Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1

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1 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 4. April 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 1

2 Organisatorisches Vorlesung: Mo, 11:00-12:30, KKB Übungen: Di, 7:30-9:00, RAM-1085, Dr. Wünsche, 2.BBL, 2.BWLRW. Di, 7:30-9:00, MIB-1113, Dr. Lorz, 2.BBWL. Di, 14:00-15:30, MIB-1113, Dipl.-Math. Baaske, 2.BBWL. Do, 14:00-15:30, LED-1105, Dr. Lorz, 2.BWIW. Selbststudium (Laut Modulbeschreibung zusammen für beide Semester 120h Präsenzzeit und 150h Selbststudium.) Information: Prüfung: Klausur 120 Minuten, zugelassen sind Taschenrechner, Bücher, Mitschriften; nicht zugelassen sind Laptops, Handys. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 2

3 Themen Wahrscheinlichkeitsrechnung (ca. 6 Vorlesungen). Zufällige Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten, bedingte Wahrscheinlichkeiten, Unabhängigkeit. Zufallsgrößen, Typen, Charakterisierung und Kenngrößen. Wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Wichtige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Beschreibende (deskriptive) Statistik (ca. 3 Vorlesungen). Beispiele und Grundbegriffe. Eindimensionale Merkmale. Zweidimensionale Merkmale. Indexzahlen. Schließende (induktive) Statistik (ca. 4 Vorlesungen). Stichproben. Parameterschätzungen. Fortsetzung im folgenden Semester: Statistik für Betriebswirte II. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 3

4 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung 1.1 Einleitung Im praktischen Leben, in den Wissenschaften, usw. hat man es oft mit Situationen, Versuchen, Beobachtungen, etc., zu tun, bei denen Ergebnisse nicht genau vorausberechnet werden können, eine Unsicherheit besteht, bei denen aber Aussagen und/oder Entscheidungen getroffen werden sollen. Beispiele: Versicherungswesen (Zeitpunkte von Schadensfällen, Höhe von Einbzw. Auszahlungen). (Statistische) Qualitätskontrolle (notwendige Änderungen von Produktionsparametern wegen zu mangelhafter Qualität der Erzeugnisse). Produktionsplanung (Entwicklung der Nachfrage). Finanzmärkte (Entwicklung von Aktienkursen, Wechselkursen). Wetter- und Klimavorhersagen. Physikalische Grundgesetze (statistische Physik, Quantenphysik). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 4

5 Quantifizierung der Unsicherheit Unterschiedliche Ereignisse haben im Allgemeinen unterschiedliche Chancen einzutreten, das Wissen darüber kann genutzt werden. Eine Möglichkeit der Quantifizierung der Unsicherheit besteht in der Nutzung stochastischer mathematischer Modelle. Die Nutzung derartiger Modelle hat sich in vielen Situationen bewährt. Die Stochastik (Wahrscheinlichkeitstheorie, mathematische Statistik, Theorie der Zufallsfunktionen,... ) als mathematische Disziplin liefert die Grundlagen für konsistente und korrekte Berechnungen im Zusammenhang mit stochastischen Modellen. Ob ein konkretes stochastisches Modell gute Erklärungen und/oder Entscheidungen für eine konkrete reale Situation liefert ist keine mathematische Fragestellung. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 5

6 1.2 Zufällige Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Ideales Zufallsexperiment, zufälliger Versuch, Zufallssituation: Genau festgelegte Bedingungen. Ausgang bzw. Ergebnis des Experiments ist nicht vorhersehbar, die möglichen Ausgänge sind vor Durchführung des Experiments bekannt. Es ist zumindest gedanklich beliebig oft wiederholbar und eine statistische Regularität kann beobachtet oder angenommen werden. In einfachen Fällen: Menge aller möglicher Ergebnisse (Ergebnismenge, Grundmenge) Ω. Elemente ω 1, ω 2,... der Ergebnismenge sind die Elementarereignisse, Versuchsausgänge oder Grundrealisierungen. Die vorfügbare Information spielt eine große Rolle. Beispiele: Würfeln mit einem oder mehreren Würfeln. Bildquelle: de.wikipedia.org/wiki/spielwürfel Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 6

7 Zufällige Ereignisse Zufälliges Ereignis oder kurz Ereignis A zu einem betrachteten Zufallsexperiment: nach Durchführung des Zufallsexperiments muss man mit Sicherheit sagen können, ob das Ereignis A eingetreten ist oder nicht. Im Sinne der (mathematischen) Logik: Das Ereignis A ist eingetreten. ist entweder eine wahre oder falsche Aussage. Im Fall einer Ergebnismenge Ω: Teilmenge A der Ergebnismenge Ω; das Ereignis A tritt ein, falls das realisierte Ergebnis des zufälligen Versuchs in der Menge A enthalten ist. Beispiele: Würfeln mit einem oder mehreren Würfeln. Tägliche DAX-Schlusskurse. Bildquelle: Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 7

8 Wahrscheinlichkeiten Jedem zufälligen Ereignis A zu einem betrachteten Zufallsexperiment wird eine Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet, die sogenannte Wahrscheinlichkeit (für das Eintreten) des Ereignisses P(A). P(A) ist ein quantitatives Maß für die Chancen, dass das zufällige Ereignis A bei einer Realisierung des Experiments eintritt, z.b. P(A) 0 sehr geringe; P(A) 1 sehr große Chancen. Hintergrund sind Eigenschaften von relativen Häufigkeiten h n (A) = H n(a) n P(A) (falls n groß) ; H n (A) Häufigkeit des Eintretens von A in n (unabhängigen) Realisierungen des Zufallsexperiments. Häufigkeitsinterpretation für P(A): bei n Realisierungen des Zufallsexperiments wird (oft) das zufällige Ereignis A ungefähr n P(A) mal eintreten und n (1 P(A)) mal nicht eintreten. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 8

9 Stabilisierung von relativen Häufigkeiten Beispiel Quelle: N.Henze, Stochastik für Einsteiger, 2013, 10.Auflage, Kap.4. Ergebnisse von 300 Würfen einer Reißzwecke auf einen Steinboden mit den beiden möglichen Ergebnissen Spitze nach oben = 1 und Spitze schräg nach unten = 0. Fortlaufend notierte relative Häufigkeiten für 1 : Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 9

10 Einige elementare mathematische Fragestellungen 1. Wie können mathematische Definitionen für Wahrscheinlichkeiten gegeben werden? 2. Wie kann man bei bekannten Wahrscheinlichkeiten für bestimmte zufällige Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten für andere zufällige Ereignisse berechnen, welche Rechenregeln und Eigenschaften können genutzt werden? 3. Was ändert sich in der Modellierung, wenn zusätzliche Informationen zu einem Zufallsexperiment verfügbar werden (oder hypothetischerweise angenommen werden)? Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 10

11 Verknüpfungen von Ereignissen Geg.: Zufallsexperiment mit Ergebnismenge Ω und zufälligen Ereignissen A, B. Vereinigung A B : A oder B (oder beide) treten ein. Durchschnitt A B : A und B treten beide ein. Differenz A \ B : A tritt ein, aber B nicht. Das zu A komplementäre (entgegengesetzte) Ereignis A = A c = A : tritt genau dann ein, wenn A nicht eintritt; A = Ω \ A. Unmögliches Ereignis : tritt niemals ein. Sicheres Ereignis Ω : tritt immer ein (gleich Ergebnismenge). A und B sind unvereinbar (sind disjunkt, schließen einander aus) : sie können nicht gemeinsam eintreten, d.h. A B =. Das Ereignis A zieht das Ereignis B nach sich : A B (wenn A eintritt, dann tritt auch B ein). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 11

12 Rechenregeln für Verknüpfungen von Ereignissen Geg.: Zufallsexperiment mit Ergebnismenge Ω und zufälligen Ereignissen A, B, C. Dann gelten wie allgemein für Teilmengen A, B, C einer Menge Ω die folgenden Rechenregeln. Kommutativität : A B = B A, A B = B A. Assoziativität : (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C). Distributivität : (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C). Regeln von de Morgan : A B = A B, A B = A B. ( ) A A = Ω, A A =, A \ B = A B, A = A, A = A, A =, A Ω = Ω, A Ω = A. Entsprechend können auch Vereinigungen und Durchschnitte von mehr als zwei Ereignissen definiert werden und auch die Rechenregeln können entsprechend verallgemeinert werden. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 12

13 Übungsbeispiel Entwicklung von 3 konkreten Aktienkursen in einem festen Zeitraum an einer bestimmten Börse. S i = {Wert der Aktie i steigt}. Ges.: Darstellung der folgenden Ereignisse durch die Ereignisse S i. A = {Wert aller 3 Aktien steigt}. B = {Wert keiner der 3 Aktien steigt}. C = {Wert mindestens einer der 3 Aktien steigt}. D = {Wert genau einer der 3 Aktien steigt}. E = {Wert aller 3 Aktien fällt oder bleibt gleich}. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 13

14 Axiomatische Wahrscheinlichkeitsdefinition (Kolmogorow) Mathematisches Modell für ein Zufallsexperiment ist ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P). Ω ist eine nichtleere Menge (Grundraum, Ergebnismenge), sie wird in komplizierteren Situationen oft nicht explizit angegeben. A ist eine Menge von Teilmengen von Ω, so dass endlich viele oder abzählbar unendliche Verknüpfungen von Elementen aus A wieder zu einem Ergebnis in A führen (Ereignisalgebra, σ Algebra). Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P ordnet jeder Menge A aus A die reelle Zahl P(A) zu, so dass die folgenden Axiome gelten: 1. 0 P(A) P(Ω) = P(A 1 A 2 = P(A 1 ) + P(A 2 ) falls A 1 A 2 =. ( ) 4. P A i = P(A i ) falls die Ereignisse A i paarweise unvereinbar i=1 i=1 sind, d.h. A i A j = (i j). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 14

15 Bemerkungen zu und Folgerungen aus den Axiomen Man benutzt oft weiter die Wahrscheinlichkeitsterminologie (z.b. Ereignis statt Teilmenge ). Axiome spiegeln Eigenschaften der relativen Häufigkeiten wider. Alle Zuordnungen von Wahrscheinlichkeiten die den Axiomen genügen sind mathematisch gesehen erst einmal korrekt (insbesondere auch subjektive Zuordnungen). P( ) = 0. P(A 1 A 2... A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A n ) falls die Ereignisse A i paarweise unvereinbar sind. P(A) = 1 P(A), P(A) = 1 P(A). (Oft sehr nützlich!) A B P(A) P(B), P(B \ A) = P(B) P(A). Additionsgesetz: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Siebformel: P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(B C)+P(A B C). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 15

16 Übungsbeispiel Für die Ereignisse A und B zu einem Zufallsexperiment seien folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt: P(A) = 0.25, P(B) = 0.45, P(A B) = 0, 5. Berechnen Sie P ( A B ), P ( A B ) und P (( A B ) ( A B ))! Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 16

17 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition (Laplace-Modell) Gilt für Zufallsversuche mit endlich vielen möglichen Versuchsergebnissen (n elementare Versuchsausgänge oder Elementarereignisse), die alle gleichwahrscheinlich sind (keines wird bevorzugt, alle haben dieselbe Chance einzutreten). Beispiele: Würfeln mit einem fairen oder gerechten Würfel, n = 6, Elementarereignisse sind 1, 2, 3, 4, 5, 6. Zahlenlotto 6 aus 49, n = Anzahl der möglichen Tipps mit 6 aus 49 Zahlen. Aus den Axiomen für Wahrscheinlichkeiten folgt dann die einzige mögliche Definition von Wahrscheinlichkeiten in dieser Situation (die sogenannte klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 17

18 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition Für jedes der n Elementarereignisse gilt unter obigen Bedingungen: P(Elementarereignis) = 1 n. Für ein beliebiges Ereignis A gilt unter obigen Bedingungen: P(A) = Anzahl der Elementarereignisse in A n bzw. P(A) = Anzahl der für A günstigen Fälle Anzahl aller möglichen gleichwahrscheinlichen Fälle. Bei Wahrscheinlichkeitsberechnungen im Zusammenhang mit der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition werden oft kombinatorische Formeln genutzt (siehe später). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 18

19 1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Sind zusätzliche Informationen zu einem Zufallsexperiment verfügbar (oder werden diese hypothetisch angenommen), können sich die Wahrscheinlichkeiten für die zufälligen Ereignisse ändern. Geg.: Zufallsexperiment mit Ereignissen A, B wobei P(B) > 0. Es sei jetzt zusätzlich bekannt, dass B eingetreten ist. Def.: Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B: P(A B) = P(A B) P(B). Auch diese Begriffsbildung basiert auf den Eigenschaften der relativen Häufigkeiten. Beispiel: C = {Neugeborenes wird 5 Jahre alt}, z.b. P(C) = D = {Neugeborenes wird 50 Jahre alt}, z.b. P(D) = Ges.: P(D C). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 1 19