11.1 Grundlagen - Denitionen

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1 11 Binärbäume 11.1 Grundlagen - Denitionen Denition: Ein Baum ist eine Menge, die durch eine sog. Nachfolgerrelation strukturiert ist. In einem Baum gilt: (I) (II) 1 Knoten w ohne VATER(w), das ist die Wurzel Knoten k w 1 Knotenfolge k 0, k 1,..., k t mit k 0 = k, k t = w und k i =VATER(k i 1 ) für i = 1, 2,..., t (Ast zwischen k und w, Länge t) Ein Binärbaum ist ein spezieller Baum, in dem jeder Knoten maximal zwei Söhne besitzt Nötige Funktionen Ausgehend von einem Pointer k auf einen beliebigen Knoten sind folgende Funktionen nötig, damit eine Binärbaum B implementiert werden kann: LINKS(k): zeigt auf den linken Sohn des k-ten Knotens RECHTS(k): zeigt auf den rechten Sohn des k-ten Knotens VATER(k): zeigt auf den Vaterknoten des k-ten Knotens WERT(k): liefert den Wert des Knotens k zurück WURZEL(B): zeigt auf die Wurzel des Baumes Anmerkung: Falls keine Sohnknoten oder Vaterknoten existiert wird nil zurückgeliefert. 1

2 11.3 Reihenfolge der Knoten Die Knoten können in verschiedener Art und Weise eingefügt bzw. ausgelesen werden Symmetrische Reihenfolge (SR) Die Knoten werden in folgender Reihenfolge ausgelesen: Linker Teilbaum rekursiv in SR, Wurzel, rechter Teilbaum rekursiv in SR. Arithmetische Ausdrücke werden als Inx-Notation ausgelesen. SR(k) 1: IF k nil THEN 2: SR(LINKS(k)) 3: SCHREIBE k 4: SR (RECHTS(k)) Haupreihenfolge (HR) Analog die Auslesefolge: Wurzel, linker Teilbaum rekursiv in HR und rechter Teilbaum rekursiv in HR Nebenreihenfolge (NR) Analog die Auslesefolge: linker Teilbaum rekursiv in NR, rechter Teilbaum rekursiv in NR und die Wurzel. Arithmetische Ausdrücke werden als Post- x-notation ausgelesen Sortierte Binärbäume Im weiteren Abschnitt wird die SR verwendet. Der Binärbaum ist eine sehr mächtige Datenstruktur, mit der viele Funktionen eektive implementiert werden können: SUCHEN, EINFÜGEN, LÖSCHEN, MINIMUM, MAXIMUM, VORGÄNGER, NACHFOLGER. Alle Funktionen können in O(Höhe des Baumes) implementiert werden. Vorteil: Es kann das Wörterbuchproblem dynamisch gelöst werden Nachteil: Laufzeiten bis Θ(n) Suchen in Binärbäumen Suche den Wert w im Binärbaum B. SUCHE (b,wurzel) gestartet. Der rekursive Algorithmus wird mit 2

3 SUCHE(w,k) 1: IF k=nil OR w=wert(k)then 2: RETURN k 3: ELSE 4: IF w<wert(k) THEN 5: SUCHE(w,LINKS(k)) 6: ELSE 7: SUCHE(w,RECHTS(k)) Finden des Maximus in einen Binärbaum Liefert den gröÿten Wert des Binärbaumes zurück. Der Algorithmus wird mit Baum_Maximum(Wurzel(B)) aufgerufen. BAUM_MAXIMUM(k) 1: WHILE RECHTS(k) nil 2: k=rechts(k) 3: RETURN WERT(k) Finden des Minimums in einen Binärbaum Liefert den kleinsten Wert des Binärbaumes zurück. Der Algorithmus wird mit Baum_Minimum(Wurzel(B)) aufgerufen. BAUM_MINIMUM(k) 1: WHILE LINKS(k) nil 2: k=links(k) 3: RETURN WERT(k) Finden des Vorgängers eines Knotens Es wird der nächst kleinere Wert zum WERT(k) gefunden. VORGÄNGER(k) 1: IF LINKS(k) nil 2: RETURN BAUM_MAXIMUM(LINKS(k)) 3: y=vater(k) 4: WHILE y nil AND k=links(y) 5: k=y 6: y=vater(y) 7: RETURN(WERT(y)) 3

4 Finden des Nachfolger eines Knotens Es wird der nächst höhere Wert zum WERT(k) gefunden. NACHFOLGER(k) 1: IF RECHTS(k) nil 2: RETURN BAUM_MINIMUM(RECHTS(k)) 3: y=vater(k) 4: WHILE y nil AND k=rechts(y) 5: k=y 6: y=vater(y) 7: RETURN(WERT(y)) Einfügen in den Binärbaum In den Binärbaum B wird der Wert w eingefügt. EINFÜGEN(B,w) 1: y=nil 2: x=wurzel(b) 3: WHILE x nil 4: DO y = x 5: IF w<wert(x) THEN 6: x=links(x) 7: ELSE x=rechts(x) 8: VATER[w]=y 9: IF y=nil 10: THEN WURZEL(B)=w 11: ELSE IF w<wert(y) 12: THEN LINKS(y)=w 13: ELSE RECHTS(y)=w Löschen eines Werts Der Knoten k soll gelöscht werden. Dabei müssen drei Fälle unterschieden werden, da die Sortierung in SR erhalten bleiben muss: 1. k ist ein Blatt: einfach entfernen 2. k hat nur einen Sohn: Den Sohn von k an den Vater von k anhängen 3. k hat zwei Söhne: Finde den Knoten k mit dem nächst gröÿten Wert 4

5 LÖSCHEN(k) 1: IF LINKS(k)=nil OR RECHTS(k)=nil 2: THEN y=k 3: ELSE y = NACHFOLGER(k) 4: IF LINKS(y) nil 5: THEN x=links(y) 6: ELSE x=rechts(y) 7: IF x nil 8: THEN VATER(x)=VATER(y) 9: IF VATER(y)=nil 10: THEN WURZEL(B)=x 11: ELSE IF y = LINKS(VATER(y)) 12: THEN LINKS(VATER(y))=x 13: ELSE RIGHT(VATER(y))=x 14: IF y k 15: THEN WERT(k)=WERT(y) 16: IF ('andere Felder vorhanden, mitkopieren') 17: RETURN y 5

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