Ein Beitrag zur Elektrodynamik. Bernhard Riemann [Annalen der Physik und Chemie. Bd. 131.]
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- Gitta Gerber
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1 Ein Beitag zu Elektodynamik. Benhad Riemann [Annalen de Physik und Chemie. Bd. 131.] Tanscibed by D. R. Wilkins Peliminay Vesion: Decembe 1998 Coected: Apil 2
2 Ein Beitag zu Elektodynamik. Benhad Riemann [Annalen de Physik und Chemie. Bd. 131.] De Königlichen Societät elaube ich mi eine Bemekung mitzutheilen, welche die Theoie de Elekticität und des Magnetismus mit de des Lichts und de stahlenden Wäme in einen nahen Zusammenhang bingt. Ich habe gefunden, dass die elektodynamischen Wikungen galvanische Stöme sich ekläen lassen, wenn man annimmt, dass die Wikung eine elektischen Masse auf die übigen nicht momentan geschieht, sonden sich mit eine constanten (de Lichtgeschwindigkeit innehalb de Genzen de Beobachtungsfehle gleichen) Geschwindigkeit zu ihnen fotpflanzt. Die Diffeentialgleichung fü die Fotpflanzung de elektischen Kaft wid bei diese Annahme dieselbe, wie die fü die Fotpflanzung des Lichts und de stahlenden Wäme. Es seien S und S zwei von constanten galvanischen Stömen duchflossene und gegen einande nicht bewegte Leite, ε sei ein elektisches Massentheilschen im Leite S, welches sich zu Zeit t im Punkte (x, y, z) befinde, ε ein elektisches Massentheilchen von S und befinde sich zu Zeit t im Punkte (x, y, z ). Uebe die Bewegung de elektischen Massentheilchen, welche in jedem Leitetheilchen fü die positiv und negativ elektischen entgegengesetzt ist, mache ich die Voaussetzung, dass sie in jedem Augenblicke so vetheilt sind, dass die Summen εf(x, y, z), ε f(x, y, z ), übe sämmtliche Massentheilchen de Leite ausgedehnt gegen dieselben Summen, wenn sie nu übe die positiv elektischen ode nu übe die negativ elektischen Massentheilchen ausgedehnt weden, venachlässigt weden düfen, sobald die Function f und ihe Diffeentialquotienten stetig sind. Diese Voaussetzung kann auf seh mannigfaltige Weise efüllt weden. Nimmt man z. B. an, dass die Leite in den kleinsten Theilen kystallinisch sind, so dass sich dieselbe elative Vetheilung de Elekticitäten in bestimmten gegen die Dimensionen de Leite unendlich kleinen Abständen peiodisch wiedeholt, so sind, wenn β die Länge eine solchen Peiode bezeichnet, jene 1
3 Summen unendlich klein, wie cβ n, wenn f und ihe Deiviten bis zu (n 1)- ten Odnung stetig sind, und unendlich klein wie e c β, wenn sie sämmtlich stetig sind. Efahungsmässiges Gesetz de elektodynamischen Wikungen. Sind die specifischen Stomintensitäten nach mechanischem Mass zu Zeit t im Punkte (x, y, z) paallel den dei Axen u, v, w, und im Punkte (x, y, z ) u, v, w, und bezeichnet die Entfenung beide Punkte, c die von Kohlausch und Webe bestimmte Constante, so ist de Efahung nach das Potential de von S auf S ausgeübten Käfte 2 uu + vv + ww ds ds, cc dieses Integal übe sämmtliche Elemente ds und ds de Leite S und S ausgedehnt. Füht man statt de specifischen Stomintensitäten die Poducte aus den Geschwindigkeiten in die specifischen Dichtigkeiten und dann fü die Poducte aus diesen in die Volumelemente die in ihnen enthalten Massen ein, so geht diese Ausduck übe in εε 1 dd ( 2 ) cc dt dt, wenn die Aendeung von 2 wähend de Zeit dt, welche von de Bewegung von ε heüht, duch d, und die von de Bewegung von ε heühende duch d bezeichnet wid. Diese Ausduck kann duch Hinwegnahme von d εε 1 d ( 2 ) cc dt, dt welches duch die Summiung nach ε veschwindet, in εε d d ( 2 ) cc dt dt und dieses wiede duch Addition von d εε d cc dt, dt welches duch die Summation nach ε Null wid, in εε dd cc dt dt vewandelt weden. 2
4 Ableitung dieses Gesetzes aus de neuen Theoie. Nach de bisheigen Annahme übe die elektostatische Wikung wid die Potentialfunction U beliebig vetheilte elektische Massen, wenn ϱ ihe Dichtigkeit im Punkte (x, y, z) bezeichnet, duch die Bedingung 2 U x + 2 U 2 y + 2 U 4πϱ =, 2 z2 und duch die Bedingung, dass U stetig und in unendliche Entfenung von wikenden Massen constant sei, bestimmt. Ein paticulaes Integal de Gleichung 2 U x + 2 U 2 y + 2 U 2 z =, 2 welches übeall ausse dem Punkte (x, y, z ) stetig bleibt, ist f(t) und diese Function bildet die von Punkte (x, y, z ) aus ezeugte Potentialfunction, wenn sich in demselben zu Zeit t die Masse f(t) befindet. Statt dessen nehme ich nun an, dass die Potentialfunction U duch die Bedingung 2 U t 2 αα ( 2 ) U x + 2 U 2 y + 2 U + αα 4πϱ = 2 z 2 bestimmt wid, so dass die vom Punkte (x, y, z ) aus ezeugte Potentialfunction, wenn sich in demselben zu Zeit t die Masse f(t) befindet, = f ( t ) α wid. Bezeichnet man die Coodinaten de Masse ε zu Zeit t duch x t, y t, z t, und die Masse ε zu Zeit t duch x t, y t, z t, und setzt zu Abküzung ( (xt x t )2 + (y t y t )2 + (z t z t )2) 1 2 = 1 (t, t ) = F (t, t ), so wid nach diese Annahme das Potential von ε auf ε zu Zeit t = εε F (t ) α, t. 3
5 Das Potential de von sämmtlichen Massen ε des Leites S auf die Massen ε des Leites S von de Zeit bis zu Zeit t ausgeübten Käfte wid dahe t P = εε F (t ) α, τ dτ, die Summen übe sämmtliche Massen beide Leite ausgedehnt. Da die Bewegung fü entgegengesetzt elektische Massen in jedem Leitetheilchen entgegengesetzt ist, so elangt die Function F (t, t ) duch die Deivation nach t die Eigenschaft, mit ε, und duch die Deivation nach t die Eigenschaft, mit ε ih Zeichen zu änden. Bei de voausgesetzten Vetheilung de Elekticitäten wid dahe, wenn man die Deivationen nach t duch obee und nach t duch untee Accente bezeichnet, εε F (n) n (τ, τ), übe sämmtliche elektische Massen ausgedehnt, nu dann nicht unendlich klein gegen die übe die elektischen Massen eine At esteckte Summe, wenn n und n beide ungeade sind. Man nehme nun an, dass die elektischen Massen wähend de Fotpflanzungszeit de Kaft von einem Leite zum andeen nu einen seh kleinen Weg zuücklegen, und betachte die Wikung wähend eines Zeitaums, gegen welchen die Fotpflanzungszeit veschwindet. In dem Ausducke von P kann man dann zunächst F (τ ) α, τ duch F (τ ) α, τ F (τ, τ) = F (τ σ, τ) dσ esetzen, da εε F (τ, τ) venachlässigt weden daf. Man ehält daduch P = t dτ εε F (τ σ, τ) dσ, ode wenn man die Odnung de Integation umkeht und τ + σ fü τ setzt, P = εε dσ t σ σ dτ F (τ, τ + σ). Vewandelt man die Genzen des innen Integals in und t, so wid daduch an de oben Genze de Ausduck H(t) = εε dσ σ 4 dτ F (t + τ, t + τ + σ)
6 hinzugefügt, und an de unten Genze de Weth dieses Ausducks fü t = hinweggenommen. Man hat also P = t dτ εε dσ F (τ, τ + σ) H(t) + H(). In diesem Ausduck kann man F (τ, τ + σ) duch F (τ, τ + σ) F (τ, τ) esetzen, da εε α F (τ, τ) venachlässigt weden daf. Man ehält daduch als Facto von εε einen Ausduck, de sowohl mit ε als mit ε sein Zeichen ändet, so dass sich bei den Summationen die Gliede nicht gegen einande aufheben, und unendlich kleine Buchtheile de einzelnen Gliede venachlässigt weden düfen. Es egiebt sich dahe, indem man ( 1 dd F (τ, τ + σ) F (τ, τ) duch σ dτ dτ esetzt und die Integation nach σ ausfüht, bis auf einen zu venachlässigenden Buchteil t P = εε dd dτ H(t) + H(). 2αα dτ dτ Es ist leicht zu sehen, dass H(t) und H() venachlässigt weden düfen; denn es ist ( ) ( ) ( ) d d 2 dd F (t + τ, t + τ + σ) = + τ + (τ + σ) +, dt dt 2 dt 2 folglich: H(t) = εε 2αα d dt ( ) 2 1 d α 3 dt 2 ) ( ) 1 dd 6α 3 dt dt +. Hiein abe ist nu das este Glied des Factos von εε mit dem Facto in dem esten Bestandtheile von P von gleiche Odnung, und dieses liefet wegen de Summation nach ε nu einen zu venachlässigenden Buchtheil desselben. 5
7 De Weth von P, welche sich aus unsee Theoie egiebt, stimmt mit dem efahungsmässigen P = t εε cc ( 1 dd dτ dτ übeein, wenn man αα = 1 cc annimmt. 2 Nach de Bestimmung von Webe und Kohlausch ist ) dτ c = Millimete Secunde, woaus sich α zu geogaphischen Meilen in de Secunde egiebt, wähend fü die Lichtgeschwindigkeit von Busch aus Badley s Abeationsbeobachtungen Meilen, und von Fizeau duch diecte Messung Meilen gefunden woden sind. 6
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