Mathematisches Modellieren im Unterricht

Transkript

1 Mathematisches Modellieren im Unterricht Katja Maaß Pädagogische Hochschule Freiburg Institut für Mathematische Bildung Freiburg Winterthur, den

2 Struktur Warum Realitätsbezüge? Modellierungsprozess Welche Aufgaben? Und im Unterricht? 2

3 Warum Realitätsbezüge? Annika fährt mit ihren Eltern in den Urlaub. Das Urlaubsziel, die Nordsee, ist 640 km entfernt. Pro Stunde schaffen sie ungefähr 80 km. Wie lange brauchen sie, um ihr Urlaubsziel zu erreichen? Many thanks to User: Myfriend, Wikimedia Commons Annika fährt mit ihren Eltern in den Urlaub. Leider gibt es einen Stau, das Auto steckt fest. Im Radio wird durchgesagt, dass der Stau 20 km lang ist. Wie viele Menschen stecken wohl in diesem Stau, fragt sich Lina.

4 Warum Realitätsbezüge? Marko: Ich rechne trotzdem mal los, weil das Thema ist ja egal, man muss nur wissen, wie das Ganze geht. Also, wenn der für was anderes gespart hätte, und ich hätte das gar nicht gewusst, wär s auch egal gewesen. Weil, das brauche ich ja gar nicht. 4

5 Warum Realitätsbezüge? I: Fällt dir gar nichts ein, wo du Mathe sonst noch brauchst? S: Doch wenn ich zum Kiosk geh und mir was hole, muss ich das auch zusammenrechnen. I: Und noch was anderes, als wie beim Einkaufen? S: Ja beim Einkaufen halt muss ich auch gucken wie viel Geld ich zurückbekomme. (Schüler Klasse 4) I: Und kannst du denn das was du in Mathe lernst auch in der Freizeit oder im Alltag benutzen? S: Nein, eigentlich nicht. Halt bei den Hausaufgaben. (Schüler Klasse 3) 5

6 Warum Realitätsbezüge? Was bedeutet die Aussage Im Berufsverkehr sitzen durchschnittlich 1,2 Personen im PKW? 6

7 Warum Realitätsbezüge? eine bessere Umwelterschließung Höheres Interesse für Mathematik Erwerb von Problemlösestrategien Verbessertes Verständnis von Mathematik (z.b. Operationsverständnis, ) Den Nutzen von Mathematik für das Leben/Beruf erkennen Mathematik zum Lösen von komplexen Problemen aus der Realität verwenden können und dadurch Wozu braucht man Mathematik? 7

8 Geschäftsangelegenheiten Graphische Darstellungen GPS Flugsicherung Landkarten Naturwissenschaften Wirtschaftswissenschaften Psychologie Technik Wozu braucht man Mathematik? Basis vieler Wissenschaften NW WiWi Psycho TECH Grundlage für viele Dinge des Alltags. GELD GRAPHIK GPS FLUG KARTEN 8

9 Wozu braucht man Mathematik? Mathematik weniger sichtbar Bedeutung von Mathematik Relevanzparadoxon Technisierung 9

10 Wie wird Mathematik auf die Realität angewendet? Mathematik Realität abstrakt logisch sehr exakt formal eindeutig nicht exakt oft unkalkulierbar komplex selten in Formeln erfassbar Wie passt die exakte Mathematik auf die Realität? 11

11 Struktur Warum Realitätsbezüge? Modellierungsprozess Welche Aufgaben? Und im Unterricht? 12

12 Modellierungsprozess Grundlage: Modell, das mathematisch erfasst werden kann. Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung der Realität, die nur gewisse einigermaßen objektivierbare Teilaspekte berücksichtigt. Modelle dienen einem Zweck: vorhersagen erklären beschreiben vorschreiben deskriptiv normativ Lösung Realität? Problem Realität Modell 13

13 Stau Many thanks to User: Myfriend, Wikimedia Commons Annika möchte mit ihren Eltern in die Sommerferien fahren. Doch leider geht es nicht vorwärts. Stau! Seit Stunden stehen sie auf der Autobahn fest, im Radio hört Annika, dass der Stau 20 km lang ist. Annika ist durstig, doch endlich kommt jemand vom Roten Kreuz und bringt Wasser. Wie viele Menschen müssen in so einem Stau eigentlich versorgt werden?

14 Modellierungsprozess Reales Problem verstehen Situationsmodell validieren Interpretierte Personen auf Lösung der Autobahn Realität Genauigkeit? Modell angemessen? Vereinfachen Mathe- matisieren interpretieren Mathematik Mathematische = Lösung mathematisch arbeiten 3 Personen/Auto Mathematisches PKW-Länge: 4 m Modell Abstand: 1 m

15 Modellierungsprozess validieren Reales Problem vereinfachen Realmodell Interpretierte Lösung Realität mathematisieren interpretieren Mathematische Lösung Mathematik mathematisch arbeiten Mathematisches Modell 18

16 Zähneputzen Nach dem Zähneputzen ist auf einem Backenzahn ein Bakterium übrig geblieben. Diese Bakterienart vermehrt sich so, dass die Anzahl der Bakterien nach eine Stunde verdoppelt wird. Wie viele Bakterien sind nach 1,2,3 oder 4 Stunden vorhanden? Stelle eine Funktionsgleichung auf.

17 Zähneputzen Zahnärzte empfehlen, die Zähne mindestens morgens und abends zu putzen, am besten jedoch nach jeder Mahlzeit, da sich mit jeder Speise Bakterien auf den Zähnen absetzen, die sich anschließend vermehren. Welche Konsequenzen hat es, wann man nach einer Mahlzeit 6, 12, 24, 48 Stunden die Zähne nicht putzt? Entwickle ein geeignetes mathematisches Modell, das zeigt, wie schnell sich Bakterien vermehren und somit zu Zahnproblemen führen können. Many thanks to User: Vihljun, Wikimedia Commons

18 Struktur Warum Realitätsbezüge? Modellierungsprozess Welche Aufgaben? Umfassende Aufgaben Aufgaben zum Einführen Und im Unterricht? 23

19 Ein wunderschöner mathematischer Morgen Schüler sollen eigene Fragen zum typischen Morgen sammeln: "Wie viel Zahnbürsten verbrauche ich in meinem Leben?", "Wie viel Liter und was trinke ich / die Klasse / die Schule jeden Morgen zum Frühstück?". Partnerarbeit Informationen beschaffen Fragen beantworten 24

20 Ein wunderschöner mathematischer Morgen Poster erstellen Gallery walk Klasse

21 Ein wunderschöner mathematischer Morgen Reflexion und Bewertung der Poster 26

22 Unterschriften sammeln gegen ein neues Gesetz Erst vor kurzem, am 25. April 2006, hat die spanische Opposition dem Kongress Unterschriften gegen ein neues Gesetz vorgelegt, das von der Regierung unterstützt wurde. Alle Zeitungen in Spanien veröffentlichten Fotos der großen Kisten und der 10 Kleinlastwagen, die für den Transport der Unterschriften zum Kongress nötig waren. Kann das stimmen? 27

23 Unterschriften 28

24 Und wie finden die Schüler das? Schülermeinungen 29

25 Hinführen zum Modellieren Es gibt viele Arten von Aufgaben, die geeignet sind, um Schüler in das Modellieren einzuführen. Teilschritte im Modellieren üben Aufbau von Größenvorstellungen Aufgaben nicht zu offen wählen 31

26 Hannah s Fahrt zur Großmutter Die Zugfahrt von Stuttgart nach Ulm dauert 1 Stunde und 15 Minuten und kostet für sie als Jugendliche hin und zurück 16. rwachsene müssten dafür 32 zahlen. Um zum Hauptbahnhof in Stuttgart zu kommen, nimmt Hannah die S-Bahn. Hier findet sie im Internet folgende Preise: Einzelfahrschein: 2, Fahrschein für Hin- und Rückfahrt: 3 Tageskarte: 5. Auch in Ulm muss Hannah noch einmal ein Stück mit dem Bus fahren. Hier gibt es nur Einzelfahrscheine für 1 und Tageskarten für 3. Wie hoch sind die Fahrtkosten für Hannah? Creative Commons from Wikimedia: Many thanks to ArtVandelay13 32

27 Wassertropfen Aus: Schweizer Zahlenbuch 5, Klett und Balmer Verlag Zug 34

28 Wetter Aus: Schweizer Zahlenbuch 5, Klett und Balmer Verlag Zug 36

29 Eisdiele In Leos Wohnort Grübelfingen gibt es vier Eisdielen. Leo steht wie so oft in diesem Sommer mal wieder vor seiner Lieblingseisdiele, dem Eiscafe Sorrento. Eine Kugel Eis kostet 1,20. Er fragt sich, für wie viel Geld der Besitzer wohl an einem heißen Sommersonntag Eis verkauft. Leo geht wie folgt vor: Er fragt am nächsten Tag seine drei besten Freunde, wie viel Kugeln Eis sie am Sonntag gekauft haben und erhält folgende Antworten: Markus: 3 Kugeln, Peter: 5 Kugeln Uli: 4 Kugeln Als Durchschnitt errechnet Leo (3+4+5): 3 = 4 Kugeln pro Tag. Er multipliziert das Ergebnis mit der Anzahl der Einwohner von Grübelfingen (30 000) und teilt, da es vier Eisdielen gibt, das Ergebnis durch 4. Pro Tag werden in der Eisdiele Sorrento also Kugeln verkauft. Einnahmen: *1,20 = Was meinst du dazu? Wie würdest du vorgehen? 38

30 Flugzeuge Aus: Schweizer Zahlenbuch 5, Klett und Balmer Verlag Zug 40

31 Aufgaben woher? Schulbuchaufgaben Mathematische Brille aufsetzen Aus der Literatur Bücher zum Modellieren Istron-Reihe ( (Modellierungseinheiten, Kl. 6, Hauptschule) 42

32 43

33 44

34 Struktur Warum Realitätsbezüge? Modellierungsprozess Welche Aufgaben? Und im Unterricht? 45

35 Und im Unterricht? Unterrichtsmethoden wählen, die den Schülern Freiraum lassen: Z. B. Einstieg im Plenum Brainstorming Erarbeitung in Gruppen Schüler präsentieren ihre Lösung Reflexion 46

36 Und im Unterricht? Grundsätzlich die Methode allein macht es nicht Gruppenarbeit ist nicht per se gut Es kommt auf die Haltung der Lehrperson an. 47

37 Und im Unterricht? Die Schüler können das nicht. Hoffentlich finden die Schüler die richtige Lösung. Ich muss alle Fehler vor der Präsentation verbessern. Was kann ich tun, um den Schülern zu helfen? Ich bin gespannt darauf, welche Lösungswege die Schüler finden Aus Fehlern kann man lernen. 48

38 Wie kann ich den Schülern Aufgabenauswahl helfen? Metakenntnisse über den Modellierungsprozess Prinzip der minimalen Hilfe Kompetenzen gezielt fördern 49

39 Metakenntnisse über das Modellieren 50

40 Metakognition im Unterricht Wissen über Modellierungsprozesse, Strategien Reflexion Unterschiedliche Vorgehensweisen diskutieren. Eigenen Selbstüberwachung fördern 53

41 Wie kann ich den Schülern Aufgabenauswahl helfen? Metakenntnisse über den Modellierungsprozess Prinzip der minimalen Hilfe Kompetenzen gezielt fördern 55

42 Prinzip der minimalen Hilfe Motivation Fragen, Rückmeldung Strategische Hilfe Inhaltliche Hilfe Weniger ist mehr! 56

43 Wie kann ich den Schülern Aufgabenauswahl helfen? Metakenntnisse über den Modellierungsprozess Prinzip der minimalen Hilfe Kompetenzen gezielt fördern 59

44 Kompetenzen gezielt fördern Beispiel: Wie können Schüler lernen, ihre Ergebnisse auf einem Plakat zu präsentieren? Klarheit über Unterrichtsziele Heute geht es darum ein Plakat zu zeichnen Danach: Vergleich der Plakte Methoden als Hilfe Post-its: Jeder wird genötigt, etwas zu notieren. Diskussion / Fazit 60

45 Und im Unterrichtalltag? Die Schüler wollen das nicht. Ich habe im Unterricht dazu keine Zeit. Die Eltern wollen das nicht. Modellieren kann man nicht abprüfen. Ich habe schlechte Erfahrung damit gemacht, deshalb lasse ich es. Nicht jedes Thema kann allen gefallen. Beim Modellieren lernt man viel Mathematik. Wie kann ich die Eltern richtig informieren? Wie kann ich modellieren prüfen? Ich lasse mir Zeit und probiere immer mal wieder was. Es ist klar, dass nicht alles gleich klappt. 61

46 Drei Zugänge im Schulalltag Größere Aufgaben zwischen 2 Einheiten Immer mal wieder kleinere Realitätsbezüge/offene Aufgaben in den Einheiten Einheiten überwiegend offen / realitätsbezogen gestalten

47 Schreibe auf, was du deiner Meinung nach durch die realitätsbezogenen Aufgaben gelernt hast. Sehr viel: 1. Mathe kommt überall vor. 2. Mathe kann Spaß machen. 3. Jeder Mensch braucht Mathe. 4. Welchen Handy-Anbieter ich nehme. 5. Lauter wichtige Dinge eben.

48 Materialien Istron-Reihe: Materialien für einen realitätsbezogenen Unterricht, Band 0 14, Verlag Franzbecker Maaß (2007): Mathematisches Modellieren. Cornelsen Scriptor Greefrath, Gilbert (2006): Modellieren lernen. Aulis-Verlag Leuders, Timo, Maaß, Katja (2007): Und man braucht sie doch! Nützlichkeit von Mathematik erfahrbar machen, Praxis der Mathematik in der Schule, Februar Leuders, Timo, Maaß, Katja (2005): Modellieren bildet, Praxis der Mathematik in der Schule, Heft 3. Greefrath, Gilbert (2010): Didaktik des Sachrechnens 64

49 Danke für Ihre Aufmerksamkeit! 65