2.4 Größen im Unterricht Maximilian Geier Institut für Mathematik, Landau Universität Koblenz-Landau

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1 2.4 Größen im Unterricht Maximilian Geier Institut für Mathematik, Landau Universität Koblenz-Landau

2 Ziele des Unterrichts sind in den Bildungsstandards (KMK 2004) festgelegt: Ablauf des Unterrichts kann/darf/soll/muss (?) sich an der didaktischen Stufenfolge orientieren 2

3 Welcher Unterricht kann zur Kompetenzentwicklung beitragen? das Vorwissen der Kinder zu standardisierte Maßeinheiten und Messinstrumente wird einbezogen der Aufbau einer Skalierung wird explizit thematisiert, genau so der Zusammenhang zwischen Einheiten und Untereinheiten beim Messen im Unterricht werden bedeutsame Situationen gewählt, die eine aktive Auseinandersetzung mit Vergleichs-, Mess- und Schätzaktivitäten anregen und erfordern; außerdem die Reflexion der eigenen Handlungen mit verschiedenen Messwerkzeugen alltagstaugliche Stützpunktvorstellungen und wechselseitige Bezüge zwischen verschiedenen Größen werden aufgebaut und genutzt (Walther u.a.: Mathematik konkret) 3

4 Einführung der Maßeinheiten 1. Klasse 2. Klasse 3. Klasse 4. Klasse Geld, c Längen m, cm mm, km Gewichte kg, g t, mg Zeit h Monate, Wochen, Tage s, min Volumen l, ml 4

5 Didaktische Stufenfolge Tätigkeit 1. direkter Vergleich von zwei Repräsentanten 2. indirekter Vergleich von zwei Repräsentanten Kopien für direkte Vergleiche herstellen Lernziel Erarbeitung des Repräsentantenbereichs und der Relationen 3. indirekter Vergleich: selbstgewählte Einheiten abtragen, erstes Messen 4. indirekter Vergleich über Messen 5. Normierung der Einheit beim Messen 6. Makro- und Mikroeinheiten 7. Messgeräte, Messtechniken, Messfehler erstes Messen Vergleich von Maßzahl und Maßeinheit Größe = Maßzahl + Einheit = Eigenschaft des Repräsentanten Messtechniken, Herstellen überschaubarer Maßzahlen, Rechnen Flexibilität im Handeln, Umweltbezug 5

6 Didaktische Stufenfolge Erfahrungen sammeln und aufgreifen Direktes Vergleichen von Repräsentanten Indirektes vergleichen von Repräsentanten mit selbstgewählten Maßeinheiten mit standardisierten Maßeinheiten Umwandeln: Verfeinern und Vergröbern der Maßeinheiten Rechnen mit Größen 6

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11 Didaktische Stufenfolge Kritik am Unterricht nach dem Stufenmodell: Unterricht ist fremdorganisiertes Lernen in kleinen Schritten Modell wie kulturhistorischer Prozess linear, aber die Entwicklung des Mess- und Größenverständnisses ist nicht linear Es ignoriert das vielfältiges Vorwissen zu allen Stufen des Modells geringer Erfolg: Messverständnis und Größenvorstellungen am Ende der Grundschulzeit nicht hinreichend Probleme durch nicht-standardisiertes und objektbezogenes Messen 11

12 Erfahrungen Sammeln & Aufgreifen Größen spielen im Alltag der Kinder schon vor der Einschulung eine Rolle Kinder kennen Messgerate, Maßeinheiten und Begriffe zur Beschreibung von Messaktivitäten, oft fehlen aber realistische Größenvorstellungen. Kritik: die Kenntnisse werden beim Unterricht nach Stufenfolge zum großen Teil ignoriert 12

13 Erfahrungen Sammeln & Aufgreifen Größen spielen im Alltag der Kinder schon vor der Einschulung eine Rolle Kinder kennen Messgerate, Maßeinheiten und Begriffe zur Beschreibung von Messaktivitäten, oft fehlen aber realistische Größenvorstellungen. Kritik: die Kenntnisse werden beim Unterricht nach Stufenfolge zum großen Teil ignoriert bekannte Messgeräte: bekannte konkrete Größen: Meterstab, Maßband, Waage, Uhr, etc eigene Größe, eigenes Gewicht, Einkaufsmengen (1 kg Mehl, 100 g Schokolade,...) Angaben zu Fahrzeugen durch Kartenspiele außerdem verschiedene Entfernungen, Zeidauern 13

14 Erfahrungen Sammeln & Aufgreifen Längen: Nührenbörger empfiehlt zur Erfassung der Alltagserfahrungen und des Längenverständnisses der Schüler ein Heft rund ums Messen von Längen Vorstellung vom Aufbau eines Lineals Messen und Zeichnen mit Lineal Wissen von der Einheit 1cm Größenvorstellungen (1cm, 10,cm, 1m, Schultischbreite) Invarianz von Längen Nührenbörger identifizierte 4 Typen von Linealbildern bei Zweitklässlern 14

15 Messen Nührenbörger: die drei Kernideen des Messens Auswahl einer Einheit Vervielfachen von bzw. Zerlegen in Einheiten Zählen der Anzahl an Einheiten und Untereinheiten 15

16 Messen orientiert an den drei Kernideen Gewichte: Messen mit der Balkenwaage Auswahl der passenden Einheit Kinder wählen Einheit selbst (einfach wegen der wenigen Einheiten und hoher Umrechnungszahlen) Vervielfachen von und Zerlegen in Einheiten Vergleich mit normierten Gewichten => Tauschen und dezimale Zerlegung von Gewichten Zählen der Anzahl an Einheiten und Untereinheiten - Zählen gleichartiger Gewichtsstücke - Addition unterschiedlicher Gewichte 16

17 Messen orientiert an den drei Kernideen Messen von Längen Auswahl der passenden Einheit - große Auswahl an möglichen Einheiten - hängt von Erfolg (Genauigkeit) ab - Flächeneinheit oder Längeneinheit? Vervielfachen von und Zerlegen in Einheiten erwünschte Situation: Maßeinheit < Länge des Objekt < Skala des Messwerkzeuges Zählen der Anzahl an Einheiten und Untereinheiten - bei Maßband, Zollstock, etc muss nicht gezählt werden - additive Verknüpfung von gezählten Einheiten und Untereinheiten 17

18 Messen 18

19 Messen ein Überblick (Schipper,2009) 19

20 Zeitspannen Messen Zeitmessungen sind z.b. aus dem Sport bekannt Wettlauf: gleichzeitig Starten mit Stoppuhr direkter Vergleich indirekter Vergleich Rechnen Zeitspannen werden oft aus Anfangszeit und Endzeit berechnet Welche der drei beteiligten Zahlen wird gesucht? Sind mehrere Einheiten gemeinsam zu berücksichtigen? Muss die zyklische Vorstellung genutzt werden? 20

21 Mikro-/Makroeinheiten (Verfeinern/Vergröbern) Umrechnungen werden mit Hilfe der Umwandlungszahlen automatisiert. Diese repräsentieren die proportionale Beziehungen zwischen den Einheiten Vergröbern durch Dividieren mm cm dm m km Verfeinern durch Multiplizieren 21

22 Mikro-/Makroeinheiten Bei Umrechnungen treten schon in der Grundschule Dezimalbrüche auf 423 Cent 4 23 Cent 4,23 22

23 Mikro-/Makroeinheiten Bei Umrechnungen treten schon in der Grundschule Dezimalbrüche auf 7370 g 7 kg 370 g 7,37 kg 23

24 Mikro-/Makroeinheiten Bei Umrechnungen treten schon in der Grundschule Dezimalbrüche auf 423 cm 4 m 23 cm 4,23 m 24

25 Realistische Größenvorstellungen Stützpunktvorstellungen aufbauen Wissen Vorerfahrungen Neue Messerfahrungen Größenvorstellungen Stützpunkte: Repräsentanten, deren Größe bekannt ist Standards für die normierten Maßeinheiten werden zum Vergleichen und Schätzen genutzt 25

26 Realistische Größenvorstellungen Anregungsbeispiele Messergebnisse präsentieren Ausstellungen: Plakate zu einzelnen Objekten (verschiedene Größen sammeln) Plakate zu Äquivalenzklassen (z.b. was wiegt so viel wie ein Standard-Repräsentant ) Greifbar-Machen durch Vergleichen mit Stützpunkten Wie viele Kinder sind so schwer wie ein ausgewachsener Eisbär? passende Größenangaben auswählen (Sinn herstellen) Ergänzen von Maßeinheiten (und Größenangaben) 26

27 Realistische Größenvorstellungen Schätzen Unterrichtsbeispiel Schüler (4. Klasse) sollen nacheinander schätzen: 1. das Gewicht einer Seite aus einem Telefonbuch 2. das Gewicht des gesamten Telefonbuchs Kinder wiegen das Blatt mit der Hand ab und schätzen. Dann wiegen sie das Telefonbuch mit der Hand ab und schätzen. Passen die beiden Schätzungen zusammen? 27

28 Realistische Größenvorstellungen Schätzen ohne realistische Größenvorstellung gibt es kein Schätzen, nur blindes Raten Schätzen ist das Ermitteln einer ungefähren Größenangabe durch gedankliches Vergleichen mit eingeprägten Repräsentanten als Stützpunkten Zusätzlich erfordern komplexe Schätzsituationen ein Zusammenspiel von Wahrnehmung, Erinnerung, Runden, Rechnen und In-Beziehung-Setzen 28

29 Realistische Größenvorstellungen Schätzen Einfache Schätzaufgaben Schätzergebnis durch gedanklichen Vergleich mit einer bekannten Größe Komplexe Schätzaufgaben Vergleichsgrößen müssen unter Bezug auf Erfahrungen Beziehungen zwischen den Daten (z.b. Durchschnitt) Vergleichswerte zum Rechnen weiterverarbeitet werden 29

30 Realistische Größenvorstellungen Schätzen Schätzen ist NICHT sinnvoll wenn das genaue Ergebnis auch ermittelt wird Schüler sind enttäuscht Schüler korrigieren ihre Schätzung nach dem Messen wenn Schätzungen mit richtig oder falsch bewertet werden (können) stattdessen: angemessen, brauchbar, sinnvoll, vernünftig 30

31 Realistische Größenvorstellungen Schätzen Wann ist Schätzen ist sinnvoll? Wenn keine exakten Werte ermittelt werden können Wenn exakten Werte nicht gebraucht werden Sinnvolle Schätzaufgaben Datenmaterial unvollständig oder ungenau Für das Datenmaterial muss auf Erfahrungswerte zurückgegriffen werden Aufwand für Schätzung ist wesentlich geringer als für exakte Beantwortung 31

32 Realistische Größenvorstellungen Schätzen Schätzaufgaben Der Eismann kommt mit seinem Wagen zur Schule. Er weiß, dass 340 Kinder an der Schule sind. Wie viel Eis sollte er dabei haben? Wie viel Papier braucht unsere Grundschule im Monat? Wie viele Kinder sind so schwer wie ein Eisbär? Wie viele Schulranzen voll Gummibärchen sind eine Millionen Gummibärchen? Wie viele Erbsen passen in diese Schachtel? Wie lang ist die Strecke, wenn alle diese Spaghetti hintereinandergelegt werden? 32