Kreditriskoberechnungbei der Swiss Life

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1 Kreditriskoberechnungbei der Swiss Life Theorie und Praxis der Modellierung des Kreditrisikos von Kapitalanlagen. Kreditrisikoberechnung bei der Swiss Life, Carl-Heinz Meyer, Hagen, den

2 Agenda 1. Risikoarten und Standardmodelle. 2. Ziel der Risikoberechnung. 3. Vorstellung des CreditMetricsModells. a) Berechnung des Future Valuesfür eine Position. b) Modellierung der Abhängigkeiten zwischen den Kreditnehmern. 4. Simulationsalgorithmus zur Kreditriskoberechnung. 5. Praktische Berechnung einiger Portfolios. Kreditrisikoberechnung bei der Swiss Life, Carl-Heinz Meyer, Hagen, den

3 Kreditrisiko -Arten Man unterscheidet zwischen zwei Arten des Kreditrisikos: 1. Credit Default Risk: Das Risiko, Geld zu verlieren, weil ein Kreditnehmer einen Zahlungsausfall verursacht. 2. Credit Migration Risk: Das Risiko, Geld zu verlieren, weil sich die Kreditwürdigkeit (das sog. Rating) eines Kreditnehmers verändert. Die Veränderung (=Migration) kann allerdings auch einen Gewinn verursachen! Dieser Vortrag behandelt das Credit Migration Risk. Kreditrisikoberechnung bei der Swiss Life, Carl-Heinz Meyer, Hagen, den

4 Standard Modelle zur Kreditrisikoberechnung Modell Creditrisk+ CreditMetrics KMV CreditPortfolioView Sponsor CSFB JP Morgan Moodys McKinsey Berechnung Analytisch Simulation Analytisch Simulation Die Swiss Life verwendete im letzten Jahr das CreditRisk+ Modell. Seit dem wird das CreditMetrics Modell eingesetzt. Kreditrisikoberechnung bei der Swiss Life, Carl-Heinz Meyer, Hagen, den

5 Ziel der Kreditrisikoberechnung: Ermittlung eines Geldbetrages, der das 1-Jahres Kreditrisiko eines Portfolios abdeckt! V(0) : Heutiger Marktwert des Portfolios. V(1) : Wert des Portfolios in einem Jahr. r : risikoloser heutiger Zins für ein Investment mit Anlagedauer 1 Jahr. V1 () ( 1+ rv0 ) ( ) V : = 1+ r V misst den Gewinn/Verlust (abgezinst auf heute) zwischen zwei Handlungsalternativen: A1: Das Portfolio bleibt für ein Jahr ohne Zu-/Verkäufe strukturell konstant. A2: Das gesamte Portfolio wird zum Marktwert verkauft und das Geld für ein Jahr risikolos angelegt. Die FinMa verlangt: Es muss der Erwartungswert der 1% grössten Verluste abgedeckt sein, d.h. die Höhe des geforderten Risikokapitals ist gleich dem Expected Shortfall: ES 0.01 [ V]. Kreditrisikoberechnung bei der Swiss Life, Carl-Heinz Meyer, Hagen, den

6 Vorstellung des CreditMetrics Modells Das CreditMetrics Modell enthält zwei wesentliche Annahmen: 1. Jede Position erhält einen Zukunftswert (Future Value) dessen stochastische Schwankung ausschliesslich vom zukünftigen Ratingabhängt. Alle anderen potentiell unsicheren Grössen (wie Zinsen oder Wechselkurse etc.) werden als fest bzw. deterministisch gegeben unterstellt. 2. Die Kreditnehmern erwirtschaften eine Rendite auf ihr jeweiliges Anlagevermögen. Diese Renditen (Asset Returns) sind untereinander korreliert. Allerdings wird die Korrelation der Asset Returns nicht direkt gemessen, sondern indirekt aus den Korrelationen von Aktienreturns (Stock Returns) bestimmt. Diese Annahmen werden im weiteren Verlauf erläutert. Kreditrisikoberechnung bei der Swiss Life, Carl-Heinz Meyer, Hagen, den

7 Ratingabhängiger Futurevalue Zur Berechnung des Geldbetrages V muss nur die Verteilung des zukünftigen Portfoliowertes V(1) bestimmt werden. Die übrigen Grössen V(0) und r sind fest und bekannt. V(1) ist die Summe der Zukunftswerte (kurz: FV für Futurevalue) aller Positionen: = V1 (): FVi Der Futurevalue FV einer einzelnen Position ist eine Funktion der heute unbekannten Kreditwürdigkeit des Debitors in einem Jahr. Diese wird über ein externes Rating rat gemessen (zur Bedeutung der Ratings siehe Tabelle 1) und ist eine nominale Zufallsvariable mit Werten in {AAA, AA+,, C, D}. i BBB BBB 77.1% t=0 t=1 AAA 0.3% A 8.2% B 13.9% D 0.5% Im allgemeinen wird die bedingte Verteilung (gegeben das heutige Rating rat 0 ) des zukünftigen Ratings rat über eine Transitionsmatrix (siehe Tabelle 2) gegeben. Kreditrisikoberechnung bei der Swiss Life, Carl-Heinz Meyer, Hagen, den

8 Tabelle 1: Die Ratingcodes und ihre Bedeutung Moody's Aaa Aa1 Aa2 Aa3 A1 A2 A3 Baa1 Baa2 Baa3 Ba1 Ba2 Ba3 B1 B2 B3 Caa Ca C S & P AAA AA+ AA AA- A+ A A- BBB+ BBB BBB- BB+ BB BB- B+ B B- CCC CC C D Bewertung Bei diesen Schuldverschreibungen (Triple A) besteht praktisch kein Ausfallrisiko. Die Fähigkeit des Schuldners zur Erfüllung seiner finanziellen Verpflichtungen ist außergewöhnlich gut. Schuldverschreibungen mit diesem Rating haben eine nur geringfügig schlechtere Qualität als die Anleihen von Schuldnern höchster Bonität. Insgesamt handelt es sich um sehr sichere Anleihen. Die Fähigkeit der Schuldner zur Erfüllung ihrer Zahlungsverpflichtungen ist gut. Jedoch könnten unvorhergesehene gesamtwirtschaftliche oder branchenspezifische Umstände sich negativ auf die Zahlungsfähigkeit der Schuldner auswirken. Schuldner mit diesen Ratingsverfügen nur über eine durchschnittliche Bonität. Bei Verschlechterungen der wirtschaftlichen Rahmenbedingungen ist es eher wahrscheinlich, dass auch die Fähigkeit der Schuldner zur Erfüllung ihrer finanziellen Verpflichtungen leiden wird. Insbesondere fehlt es an ausreichenden Schutzvorkehrungen, um die Zahlungsfähigkeit auch in Krisenzeiten sicherzustellen. Bei diesem Rating muss eine Anleihe bereits als spekulativ eingestuft werden. Es bestehen größere Unsicherheitsfaktoren oder Risiken bei einer Verschlechterung der geschäftlichen, finanziellen oder wirtschaftlichen Bedingungen. Insbesondere fehlt es an einer wirksamen Vorsorge des Schuldners, in derartigen Fällen die Erfüllung seiner Verbindlichkeiten sicherzustellen. Der Schuldner verfügt zwar gegenwärtig noch über ausreichende finanzielle Mittel, um seine Verbindlichkeiten erfüllen zu können. Es ist aber wahrscheinlich, dass bei einer nachteiligen Veränderungen der geschäftlichen oder wirtschaftlichen Rahmenbedingungen auch die Fähigkeit oder Bereitschaft des Schuldners zur Erfüllung seiner finanziellen Verpflichtungen beeinträchtigt wird. Es besteht daher eine größere Gefahr des Zahlungsverzugs. Es besteht unter den gegenwärtigen Rahmenbedingungen eine gewisse Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Schuldner seinen Zahlungsverpflichtungen nicht nachkommen wird. Pünktliche Zins- und Tilgungsleistungen können vermutlich nur bei günstigen geschäftlichen, finanziellen und wirtschaftlichen Bedingungen erfolgen. Der Schuldner befindet sich bereits in Zahlungsverzug oder es ist schon ein Insolvenzantrag gestellt worden. Kreditrisikoberechnung bei der Swiss Life, Carl-Heinz Meyer, Hagen, den

9 Tabelle 2: Transitions-Matrix (1 Jahr) Kreditrisikoberechnung bei der Swiss Life, Carl-Heinz Meyer, Hagen, den

10 Berechnung des Future Values für eine festverzinsliche Anleihe Bei der Berechnung des ratingabhängigenfuturevalues sind zwei Fälle zu berücksichtigen: 1. Im Falle einer Ratingänderungsind Cashflows, deren Fälligkeit später als ein Jahr von heute liegt, mit der vom neuen Ratingabhängigen 1-Jahres Forwardrate f 1,t (rat) abdiskontiert. 2. Bei Ausfall der Anleihe wird das Produkt von Verwertungsrate und Nominalwert berechnet. Die Verwertungsrate ergibt sich aus dem Loss GivenDefault (LGD) und ist üblicherweise eine betaverteilte Zufallsvariable. Zur Vereinfachung wird hier der Erwartungswert benutzt. CFt 1) FV( rat) =, rat " D" t 1 [ 1+ f ( rat)] t 1 1t, 2) FV(" D") = Nom ( 1 LGD) In der obigen Formel wird unterstellt, das die innerhalb des Betrachtungshorizontes gezahlten Coupons risikolos angelegt werden. Falls die Coupons zum Nachkauf der Anleihe genutzt werden, ergibt sich: 1 t CFt 1a) FV( rat) = CFt [ 1+ ft1, ( rat)] +, rat " D" t 1 t< 1 t [ 1+ f1t, ( rat)] aufgezinste Cashflows fällig bis 1 Jahr abgezinste Cashflows fällig ab 1 Jahr Kreditrisikoberechnung bei der Swiss Life, Carl-Heinz Meyer, Hagen, den

11 Nachtrag: Berechnung von risikoadjustierten Forward Rates Bei gegebenen Marktwert MV und risikoloser Zero Rate r t lässt sich der individuelle Spread s* einer Anleihe mit Cashflows CF t aus der folgenden Gleichung implizit (über ein iteratives Verfahren) berechnen: MV = t> 0 CF [ 1+ r + s] t t t Weiterhin lässt sich für jedes Ratingein durchschnittlicher Credit Spread š(rat) aus Anleihen derselben Ratingkategorie schätzen (siehe Abb. 1). Die Spreadänderung bei einem Ratingsprung von rat 0 auf ein beliebiges neues Rating rat ist dann: s ( rat): = s( rat) s( rat ) rat 0 0 Die Summe aus risikolosem Zins r t, individuellem Spread s* und durchschnittlicher Spreadänderung s bei einem Ratingübergang liefert einen risikoadjustierten Diskontzinssatz i t (rat) gemäß: i rat r s s rat * t( ): = t + + rat 0 ( ) Die risikoadjustierte Forward Rate ergibt sich dann implizit aus der folgenden Gleichung: ( 1+ i ( rat)) ( 1+ f ( rat)) = ( 1+ i ( rat)) t 1 1 1t, t t Kreditrisikoberechnung bei der Swiss Life, Carl-Heinz Meyer, Hagen, den

12 Abb. 1: Entwicklung der Credit Spreadsim Zeitraum Jan Sept Spread in bps AAA AA A BBB BB B CCC Kreditrisikoberechnung bei der Swiss Life, Carl-Heinz Meyer, Hagen, den

13 Modellierung der Abhängigkeiten zwischen den Debitoren Annahmen: 1. Das neue Rating rat ist intervallweise funktional abhängig von den Assetreturns. (Die Länge der Intervalle ergibt sich aus der Transitionsmatrix). 2. Die Assetreturns sind linear abhängig von den Stockreturns. 3. Die Stockreturns R i sind normalverteilt und korreliert mit Koeffizient ρ. i M i wobei R ~ N01 (, ) und ε ~ N01 (, ) unabhängig sind. M R = ρ R + 1 ρ ε i Kreditrisikoberechnung bei der Swiss Life, Carl-Heinz Meyer, Hagen, den

14 Beispiel zur Berechnung der Ratingintervalle Zunächst müssen die Intervalle aus der Transitionsmatrixberechnet werden. Die rechten Intervallgrenzen sind Quantile der Standardnormalverteilung. Die Niveaus ergeben sich aus der Verteilungsfunktion der Transitionswahrscheinlicheiten. (Zur Vereinfachung gebe es nur 4 Ratings: A,B,C und D) Transitionsmatrix Verteilungsfkt. der Trans.-Matrix A B C D A B C D A A B B C C D D Zugehörige Ratingintervalle A B C D A (, 134. ] (. 134, 175. ] (. 175, 233. ] ( 233., ) B (, 175. ] ( 175., 134. ] (. 134, 205. ] ( 205., ) C (, 233. ] ( 233., 123. ] ( 123., 175. ] (. 175, ) D (, ) Kreditrisikoberechnung bei der Swiss Life, Carl-Heinz Meyer, Hagen, den

15 Ein einfaches Beispiel für zwei Bonds Das Portfolio bestehe aus zwei Anleihen der UBS und CS, die jeweils mit B bzw. C geratet sind. Die Korrelation zwischen den Aktienreturns sei ρ=0.25. Aus den Modellannahmen folgt, daß die Aktien Returns bivariat normalverteilt mit Korrelation 0.25 sind. Die Wahrscheinlichkeit für einen Ratingübergang(B,C) (C,B) lässt sich in diesem Fall durch eine Approximation der zweidimensionalen Verteilungsfunktion Φ(x,y) relativ genau analytisch bestimmen: Prat { = Crat, = B} = PR { (. 134, 205. ], R ( 233., 123. ]} = UBS UBS CS ( R, R )~ N UBS CS CS ; Φ( 205., 123. ) Φ(. 134, 123. ) Φ( 205., 233. ) +Φ(. 134, 233. ) = Im Falle der Unabhängigkeit (ρ=0) lässt die gemeinsame Verteilung der neuen Ratings natürlich auch ohne die Normalverteilung einfach als Produkt der jeweiligen Transitionswahrscheinlichkeitenberechnen. Ansonsten (insbesondere für grosse Portfolios) bleibt nur die Simulation! Kreditrisikoberechnung bei der Swiss Life, Carl-Heinz Meyer, Hagen, den

16 Simulations Algorithmus Benötigte Daten: Credit Spreads, Transitionsmatrix, risikolose Zero Rates, Korrelation, Verlustquoten. Simulation: Für k=1 bis N Simulationsläufe: 1. ΔV k =0. 2. Erzeuge den Marktreturn R M ~N(0;1). 3. Für alle Debitoren i: 3.1 Erzeuge ε i und berechne den Stockreturn: Abschluss: R = ρ R + 1 ρ ε i M i 3.2 Berechne das neue Rating rat und daraus FV(rat). 3.3 Berechne ΔV k = ΔV k + ΔFV i (rat). Berechne den Mittelwert der 1% kleinsten Werte der ΔV k. Kreditrisikoberechnung bei der Swiss Life, Carl-Heinz Meyer, Hagen, den

17 VielenDank für ihre Geduld Kreditrisikoberechnung bei der Swiss Life, Carl-Heinz Meyer, Hagen, den