Rechnerpraktikum zu Grundlagen der Nichtlinearen Optimierung

Transkript

1 TU München Lehrstuhl Mathematische Optimierung Prof. Dr. Michael Ulbrich Dipl.-Math. Florian Lindemann Wintersemester 2008/09 Blatt 2 Rechnerpraktikum zu Grundlagen der Nichtlinearen Optimierung P5. Installation vom AMPL a) Installieren Sie das Programm AMPL in einem eigenen Verzeichnis Ihrer Wahl. Gehen Sie dazu auf und laden Sie sich die Studentenversion herunter. Folgen Sie dabei der Anleitung zur Installation von AMPL. Bitte beachten Sie dabei, dass Sie das Programm für das richtige Betriebssystem herunterladen müssen. In der Rechnerhalle nutzen Sie das Betriebssystem Solaris von Sun Microsystems auf SPARC Architektur. b) Setzen Sie den Suchpfad in Ihrem Terminal so, dass AMPL gefunden wird, z.b. export PATH=/u/halle/mustermann/home sun/packages/ampl:$path falls Sie AMPL und alle Löser als Benutzer mustermann im Unterverzeichnis packages/ampl/ Ihres Homeverzeichnisses installiert haben. Um rauszubekommen in welchem Verzeichnis Sie sich gerade befinden, können Sie den Befehl pwd verwenden. c) Installieren Sie zusätzlich auch noch einige Löser über die AMPL-Website in das gleiche Verzeichnis. Informieren Sie sich über die Solver und installieren Sie dann MINOS, DONLP2, SNOPT und CPLEX. Um die Installation zu testen, lassen Sie sich durch Aufruf der ausführbaren Dateien mit Option -v die Version anzeigen, z.b. durch minos -v. P6. Durchhängenes Seil Die senkrechten Ordinaten x k eines durch die Punkte ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 n,,,...,,, 0 x 1 x 2 x n 1 x n ( ) n gegebenen Polygonzuges soll den Verlauf eines Seils approximieren. Dieser Polygonzug soll so berechnet werden, dass er 1

2 oberhalb einer an der Stelle s stehenden Säule {(s,y) T : y h} verläuft, höchstens die Länge L > 0 hat, minimale Höhenenergie besitzt. Der Polygonzug kann durch Lösen des Optimierungsproblems berechnet werden, wobei min f(x) u.d.n. g 1 (x) 0, g 2 (x) 0 n 1 f(x) = x x (x k + x k+1 ) 1 + (x k+1 x k ) 2 + x n 1 + x 2 n g 1 (x) = g 2 (x) = h x s k=1 n x (xk+1 x k ) x 2 n L k=1 a) Dieses nichtlineare Optimierungsproblem soll nun für die Werte n = 30, L = 40, s = 10, h = 6 betrachtet werden. Dafür werden wir ein passendes AMPL-Model-File von der Homepage des Rechnerpraktikums herunterladen und das Optimierungsproblem mit einem Solver über AMPL lösen. Führen Sie dafür folgende Schritte durch: 1) Laden Sie die Datei P6.tar von der Website herunter und entpacken Sie diese. Vergleichen Sie den Inhalt von seil.mod, seil.dat und seil.com mit der Problemstellung. Welche Höhe hat die Säule und an welcher Stelle steht diese? Welcher Solver wird für das Problem genutzt? 2) Starten Sie AMPL in Ihrem Arbeitsverzeichnis. Durch die Eingabe model seil.mod; data seil.dat; wird das Modell und die Daten geladen. 3) Durch den Befehl commands seil.com; wird dann der Löser gestartet. Anhand der Textausgabe des Solvers erkennen Sie, ob der Löser erfolgreich war. Welche Informationen kann man noch ablesen? Außerdem wird die Lösung in eine externe Datei seil.out geschrieben, die im aktuellen Verzeichnis erzeugt wird. 2

3 4) Öffnen Sie die Datei seil.out in einem Editor und interpretieren Sie das Ergebnis. Um eine graphische Anschauung zu bekommen kann man sich die Lösung über ein Grafikprogramm anzeigen lassen. Starten Sie mit Hilfe des Befehls gnuplot im Terminal das Grafikprogramm. Hier können Sie nun mit plot seil.out w lines den Polygonzug anzeigen lassen. Mit der Anweisung quit können Sie das Programm wieder verlassen. b) Lösen Sie das gleiche Problem mit dem Solver MINOS. Verändern Sie dafür in der Datei seil.com die entsprechende Zeile. Durch Eingabe von reset; in AMPL wird das ursprüngliche Modell gelöscht. Durch erneutes Laden des Modells und Aufrufen von seil.com wird das Problem mit dem MINOS-Solver gelöst. Vergleichen Sie die Lösung, die Iterationszahlen und die Funktionsauswertungszahlen mit dem vorigen Solver. c) Lösen die gleiche Problem mit einem weiteren Solver. Nehmen Sie diesmal den Löser SNOPT. Sie müssen wieder mit reset; die Daten löschen. Vergleichen Sie die Textausgabe und die Lösung mit der Lösung von DONLP2. Was fällt Ihnen auf? d) Wir wollen nun das Problem mit abgewandelten Daten betrachten. Dafür wählen wir eine höhere Auflösung des Polygonzugs und teilen das Intervall nicht mehr in n = 30 Intervalle, sondern in n = 100 Intervalle auf. Entsprechend muss die Länge L des Seils angepasst werden. Dafür wählen wir L = 130. Für die Säule können wir auch eine andere Position und Höhe wählen, z.b. s = 60 und h = 15. Dies soll nun in dem Daten-File umgesetzt werden. Öffnen Sie dafür die Datei seil.dat und nehmen Sie nun an dieser Datei die entsprechenden Änderungen vor. Stellen Sie den Löser in seil.com wieder auf DONLP2. Bevor Sie die Optimierung starten, müssen Sie wieder reset; aufrufen. Vergleichen Sie die Iterationszahlen mit den vorherigen Durchläufen. Lassen Sie sich das Ergebnis wieder mit dem Grafikprogramm anzeigen und überprüfen Sie so Ihre Veränderungen. e) Wenden Sie den Löser MINOS auf das Problem an (wieder reset;!). f) Das Problem der fehlenden Konvergenz bei MINOS versuchen wir mit Änderungen an den Einstellungen der Parameter von MINOS zu lösen. Welche Fehlermeldung gibt der MINOS-Löser aus? Im Installationstext von MINOS auf der AMPL-Website ist ein Link auf genauere Informationen zu MINOS gegeben. Versuchen Sie im Userguide herauszufinden, wie man Optinonen von Minos bei AMPL verändern kann und setzen Sie die Variable Superbasics limit auf 100. Testen Sie den Löser nun. 3

4 g) Wir wollen nun noch eine zweite Säule hinzufügen. Öffnen Sie dafür Ihre Datei seil.mod und speichern Sie diese unter dem Namen seil2.mod in Ihrem Arbeitsverzeichnis. Fügen Sie nun eine weitere Nebenbedingung zum Modell hinzu, welche eine zweite Säule modelliert und ändern Sie die Ausgabe der Lösung in die Datei seil2.out. Dabei können Sie die Position und Höhe der zweiten Säule selbst auswählen. Beachten Sie, dass das Seil eine Mindestlänge L haben sollte, welche das Erreichen beider Säulen und der Randpunkte ermöglicht (sonst wird der Solver keine Lösung finden). Da Sie ein neues Modell eingeführt haben, müssen Sie durch reset; alles löschen und das Modell und die Daten neu einlesen. Lösen Sie Ihr Modell mit DONLP2 oder einem anderen Löser Ihrer Wahl und lassen Sie sich das Ergebnis wieder grafisch veranschaulichen. 4

5 P7. Optimales Design eines Gebäudes Ein quaderförmiges Gebäude soll optimal dimensioniert werden. Bezeichne l die Länge, b die Breite, h die Höhe (über Grund) und t die Tiefe (unter Grund) des Gebäudes. Der Bauherr stellt folgende Anforderungen, wobei zur Vereinfachung die Dicke der Wände und der Böden bzw. Decken vernachlässigt wird: (1) Das Gebäude soll mindestens so lang, aber höchstens doppelt so lang wie breit sein. (2) Die Länge l des Gebäudes darf 40 m nicht überschreiten. (3) Die Höhe h des Gebäudes über Grund darf dessen Länge nicht unterschreiten. (4) Alle Stockwerke sollen eine einheitliche Höhe von mindestens 3,50 m haben. (5) Mindestens 10%, aber höchstens 25% des Gebäudes sollen unter der Erde liegen. (6) Der Boden des Erdgeschosses soll ebenerdig sein. (7) Die durch alle Stockwerke des Gebäudes bereitgestellte Bodenfläche soll in der Summe mindestens m 2 betragen. (8) Die durchschnittlichen jährlichen Heizkosten werden mit 100 Euro pro m 2 der über Grund liegenden Außenfläche des Gebäudes angesetzt. Die jährlichen Gesamtkosten für Heizung sollen Euro nicht überschreiten. Das Gebäude soll nun unter den angegebenen Bedingungen so dimensioniert werden, dass die Menge des für den Bau des Gebäudes auszuhebenden Erdreichs minimal ist. a) Wir modellieren das Problem wieder mit AMPL. Laden Sie sich von der Website die Datei P7.tar herunter. Vergleichen Sie den Inhalt der Dateien optdes.mod und optdes.dat mit der Aufgabenstellung. b) Wir nehmen nun vorerst die Ganzzahligkeitsrestriktionen von n t und n h nicht auf und ersetzen diese durch n t = 3 und n h = 9. Die entsprechenden AMPL-Dateien sind optdes2.mod und optdes2.dat. Das Nicht- Berücksichtigen der Ganzzahligkeitsrestriktionen hat einen guten Grund. Die Solver SNOPT, MINOS und DONLP2 beinhalten nichtlineare Optimierungsverfahren, welche keine Ganzzahligkeitsnebenbedingungen behandeln können. Auch CPLEX kann nur konvexe quadratische Probleme mit integer-restriktionen behandeln. Wir setzen erst einmal - recht willkürlich - die Anzahl der Stockwerke auf n t = 3 und n h = 9 und optimieren bezüglich der anderen Variablen: commands optdes2.com; Kann man von der Lösung dieses Problems auf Eigenschaften der Lösung des Ursprungproblems schließen? 5

6 c) Probieren Sie weitere Paare (n t,n h ) aus, indem Sie für diese feste Werte vorgeben und dann das Optimierungsproblem lösen. Versuchen Sie die optimale Lösung des Ursprungsproblems (P) zu erraten. d) Betrachten Sie nun anstelle von (P) das sogenannte relaxierte Problem (P ). Dabei werden die Ganzzahligkeitsbedingungen einfach weggelassen und in diesem Fall durch n t 0 und n h 0 ersetzt. Setzen Sie dies in Ihrem Modell um und lösen Sie das relaxierte Problem mit DONLP2 und SNOPT. Welche Meldungen kommen von den Lösern? Denken Sie daran in dieser Aufgabe jeweils wieder reset; aufzurufen, falls Sie einen neuen Solver nutzen oder die Daten ändern. e) Optimierungsverfahren haben meistens größere Erfolgschancen, wenn bereits ein guter Startpunkt gewählt wird. In AMPL können Startpunkte bei der Deklaration der Variablen angegeben werden. Falls zum Beispiel ein Startpunkt b = 31.5 gewünscht ist, so ersetzt man in der Modell-Datei optdes.mod die Deklaration von b durch: var b >= 0 := 31.5; Setzen Sie dies nun für alle Variablen um. Probieren Sie beispielsweise: b = 31.5, h = 31.5, l = 31.5, n h = 9, n t = 3, s = 3.5, t = 10.5 Lösen Sie das relaxierte Problem mit diesem Startpunkt wieder mit SNOPT und DONLP2. Vergleichen Sie die beiden Ergebnisse der Löser. Widersprechen sich die Lösungen? Kann man von diesen Lösungen auf die Lösung von (P) schließen? f) Bis jetzt haben wir hauptsächlich die beiden Löser DONLP2, MINOS und SNOPT benutzt. Alternativ kann man natürlich auch andere Solver benutzen. Für die Lösung von (P) bietet sich ein Löser an, welcher nichtlineare Optimierungsprobleme mit mixed-integer Nebenbedingungen lösen kann. Ein solcher Löser ist BONMIN, welcher frei verfügbar ist. Allerdings ist das Installieren von BONMIN etwas komplizierter, da man den Code selbst kompilieren muss und zudem noch weitere Softwarepakete benötigt werden, welche man zuvor installieren muss. Alternativ kann man auf den Server NEOS ( zurückgreifen. NEOS ist ein Server, dem man seine Optimierungsprobleme zuschicken kann und welcher diese dann löst. Den Lösungsprozess kann man direkt verfolgen (wie auf einem Terminal) und sich die Lösung auch per zuschicken lassen. Dies hat mehrere Vorteile: Zum einen hat NEOS deutlich mehr Rechnerkapazität als ein durchschnittlicher PC und zum anderen kann man mit NEOS auch Solver nutzen, die ansonsten nicht frei verfügbar sind. Außerdem kann man verschiedene Löser schnell nutzen ohne sie vorher lokal installieren zu müssen. Auf der Seite finden Sie eine Übersicht von Lösern, welche Sie über NEOS aufrufen können. 6

7 In den eckigen Klammern stehen die Interfaces mit denen eine Eingabe des Modells möglich ist - ein Interface ist beispielsweise die Eingabe über AMPL-Model-Files. Im Bereich Mixed Integer Nonlinearly Constrained Optimization finden Sie den Löser BONMIN, welcher ein AMPL-Interface unterstützt. Wir müssen die Datei optdes.com noch abwandeln, indem wir die Zeile mit option solver rauslöschen. Nun können wir NEOS mit dem Lösen des Problems beauftragen: Gehen Sie auf und wählen Sie dort bei BONMIN das AMPL-Interface. Auf der folgenden Seite haben Sie nun die Möglichkeit die beiden Dateien hochzuladen. Im Bereich Model File können Sie Ihre Datei optdes.mod, im Bereich Data File die Datei optdes.dat und im Bereich Commands File die Datei optdes.com auswählen. Geben Sie dann noch Ihre -Adresse ein, falls Sie die Lösung zugeschickt haben möchten und klicken Sie auf den Button Submit to NEOS. Daraufhin wird der Löser gestartet. Vergleichen Sie die Lösung mit Ihrer bisherigen Vermutung. P8. Hausaufgabe Im nächsten Rechnerpraktikum wollen wir Optimierungssoftware auf den Rechnern installieren. Diese nutzt zum Lösen der auftretenden Gleichungssysteme externe Lineare-Algebra-Pakete. Damit wir diese nutzen können, muss sich jeder Benutzer vorher bei der HSL (früher Harwell Subroutine Library) registrieren lassen. Ihre Hausaufgabe besteht darin, sich die Pakete MA27 und MC19 zu besorgen: a) Gehen Sie zur Seite Folgen Sie den Instruktionen auf der Seite, lesen Sie die Nutzer-Lizenz und registrieren Sie sich, wenn Sie mit den Lizenzvereinbarungen einverstanden sind. b) Wenn Sie sich registriert haben, erhalten Sie einen Username und ein Passwort per zugeschickt. Damit haben Sie Zugang zu HSL Archive Programs. Laden Sie sich dort die Pakete MA27 und MC19 herunter und speichern Sie diese unter dem Namen ma27ad.f und mc19ad.f 7