Ines Rennert Bernhard Bundschuh. Signale und Systeme. Einführung in die Systemtheorie

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1 Ines Renner Bernhard Bundschuh Signale und Syseme Einführung in die Sysemheorie

2 Renner/Bundschuh Signale und Syseme Bleiben Sie auf dem Laufenden! Hanser Newsleer informieren Sie regel mäßig über neue Bücher und ermine aus den verschiedenen Bereichen der echnik. Profiieren Sie auch von Gewinnspielen und exklusiven Leseproben. Gleich anmelden uner

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4 Ines Renner, Bernhard Bundschuh Signale und Syseme Einführung in die Sysemheorie Mi 119 Beispielen, 337 Bildern und 52 Übungsaufgaben Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag

5 Prof. Dr.-Ing. Ines Renner Hochschule für elekommunikaion Leipzig Prof. Dr.-Ing. Bernhard Bundschuh Hochschule Merseburg Bibliografische Informaion der Deuschen Naionalbibliohek Die Deusche Naionalbibliohek verzeichne diese Publikaion in der Deuschen Naionalbibliografie; deailliere bibliografische Daen sind im Inerne über hp://dnb.d-nb.de abrufbar. ISBN: E-Book-ISBN: Dieses Werk is urheberrechlich geschüz. Alle Reche, auch die der Übersezung, des Nachdruckes und der Vervielfäligung des Buches, oder eilen daraus, vorbehalen. Kein eil des Werkes darf ohne schrifliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fookopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nich für Zwecke der Unerrichsgesalung mi Ausnahme der in den 53, 54 URG genannen Sonderfälle, reproduzier oder uner Verwendung elekronischer Syseme verarbeie, vervielfälig oder verbreie werden Carl Hanser Verlag München Inerne: hp:// Lekora: Mirja Werner, M.A. Hersellung: Dipl.-Ing. Franziska Kaufmann Saz: Sazhersellung Dr. Seffen Naake, Brand-Erbisdorf Coverconcep: Marc Müller-Bremer, München Coverrealisierung: Sephan Rönigk Druck und Bindung: Friedrich Puse KG, Regensburg Prined in Germany

6 Vorwor Es gib schon zahlreiche Bücher zur Sysemheorie. Warum denn noch eins, könne man fragen. Die Anwor laue: Dafür gib es verschiedene Gründe. In unserer jahrelangen Lehräigkei haben wir zahlreiche Erfahrungen sammeln können, wie man die Sudierenden erfolgreich oder manchmal leider auch weniger erfolgreich an die Sysemheorie heranführen kann. Bei den Sudierenden, bei denen es uns weniger gu geglück is, könne man in die weiverbreiee Meinung einsimmen: Die Sudienanfänger werden immer dümmer. Aber das is wohl sehr vorschnell gedach. Erinnern wir uns an unser Sudium zurück, dann haben wir doch auch lange gebrauch, um zu versehen, was der Dozen z. B. mi diesem heoreischen Dirac-Impuls, der noch nich mal eine ordenliche Funkion is, mein. Oder was is diese myseriöse Operaion Falung, Origami für Forgeschriene? Wozu brauch man das und wie führ man diese Operaion korrek aus? Es gab viele Fragen, die uns im Sudium verwirr haben. Und nach einem Seminar, das Aufklärung bringen solle, war man immer noch verwirr, wenn auch auf einer höheren Sufe. Und so geh es den Sudierenden damals wie heue. Da wir uns nun sei Jahren mi der Sysemheorie befassen, sind uns viele Dinge so in Fleisch und Blu übergegangen, dass man schnell vergiss, wie man selbs als Lernender darüber angesreng gegrübel ha. Aus diesem Grund ensand die Idee, ein Buch mi dem Anspruch Sysemheorie für Einseiger zu schreiben. Die Sysemheorie is ein Gebie, das Absrakionsvermögen verlang und sark mahemaisch orienier is, davon können wir nich abweichen. Aber wir werden versuchen, weiesgehend auf mahemaisch ausgefeile Beweisführungen zu verzichen und eher Plausibiliäserklärungen, auch Kochrezepe, anzubieen. Jeder Lehrende weiß, Sudierende schäzen es, anhand von Übungsaufgaben den Sachverhal zu erschließen. Zahlreiche im Buch vorgerechnee Beispiele kommen dem Wunsch der Sudierenden nach, naürlich mi dem Ziel, den vorgesellen Sachverhal zu versehen und zu fesigen. Es soll ein Buch für Einseiger sein, die sich die wesenlichen Grundbauseine der Sysemheorie aneignen und ein Grundversändnis für das Gebie Sysemheorie erarbeien wollen. Das vorliegende Buch is haupsächlich vorgesehen für Sudierende in den Sudiengängen Elekroechnik, Mecharonik, Informaionsechnik, Kommunikaionsechnik, Auomaisierungsechnik und Physikalische echnik. Leipzig, Merseburg im Februar 2013 Ines Renner und Bernhard Bundschuh

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8 Inhal 1 Einleiung I Signale Was is ein Signal? Deerminisische koninuierliche Signale im Zeibereich Wie kann man Signale im Zeibereich darsellen? Elemenarsignale Signaloperaionen Elemenare Signaloperaionen Korrelaion Falung Energie und Leisung Deerminisische zeidiskree Signale im Zeibereich Signaldarsellung im Zeibereich Elemenarsignale Signaloperaionen Elemenare Signaloperaionen Korrelaion Diskree Falung Energie und Leisung Deerminisische koninuierliche Signale im Frequenzbereich Darsellung von Signalparameern im Frequenzbereich Spekraldarsellung von Signalen miels Fourier-Reihen Spekraldarsellung von Signalen miels Fourier-ransformaion Fourier-ransformaion und inverse Fourier-ransformaion Eigenschafen und Rechenregeln der Fourier-ransformaion Spekren von Elemenarsignalen Energie- und Leisungsdichespekren Zusammenhang zwischen Fourier-Reihe und Fourier-ransformaion Deerminisische zeidiskree Signale im Frequenzbereich Ideale Abasung Darsellung von Signalparameern im Frequenzbereich Spekraldarsellung von Abassignalen und zeidiskreen Signalen

9 8 Inhal 6.4 Spekraldarsellung von Signalen miels diskreer Fourier-ransformaion Diskree Fourier-ransformaion und inverse diskree Fourier- ransformaion Hinransformaion Rückransformaion Schnelle diskree Fourier-ransformaion Energie- und Leisungsdichespekren Zusammenhang zwischen den Spekren koninuierlicher und zeidiskreer Signale Übungsaufgaben II Syseme Sysemdefiniion Zeikoninuierliche LI-Syseme im Zeibereich Sysemeigenschafen Lineare Differenzialgleichung mi konsanen Koeffizienen Signalflusspläne und Signalflussgraphen Koninuierliche LI-Syseme im Zeibereich und im Bildbereich Laplace-ransformaion und Laplace-Rückransformaion Rechenregeln und Korrespondenzen der Laplace-ransformaion Lösung von Differenzialgleichungen miels Laplace-ransformaion Überragungsfunkion Sysemanworen Sabiliä Koninuierliche LI-Syseme im Frequenzbereich Frequenzgang Darsellung des Frequenzgangs Ideale koninuierliche Überragungssyseme Zusammenhang der Frequenzfunkionen koninuierlicher Signale und Syseme Zeidiskree LI-Syseme im Zeibereich Sysemeigenschafen Lineare Differenzengleichung mi konsanen Koeffizienen Signalflusspläne und Signalflussgraphen

10 Inhal 9 15 Zeidiskree LI-Syseme im Zei- und Bildbereich z-ransformaion und inverse z-ransformaion Laplace-ransformaion eines ideal abgeaseen Signals z-ransformaion Inverse z-ransformaion Rechenregeln und Korrespondenzen der z-ransformaion Lösung von Differenzengleichungen miels z-ransformaion Überragungsfunkion Sysemanworen Sabiliä Zeidiskree LI-Syseme im Frequenzbereich Frequenzgang Darsellung des Frequenzgangs Ideale zeidiskree Überragungssyseme Zusammenhang der Frequenzfunkionen zeidiskreer Signale und Syseme Übungsaufgaben Anhang Lieraur Index

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12 1 Einleiung 1 Einleiung Die im Buch beschriebenen Signale und Syseme gehören zum Gebie Sysemheorie für Ingenieurwissenschafen. Der Begriff Sysemheorie is unmielbar verbunden mi den Wissenschaflern Norber Wiener [Il] und Karl Küpfmüller [Kü], da diese wesenliche Ansöße und Beiräge zur Sysemheorie lieferen. Die sei diesen Anfängen in der ersen Hälfe des vergangenen Jahrhunders sark weierenwickele Sysemheorie gehör inzwischen zum Handwerkszeug eines Ingenieurs. Die sysemheoreische Herangehensweise an die Analyse und Synhese von Prozessen, die in den Ingenieurwissenschafen echnischer Naur sind, is heue selbsversändlich. Zum Einsieg in die Sysemheorie werden im Buch zunächs Die im Buch ausgewähle beschriebenen Grundbauseine Signale und berache. Syseme gehören zum Gebie Sysemheorie für Ingenieurwissenschafen. Der Begriff Sysemheorie is unmielbar verbunden mi den Wissenschaflern Grundbauseine Norber der Wiener Sprache /19/ sind undlaue, Karl Küpfmüller die Grundbauseine /25/, da diese von wesenliche exen liefer Ansöße das Die und Beiräge zur Sysemheorie lieferen. Die sei diesen Anfängen in der ersen Hälfe des Alphabe, vergangenen Grundbauseine Jahrhunders der sark Mahemaik weierenwickele sind die Sysemheorie Grundrechenaren. gehör In inzwischen Analogie dazu zum kann Handwerkszeug man für die eines Sysemheorie jeden Ingenieurs. ebensolche DieGrundbauseine sysemheoreische benennen, Herangehensweise denn ers bei an deren die Kennnis Analyse und Synhese Handhabung von Prozessen, is der Zugang die inzu den komplizieren Ingenieurwissenschafen Signalverarbeiungsprozessen echnischer Naur sind, is heue selbsversändlich. Zum Einsieg in die Sysemheorie werden im Buch möglich. Unabhängig vom Anwendungsgebie werden diese Grundbauseine definier, sie zunächs ausgewähle Grundbauseine berache. werden Die Grundbauseine wie die Sprache, der exe Sprache und sind die Mahemaik Laue, die Grundbauseine in den unerschiedlichsen von exen Fachgebieen Alphabe, eingesez. Grundbauseine Welche Elemene der Mahemaik sind zu den sind Grundbauseinen die Grundrechenaren. der Sysemheorie In Analogie zu rech- dazu liefer das nen? kannsicherlich man für die gib Sysemheorie es Konsens über ebensolche die meisen Grundbauseine diesem Buch benennen, beschriebenen denn ers Grundbauseine, naürlich werden sich an einigen Grundbauseinen die Geiser scheiden. Das is so bei deren Kennnis und Handhabung is der Zugang zu komplizieren Signalverarbeiungsprozessen möglich. Unabhängig vom Anwendungsgebie werden diese Grundbauseine definier, sie und werden wird wie auch dieimmer Sprache, so exe sein. und Um die die Mahemaik Auswahl der in den im vorliegenden unerschiedlichsen Buch ausgewählen Fachgebieen Grundbauseine eingesez. Welche plausibel Elemene zu machen, sind zu den sind Grundbauseinen Beispiele sehr hilfreich. der Sysemheorie Die Enscheidung zu rechnen? für Sicherlich gib es Konsens über die meisen in diesem Buch beschriebenen Grundbauseine, ein anschauliches einführendes Beispiel fiel auf ein Mobilelefon. Da lau Saisik jeder an einigen werden sich die Geiser scheiden. Um die Auswahl der hier ausgewählen Grundbauseine plausibel mehr als zu machen, ein Mobilelefon sind Beispiele besiz, hilfreich. ha, rein Berachen saisisch wir gesehen, als anschauliches jeder Leser Bundesbürger dieses einführendes Buches Beispiel eine gewisse ein Mobilelefon. Vorsellung von einem Mobilelefon. Mobilfunknez Mobilfunknez Fesnez Bild 1.1 Kommunikaionsweg zweier Mobilfunknuzer Bild 1.1: Kommunikaionsweg zweier Mobilfunkbenuzer Die Kommunikaion zwischen den Mobilfunknuzern, siehe Bild 1.1, erfolg nur auf den sogenannen lezen Kilomeern über Funkneze. Diese Funkneze sind verbunden mi dem Die Fesnez, Kommunikaion auf dem, inzwischen Kilomeern den ausgedrück, Mobilfunkbenuzern, der längse siehe eil Bild der1.1, Kommunikaion erfolg nur auf safinde. Aus Sich lezen derkilomeern Signalverarbeiung über Funkneze. werdendiese nachfolgend Funkneze einige sind Aspeke verbunden der primären mi dem den sogenannen Funkion des Mobilelefons, des elefonierens, dargesell. Nich berache werden Signalisierungsprozesse Fesnez, auf dem und in Kilomeern Prookolle. ausgedrück, der längse eil der Kommunikaion safinde. Aus Sich der Signalverarbeiung werden nachfolgend einige Aspeke der primären Funkion des Mobilelefons, das elefonieren, dargesell. Nich berache werden Signalisierungsprozesse und Prookolle.

13 12 1 Einleiung Prinzipiell gib es in einem Mobilelefon zwei Signalverarbeiungskeen. Die eine Signalverarbeiungskee beschreib den Weg eines Signals vom Mikrophon über Verarbeiungseinheien bis zur Anenne und die andere Signalverarbeiungskee den Weg von der Anenne über Verarbeiungseinheien zum Lausprecher. Im Bild 1.2 sind schemaisch diese beiden Signalverarbeiungskeen dargesell. Das gesprochene Wor wird im Mikrophon, einem Sysem, von einem akusischen Signal zur weieren Verarbeiung in ein elekrisches Signal gewandel. Beim Lausprecher erfolg genau die umgekehre Wandlung, vom elekrischen in ein akusisches Signal. Die akusischen und die elekrischen Signale sind vorsell- und darsellbar als Zeifunkionen. Und da zu jedem Zeipunk ein Signalwer vorlieg, nenn man dieses Signal analog. Das Sprachsignal auch nach der Wandlung wird als niederfrequenes Signal im Kiloherz-Bereich bezeichne. Die Eigenschaf niederfrequen häng mi den Frequenzinhalen des Signals zusammen. Die Frequenzinhale werden durch die Frequenzfunkion, auch Frequenzspekrum genann, des Signals ausgedrück. Das Signal, das von der Anenne gesende und empfangen wird, is hochfrequen und lieg im Mega- und Gigaherz-Bereich. In welchem Frequenzbereich dieses Signal lieg, häng vom Nezbereiber des Mobilfunknezes ab. Diese Frequenzbereiche erseigern die Nezbereiber für viel Geld bei der Bundesnezagenur. Anenne HF-Signale Lausprecher Signalverarbeiung NF-Signale Mikrophon Signalverarbeiung Bild 1.2 Prinzipielle Signalverarbeiungskeen Die Frequenzfunkion erschein auf den ersen Blick nich so einfach durchschaubar, is aber gerade auf dem Gebie der modernen Kommunikaionsmiel eine sehr wichige Beschreibungsmehode, wenn man an die Bandbreien von Signalen und Überragungskanälen sowie die Überragungsraen auf den Überragungskanälen denk. Signale werden im Zei- und Frequenzbereich beschrieben. Deaillierer berache wird nachfolgend die Signalverarbeiungskee vom Mikrophon zur Anenne. Nach der akusisch-elekrischen Wandlung des Sprachsignals erfolg in dem Sysem iefpass eine Filerung, um mögliche im Signal vorhandene höhere Frequenzaneile zu unerdrücken und das Signal an die digiale Signalverarbeiung anzupassen. Die digiale Signalverarbeiung wird hier verwende, da sie zuverlässig Daen speicher, flexibler is und eine höhere Genauigkei ermöglich als die analoge Signalverarbeiung. Das gefilere analo-

14 1 Einleiung 13 ge Signal wird in einem Analog/Digial-Wandler zeilich abgease und werquanisier. Es enseh ein wer- und zeidiskrees Signal, auch digiales Signal genann, das durch seine Zahlenfolge ausgedrück wird. Aus diesem digialen Signal wird über eine Codierung ein Binärsignal, besehend aus Einsen und Nullen, erzeug. Mikrophon analoge niederfrequene Signale iefpass digiale Signalverarbeiung im Basisbandbereich A/D Sprachkompression Kanalcodierung digiale Modulaion D/A digiale Signale/Binärsignale analoge Verarbeiung im Bandpassbereich analoge hochfrequene Signale Anenne Modulaion Bild 1.3 Signalverarbeiungskeen vom Mikrophon zur Anenne Redundanzen im Sprachsignal und Aneile des Sprachsignals, die für das menschliche Gehör unwichig sind, werden bei der Sprachkompression aus dem Signal enfern. Die Kanalcodierung füg wieder Redundanzen hinzu, um z. B. Überragungsfehler erkennen zu können. Mihilfe der digialen Modulaion werden Symbole, die aus einer fesen Anzahl aufeinanderfolgender absraker Nullen und Einsen besehen, durch solche Signalverläufe repräsenier, die ein Frequenzspekrum mi einer für die Überragung geeigneen Bandbreie aufweisen und eine nahezu sörungsfreie Überragung ermöglichen. Nach der Digial/Analog-Wandlung und Signalrekonsrukion durch Syseme, die Rekonsrukionsfiler, lieg wieder ein analoges Signal vor. Dieses analoge Signal wird durch Modulaion zum Bandpasssignal im Hochfrequenzbereich, das über die Anenne ausgesende wird. Der Weg von der Anenne zum Lausprecher durchläuf in umgekehrer Weise die Signalverarbeiungskee. Dabei wird aus dem hochfrequenen Signal nach Demodulaion ins Basisband die Nachrich nach erfolger digialer Demodulaion, Kanaldecodierung, Sprachdekompression als analoges Signal im hörbaren Bereich an den Lausprecher geführ. Man kann nur erahnen, welche raffinieren und vielfäligen Signalverarbeiungsverfahren in einem kleinen Mobilelefon ablaufen, um ein elefongespräch zu führen. Dabei wurde noch nich einmal darüber gesprochen, was auf dem Überragungsweg durch die verschiedenen Neze mi dem Signal passier. Besonders wichig is weierhin zu sehen, dass, obwohl viel vom digialen Zeialer zu lesen und zu hören is, neben den digialen Signalen und Sysemen die analogen Signale und Syseme weierhin sehr wichige Komponenen sind. Dem Leser wird aufgefallen sein, dass im ex die Begriffe, wie z. B. Signal, Sysem, Zei- und Frequenzfunkion, kursiv hervorgehoben werden. Genau diese Begriffe, deren Bedeuung und Beschreibung sowie deren Handhabung und Zusammenwirken sind Grundbauseine der Sysemheorie und sind Inhale des vorliegenden Buches. Im eil I werden analoge und zeidiskree Signale im Zei- und Frequenzbereich beschrieben und es werden Gemeinsam-

15 14 1 Einleiung keien und Unerschiede zwischen analogen und zeidiskreen Signalen aufgezeig. eil II widme sich dem Sysemverhalen von analogen und zeidiskreen Sysemen im Zei- und Frequenzbereich. Hinzu komm noch die Beschreibung im Bildbereich, mi der z. B. die Sysemeigenschaf Sabiliä anschaulich diskuier werden kann. Weierhin werden die Syseme im Zusammenhang mi den Signalen berache. Die Ermilung der Sysemreakionen auf verschiedene Eingangssignale im Zeibereich und über den Bildbereich wird beschrieben, ebenso die Filerwirkung von Sysemen auf Signale. eil I und II beinhalen jeweils einen Abschni mi zahlreichen Aufgaben. Die Lösungen zu den Aufgaben finden Sie im Inerne auf der Seie zum Buch uner

16 eil I Signale

17 2 Was 2.1 Was is ein Signal? Was is ein Signal? is ein Signal? 2.1 Signale Was is können ein Signal? z. B. physikalische Größen als Funkionen einer oder mehrerer unabhängiger Variablen sein. Die folgende Lise mi Beispielen könne man fas beliebig forsezen: - Elekrische Signale Spannung könnenu() z. B. in physikalische V Größen als Funkionen einer oder mehrerer unabhängiger Signale können z. B. physikalische Größen als Funkionen einer oder mehrerer unabhängiger Variablen - Elekrischer Variablen Srom sein. i() Die in A folgende Lise mi Beispielen könne man fas beliebig forsezen: Elekrische sein. Die folgende Spannung Lise u( mi ) in Beispielen V könne man fas beliebig forsezen: - Opische Leisung p() in W - Elekrische Elekrischer Spannung u() Srom in V i( ) in A - emperaur als Funkion des Ores (x), (x,y,z) in K oder C - Elekrischer Opische Srom i() Leisung in A p( in W - Elekrische Feldsärke E - Opische Leisung emperaur p() in als ( x, y, z W Funkion ) in V/m des Ores (x), (x, y, z) in K oder C - Magneische - emperaur Elekrische Feldsärke als Funkion Feldsärke H ( xyz,, des Ores (x), E )(x, in (x,y,z) y, A/m z) in in V/m K oder C - Elekrokardiogramm Magneische (EKG) Feldsärke in V als H Funkion (x, y, z) inder A/m Zei - Elekrische Feldsärke E Elekrokardiogramm ( x, y, z) in V/m (EKG) in V als Funkion der Zei (siehe Bild 2.1) - Magneische Deuscher Feldsärke u()/mv Akienindex H ( xyz,, ) in (DAX) A/m in e als Funkion der Zei (keine physikalische Größe) 3 - Elekrokardiogramm (siehe Bild(EKG) 2.2) in V als Funkion der Zei 2 u()/mv /s /s Bild 2.1a: EKG-Verlauf als Beispiel für ein Zeisignal -1 Bild 2.1 EKG-Verlauf als Beispiel für ein Zeisignal - Deuscher Akienindex (DAX) in als Funkion der Zei (keine physikalische Größe) Bild 2.1a: EKG-Verlauf als Beispiel für ein Zeisignal DAX in - Deuscher 8000 Akienindex (DAX) in als Funkion der Zei (keine physikalische Größe) 6000DAX in Jahr Bild 2.2 DAX-Verlauf als Beispiel für Zeisignale /9/ 2010 Bild 2.1b: DAX-Verlauf als Beispiele für Zeisignale [DAX] Jahr Signale können sowohl ors- als auch zeiabhängige, skalare oder vekorielle Größen in Abhängigkei von einer oder mehreren Variablen sein. Außer Zei und Or können auch andere unabhängige Bild 2.1b: Variablen, DAX-Verlauf z. B. als Drehwinkel, Beispiele für aufreen. Zeisignale [DAX]

18 Abhängigkei von einer oder mehreren Variablen sein. Außer Zei und Or können auch andere unabhängige Variable, z. B. Drehwinkel, aufreen. 2 Was is ein Signal? 17 Speziell in der Nachrichenechnik dienen Signale als physikalische räger synakischer Informaion oder einer Nachrich. Das folgende Bild 2.2 veranschaulich diesen Zusammenhang Speziell anhand in dreier der Nachrichenechnik Modulaionsverfahren. dienen Beim Signale Ampliude als Shif physikalische Keying (ASK) räger wird der Informaion. Bild 2.3 veranschaulich diesen Zusammenhang anhand dreier Modulaionsverfahren. Beim die Informaion durch unerschiedliche Ampliuden des Signals repräsenier, beim Ampliude Shif Keying (ASK) wird die Informaion durch unerschiedliche Ampliuden des Frequency Signals Shif repräsenier, Keying (FSK) beim durch Frequency unerschiedliche Shif Keying Frequenzen (FSK) durch und beim unerschiedliche Phase Shif Frequenzen Keying und (PSK) beim durch Phase unerschiedliche Shif Keying Phasenlagen. (PSK) durch unerschiedliche Phasenlagen Nachrich u() Ampliude Shif Keying (ASK) u() Frequency Shif Keying (FSK) u() Phase Shif Keying (PSK) Bild 2.3 Repräsenaion von Informaion durch Signalampliude, -frequenz oder -phase Bild 2.2: Repräsenaion von Informaion durch Signalampliude, -frequenz oder - Die unabhängigen Variablen können phase auch als diskree Folgen aufreen. Beispiele sind abgeasee elekrische Spannung u(k) in V, Inensiä I (kx, k Die unabhängigen Variablen y ) eines geraseren Bildes in W/m können auch als diskree Folgen aufreen. 2, Beispiele sind ors- und zeiabhängige Inensiäen (ro(kx, k y, k ), grün(k x, k y, k ), blau(k x, k y, k )) eines digialen Farbvideosignals in W/m 2 usw. - Abgeasee elekrische Spannung u(k) in V, - Inensiä I(k x,k y ) eines geraseren Bildes in W/m 2, Auch in dieser Kaegorie können Signale sowohl ors- als auch zeiabhängige, skalare oder - ors- und zeiabhängige Inensiäen (ro(k x,k y,k ), grün(k x,k y,k ), blau(k x,k y,k )) eines digialen Farbvideosignals in W/m 2 usw.. vekorielle Größen in Abhängigkei von einer oder mehreren Variablen sein. Die universelle Anwendbarkei der Sysemheorie erforder eine absrake Berachung der Signale, unabhängig von ihrer physikalischen Bedeuung. Gleicharige mahemaische Beschreibungen Auch in wie dieser z. B. Kaegorie Differenzialgleichungen können Signale sowohl lassenors- sichals auf auch denzeiabhängige, unerschiedlichsen skalare oder Gebieen anwenden. Größen Ein bekannes in Abhängigkei Beispiel von iseiner hier oder die Schwingungsdifferenzialgleichung, mehreren Variablen sein. die sich auf elek- vekorielle rische Schwingkreise ebenso anwenden läss wie auf schwingungsfähige mechanische Anordnungen, wie z. B. ein mechanisches Pendel oder Brückenkonsrukionen. Die universelle Anwendbarkei der Sysemheorie erforder eine absrake Berachung der Im Sinne der Allgemeingüligkei werden Signale in der Sysemheorie als einheienfreie Größen aufgefass. Die unabhängige Variable seh für die Zei, was die Allgemeinhei jedoch Signale, unabhängig von ihrer physikalischen Bedeuung. Gleicharige mahemaische Beschreibungen wie z. B. Differenialgleichungen lassen sich auf den unerschiedlichsen nich einschränk. Orsabhängige Signale können z. B. mi f (x) bezeichne werden. Durch Gebieen geeignee anwenden. Proporionaliäsfakoren Ein bekannes Beispiel is kann hier man die Schwingungsdifferenialgleichung, von einheienlosen Signalen in physikalische die sich Signale auf elekrische umrechnen. Schwingkreise Im vorliegenden ebenso anwenden Buch werden läss wie nurauf rein schwingungsfähige zeiabhängige skalare Signale mechanische behandel. Anordnungen, wie z. B. ein mechanisches Pendel oder Brückenkonsrukionen. Durch Abasung enseh ein zeidiskrees Signal, dessen Abaswere koninuierlich sind. Die Abaszeipunke liegen auf einem regulären Raser. Nach einer Quanisierung ohne vorherige Abasung exisieren nur noch diskree Signalwere. Die Übergänge zwischen benachbaren Signalweren liegen nich auf einem zeilichen Raser, sondern sind koninuierlich vereil. Führ man zuers eine Signalabasung aus und anschließend eine Quanisierung,

19 Die Abaszeipunke liegen auf einem regulären Raser. Nach einer Quanisierung ohne vorherige Abasung exisieren nur noch diskree Signalwere. Die Übergänge zwischen benachbaren 18 2 Was Signalweren is ein Signal? liegen nich auf einem zeilichen Raser, sondern sind koninuierlich vereil. Führ man zuers eine Signalabasung aus und anschließend eine Quanisierung, so erhäl man ein zei- und werdiskrees Signal. Der umgekehre Weg, das so erhäl man ein zei- und werdiskrees Signal. Der umgekehre Weg, das Signal zuers zu Signal zuers zu quanisieren und anschließend abzuasen, is ebenfalls möglich. Bild 2.3 quanisieren und anschließend abzuasen, is ebenfalls möglich. Bild 2.4 veranschaulich veranschaulich die Unerschiede die Unerschiede zwischen koninuierlichen zwischen koninuierlichen und diskreen und diskreen Signalen. Signalen. x() zei- und werkoninuierlich x ab () zeidiskre und werkoninuerlich A x quan () Δx zeikoninuierlich und werdiskre x ab,quan () Δx zei- und werdiskre A Bild 2.4 Eineilung der Signale hinsichlich der Verfügbarkei der Funkionswere und der zeilichen Verfügbarkei Bild 2.3: Eineilung der Signale hinsichlich der Verfügbarkei der Funkionswere und der zeilichen Verfügbarkei Aus dem üblicherweise im Dezimalsysem dargesellen zei- und werdiskreen Signal kann 8 durch binäre Codierung ein binäres Signal erzeug werden, das sich mi 2 Signale Rechenprogrammen Aus oder dem miüblicherweise Digialschalungen im Dezimalsysem verarbeiendargesellen läss. Eine weiere zei- und Unerscheidung werdiskreen Signal von Signalkaegorien, durch deerminisische binäre Codierung, und ein sochasische digiales Signal Signale, erzeug werden, zeig das das Schema sich mi inrechenpro- Bild 2.5. kann grammen oder mi Digialschalungen verarbeien läss. Signale Eine weiere Unerscheidung von Signalkaegorien, deerminisische und sochasische deerminisisch sochasisch, Signale, zeig das folgende Schema: Zufallssignale Mahemaische Beschreibung: Funkionsgleichungen Mehoden der Wahrscheinlichkeisrechnung und Saisik Beispiel: Ausgangssignal eines Oszillaors Sprachsignal Bild Bild 2.5 Beispiele 2.4: Beispiele für deerminisische für deerminisische und sochasische und sochasische Signale Signale Bild 2.6 zeig einige Beispiele. Welche Signale deerminisisch und welche sochasisch sind, Bild 2.5 wird zeig inuiiv einige klar. Beispiele. Deerminisische Welche Signale zeikoninuierliche deerminisisch und Signale welche werden sochasisch im Kapiel 3 behandel, inuiiv deerminisische auf den ersen zeidiskree Blick klar. Signale Deerminisische im Kapiel zeikoninuierliche 4. Auf nichdeerminisische Signale bzw. so- sind, wird werden chasische im Abschni Signale, 2.2 behandel, auch Zufallssignale deerminisische genann, zeidiskree gehen Signale wir nich im Abschni weier ein. 2.3, nich deerminisische Signale bzw. sochasischen Signale, auch Zufallssignale genann, im Abschni 2.6. deerminisisch deerminisisch sochasisch x() x() x()

20 2 Was is ein Signal? 19 x( ) deerminisisch x( ) deerminisisch x( ) 0,7 sochasisch x( ) = e / τ sin( 2π f0) τ Bild 2.6 0,1 0,2 x( ) = R S 0,5 s 1,2 s 0,2 für < 0,5 s 0, 7 für 0,5 s 1,2 s 0, 1 für 1,2 s < Deerminisische und sochasische Signale Rauschsignal Das Adjekiv deerminisisch samm vom laeinischen deerminare = besimmen, begrenzen, feslegen ab. Wenn ein Signal sowohl deerminisisch als auch koninuierlich is, läss sich zu jedem beliebigen Zeipunk der exake Signalwer angeben. Dies kann miels eines Formelausdrucks geschehen wie beim ersen Signal im Bild 2.6 oder miels einer abschnisweisen Definiion wie beim zweien Signal im Bild 2.6. Bei Zufallssignalen hingegen lassen sich lediglich Wahrscheinlichkeien für das Aufreen besimmer Signalwere bzw. für das Aufreen von Signalweren in besimmen Werebereichen angeben.

21 3 Deerminisische Deerminisische koninuierliche Signale im Zeibereich koninuierliche Signale im Zeibereich 3.1 Wie kann man Signale im Zeibereich darsellen? ie kann man Signale im Zeibereich darsellen? arsellung des simulieren Spannungsverlaufs u() im Bild 2.6 is dem Kurvenverlauf m Bildschirm Die eines Darsellung Oszilloskops des simulieren nachempfunden. Spannungsverlaufs u( ) im Bild 3.1 is dem Kurvenverlauf auf dem Bildschirm eines Oszilloskops nachempfunden. u() Bild 2.6: Koninuierlicher Spannungsverlauf Spannungsverlauf Bild 3.1 Aus dem Kurvenverlauf lassen sich einige Informaionen über das Signal gewinnen, z. B. die m Kurvenverlauf zeiliche lassen Dauer sich (falls einige endlich), Informaionen der Werebereich, über das Signal die Lage gewinnen, der Nulldurchgänge z. B. und der Exremwere. (falls endlich), Eineder genauere Werebereich, Analysedie ermöglich Lage der evl. Nulldurchgänge auch eine Ermilung und der der Frequenzzu- liche Dauer were. Eine sammensezung genauere Analyse desermöglich Signals. Die evl. komplee auch eine Informaion Ermilung isder im Frequenzmensezung des Signals. Die komplee Informaion is im Kurvenverlauf u() (physi- Kurvenverlauf u( ) (physikalisch z. B. 1 V cos(2p f P ) bzw. x( ) sysemheoreisch z. B. cos(2p f P )) enhalen. z. B. 1V cos(2πf P ) bzw. x() (sysemheoreisch z. B. cos(2πf P )) enhalen. 3.2 Elemenarsignale Elemenarsignale sellen einfache und idealisiere Signale dar, die jedoch den großen Voreil einfacher mahemaischer Handhabbarkei besizen. Man denke an die Berechnung von Inegralen, wie sie im Zusammenhang mi Signaloperaionen vorkommen. Bei Verwendung von Elemenarsignalen verringer sich der Aufwand für die Inegraion ganz erheblich.

22 3.2 Elemenarsignale 21 analyisch rechnen will, verwende man Elemenarsignale einzeln oder in Komr vereinfachen Nachbildung prakisch aufreender Signale. Dabei is naürlich beachen, dass durch die Idealisierungen bei Verwendung von? der Elemenarne zu großen Fehler ensehen dürfen. Bild 2.7 illusrier die Problemaik. Wenn man analyisch rechnen will, verwende man Elemenarsignale einzeln oder in Kombinaion zur vereinfachen x() Nachbildung prakisch aufreender Signale. Dabei is immer zu beachen, dass durch die Idealisierungen bei Verwendung von Elemenarsignalen keine zu großen Fehler ensehen dürfen. Bild 3.2 illusrier die Problemaik. x() x() proximaion durch Recheck b) ungenaue Approximaion durch Recheck Bild 2.7: Gemessene Signalverläufe a) b) man den gemessenen Signalverlauf im Bild 2.7a, so erkenn man, dass ein Erseesskurve durch durcheine Recheck idealisiere Recheckfunkion unkriisch sein solle. Das Bild 3.2 Gemessene Signalverläufe; a) gue Approximaion durch Recheck, b) ungenaue Approximaion ild 2.7b würde durch eine Recheckfunkion jedoch nur grob angenäher. Berache man den gemessenen Signalverlauf im Bild 3.2a, so erkenn man, dass ein Ersezen der Messkurve durch eine idealisiere Recheckfunkion unkriisch sein solle. Das Signal im Bild 3.2b würde durch eine Recheckfunkion jedoch nur grob angenäher. Signal Konsanes Signal nung oder Gleichsrom lassen sich beispielsweise als konsane Signale darsel- Gleichspannung oder Gleichsrom lassen sich beispielsweise als konsane Signale darsellen. Ohne Beschränkung der Allgemeinhei kann man den Wer des einheienlosen Signals Beschränkung der Allgemeinhei kann man den Wer des einheienlosen Signals nehmen. x( ) zu 1 annehmen. 1 x() Elemenarsignale 11 Bild 3.3 Konsanes Signal x() = 1 Bild 2.8: Konsanes Signal x() = 1 Einheissprung ε() Einheissprung 3() Der Einheissprung Der Einheissprung läss sich sehr läss gu verwenden, sich sehr gu um verwenden, Ein- bzw. Ausschalvorgänge um Ein- bzw. Ausschalvorgänge zu zu modellieren. 2.9 zeig Bild eine 3.4mögliche zeig eine Anwendung. mögliche modellieren. Bild Anwendung. = 0 1V 1Vε () Bild 3.4 Modellierung eines Einschalvorgangs Die folgende Bild 2.9: einfache Modellierung abschnisweise eines Einschalvorgangs Definiion is für prakische Anwendungen im Allgemeinen völlig ausreichend: { Die folgende einfache abschnisweise 0 für Definiion < 0 is für prakische Anwendungen im Allgemeinen völlig ausreichend: 1 für 3( ) = 0. (3.1) ε () 0 für < 0 = 1 für 0 (2.1)

23 ε () 0 für < 0 = 1 für 0 (2.1) 22 3 Deerminisische koninuierliche Signale im Zeibereich Man darf sich uner ε() keine analyische Funkion vorsellen wie ewa die unkion, die Logarihmusfunkion Hinweis: Man darf o. sich ä., uner sondern 3( es ) keine handel analyische sich um eine Funkion symbolizschreibweisnusfunkion, für die abschnisweise die Logarihmusfunkion Definiion nach Gl. o Ä., Bild sondern 2.10 zeig es handel den sich um eine symbolische vorsellen wie ewa die Kosi- Verlauf der Funkion. Kurzschreibweise für die abschnisweise Definiion nach Gl. (3.1). Bild 3.5 zeig den zeilichen Verlauf der Funkion. x() = ε() 1 Bild 2.10: Einheissprung Bild 3.5 Einheissprung Recheckfunkion rec(/ ) Recheckförmige Signalverläufe reen z. B. bei kombinieren Ein- und Ausschalvorgängen funkion rec auf. Sie sellen auch eine ypische Signalform im Rahmen 2 Signale der Impulsechnik dar. Bild 3.6 zeig den Zeiverlauf der elemenaren Recheckfunkion und veranschaulich ihre Definiion förmige Signalverläufe reen z. B. bei kombinieren Ein- und Ausschalvorgängen als Differenz zweier gegeneinander verschobener Einheissprünge. ellen auch eine ypische Signalform im Rahmen der Impulsechnik dar. Bild 2.11 Zeiverlauf der elemenaren Recheckfunkion ε(+/2) 1 und veranschaulich ihre Definiion renz zweier gegeneinander verschobener Einheissprünge. + -/2 -ε(-/2) /2 = -1 1 x() = rec(/) -/2 /2 Bild 3.6 Recheckfunkion Bild 2.11: Recheckfunkion Die Zeiverschiebungen und die Spiegelung des Signals 3( /2) an der Zeiachse sellen erse Beispiele von Signaloperaionen dar. Im Abschni 3.3 werden diese Signaloperaionen rschiebungen neben und die anderen Spiegelung nochdes eingehender Signals ε(-/2) erläuer. an der Zeiachse sellen iele von Signaloperaionen ( dar. ) Im Abschni ( werden diese Signaloperaioanderen noch eingehender rec erläuer. = 3 + ) ( 3 ) (3.2) 2 2 c = ε Die + symbolische ε Bezeichnung rec(/ ) samm vom laeinischen recangula. Man darf sich darunerauch hier keine analyische Funkion (2.2) vorsellen, sondern es handel sich wieder um eine symbolische Kurzschreibweise für die abschnisweise Definiion des Signals! 2 2 Ausgehend von der in Gl. (3.1) angegebenen abschnisweisen Definiion des Einheissprungs rec(/) erhäl man samm folgende vom laeinischen Definiion recangula. der Recheckfunkion. Man darf lische Bezeichnung er auch hier keine analyische Funkion vorsellen, sondern es handel sich wiee symbolische Kurzschreibweise ( ) 0 für < /2 für die abschnisweise Definiion des Signals! rec = 1 für /2 /2 (3.3) 0 für > /2. von der in Gl. 2.1 angegebenen abschnisweisen Definiion des Einheishäl man folgende Definiion der Recheckfunkion. 0 für < 2

24 3.2 Elemenarsignale 23 Dirac-Impuls d() Häufig wird in Lehrbüchern die folgende einfache, für prakische Anwendungen ausreichende, aber mahemaisch nich rigorose Herleiung verwende. Ausgangspunk is die Recheckfunkion 1 rec(/ ). Aus Bild 3.7 lies man ab, dass die Elemenarsignale Fläche uner der Funkion gleich 1 sein muss (Breie Höhe 1/ ). Wenn 13 man nun den Wer von immer weier verkleiner, bleib die Fläche gleich eins, da die Höhe reziprok zur Breie des Rechecks immer weier anwächs. x() 8/ Fläche = 1 2/ 1/ -/2 -/4 -/16 /16 /4 /2 Bild 3.7 Recheckfunkionen mi konsaner Fläche = 1 Bild 2.12: Recheckfunkionen mi konsaner Fläche = 1 Führ man nun den Grenzübergang Führ man nun den Grenzübergang ( ) 1 d ( ) = lim 0 rec (3.4) 1 δ () = lim rec (2.4) durch, 0so enseh ein Impuls, der als Dirac-Impuls, Dirac-Soß, Delafunkion oder Dirac sche Delafunkion bezeichne wird. Seine Dauer geh gegen 0 und seine Höhe gegen. Der Name erinner an den Physiker Paul Dirac, der wichige Beiräge zur Quanenmechanik durch, so enseh ein Impuls, der als Dirac-Impuls, Dirac-Soß, Delafunkion oder Dirac sche Delafunkion bezeichne wird. Seine Dauer geh offensichlich gegen 0 und seine geleise und das Signal in diesem Zusammenhang eingeführ ha. Als grafische Darsellung ha sich der im Bild 3.8 zu erkennende Pfeil nach oben eingebürger.. Er Der symbolisier Name erinner diean Höhe den Physiker des Impulses, Paul Dirac, die gegen der wichige geh. Beiräge Die vorher zur erwähne kon- Höhe gegen Quanenmechanik sane Fläche geleise = und 1 wird das nach Signal dem in diesem Grenzübergang Zusammenhang als Gewich eingeführ oder ha. Gewichsfakor bezeichne. Dies schreib man in Klammern neben die Spize des Pfeils. Andere Gewichsfakoren Als grafische können Darsellung ebenfalls ha insich der der Klammer im Bild sehen, 2.13 zu z. erkennende B. ( 1) bei Pfeil einem nach ins oben Negaive eingebürger. Er symbolisier die Höhe des Impulses, die gegen geh. Die vorher erwähne reichenden Dirac- Impuls. konsane Eine Fläche einfache = 1 wird abschnisweise nach dem Grenzübergang Definiion als des Gewich Dirac-Impulses oder Gewichsfakor könne nun bezeichne. Dies schreib man in Klammern neben die Spize des Pfeils. Andere Gewichsfak- folgendermaßen lauen: { oren können ebenfalls in der Klammer für sehen, = 0 z. B. (-1) bei einem ins Negaive reichenden d ( ) = (3.5) Dirac-Impuls. 0 für 0 x() = δ() () 1 Gewich Fläche

25 Fläche = 1 wird nach dem Grenzübergang als Gewich oder Gewichsfakor be- Dies schreib man in Klammern neben die Spize des Pfeils. Andere Gewichsfaken ebenfalls in der Klammer sehen, z. B. (-1) bei einem ins Negaive reichenden 2 Signale uls Deerminisische koninuierliche Signale im Zeibereich δ () für = 0 = 0 für 0 x() = δ() () 1 Gewich Fläche (2.5) Bild 3.8 Symbolische Darsellung wöhnliche Definiion wirf folgende Fragen auf: des Dirac-Impulses nn man Bild das 2.13: so definiere Symbolische Signal Darsellung mahemaisch des handhaben? Dirac-Impulses das Gewich des Dirac-Impulses in der abschnisweisen Definiion enhalen? Die ungewöhnliche Definiion wirf folgende Fragen auf: che abschniweise 1. WieDefiniion kann mandes dasdirac-impulses so definiere Signal könne mahemaisch nun folgendermaßen handhaben? ich sell der 2. Dirac-Impuls Wie is daskeine Gewich mahemaische des Dirac-Impulses Funkion im in der eigenlichen abschnisweisen Sinn Definiion enhalen? ern eine so genanne Lezendlich Disribuion. sell der Die Dirac-Impuls Disribuionenheorie keine mahemaische [Li] soll im vorlieuch jedoch nich dar, behandel sondernwerden. eine sogenanne Disribuion. Die Disribuionenheorie /27/ soll im vorlie- Funkion im eigenlichen Sinn genden Buch jedoch nich behandel werden. iniion des Dirac-Impulses, Eine Definiion die des die Dirac-Impulses, Fragen 1. und 2. die vermeide, die Fragen läss 1. sich unddurch 2. vermeide, läss sich durch einfache Überlegungen nach Überlegungen Bild 2.14 ermieln. nach Anzumerken Bild 3.9 ermieln. is hier erneu, Anzumerken dass die is mahe Herleiung nich rigoros is, für prakische Anwendungen jedoch ausreich. hier erneu, dass die mahemaische Herleiung nich rigoros is, für prakische Anwendungen jedoch ausreich. Voraussezung hierfür is, dass das Signal x( ) bei 0 seig is, was bei prakischen Signalen immer zung hierfür gegeben is, dass das is. Signal x() bei 0 seig is, was bei prakischen Signar gegeben is. x() Bild 3.9 Anschauliche Definiion 0 des Dirac-Impulses Bild 2.14: Anschauliche Definiion des Dirac-Impulses Der Mielwer des Signals x( ) in einem Zeiinervall der Dauer symmerisch um den Zeipunk elwer des Signals x() 0 läss sich mi folgendem Inegral berechnen: in einem Zeiinervall der Dauer symmerisch um den 0 läss sich mi folgendem Inegral berechnen: x( 0 ) = Z /2 x( ) d (3.6) /2 x ( 0 ) = x() d (2.6) 0 2Uner Verwendung der Recheckfunkion läss sich formal eine Inegraion von bis durchführen. Die Signalaneile außerhalb des Rechecks werden dabei unerdrück und liefern Recheckfunkion somi keinen läss Beirag sich zum formal Inegral. eine Inegraion von - bis rwendung der ren. Die Signalaneile außerhalb des Rechecks werden dabei unerdrück und mi keinen Beirag zum x(inegral. 0 ) = 1 Z ( ) 0 x( ) rec d (3.7) 1 0 x ( 0 ) = x() rec d Wenn man nun die Breie der Recheckfunkion (2.7) gegen 0 gehen läss, so sreb der Mielwer im Zeiinervall gegen den Signalwer zum Zeipunk 0. Voraussezung is die vorher angegebene Seigkei von x( ) bei = 0. n nun die Breie der Recheckfunkion Z gegen 0 gehen ( läss, ) so sreb der Mieleiinervall gegen den x( Signalwer 0 ) = lim zum Zeipunk x( ) rec 0. Voraussezung d = is die x( vorher ) lim 0 0 rec 0 1 Z ( ) 0 1 d (3.8) ne Seigkei von x() bei = 0. } {{ } d( 0) x x x lim rec d lim rec d 0 0 δ ( 0 ) ( 0 ) = () = () (2.8)

26 Gleichung auch wieder der oben erläuere Grenzübergang auf, der von der funkion zum Dirac-Impuls führ. Die formal korreke Definiionsgleichung des 3.2 Elemenarsignale 25 pulses laue dami In dieser Gleichung auch wieder der oben erläuere Grenzübergang auf, der von der Rech- ) d = x( 0). zum Dirac-Impuls führ. Die formal korreke (2.9) Definiionsgleichung des Dirac- x() δ( 0eckfunkion Impulses laue dami Z ch bei dieser Definiionsgleichung x( )d ( auch 0 ) d von = x( der Ausblendeigenschaf 0 ). des Dirac- (3.9). Alle Signalwere außer x( 0 ) werden ausgeblende bzw. unerdrück. Diese Defiels eines Inegrals is charakerisisch für Disribuionen. Man sprich bei dieser Definiionsgleichung auch von der Ausblendeigenschaf des Dirac- Impulses. Alle Signalwere außer x( 0 ) werden ausgeblende bzw. unerdrück. Diese Definiion Produk miels uner eines dem Inegrals Inegral, so iserhäl charakerisisch man die Muliplikaionseigen- für Disribuionen. man nur das Dirac-Impulses. Berache man nur das Produk uner dem Inegral, so erhäl man die Muliplikaionseigenschaf des Dirac-Impulses. x( ) δ( 0) = x( 0) δ( 0) (2.10) x( ) d ( 0 ) = x( 0 ) d ( 0 ) (3.10) veranschaulich Bilddiese 3.10einfache veranschaulich Beziehung diese einfache Beziehung x() δ(- 0 ) (1) Bild 3.10 Produk aus koninuierlichem Signal 0 und Dirac-Impuls Bild 2.15: Produk aus koninuierlichem Signal und Dirac-Impuls Für alle Zeipunke 0 is der Signalwer des Dirac-Impulses gleich null. Somi wird das Signal nur zu diesem einen Zeipunk, nämlich = eipunke 0 is der Signalwer des Dirac-Impulses gleich null. Somi 0, mi einem Zahlenwer ungleich null wird das muliplizier und nur dieser eine Zahlenwer wird im Produk wirksam. Zu beachen is, dass r zu diesem das einen Signal Zeipunk, x( ) bei nämlich = 0, mi einem Zahlenwer ungleich null 0 seig sein muss. ier und nur dieser eine Zahlenwer wird im Produk wirksam. Zu beachen is, echnisch läss sich der Dirac-Impuls naürlich nich erzeugen. Dennoch kann es voreilhaf 0 seig sein, sein mimuss. Dirac-Impulsen zu rechnen, z. B. bei der Beschreibung der periodischen For- ignal x() bei sezung eines Signals durch Falung mi einer Dirac-Impulsfolge wie sie im Bild 3.38 dargesell Dirac-Impuls wird. Einenaürlich anderenich Anwendung erzeugen. is Dennoch die mahemaische kann es voreilhaf Beschreibung von Abasvorgän- h läss sich der Dirac-Impulsen gen zu wie rechnen, im Abschni z. B. bei 6.1. der Eine Beschreibung prakisch der ausreichende periodischen Nachbildung Forses Signals durch Falung mi einer Dirac-Impulsfolge wie sie im Bild 2.43 darge- des Dirac-Impulses wird durch einen kurzen Impuls erreich, dessen Dauer sehr viel kleiner is als die Zeikonsanen in einem Sysem, an dessen Eingang der Impuls angeleg wird. Bild 3.11 zeig eine einfache d. Eine andere Anordnung Anwendung dieser is die Ar mahemaische mi dem Eingangssignal Beschreibung u von Abasvorie im Abschni Ausgangssignal Eine prakisch ausreichende Nachbildung des Dirac- e ( ) und einem schemaisch dargesellen 16 u a ( ). 2 Signale wird durch einen kurzen Impuls erreich, dessen Dauer sehr viel kleiner is als die anen in einem Beispiel Sysem, 3.1an Übergang dessen Eingang des Eingangssignals der Impuls angeleg vonwird. der Recheckfunkion Bild 2.16 zum Dirac-Impuls einfache Anordnung dieser Ar mi dem Eingangssignal u e () und einem schemaesellen Ausgangssignal u a (). RC u e () u a () RC RC U R U0 1 e 0 C l: Übergang des Eingangssignals von der Recheckfunkion zum Dirac-Impuls Bild 3.11 RC-Schalung mi Recheckimpuls als Eingangssignal Bild 2.16: RC-Schalung mi Recheckimpuls als Eingangssignal Für das Ausgangssignal gil die Fallunerscheidung

27 26 3 Deerminisische koninuierliche Signale im Zeibereich Für das Ausgangssignal gil die Fallunerscheidung 0 für 0 RC ( ) u a ( ) = U 0 1 e /RC für 0 RC ( ) U 0 1 e /RC e ( )/RC für. Bild 3.12 zeig einige für verschiedene Were von berechnee Ausgangssignale. Der Fall 0 ensprich einem Dirac-Impuls mi Gewich U 0 RC als Eingangssignal. Bild 3.12 Ein- und Ausgangssignale einer RC-Schalung Man erkenn, dass sich das Ausgangssignal des Sysems bei sehr kurzer Dauer des Eingangssignals ( RC ) nur noch wenig von dem Ausgangssignal unerscheide, das bei einem Dirac-Impuls mi Gewich U 0 RC als Eingangssignal heoreisch zu erwaren wäre. Ein Dirac-Impuls d( ) mi Gewich 1 besiz die Einhei s 1. Ein Dirac- Impuls mi Gewich U 0 RC besiz somi die Einhei V. Das Gewich wurde hier so gewähl, dass man Spannungsverläufe in V als Eingangs- und Ausgangssignale erhäl. Dirac-Impulsfolge Ш p ( ) Sez man den Dirac-Impuls mi Periode P periodisch for, so enseh die im Bild 3.13 grafisch dargeselle Dirac-Impulsfolge. Die formelmäßige Beschreibung laue x( ) = d ( ) i P. (3.11) i= Gebräuchlich is auch das Symbol Ш p ( ), das die Dirac-Impulsfolge veranschaulichen soll. Der kyrillische Buchsabe Ш wird als Scha gesprochen. Infolgedessen wird die Dirac- Impulsfolge auch als Scha-Funkion bezeichne.

28 lsfolge ш p () ge Beschreibung laue den Dirac-Impuls mi Periode p periodisch for, so enseh die im Bild 2.18 geselle δ ( i Dirac-Impulsfolge. p ) (2.11) i= 3.2 Elemenarsignale 27 () = δ ( p ) x i auch das Symbol ш p (), das die Dirac-Impulsfolge veranschaulichen soll. i= Buchsabe ш wird (1) als Scha (1) gesprochen. (1) (1) Infolgedessen (1) wird die Dirach als Scha-Funkion bezeichne. r() -2 p - p 0 p 2 p Bild 3.13 Dirac-Impulsfolge Bild 2.18: Dirac-Impulsfolge ähn, wird das exemplarische Signal im Bild 2.7b durch Einheissprünge Rampenfunkion r( ) Recheckfunkion nur unzureichend angenäher. Eine verbessere Näherung äßige Beschreibung Wie bereis laue erwähn, wird das exemplarische Signal im Bild 3.2b durch Einheissprünge bzw. n man eine endliche Ansiegszei mi berücksichig. Bild 2.19 zeig die durch eine Recheckfunkion nur unzureichend angenäher. Eine verbessere Näherung ergib sich, wenn man eine endliche Ansiegszei miberücksichig. Bild 3.14 zeig die Ram-, mi der sich lineare Ansiege oder Abfälle von Signalen modellieren ) = δ ( ip ) (2.11) penfunkion, mi der sich lineare Ansiege oder Abfälle von Signalen modellieren lassen. i= x() = r() ch is auch das Symbol ш p (), das die Dirac-Impulsfolge veranschaulichen soll. che Buchsabe ш wird als Scha gesprochen. Infolgedessen wird die Diracauch als Scha-Funkion bezeichne. Bild 3.14 Rampenfunkion Bild 2.19: Rampenfunkion Die abschnisweise Definiion führ zu der ewas gewöhnungsbedürfigen Einhei Sekunde des Signals. kion r() eise Definiion führ zu der ewas gewöhnungsbedürfigen Einhei Sels. erwähn, wird das exemplarische 0 für Signal < im 0 Bild 2.7b durch Einheissprünge { r( ) = (3.12a) eine Recheckfunkion nur unzureichend für angenäher. 0 Eine verbessere Näherung wenn 0 fürman < eine 0 endliche Ansiegszei mi berücksichig. Bild 2.19 zeig die Durch Verwendung eines Proporionaliäsfakors (2.12a) mi der Einhei s 1, z. B. 1 s 1 r( ), erzeug man ein gewohnes einheienloses Signal. Der Proporionaliäsfakor definier die kion, fürmi der 0 sich lineare Ansiege oder Abfälle von Signalen modellieren Seigung des Signals. Eine alernaive Definiion der Rampenfunkion laue r( x() ) = r() 3( ). (3.12b) An dieser alernaiven Definiion kann man eine nüzliche Eigenschaf des Einheissprungs demonsrieren. Für Zeien < 0 wird mi null muliplizier, für Zeien 0 mi eins und es ergeben sich die in der abschnisweisen Definiion unerschiedenen Fälle r( ) = 0 bzw. r( ) =. Uner Verwendung des Einheissprungs erhäl man eine sehr kompake Formulierung der Bild abschnisweisen 2.19: Rampenfunkion Definiion der Rampenfunkion. Miels Differenziaion bzw. Inegraion ergeben sich die folgenden Beziehungen zwischen isweise Definiion der Rampenfunkion führ zu der ewas und gewöhnungsbedürfigen dem Einheissprung: Einhei Seignals. { } d 0 für < 0 Z 0 für < 0 d r( ) = = 3( ) bzw. r( ) = 3() d (3.13) d/ d = 1 für 0 ) = (2.12a) für 0 Für < 0 liefer die Inegraion den Wer 0. Dreieckfunkion L ( / ) Bild 3.15 zeig ein weieres gebräuchliches Elemenarsignal, die Dreieckfunkion.