Neue Volatilita tskonventionen in Negativzinsma rkten

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1 Neue Volailia skonvenionen in Negaivzinsma rken Akuelle Enwicklungen und nöige Anpassungen der IT-Syseme in Handel, Risikomanagemen und Accouning 1. Einleiung In der vergangenen Woche vom 10. bis 14. Dezember 2012 wurde die Bereisellung von Zinsvolailiäen (Cap/Floor- und Swapion-Volailiäen) durch den führenden Anbieer ICAP mehrfach modifizier. Provider nehmen Zinsvolailiäen vom Mark Zunächs wurde Anfang der Woche bekann, dass insbesondere für die im deuschsprachigen Raum wichigsen Währungen EUR und CHF die Lieferung von sogenannen lognormalen Cap- Volailiäen nich weiergeführ wird. Dies bedeue nich weniger als die Einsellung der Lieferung in der wichigsen Konvenion im Zinsderivaemark, die prakisch alle markgängigen Banksyseme und Bewerungsmodelle sei Jahrzehnen als Eingangsdaen verwenden. Ferner wurde den Kunden migeeil, dass nunmehr Swapion-Volailiäen in der Konvenion Shifed Lognormal sowie Cap-Volailiäen in Shifed Lognormal und Normal bereigesell werden sowie außerdem Cap- und Floor-Preise. Ab wurden dann die Änderungen eilweise zurückgenommen und die lognormalen Daen (pariell) wieder zur Verfügung gesell. Hinergrund: negaive Zinsen Banken und andere Finanzmarkakeure beobachen nunmehr sei fas eineinhalb Jahren ein versärkes Aufreen von Negaivzinsen, zunächs im Schweizer Franken (aufgrund der Währungspoliik der SNB, den EURCHF-Kurs bei 1.20 CHF je EUR nach unen zu begrenzen). Inzwischen gib es den Effek aber auch in EUR, insbesondere wenn man neben den veröffenlichen Benchmarks auch auf die implizieren Forward-Raen ache, die ihrerseis bei der Bewerung von Caps und Floors sowie Swapions herangezogen werden. Die nachfolgende Abbildung zeig beispielhaf die negaiven Zinsen in CHF für CHF LIBOR bis zu einer Laufzei von zwei Monaen. 0,30% 0,25% 0,20% 0,15% 0,10% 0,05% 0,00% -0,05% Negaivzinsen in CHF O/N 2W 2M 4M 6M 8M 10M 12M Abbildung 1: CHF-LIBOR-Daen vom Negaive (Forward-)Zinsen haben eine unmielbare drasische Auswirkung auf das Black 76 Modell, mi dem nach Marksandard alle Vanilla Zinsopionen bewere werden: die Bewerungsformel versag echnisch, da sie Terme der Gesal log(f/k) enhäl, die bei posiivem Srike K nur für posiive Forward-Raen F definier sind. Dies is kaum verwunderlich, da das Black-Modell die Posiiviä des Underlyings als Kernannahme voraussez. d-fine Dezember

2 Somi erfordern die akuellen Negaivzinsen modifiziere, aber immer noch möglichs einfache Modellierungen als neue Sandards. 2. Die neuen Konvenionen Die nun zusäzlich bzw. ersazweise für die lognormalen Volailiäen gelieferen Daen beruhen auf anderen Zinsmodellierungen und erfordern dami auch modifiziere Bewerungsverfahren. Lediglich direk quoiere Opionspreise sind bis auf die angegebene Diskonierungsar (kollaeralisier vs. unbesicher) frei von Modellannahmen. Nachfolgend werden die hinzugekommenen Modelle charakerisier und die Bewerungsformeln für Vanillas angegeben. Normalvereiles Modell In diesem Modell wird für die berachee Forward-Rae F der Ansaz df = σ dw verwende, wobei W die reibende Brownsche Bewegung darsell und σ N die Volailiä der Zinsrae. Die Lösung is gegeben durch F = F N + σ W. 0 N Unmielbar daraus ersichlich is, dass die Volailiä σ N die absolue Größe der Schwankung um den Sarwer besimm im Gegensaz zum lognormalen Modell, bei dem die Volailiä die relaive Auslenkung beeinfluss. Plain Vanilla Opionen besizen im normalen Modell ebenso geschlossene analyische Lösungen, vgl. [4]. Mi der Ableiung der kumulaiven Normalvereilung N / 2 ( x) = e 2 2π 1 x ergeben sich folgende Formeln: c [ ] rt ( T, K) = e ( F K) N( d) + σ N ( d) N für Plain Vanilla Calls und analog für Pu Opionen p mi [ ] rt ( T, K) = e ( K F ) N( d) + σ N ( d) N N F K d =. σ N Der Voreil des normalen Modells gegenüber dem im Folgenden diskuieren Displaced Diffusion Modell is, dass es keinen weieren ggf. dynamisch anzupassenden Parameer wie den Shif benöig. Allerdings ha es die Eigenschaf, langfrisig (fas sicher) beliebig sark negaive Zinsphasen vorherzusagen. Somi is die Anwendung dieses Modells weigehend auf die Übersezung zwischen Opionspreisen und Volailiäen beschränk, es liefer jedoch keine realisische Dynamik von Zinsen (im Gegensaz zum verwanden Hull-Whie Modell, das zusäzlich eine Mean Reversion unersell). Shifed-Lognormal Modell (Displaced Diffusion) Umfassende Darsellungen und Analysen des Displaced Diffusion Modells finden sich in [2] und [3], Kapiel 16. Das Modell häng ses von einer Shifgröße Θ ab, die vorab zu wählen bzw. vom Markdaenanbieer zusammen mi der Volailiä zu liefern is und die die vom Modell erlauben Were für F nach unen begrenz. Für die Möglichkei negaiver Zinsen is ensprechend Θ<0 zu wählen. Die zugehörige Dynamik wird beschrieben durch ( F Θ) = DD( F Θ) dw df = d σ und die Lösung ergib sich zu F 1 2 = Θ+ ( F0 Θ) exp σ DDW σdd. 2 Das bekanne lognormale Modell (Black 76) is als Spezialfall Θ=0 hierin enhalen. Da man wie üblich den Wer einer Opion als diskonieren Erwarungswer des Payoffs der Opion erhäl, folg für einen Vanilla Call uner dem Shifed- Lognormal Modell d-fine Dezember

3 C [( F K) ] = df E[ (( F Θ) ( )) ] ( T, K = df E K. DD ) T T Θ + T T Da F Θ ein herkömmlicher lognormaler Prozess is, läss sich der Barwer der Opion über Black 76 mi geshifeen Eingangsdaen berechnen: C DD ( T, K, F) = C 76( T, K Θ, F Θ, σ ( T K Θ ) DD B impl, für Call-Opionen und analog P DD ( T, K, F) = P 76T, K Θ, F Θ, σ ( T K Θ) für Pus. Zu beachen sind hierbei zwei Dinge: einerseis sind bei gegebenem Call (oder Pu) Preis auch bei posiivem Forward die implizien Volailiäen von DD und lognormalem Modell bei einem Shif ungleich Null nich idenisch, d.h. das Modell bedarf einer spezifischen Kalibrierung an gegebene Opionspreise. Eng dami verknüpf is der zweie Punk: bei negaiven Shifs Θ<0 gib es ggf. Einschränkungen hinsichlich der Exisenz und Eindeuigkei einer implizien Volailiä im Displaced Diffusion Modell, vgl. hierzu [2], Abschni 3.1. Kaegorie Lognormal Normal Shifed LN Zinsen F>0 - <F< F>Θ (Θ<0) Vergleich der Eigenschafen Zum Abschluss dieses heoreischen Abschnis werden die Eigenschafen aller behandelen Modelle noch einmal vergleichend gegenübergesell. Opionspreis C/P Volailiäsniveau Realiäsgrad ( ) DD B impl, Black 76 unabh. vom Zins hoch bis 2011, nun eils inakzepabel eigene Formel abh. vom Zins unrealisische gleiche Ausschläge nach oben u. unen + Shifed Black 76 unabh. vom Zins realisisch, aber dyn. Shifanpassungen Im Folgenden sollen die Umsezungsmöglichkeien für diese neuen Modell- und Markdaenkonvenionen in der besehenden Infrasrukur der Finanzinsiue analysier werden. 3. Die Auswirkungen Zunächs mag man nun die Frage sellen, warum das Problem negaiver Zinsen, wenn es sich doch schon über ein Jahr in den Markdaen niederschläg, nich bereis alle Markeilnehmer zur Umsellung ihrer Mehoden und Syseme gezwungen ha (vgl. dazu auch [1]). Tasächlich sind einerseis bei vielen Insiuen zunächs zumindes kleinere Anpassungen erfolg, und sei es nur, dass vor dem Daenimpor der Volailiäswere in die Banksyseme eine Adjusierung auf einen kleinen posiiven Mindeswer vorgenommen wird. Andererseis sind auch viele Sofware- Lösungen auf Robushei ausgeleg und haben implizie (meisens fachlich falsche) Fallbacklösungen für Eingangsdaen, die im verwendeen Bewerungsmodell nich zulässig sind. Angesichs des wachsenden Problems immer särker negaiver Markzinsen am kurzen Ende der Zinskurve und der Tasache, dass von einem kurzfrisigen Verschwinden des Phänomens nich ausgegangen werden kann, is späesens nach der Anpassung durch die Markdaenprovider für alle Finanzinsiue Handlungsbedarf gegeben. In diesem Abschni wird auf die Auswirkung und Handlungsalernaiven für IT-Syseme fokussier, da hier die quaniaiven Mehoden der Häuser auf indusrieller Basis umgesez sind. Handelssyseme und Accouning Handels- und Treasurysyseme halen meis Realoder Near-Time Zinskurven sowie zumindes äglich akualisiere Zinsvolailiäen für Caps, Floors und Swapions vor, beweren Plain Vanilla Zinsopionen im Besand auf heoreischer Basis und berechnen zugleich Sensiiviäen für Hedging und Risikoseuerung sowie P&L-Daen. Srukuriere Zinsproduke hängen ebenso von den hinerlegen Zinskurven und volailiäen ab und werden of durch im Sysem inegriere Zinssrukurmodelle behandel. Somi häng die gesame Funkionsfähigkei des Zins(derivae)- handels esseniell davon ab, kurzfrisig die neuen Volailiäskonvenionen im Sysem korrek abbilden zu können. d-fine Dezember

4 Für die Besimmung der Fair Values in der Rechnungslegung is die richige Inerpreaion der Markdaen ebenfalls eine Grundvoraussezung, in vielen Fällen werden gerade die bilanziellen Were für Zinsderivae direk aus den Handelssysemen übernommen. Shifed-Lognormal mi Bordmieln möglich Mi den oben gezeigen Eigenschafen verfüg das Shifed-Lognormal Modell gegenüber dem normalen Ansaz in der Praxis über einen deulichen Voreil: in IT-Sysemen oder Sofware, die die Bewerung von Vanilla Opionen mi Black 76 bereis beherrschen, können Vanilla Opionen auch uner dem Shifed-Lognormal Modell bewere werden: es sind lediglich die jeweilig herangezogene Forward-Rae wie auch der Srike des bewereen Insrumens um einen Offse von -Θ (bei negaivem Shif nach oben) zu verschieben und die an das Modell angepasse implizie Volailiäsfläche im Sysem zu erfassen. Im Gegensaz dazu sind für das normale Modell in jedem Fall neue Formeln umzusezen, was ein ensprechendes neues Release oder, sofern echnisch möglich, eine Anpassung der Bewerungssysemaik voraussez. Parallelshif überräg sich auf Forward- und Swapraen Bei der Umsezung des Shifed-Lognormal Modells is folgendes zu beachen: das Underlying bei Caples und Floorles is jeweils durch die ensprechende von der verwendeen (LIBOR) Zinskurve abgeleiee Forward-Rae gegeben, bei Swapions durch die ensprechende Par- Swaprae. Sa direken Zugriff auf diese Raen zu haben, paramerisier man aber zumeis die jeweiligen Zeroraen im Sysem (in der Regel nach vorherigem Boosrapping von Benchmark- Zinssäzen). Eine Parallelverschiebung der Zero- Raen um -Θ implizier nur dann eine exake Parallelverschiebung der Forward-Raen (und dami auch der Swapraen, wenn man auf beiden Swaplegs kongruene Zinsperioden annimm und auch das Fixing der akuellen Periode verschieb), sofern die Raen in der Konvenion Coninuous Compounding gegeben sind. Banksyseme haben dagegen ofmals LIBOR Kurven mi Annual Compounding Konvenion paramerisier, wo sich die Parallelverschiebung von Zero- allerdings immer noch in sehr guer Näherung auf die Forward-Raen überräg (insbsondere für den Fall, dass sich die verwendeen Zinssäze nahe bei Null bewegen). Dynamische vs. saische Shifs Eine wichige Überlegung beim Aufsezen der Shif-Mehodik is, ob die Offses je Kurve, je Währung oder global im Sysem gewähl werden sollen und ob eine dynamische Anpassung vorgesehen is. Dies geh eng einher mi der Frage, wie groß die Reserve im Shif gewähl werden soll. Sollen Shifed-Lognormal-Volailiäen ohne weiere Umrechnung in die Syseme übernommen werden, so muss der vom Daenanbieer bereigeselle Shif je Kurve (oder zumindes Währung) gespeicher und dynamisch angepass werden. Dies zieh zwingend ein simulanes Updae der Zinskurve und (der Srikes) aller zu bewerenden Insrumene nach sich, sobald sich der geliefere Shif änder. Alernaiv sind bei saisch gewählem Shif vor dem Hochladen ins Sysem die bereigesellen Volailiäen über den implizieren Preis auf eine zum Offse passende Shifed- Lognormal Volailiä umzurechnen. Je nach Flexibiliä des Sysems kann bei der Bewerung eines Finanz-Insrumens der Shif über Cusomizing-Feaures realisier werden (z.b. Hinerlegung der Shif-Größe als benuzerkonfigurieres Zusazfeld an der Zinskurve, Addiion des Shifs via API beim Zugriff auf die Kurve, Manipulaion des Srikes bei der Bewerung des Insrumens). In vielen Fällen jedoch wird eine Ar Schaenbuchhalung durch dupliziere Zinskurven und Insrumene nöig werden. Dies will bei der Umsezung konzepionell sorgfälig geplan, geese und dokumenier sein. d-fine Dezember

5 SABR-Flächen weier verwendbar Ein weierer Voreil des Displaced Diffusion Modells is, dass sich dami die inzwischen wei verbreiee Mehode der Paramerisierung und Inerpolaion des Volailiäs-Skews miels des in vielen Sysemen verfügbaren SABR-Modells (vgl. [5]) beibehalen läss. Dazu benuz man de faco eine Displaced SABR Fläche, die an die implizien Displaced Diffusion Volailiäen uner den geshifeen Forward-Raen kalibrier wird. Allerdings gib es generell Schwächen des SABR- Modells für Zinsniveaus kleiner 1% und beim Übergang von Iner- zu Exrapolaion, so dass hier ensprechende Analysen nöig werden (vgl. auch [1]). Für normale Volailiäen hingegen ergib lediglich SABR mi β=0 ein normales Zinsmodell mi sochasischer Volailiä. Ob dieser Ansaz in der Praxis nüzlich is, wäre noch im Deail zu unersuchen. Bewerungsbiblioheken und srukuriere Produke Bewerungsbiblioheken kommen meis zum Einsaz, wenn srukuriere Zinsproduke z.b. im Hull-Whie oder LIBOR Mark Modell (LMM) bewere werden sollen. Hier is im Einzelfall zu prüfen, inwiewei das jeweilige Modell und seine Implemenierung kompaibel is mi einem Vorgehen wie oben für das Shifed-Lognormal Modell beschrieben. In den meisen Fällen wird man aber enweder auf eine geziele Anpassung durch den Herseller oder auf Inkaufnahme gewisser Unschärfen oder heoreischer Inkonsisenzen angewiesen sein. Ein Beispiel dafür is (vgl. Lee und Wang, [2]), dass die Annahme eines flachen Skews im lognormalen Modell zwingend einen fallenden Skew im Shifed-Lognormal Modell implizier. Somi ha man zu beachen, dass die Kalibrierung eines angepassen Zinssrukurmodells ausschließlich an ATM-Shifed-Lognormal Volailiäen rückwirkend die Annahme eines ganz besimmen (nich flachen) Skews in der alen Modellierung bedeue. Dieser Effek wächs mi der Größe des Shifs und is bei der Modellabnahme ensprechend argumenaiv zu berücksichigen. Risikosyseme Markrisikosyseme und ihre jüngeren Äquivalene für Konrahenenrisiko (CVA-Engines) sehen bewerungsechnisch zunächs vor der gleichen Herausforderung wie Handelssyseme, da auch hier die Zielgrößen wie Value-A-Risk oder Exposure ausschließlich auf der heoreischen Bewerung beruhen. Zusäzlich ergeben sich beim Wechsel eines Modells und der zugehörigen Eingangsmarkdaen aber ses Fragesellungen hinsichlich der Diskoninuiä der Hisorien der Markparameer bzw. Risikoreiber. Wenn die Risikoreiber für lognormale Zinsvolailiäen im Sysem sinnvoll zu paramerisieren waren, solle dies grundsäzlich zwar auch uner einem Shifed-Lognormal-Modell basierend auf Zinskurven- und Srike-Shifs möglich sein. Allerdings können spezifische Herausforderungen ensehen, wenn z.b. Zinskurven doppel in geshifeer und originaler Form vorgehalen werden sollen, die aber an dieselben Zinsrisikoreiber zu koppeln sind. Sind die Zinsrisikoreiber selbs als lognormal modellier, sollen im einfachsen Ansaz die Zeroraen auf der geshifeen Zinskurve als Risikoreiber fungieren und die ursprüngliche Zinskurve über den Shif deerminisisch daran gekoppel werden. Is dies aufgrund mangelnder Flexibiliä des Sysems nich möglich, dann müssen alle zinsabhängigen Insrumene (und nich nur die Zinsopionen) mi den geshifeen Zinsen verknüpf werden, was weiere Anpassungen nöig mach, um die korreke Bewerung sicherzusellen. Dasselbe gil naürlich für jede Bewerungssofware, die mi negaiven Zinsen auf der Zinskurve selbs bzw. bei der Insrumenbewerung nich umgehen kann. Lezeres sell aber sicherlich eine größere Sysemanpassung dar und muss ensprechend konzepionell angegangen werden. d-fine Dezember

6 Ferner bring jede Shif-Änderung ggf. die Nowendigkei einer kompleen Rekalibrierung der Volailiäs- und Zinsrisikofakor-Hisorie mi sich, um die Volailiä der Risikoreiber korrek schäzen zu können. Insbesondere bei einem späeren Rückgang der Shifgröße führ dies zu weieren Problemen, da dann die Hisorie für die Rekalibrierung voraussichlich nich mehr vollsändig verwendbar is. 4. Fazi Durch die Negaivzins-Konfiguraionen am Mark und die daraus nowendigen Änderungen der Volailiäskonvenionen ergib sich kurzfrisiger und je nach Anwendungsfall milerer bis hoher Anpassungsbedarf bei fas allen Finanzinsiuen. Zu einem guen Teil können diese Anpassungen aber durch geeignee Paramerisierung der Banksyseme und Vorverarbeiung bei der Daeneinspielung realisier werden, ohne dass auf neue Releases der Sofware geware werden muss. Ihre Ansprechparner bei d-fine Dr. Mark Beinker, Parner d-fine GmbH, Frankfur Dr. Holger Plank, Senior Manager d-fine AG, Zürich oder Ihre direken Ansprechparner bei d-fine aus den Einführungs- und Weierenwicklungsprojeken Ihrer Handels- und Risikosysemarchiekur Sie finden uns im Web uner bzw. oder rufen Sie uns an: +49 (0) by d-fine. 5. Referenzen [1] Laurie Carver. Negaive raes: Dealers sruggle o price 0% floors. Risk Magazine, November [2] Roger Lee und Dan Wang. Displaced Lognormal Volailiy Skews: Analysis and Applicaions o Sochasic Volailiy Simulaions. Annals of Finance, Vol 8 (2), 2012, [3] Riccardo Rebonao. Volailiy and Correlaion. The Perfec Hedger and he Fox. Wiley, 2. Auflage [4] Paul Dawson, Kevin Dowd, Andrew J.G. Cairns und David Blake. Opions on Normal Underlyings wih an Applicaion o he Pricing of Survivor Swapions. Pensions Insiue Discussion Paper PI Verfügbar über SSRN. [5] Parick Hagan, Deep Kumar, Andrew Lesniewski und Diana Woodward. Managing Smile Risk. Wilmo Magazine, Juli 2002, d-fine Dezember

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