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1 Wahrscheilichkeitsrechug Hypergeometrische Verteilug Themeheft ud Traiigsheft Datei r Stad 17. April 2010 Friedrich W. Buckel Demo für ITERETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 4211 Hypergeometrische Verteilug 2 Ihalt 1 Eiführug Vorketisse Biomialkoeffiziet 5 Lottogewi-Wahrscheilichkeite 7 2 Die hypergeometrische Verteilug 2.1 Das Ureexperimet Ziehe ohe Zurücklege ; Beispiel 2.2 Verallgemeierug Eiige Beispiele 2.4 Erwartugswert ud Variaz der hypergeometrische Verteilug 14 Beispiel Vergleich mit der Biomialverteilug Berechug der hypergeometrische Verteilug mit Tascherecher Berechug der hypergeometrische Verteilug mit dem CAS-Recher CASIO ClassPad Berechug der hypergeometrische Verteilug mit dem CAS-Recher TI spire Berechug der hypergeometrische Verteilug mit EXCEL 2 Wareprüfugsverfahre 4.1 Übersicht 4.2 Musterbeispiel: Lieferugskotrolle kotra Fertigugskotrolle 5 4 Aufgabe zur hypergeometrische Verteilug 9 Demo für

3 4211 Hypergeometrische Verteilug 2. Eiige Beispiele - Weitere Aufgabe fidet ma i 4 Wie ma mit de verschiedee Recher die Ergebisse ermittelt wird ausführlich och i de Abschitte 2.7 bis 2.9 beschriebe. Hier geht es im Wesetliche um das Aufstelle der Berechugsformel. a) I eiem Skatspiel gibt es 16 rote Karte ud 16 schwarze Karte. Ma etimmt ohe Zurücklege 6 Karte. Mit welcher Wahrscheilichkeit erhält ma dabei 4 rote ud 2 schwarze Karte? 16 Lösug: P 0,241 Berechug mit eiem bessere Tascherecher: Mauelle Berechug: Oder mit dem CAS-Recher TI spire: 16! !! 2 16! 15 6! 26! P... 2! 4!! 2! 6! 26! b) I eiem Skatspiel gibt es 4 Spielfarbe: Kreuz, Pik, Herz, Karo. Jede mit Bilder. Dem Spieler werde 10 Karte ausgeteilt. Mit welcher Wahrscheilichkeit erhält er dabei geau A: 5 Kreuzkarte? B: alle Herzkarte? C: 5-mal Kreuz, -mal Pik ud 2-mal Karo? Lösug: 24 5 ( 5 ) 2 ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) 5 ( 2) 2 ( 10) P(A) 0, P B... 0, P C 0,0014 Bei C wurde die erweiterte hypergeometrische Verteilug beötigt. Dabei werde die Karte aus Sorte gezoge: Demo für 5 Kreuzkarte: 5 aus geht auf ( 5) Arte. Pikkarte: aus 7 geht auf Arte. 2 Karokarte: 2 aus geht auf ( 2 ) Arte. Diese Möglichkeite werde für de Zähler multipliziert.

4 4211 Hypergeometrische Verteilug c) Busfahrer köe eie Eizelfahrschei (E) habe, eie Dauerkarte (D) besitze, oder sie köe Schwarzfahrer (S) sei. Die Karte löst ma im Bus a eiem Automate. Gester befade sich im Bus der Liie 10 um 14 Uhr Persoe mit eiem Dauerfahrschei im Bus, hatte eie Eizelkarte gelöst ud ware Schwarzfahrer. Der Kotrolleur ka aus Persoalmagel ur vo eier Statio bis zur ächste kotrolliere. Er ka i dieser Zeit ur eie Stichprobe vo Persoe kotrolliere. Mit welcher Wahrscheilichkeit sid daruter A: geau 10 Persoe mit eiem gültige Fahrausweis? B: alle drei Schwarzfahrer? C: kei Schwarzfahrer? D: höchstes 1 Schwarzfahrer? E: mit Eizelfahrschei ud kei Schwarzfahrer? F: midestes 10 mit eiem Dauerfahrschei? G: 6 mit Eizelkarte, 4 mit eier Dauerkarte ud 2 Schwarzfahrer? Lösug: 20 20! 2 10 ( 2) 10! 10! 2 20!! 11! 1111 P( A) 0, ! 10! 10! 2! ( )! 11! 20 ( 9 ) 20!! 11! 1110 PB 0,42 2 9! 11! 2! PC 20 2 ( ) 0 20!! 11! ,092!! 2! PD... 0, PE ! 11!... 0, !! 2! P(F) , ( ) ( ) ( ) !! 11! P( G )... 0, !! 2! Sehr oft ka ma wie hier gezeigt güstig kürze. Beispiele:! 1110! 10! 10! 20! 20! 2! ! Demo für Wisse: k k z. B. ( ) ( ) ( 2 ), ( ) Ferer:, 1 1 0

5 4211 Hypergeometrische Verteilug Erwartugswert ud Variaz der hypergeometrische Verteilug Es gelte diese Formel: Erwartugswert: E( X) Variaz: M M M V X 1 1 Diese Formel ka ma auch aders aufschreibe. M p ist der Ateil, mit der die Merkmalsausprägug Sorte 1 i der Grudgesamtheit vorkommt, also die Wahrscheilichkeit, mit der ma eie Kugel dieser Sorte zieht. Da erhält ma: Erwartugswert: E( X) p Vhyp X p 1 p 1 Variaz: Hier fühlt ma sich stark a die Formel der Biomialverteilug eriert. Dort gilt: Für die Biomialverteilug für de Erwartugswert dasselbe, ud für Variaz gilt Bi ( ) V X p 1 p Die Variazformel der hypergeometrische Verteilug ud der Biomialverteilug uterscheide sich also ur durch de Faktor, de ma auch Korrekturfaktor et. Kürzt ma diese Bruch durch 1 1, da folgt Ist also groß, da wird 1 sehr klei ud der eer etwa 1. Aaloges gilt für de Fall, dass sehr klei gegeüber wird, da wird << 1, also 0 ud somit der Zähler etwa 1. Hiweis: Herleituge dazu fidet ma im Iteret z. B. uter dem Lik: oder bei Demo für

6 4211 Hypergeometrische Verteilug 15 Ei Beispiel zum Eisatz vo Erwartugswert ud Variaz: Aus eier Kiste mit 1000 Trasistore werde 100 etomme ud getestet. Die Fehlerwahrscheilichkeit wurde mit p 0,1 agegebe. Mit wie viele defekte ka ma reche? a) Zuächst wolle wir mit der Biomialverteilug reche, d. h. wir verwede das Modell Ziehe mit Zurücklege. Es sei X die Zufallsvariable Azahl der defekte Trasistore. Da folgt für de Erwartugswert: E( X) p 100 0,1 10 I welchem Itervall streut die Zufallsvariable X zu 95,5%? Dazu berechet ma die Stadardabweichug: σ p ( 1 p) 100 0,1 0,9 ud berechet dazu die 2σ Umgebug. Sie hat de Radius r σ ud wird daher gekezeichet durch: 10 X 10 bzw. 7 X X 7,,9,10,11,,. bzw. durch { } I ihr liege (we σ> ist) die X-Werte zu etwa 95,5%, was ma so aufschreibe ka: ( ) oder P7 X 0,955 P X 10 0,995. b) u reche wir hypergeometrisch. Dazu muss ma geau festlege, wie viele gute ud defekte Teile vorhade sid. Wir bereche, dass ausgehed vo 10% defekte uter de 1000 Trasistore 100 defekte ud 900 gute sei dürfte. Weiter auf der Mathe-CD Demo für