Statistische Analyse und Visualisierung der Genauigkeit empirischer und deterministischer Optionspreismodelle am Beispiel von Devisenoptionen

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Helene Feld
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1 Statistische Analyse und Visualisierung der Genauigkeit empirischer und deterministischer Optionspreismodelle am Beispiel von Devisenoptionen Gewinndiagramm Optionen

2 Beispiel Lufthansa Lufthansa bestellt Mitte 2002 in den USA 2 Boeing Flugzeuge: Preis: 460 Millionen US-Dollar Lieferung (und Bezahlung): Ende 2003 Problem: Euro-Kaufpreis ist durch Wechselkursschwankungen nicht kalkulierbar Lösung 1: Kauf von 460 Millionen US-Dollar Mitte 2002 für 1.15 Euro pro US-Dollar Nachteil: viel kreditfinanziertes Kapital gebunden Lösung 2: Kauf europäische US-Dollar-Calls mit Laufzeit bis Ende 2003 und Basispreis von 1.20 Euro pro US-Dollar für ca Euro je US-Dollar Vorteil: Versicherung gegen einen Anstieg des US-Dollars über 1.20 Euro pro US-Dollar. Liegt der Wechselkurs unter 1.20 Euro pro US-Dollar, kann die Lufthansa AG die 460 Millionen US-Dollar am Markt billiger kaufen und auch noch Millionen sparen. Modell von Cox/Ross/Rubenstein Europäische Call-Option: Restlaufzeit: 1 Jahr Bezugskurs / Strike: 95 risikofreie Zins: 10 %

15 Euro pro US-Dollar Nachteil: viel kreditfinanziertes Kapital gebunden Lösung 2: Kauf europäische US-Dollar-Calls mit Laufzeit bis Ende 2003 und Basispreis von 1.20 Euro pro US-Dollar für ca. 0.

3 Modell von Cox/Ross/Rubenstein Portfolio: Kauf einer Aktie (Preis = 90) und Kreditaufnahme von 50 (zum risikofreien Zins) in einem Jahr: Aktie bei 55: Gesamtposition: = 0 Aktie bei 135: Gesamtposition: = 80 Modell von Cox/Ross/Rubenstein passendes Portfolio: Kauf 0,5 Aktie und Kreditaufnahme von 25 heute:

Gesamtposition: 55 55 = 0 Aktie bei 135: Gesamtposition: 135 55 = 80 Modell von

4 Modell von Cox/Ross/Rubenstein Modell von Cox/Ross/Rubenstein Vorteil: Optionen können mit besonderen Pfaden analysiert werden Nachteil: Komplexe Berechnungen Schwierige Rechenbarkeit

5 Black / Scholes - Formel Black / Scholes - Differentialgleichung Verlauf des Aktienkurs: Black / Scholes Differentialgleichung:

6 Black / Scholes - Modell Vorteil: Wert einer Option kann durch wenige Daten bestimmt werden partielle Ableitungen sind leicht zu bestimmen schnelle Berechenbarkeit Nachteil: Vorraussetzung, dass die zugrunde liegenden Kurse einem gedächtnislosen und stetigen Prozess folgen Endwahrscheinlichkeiten lognormalverteilt Schätzung der zukünftigen Volatilität Eingabegrößen der beiden Modelle Black / Scholes Devisenkurs Bezugskurs Restlaufzeit Volatilität des Devisenkurses Risikofreie Zinssatz FAUN Moneyness berechnet durch den Quotienten aus Devisenkurs und Bezugskurs Bezugskurs Restlaufzeit Handelstag

lognormalverteilt Schätzung der zukünftigen Volatilität Eingabegrößen der beiden Modelle Black / Scholes Devisenkurs Bezugskurs Restlaufzeit

7 Dreilagiges Perzeptron Training der neuronalen Netze Ein neuronales Netz gilt als erfolgreich trainiert, wenn: Übertraining der Netze wird durch den Vergleichsfaktor vermieden Gewichtsveränderung zur Minimierung der Fehler werden mit Hilfe des SQP-Verfahrens NPSOL berechnet Lernfaktor wird ständig optimiert, so dass die Anzahl der Lernschritte im Vergleich zu herkömmlichen Trainingsmethoden erheblich verkleinert wird

Minimierung der Fehler werden mit Hilfe des SQP-Verfahrens NPSOL berechnet Lernfaktor wird ständig

8 Erstellung der Trainings- und Validierungsmuster Insgesamt Muster Trainings- und Validierungsmuster, betrachtet über ein Jahr, werden in 250 einzelne Zeitintervalle mit jeweils einer Länge von 5 Tagen unterteilt Statistische Auswertung Um die beste Netztopologie zu bestimmen, werden die prozentualen Fehler, die Anzahl der initialisierten Netze und dazugehörige Rechenzeit ausgewertet: Durchschnitt minimale und maximale Werte Verteilung der relativen Häufigkeiten Korrelationskoeffizienten

die beste Netztopologie zu bestimmen, werden die prozentualen Fehler, die Anzahl der initialisierten Netze und dazugehörige

9 Tabelle der durchschnittlichen, prozentualen Fehler Training mit bis zu 10 inneren Neuronen

10 Relative Häufigkeiten der prozentualen Fehler Relative Häufigkeiten der prozentualen Fehler

11 Relative Häufigkeiten der prozentualen Fehler Relative Häufigkeiten der prozentualen Fehler

12 Relative Häufigkeiten der prozentualen Fehler Relative Häufigkeiten der prozentualen Fehler

13 Relative Häufigkeiten der prozentualen Fehler Relative Häufigkeiten der prozentualen Fehler

14 Korrelation Rechenzeit und Anzahl init. Netze Auswertung am jeweiligen fünften Handelstag Neuronale Netze (rote Kreise) weisen an 204 Tagen von den 250 betrachteten Handelstagen eine geringere durchschnittliche Abweichung auf, als die der Black/Scholes-Formel (blaue Kreuze) Bei Mustern (von insg Mustern) ist die Abweichung vom tatsächlichen Ergebnis geringer als bei der Black/Scholes- Formel

von den 250 betrachteten Handelstagen eine geringere durchschnittliche Abweichung auf, als die der

15 Auswertung am jeweiligen sechsten Handelstag Neuronale Netze (rote Kreise) weisen an 116 Tagen von den 250 betrachteten Handelstagen eine geringere durchschnittliche Abweichung auf, als die der Black/Scholes-Formel (blaue Kreuze) Bei 9101 Mustern (von insg Mustern) ist die Abweichung vom tatsächlichen Ergebnis geringer als bei der Black/Scholes- Formel

auf, als die der Black/Scholes-Formel (blaue Kreuze) Bei 9101 Mustern (von insg.

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