Zeitabhängige Felder, Maxwell-Gleichungen

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1 Zeiabhängige Felde, Mawell-Gleichungen Man beobache, dass ein eiabhängiges Magnefeld ein elekisches Feld eeug. Dies füh.. u eine Spannung an eine Dahschleife (ndukion). mgekeh beobache man auch: ein eiabhängiges elekisches Feld eeug ein Magnefeld. Auf diese Weise weden elekische und magneische Felde gekoppel. Die Kopplung übe die Zeiabhängigkei emöglich elekomagneische Wellen. n den Mawell-Gleichungen weden diese Zusammenhänge mahemaisch fomulie. 15

2 ndukion in eiabhängiges Magnefeld eeug ein elekisches Feld. lekische Felde lassen sich besondes gu an einem eie messen, an dem sie eine Spannung eeugen wegen de wiedeum ein Som fließ. Auf diese Weise seh eisung P fü den Messpoess u Vefügung. Wi beobachen dahe diesen ffek besondes gu an eieschleifen, an denen duch ein eiabhängiges Magnefeld eine Spannung induie wid. ind 151

3 n de lekosaik waen elekische Felde imme wibelfei. ei de ndukion wid dagegen ein wibelfömiges elekisches Feld eeug, das enlang de eieschleife veläuf. negie man enlang de eieschleife egib sich eine Spannung ind an den offenen nden: ind eie schleife d s M. Faada fand 1831 folgenden Zusammenhang: Die Spannung is popoional u umschlossenen Fläche de eieschleife. popoional u eilichen Ändeung des Magnefeldes. popoional um cos des Winkels wischen und de Flächennomalen ind d d eie schleife d A 15

4 Mi dem magneischen Fluss Φ duch die Fläche de eieschleife Φ da läss sich einfach fomulieen: dφ ind d Faadasches ndukionsgese ine Spannung wid induie, wenn sich die magneische Feldsäke ände, ode wenn sich die Fläche de eieschleife ände, ode wenn die Oienieung de eieschleife um Feld sich ände. peimene: Annähen eines Magneen an eine eieschleife Vegößen eine eieschleife Dehen eine eieschleife im Magnefeld 153

5 An eine Spule mi n Windungen is die elevane Fläche n mal die Queschnisfläche A de Spule: A ind Die an eine Spule induiee Spannung is popoional u Fläche und u Anahl de Windungen de Spule. Ände sich das Magnefeld seh schnell, können an eine Spule u.. seh hohe Spannungen induie weden. eispiel: schnelle Ändeung de magneischen Feldsäke eines lekomagneen bei dem de Som ein- bw. ausgeschale wid. 154

6 ensche egel: Duch die induiee Spannung und den in de eieschleife fließenden Som wid Feldenegie in Wämeenegie umgewandel. Diese negie muss an andee Selle als Abei aufgewende weden. De induiee Som eeug wiedeum ein Magnefeld, dass dem uspünglichen Magnefeld engegengeiche is. Daduch wid Abei beim ewegen eines Magneen in de eieschleife veiche. 155

7 Wibelsöme: ndukionssöme, die in einem ausgedehnen eie (.. Meallplae) eeug weden, nenn man Wibelsöme. Wibelsöme können echnisch fü emsen ausgenu weden. Die emskaf is popoional u Geschwindigkei, was ein weiches emsen emöglich. Die emskaf kann elekisch übe einen lekomagneen geseue weden. Fühe wuden Wibelsöme bei mechanischen Tachomeen ausgenu. 156

8 Selbsindukion: Ände man den Som, de duch eine Spule fließ, ände sich das Magnefeld, das die Spule eeug. Diese Ändeung induie an de Spule eine Spannung und dami einen Som, de dem uspünglichen Som engegengeiche is. De Som in de Spule eeug ein Magnefeld mi de Feldsäke und den magneischen Fluss in de Spule: Φ da is popoional um Som also is auch Φ popoional um Som. Φ Die Popoionaliäskonsane nenn man ndukiviä de Spule. Sie häng von de Geomeie, de Windungsahl und de Pemeabiliä μ des Spulenkens ab. 157

9 inhei de ndukiviä is das Hen [H] Vs 1 H 1 A Die duch Selbsindukion an de Spule induiee Spannung is: ind dφ d d( ) d d d ind d d Selbsindukion 158

10 inschalvogang: Schale man den Som in einem Somkeis mi Spule ein, dann seig anfänglich die Somsäke mi de Seigung d d an, so dass die induiee Spannung geade die gesame anliegende Spannung aufheb. Fließ dann ein Som, fäll auch an dem ohmschen Widesand de Spule Spannung ab und de Som eeich den We /. - d d 159

11 De genaue Kuvenvelauf egib sich aus: ind d d Die Diffeenialgleichung ha als ösung eine ponenialfunkion de Fom ( ) 1 e /τ inseen des Ansaes egib s folg fü die Paamee und aus de Anfangsbedingung () : Die ösung laue also 1 e / τ und 1 e τ / τ τ und 1 ( ) 1 e 16

12 Abschalvogang: Schale man den Som aus, klink de Som duch die Spule nich abup auf null ab, sonden es fließ duch Selbsindukion ein Som übe den Widesand., - Nach Öffnen des Schales gil enspechend de Maschenegel: ( ( ) ) ind d d 161

13 16 Die Diffeenialgleichung ha die ösung und aus de Anfangsbedingung folg Am Widesand fäll die Spannung ab: ei ha man eine um den Fako / höhee Spannung als Technische Anwendungen finde man bei de Zündspule im Auo, dem Weideaun, Zündung von euchsofföhen, ec. Die Hochspannung is of ungefählich, da nu seh kueiig ein Som fließen kann und die Gesamenegie des Sompulses klein is. e ) ( / ) ( e ) ( e ) (

14 ndukiviä eine Zlindespule Das Magnefeld in eine Zlindespule de änge l mi n Windungen is (siehe Seie 13): μ n l De magneische Fluss duch n-mal die Queschnisfläche A is Φ μ An l Die ndukiviä de Spule is somi: μ An l und die duch die Selbsindukion induiee Spannung: An d ind μ l d 163

15 negie des Magnefeldes Zum Aufbau des Magnefeldes in eine Spule wid negie benöig. Diese wid von de Spannungsquelle beim inschalen als Abei geleise, wenn ein Som gegen die induiee Spannung fließ. Fü den Somkeis gil ind d d Mulipliie man mi ehäl man d d P aeie Wäme im Widesand P P Magnefeld - negie man mi () übe die Zei ehäl man die Gesamenegie des Magnefeldes: W ma d d d d 1 ma 164

16 negiediche des Magnefeldes Fließ in eine Zlindespule mi ndukiviä de Som, dann is die 1 W Gesamenegie des Magnefeldes n de Spule hesch die Magnefeldsäke Die ndukiviä de Spule is An l Wi können die Gesamenegie also scheiben als μ μ n l W 1 1 An 1 1 n 1 1 μ Al μ l μ l μ V ne de Annahme, das das Feld im Außenaum seh schwach is ehäl man daaus die negiediche des Magnefeldes: w W V 1 1 μ (vgl. Seie 11b) 165

17 Veschiebungssom in eiabhängiges elekisches Feld eeug ein Magnefeld. s eine eieschleife duch einen Kondensao unebochen und fließ ein Som, dann läd sich de Kondensao auf Q / C / C Das elekische Feld im Kondensao wächs linea mi de Zei an m dieses eiabhängige elekische Feld heum wid ein wibelfömiges Magnefeld eeug. d C Das eiabhängige elekische Feld wik wie ein Som. Dahe nenne man es Veschiebungssom. 166

18 in eiabhängiges Feld am O wik wie eine Somdiche j V an diesem O j V ε Veschiebungssomdiche Fü den Plaenkondensao leie man diese eiehung einfach he: d C d C Die Magnefeld eeugende Wikung von Sömen und Veschiebungssömen is gleich. Nu die eiliche Ändeung eines elekischen Feldes eeug ein Magnefeld. Saische elekische Felde im Kondensao haben kein Magnefeld um sich. d 1 ε d A 1 ε A 1 ε j 167

19 n de lekosaik und Magneosaik haen wi vie Gleichungen, die die eugung von elekischen und magneischen Felden bescheiben: o lekische Felde sind wibelfei o μ div ρ ε div j Ampeesches Gese Poisson-Gleichung Quellenfeihei des Magnefeldes ei eiabhängigen Felden kommen wei usäliche eugungsmechanismen hinu: die ndukion und de Veschiebungssom dφ ind d j V ε 168

20 Mawell-Gleichungen Füg man diese Mechanismen in die Gleichungen ein ehäl man: o o μ j μ ε div ρ ε div Mawell-Gleichungen Dieses gekoppele Ssem von paiellen Diffeenialgleichungen bescheib die eiliche nwicklung von elekomagneischen Felden im aum. Die Mawell-Gleichungen gehöen u den gundlegendsen und wichigsen Gleichungen in de Phsik. 169

21 17 Mawell-Gleichungen in Koodinaenscheibweise j ε μ μ j ε μ μ j ε μ μ ε ρ div ε ρ div j o ε μ μ o

22 Mawell-Gleichungen in Maeie efinde sich Maeie im aum, können die Mawell-Gleichungen mi Hilfe de Gößen H und D ebenso einfach fomulie weden: o D o H j div D ρ div Mawell-Gleichungen in Maeie Hiebei sind auch die Konsanen μ und ε in D und H enhalen D ε ε μμ H Diese Fom kann auch im Vakuum mi μ 1 und ε 1 vewende weden. 171

23 Die außeodenlich goße Kompleiä elekomagneische Phänomene wid deulich, wenn man nich nu die Felde und Polaisaion von Maeie beache, sonden usälich die enge Kopplung an die ewegung feie adungen hinunimm. Die Mawellgleichungen usammen mi de oenkaf auf adungen F q ( v ) und deen eschleunigung gemäß den Newonschen Aiomen F m a liefe einen umfassenden Sa an Gleichungen de die klassische lekodnamik vollsändig bescheib. ine ösung diese Gleichungen efode seh hohen numeischen Aufwand und is fü komplee Pobleme auch heue of nich möglich. Zusälich weden in vielen Fällen elaivisische ffeke elevan, die in diesen Gleichungen nich enhalen sind. 17

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