N (,658) 0, N , ,48 Der Put kostet 0,04 Mo. Euro. Deser sehr gernge Wert beruht auf der mplzten hohen Recovery von 0,48 Mo. Be der Marktbewertung schenen de Markttelnehmer be dem Konkurs eher von ener Recovery von Null auszugehen. Der erwartete Verlust von 0,6 Mo entsprcht enem Spread von 0,35% und st schon deutlch realstscher. De Bewertungsverfahren der Optonstheore führen mest ncht zu überzeugenden Ergebnssen m Verglech zur Marktbewertung. Auch m Bespel passt de Ausfallwahrschenlchket ncht zur Ratngklasse, obwohl der Spread überenstmmt. Dese Verfahren werden daher hauptsächlch für de Bontätsenschätzung m Rahmen der Portfoloanalyse benutzt. 9

21 4. Bewertung von Credt Default Swaps Be enem Credt Default Swap bekommt der Käufer (Protecton Buyer) ene Ausglechszahlung (Settlement CDS ) vom Verkäufer (Protecton Seller), wenn zu enem Zetpunkt τ nnerhalb der Gesamtlaufzet T en Credt Event auf das Referenz- Asset vorlegt. De Ausglechszahlung berechnet sch aus dem Markpres nach Default (P(τ)). Settlement CDS ( τ) 00 P τ T Käufer (Protecton buyer) Präme n bps. p.a. bs credt event Be Credt Event: Par mnus Recovery Verkäufer (Protecton seller) Referenzwert Abbldung: Credt Default Swap CDS Für de Abscherung zahlt der Käufer ene nachschüssge prozentuale Zahlung (credt swap spread / premum S CDS ) mest halbjährlch mt act/360. Für de Bewertung (vgl. Duffe 998) werden folgende Verenfachungen angenommen, de zum Tel später aufgehoben werden:. Be Ausfall verfallen de weteren Prämenzahlungen des Käufers, d.h., es werden kene antelgen Lestungen erbracht. De Prämenzahlung erfolgt jährlch auf der Bass 30/360.. De Referenzanlehe st en Floater (C-FRN) mt enem Pres von par. Im folgenden wrd das ausfallgefährdete Produkt mmer mt enem C bezechnet. 3. De Referenzanlehe kann kostenlos short gegangen werden. 0

22 4. Es exstert en rskofreer Floater (FRN) mt dem rskofreen Zns r t, während der rskobehaftete Floater zusätzlch enen festen Spread S C-FRN zahlt. 5. Es gbt kene Transaktonskosten oder Steuerprobleme. 6. Im Falle enes Credt Events τ < T erfolgt de Abrechnung des CDS (D) zum nächsten Kupontermn des Floaters nach dem Credt Event. Dann erhält der Käufer enen Wertausglech n Höhe von par abzüglch des Markpreses des C-FRN nach dem Credt Event (P C-FRN (τ)). ( τ ) D 00 P τ T C FRN 7. De Abrechnung erfolgt durch physsche Leferung des C-Floaters gegen ene Zahlung von par. Der aktuelle Marktpres des Credt Default Swaps kann durch en Arbtrageargument gefunden werden. Der Verkäufer enes CDS muss, um sch abzuschern, den C-Floater short gehen und erhält daraus 00. Dafür lestet er halbjährlch den rskofreen Zns plus den Spread des Floaters (S C-FRN ). Aus den Ennahmen erwrbt er den rskofreen Floater zu Par und erhält r t. Daher glt für jede Kuponzahlung: t ( t C FRN ) r r + S S C-Floater (short) r + S C-FRN Käufer CDS (Protecton buyer) S CDS bs t oder T Be Credt Event: Par mnus Recovery Verkäufer CDS (Protecton seller) r Floater (Rskofre, long) Abbldung: Abscherung enes verkauften CDS

23 Erfolgt ken Credt Event während der Laufzet, werden bede Floater zu par fällg, so dass sch Rückzahlung und Wederendeckung genau ausglechen. Des entsprcht der Stuaton, wenn der CDS wertlos verfällt. C-Floater (short) Käufer CDS (Protecton buyer) S CDS bs T r + S C-FRN be T 00 Verkäufer CDS (Protecton seller) Wenn S undt > T st NPV 0 S CDS r Floater be T 00 (Rskofre, long) Abbldung: Auflösung des CDS Hedges be Fällgket T Im Falle enes Credt Events n τ, wrd de Short-Poston des kredtrskobehafteten Floaters (C-FRN) zum Marktpres engedeckt, während der Floater zu 00 verkauft werden kann. Des entsprcht genau der zu lestenden Zahlung n den CDS. ( τ ) Settlement mt T Arbtrage _ Poston 00 P τ C FRN CDS C-Floater (short) Käufer CDS (Protecton buyer) S CDS bs t Be t : Par mnus Recovery r + S C-FRN bs t be t Recovery Verkäufer CDS (Protecton seller) Wenn S undt T st NPV 0 S CDS r bs t Floater be t 00 (Rskofre, long) Abbldung: Auflösung des CDS be Credt Event vor Fällgket

24 Der Verkäufer des CDS st durch de Short-Poston m C-FRN und de Long- Poston m FRN perfekt abgeschert. Aus dem Hedge entstehen Kosten pro Kupontermn n Höhe des Spreads des C-Floaters (S C-FRN ), so dass des n ener arbtragefreen Welt dem Pres des CDS entsprechen muss, dabe wrd jedoch unterstellt dass der letzte Kupon des C-FRN noch voll gezahlt wurde. S S CDS 4.. Referenzanlehe und Transaktonskosten Be desem Ansatz wrd zur Bewertung en C-FRN mt glecher Laufzet des CDS herangezogen, da m Regelfalle de Spreads laufzetabhängg snd. Alle betrachten Anlehen müssen de gleche Rangstufe haben (Erstrangg / Nachrangg), da sonst m Falle des Credt Events unterschedlche Marktprese exsterten. Leder snd de betroffenen Anlehen oft llqude. Daraus resulteren relatv brete Geld-/Bref-Spannen. Insbesondere de Short-Poston m C-FRN st oft relatv teuer. Für de Bewertung spelt es kene Rolle, ob de Short-Poston über ene Lehe oder über enen Reverse-Repo aufgebaut wurde. Da be der Lehe für den Egentümer substanzelle Ausfallrsken entstehen, setzt sch am Markt mmer stärker der Reverse-Repo durch. Dabe wrd das gewünschte Paper gekauft und glechzetg en Termngeschäft über den Rückkauf abgeschlossen. Das Paper kann dann enfach am Markt veräußert werden. Pensonsgeber P C-FRN (0) C-FRN Pensonsnehmer (Reverse Repo) Rückkauf C-FRN n T zu P C-FRN (0). (+r Repo ) P C-FRN (0) C-FRN Markt Abbldung: Engehen enes nversen Repos für ene Shortposton n 0 3

25 Zum Endzetpunkt (T) muss nun das Paper m Markt zurückgekauft werden. Damt entstehen de Gewnne bzw. Verluste der Short-Poston, da das Paper glech zum verenbarten Termnkurs an den Pensonsgeber wetergerecht werden muss. Zusätzlche Kosten entstehen durch Abwechung der verenbarten Repo-Rate m Verglech zum rskofreen Zns. Be llquden Paperen führt des zu substanzellen zusätzlchen Kosten. Pensonsgeber P C-FRN (0). (+ r Repo ) C-FRN Pensonsnehmer (Reverse Repo) ( + r ) P ( 0) P ( T ) Repo ( 0) P ( T ) + r P ( 0) PC FRN short Poston Stückzns Repo Stückzns Kosten S Tran P C-FRN (T) Markt C-FRN Abbldung: Auflösung des nversen Repos n T Dese zusätzlchen Kosten werden als Transaktonsspread (S Tran ) bezechnet und müssen entsprechend an den Kunden wetergegeben werden. Damt ergbt sch für den CDS Spread: S + S Tran S CDS 4.. Approxmaton des Floatng Rate Spreads Häufg st der angenommene par C-FRN ncht verfügbar, so dass der Spread über ene Approxmaton berechnet werden muss. Ist m Markt en C-FRN mt glecher Laufzet und enem Pres (P C-FRN ) unglech par erhältlch, so kann aus dessen Pres und Ausstattung der gesuchte Spread berechnet werden. Zur Bewertung wrd ene Annutät A defnert de ene Währungsenhet pro Kupontermn bs zum Endzetpunkt des CDS zahlt. Dese entsprcht der Summe der rskobehafteten Dskontfaktoren und hat für ene Laufzet T den Wert A T. Der Wertuntersched enes C-FRN zu par und enes C-FRN unglech par be glecher Laufzet muss 4

26 dem Presuntersched des Barwertes der dskonterten Spreaddfferenzen entsprechen. A P S T T e Par Par r T 00 S PV Par ( S S ) A ( S S ) Par 00 + P Par A T Par T Par Par Bespel: Für de Bewertung des zwejährgen CDS auf Luftschloß steht en zwe jährger Floater mt enem jährlchen Kupon von EURIBOR + 69 und enem Marktpres von 00,50 zur Verfügung. Der Dskonterungssatz für de Annutät wrd mt für 0% ( ln(+0)9,53% kontnuerlch) hergeletet. A oder A, e +, 0,0953 +,73554 e 0,0953,73554 S Par 00 PC FRN SC FRN Par + A Par 0,69% ,5, ,40% Der zwe jährge CDS auf Luftschloß hätte also enen Pres von 0,40% pa (30/360). Der Spreaduntersched zwschen Floatern und Festsatzanlehen st m Regelfalle so gerng, dass für dese Berechnung auch mt Festsatzanlehen gearbetet werden kann (vgl. Duffe und Leu 997). S Par S C Bond + 00 P A C Bond T 5

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