Regression. Regression. Regression. Einführung. Beispiel. Korrelationsrechnung Stärke eines Zusammenhanges

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1 (, } ) (, ) Regresso X e Y Stchprobe I Y Stchprobe II X X Stchprobe III Stchprobe IV odell (Kostate) Alter Koeffzete a Ncht stadardsertestadardserte Koeffzete Koeffzete Stadardf B ehler Beta T Sgfaz -3,86,637-8,99,,87,4,84,6, a Abhägge Varable: Dauer m Pflegeberuf Y X Y X Regresso Eführug Korrelatosrechug Stäre ees Zusammehages Regressosrechug Form ees Zusammehages! adere Fragestellug! her: efache ud multple leare Regresso Regresso Bespel Bespel: Ascombe-Quartett Gegebe see ver Stchprobe mt je Werte Iteressat st a dese Datesätze, daß für alle X-Varable das arthmetsche ttel 9 beträgt ud das arthmetsche ttel für alle Y- Varable beträgt 7 Soda errechet ma für alle Stchprobe ee Korrelatosoeffzet vo 8 Stchprobe I Stchprobe II Stchprobe II Stchprobe IV X Y X Y X 3 Y 3 X 4 Y

2 Ählcher Sachverhalt? Regresso Bespel Regresso Allgeme Regressosaalse bestmmt futoale Zusammehag, der de Date uterlegt Utersched zur Korrelatosaalse: ermale werde cht als glechgewchtg agesehe, Soder es wrd e ermal Abhägget vo eem oder mehrere adere ermale betrachtet Zusammehag be reale Date Zufallsschwauge e eater (mathematscher) Zusammehag Schätzug vo futoalem Zusammehag ud etsprechede Parameter Regresso Allgeme abhägge (metrsche) Varable Y uabhägge (metrsche) Varable X (oder X,, X ) Regressad Regressore Futoale Bezehug: Y f(x) bzw Y f(x,, X ) Regressosmodell: Y f(x) E bzw Y f(x,, X ) E mt E zufällger Fehler (Störterm) 6

3 Regresso efache leare Regresso multple leare Regresso Y f(x) E Y f(x,, X ) E Regresso vo X bzw X,,X auf Y 7 Efache leare Regresso Voraussetzuge es legt ee metrsche Stchprobe (, ),,(, ) vor futoaler Zusammehag vo Y ud X ( ) E E Y f der zufällge Fehler E st ee (ormalvertelte) Zufallsvarable mt E(E) ud Var (E) σ e sowe E ~ N(, σ e ) damt glt E ( Y ) f ( ) Var Y σ ud ( ) e 8 Efache leare Regresso Voraussetzuge für de beobachtete Wertepaare setze wr damt de leare Zusammehag voraus e,,, herbe bezechet das Absolutgled (Achseabschtt der Regressosgerade) ud de Stegugsparameter der uterstellte Geradeglechug 9 3

4 Efache leare Regresso Voraussetzuge für de beobachtete Wertepaare setze wr damt de leare Zusammehag voraus e,,, weterh bezeche e,, e Realsatoe der uabhägge Zufallsvarable E,, E de realserte zufällge Fehler e,, e sd jedoch cht dret beobachtbar Efache leare Regresso Zel aus der vorlegede Stchprobe (, ),,(, ) solle u Schätzer für das Absolutgled ud de Stegugsparameter so bestmmt werde, dass de Summe der quadrerte vertale Abstäde aller Beobachtugspaare mmal wrd Summe aller quadrerte Abstäde SQ ( ) st Schätzer für ß (Absolutgled) st Schätzer für ß (Stegug) Efache leare Regresso Zel quadratsche Abstäde, damt Abwechuge vo der vermutete Gerade ach obe ud ute sch cht gegesetg aufhebe (, } ) (, ) 4

5 Efache leare Regresso Ermttlug eer Regressosgerade Für de Ermttlug eer Regressosgerade de dem zuvor aufgestellte merugsrterum gerecht wrd, müsse de partelle Abletuge gebldet ud glech Null gesetzt werde SQ ( ) SQ ( ) 3 Efache leare Regresso Ermttlug eer Regressosgerade Es ergebe sch de Normaleglechuge ud 4 Efache leare Regresso Ermttlug eer Regressosgerade Als ösug des Glechugssstems erhalte wr als Schätzer für das Absolutgled ud für de Stegugsparameter ( )( ) ( ) s s

6 Efache leare Regresso Ermttlug eer Regressosgerade Zu jedem beobachtete Stchprobewert (, ) läßt sch u e geschätzter Wert auf der Regressosgerade bestmme als (,ŷ ) mt,, De Dfferez vo beobachtetem Wert ud geschätztem Wert ŷ, wrd als Schätzer für de zufällge Fehler ê betrachtet ud als Resduum bezechet e 6 Efache leare Regresso Ermttlug eer Regressosgerade De theoretsche Resdue ergebe sch als e Se sd cht dret zu bestmme, da ß ud ß ubeat sd ud öe daher ur geschätzt werde Für de geschätzte Resdue glt ( ) e 7 Efache leare Regresso Bespel Bespel: Ascombe-Quartett Stchprobe I Stchprobe II earer Zusammehag? Y Y X X Stchprobe III Stchprobe IV Y 3 Y X X

7 Efache leare Regresso Ermttlug eer Regressosgerade De Summe aller Abwechuge vo tatsächlch beobachtete Werte zu de geschätzte Werte beträgt gerade Null Je besser de geschätzte Regressosgerade de zugrudelegede Date agepaßt st, desto äher lege de tatsächlch beobachtete Werte (, ) a der geschätzte Regressosgerade Jede geschätzte Regressosgerade geht dabe durch de Put, der bede ttelwerte ( ) 9 Bespel: Reha-Kle Efache leare Regresso Bespel Für Verbäde vo Reha-Kle soll der Zusammehag zwsche der Azahl vo (Erst)Kleteotate pro Jahr Abhägget vo der Azahl beschäftgter Sozalarbeter(e) utersucht werde Herzu wurde de folgede Date erhobe : Az Kleteotate : Az tarbeter earer Zusammehag? Bespel: Reha-Kle Efache leare Regresso Bespel 9 Budget Azahl der tarbeter(e) earer Zusammehag? 7

8 Bespel: Reha-Kle Efache leare Regresso Bespel Es wrd e learer Zusammehag der Form e,,, vermutet Um de Schätzer für das Absolutgled sowe de Stegugsparameter zu ermttel, müsse zuächst de folgede emprsche Größe berechet werde: de arthmetsche ttel, de emprsche Varaz s, sowe de emprsche Kovaraz s Bespel: Reha-Kle Efache leare Regresso s ( ) 99 9 Bespel ( ( ) 4 ( 3) ( ) 3 ( ) ( 4) ) 3 Efache leare Regresso Bespel Bespel: Reha-Kle 9 9 s ( ) ( ) ( 3 ( ) ( 38) 4 89 ( 7) 3 88 ( 3) ( 66) ( ) ( 96) 3 64 ( ) ( 6) ( 4) ( 4)) ( )

9 Efache leare Regresso Bespel Bespel: Reha-Kle s s s s Stegug Achseabschtt Bespel: Reha-Kle Efache leare Regresso Bespel 89 79,, De (geschätzte) Azahl Kleteotate setzt sch also aus eem feste Atel vo 89 Kotate plus eem Atel, der sch als das 79fache der Azahl tarbeter(e) bestmmt, zusamme 6 Bespel: Reha-Kle Efache leare Regresso Bespel Azahl Kleteotate Azahl tarbeter(e) 7 9

10 Bespel: Reha-Kle Efache leare Regresso Bespel ŷ ê Tatsächlch beobachtete sowe geschätzte Azahle der Kleteotate ud de daraus resulterede geschätzte Resdue,, e 8 Efache leare Regresso Bespel Bespel: Ascombe-Quartett earer Zusammehag? Efache leare Regresso Bespel Bespel: Ascombe-Quartett e,,, 9 ud 7 Stchprobe I: s s Stchprobe II: s s Stchprobe III: Stchprobe IV: s s s s 3

11 Efache leare Regresso Bespel Bespel: Ascombe-Quartett / s s Stchprobe I: Stchprobe II: Stchprobe III: Stchprobe IV: Efache leare Regresso Bespel Bespel: Ascombe-Quartett Stchprobe I Stchprobe II Y Y X X Stchprobe III Stchprobe IV Y 3 Y X X Efache leare Regresso Resdualaalse Resdualaalse Güte der odellapassug t Hlfe der Resdue läßt sch auf efache Wese (zb grafsch) überprüfe, ob e gewählter Regressosasatz dem zugrudelegede Datesatz gut agepaßt st: Resdueplot Zel: Eree vo sstematsche Verzerruge 33

12 Efache leare Regresso Resdualaalse Resdualaalse Güte der odellapassug efache leare Regresso: Scatterplot der uabhägge Varable (X-Varable) oder aber der geschätzte Beobachtugswerte ud der geschätzte Resdue multple leare Regresso: Scatterplot für jede uabhägge Varable 34 Efache leare Regresso Resdualaalse Resdueplot Erwüscht: de geschätzte Resdue lege ohe erebare Strutur um de Wert Null Resdue - (a): oder 3 Resdualaalse Resdueplot Ncht erwüscht: erebare Sstemat cht adäquater odellasatz Efache leare Regresso Hwes auf Heterosedastztät (ugleche Fehlervaraze) Resdue - (b ): o d er 36

13 Efache leare Regresso Resdualaalse Resdueplot Ncht erwüscht: erebare Sstemat cht adäquater odellasatz Resdue - Hwes auf Heterosedastztät (ugleche Fehlervaraze) (e): o der 37 Efache leare Regresso Resdualaalse Resdueplot Ncht erwüscht: erebare Sstemat cht adäquater odellasatz Hwes auf Heterosedastztät (ugleche Fehlervaraze) Resdue - (f): o d e r 38 Efache leare Regresso Resdualaalse Resdueplot Ncht erwüscht: erebare Sstemat cht adäquater odellasatz Hwes auf chtleare Zusammehag Resdue - (d): oder 39 3

14 Efache leare Regresso Resdualaalse Resdueplot (cht adäquater odellasatz) fächerförmger Verlauf ugleche Fehlervaraze Hwes auf Heterosedastztät (ugleche Fehlervaraze) ud chtleare Zusammehag Resdue - (c ): o d e r 4 Efache leare Regresso Bespel Bespel: Ascombe-Quartett Stchprobe I Stchprobe II Y Y X X Stchprobe III Stchprobe IV Y 3 Y X X Efache leare Regresso Bespel: Ascombe-Quartett 6 Resdue vo Resdue vo Resdue vo Resdue vo

15 Efache leare Regresso Resdualaalse Größeordug der Resdue Normerug?! Resduum, zugehörge Beobachtug gleche Größeordug odellapassug??? Resduum, zugehörge Beobachtug Resduum % des Beobachtugswertes gute odellapassug Ausweg: a) ormerte Resdue e, e orm,,, 43 Efache leare Regresso Resdualaalse b) stadardserte Resdue e e,std,,, s s Überprüfug der Normalvertelugsaahme Q-Q-Plots Überprüfug vo Ausresser, > 3 e std Resdualaalse uter Verwedug ormerter oder stadardserter Resdue 44 Bespel: Reha-Kle Efache leare Regresso Bespel Azahl Kleteotate Azahl tarbeter(e) 4

16 Bespel: Reha-Kle Efache leare Regresso Bespel ŷ ê e, orm e, std tarbeterzahl, beobachtete sowe geschätzte Azahl der Kleteotate ud de daraus resulterede geschätzte Resdue 46 Efache leare Regresso Bespel 3 Geschätzte Resdue Azahl tarbeter(e) 47 Efache leare Regresso Bespel 3 Geschätzte Resdue Azahl Kleteotate 48 6

17 Efache leare Regresso Bespel Stadardserte Resdue Azahl tarbeter(e) 49 Efache leare Regresso Bespel Stadardserte Resdue Azahl Kleteotate Bespel: Reha-Kle Efache leare Regresso Bespel ee Sstemat de Verläufe der geschätzte Resdue der gewählte leare Regressosasatz erschet damt adäquat Uterstellt ma de zufällge Fehler ee Normalvertelug, so lässt sch aus de stadardserte geschätzte Resdue auch e Hwes auf ausreßerverdächtge Beobachtuge gewe, da für e stadardsertes Resduum glt e, std > 3 7

18 Efache leare Regresso det zur odellüberprüfug Das Bestmmthetsmaß De Güte der Apassug der Regressosgerade a das gegebee Datemateral a ma cht ur mt Hlfe ees Resdueplots überprüfe, soder auch uter Verwedug eer umersche aßzahl Zel: emprsche aßzahl mt Werte zwsche schlechte Apassug ( % ) sehr gute Apassug ( % ) Efache leare Regresso Das Bestmmthetsmaß umersche aßzahl beruht auf eem Verglech der emprsche Varaz der beobachtete -Werte mt der emprsche Varaz der geschätzte -Werte Wrd de emprsche Streuug der beobachtete -Werte durch de gewählte Regressosasatz gut erlärt, so st de emprsche Varaz der geschätzte -Werte (aäherd) glech der beobachtete emprsche Streuug der beobachtete -Werte Be eem schlecht gewählte Regressosasatz st dagege de emprsche Varaz der geschätzte Beobachtuge m Verglech zur emprsche Varaz der beobachtete Werte gerg 3 Efache leare Regresso Das Bestmmthetsmaß Kostruto der aßzahl als Quotet der Varazschätzer R : s s ( ) ( ) ( ) e Für das Bestmmthetsmaß glt: R 4 8

19 Efache leare Regresso Das Bestmmthetsmaß Nmmt das Bestmmthetsmaß de Wert Null oder ee Wert ahe Null a, so st de odellapassug schlecht Bestzt es ee Wert vo Es oder ahe Es, so legt ee gute odellwahl vor Im Falle der efache leare Regresso, we also ur ee uabhägge Varable X vorlegt, glt: R r r st der Korrelatosoeffzet ach Bravas-Pearso Efache leare Regresso Das Bestmmthetsmaß Zusätzlch zur Überprüfug ees gewählte Regressosasatzes mt Hlfe des Bestmmthetsmaßes sollte jedoch auch mmer Grafe zur Beurtelug des gewählte Asatzes hzugezoge werde Für uterschedlche Zusammehäge öe gleche emprsche Werte des Bestmmthetsmaßes errechet werde! 6 Efache leare Regresso Das Bestmmthetsmaß Der Term U e ( ) R U wrd auch als Ubestmmthetsmaß eer Regresso bezechet 7 9

20 Efache leare Regresso Das Bestmmthetsmaß Oftmals fdet auch e orrgertes Bestmmthetsmaß zur Beurtelug der odellgüte Verwedug R corr R ( R ) Beobachtuge uabhägge Varable 8 Efache leare Regresso Bespel Bespel: Ascombe-Quartett Stchprobe I Stchprobe II Y Y X X Stchprobe III Stchprobe IV Y 3 Y X X Efache leare Regresso Bespel: Ascombe-Quartett Bespel Da bem Ascombe-Quartett be alle ver Stchprobe e Korrelatosoeffzet vo r 8 auftrat, ergbt sch alle Fälle jewels e Bestmmthetsmaß vo R 8 67 Ahad deses Bespels eret ma, we wchtg es st, dass der jewelge Regressosasatz zusätzlch vsuell ahad vo Grafe überprüft wrd 6

21 Bespel: Reha-Kle Efache leare Regresso Bespel Azahl Kleteotate Azahl tarbeter(e) 6 Efache leare Regresso Bespel Bespel: Reha-Kle Es st ( ) e Damt glt R e ( ) gute odellapassug: der Atel der Varaz der geschätzte Beobachtuge a der Varaz der beobachtete Werte beträgt mehr als 93 Prozet 6 Efache leare Regresso Testverfahre der Regresso Überprüfug ees gewählte Regressosasatzes als Gazes: F-Test Überprüfug der ezele Regressosoeffzete: t-test 63

22 Efache leare Regresso Testverfahre der Regresso F-Test: Überprüfug der gesamte Regressosfuto odell: Nullhpothese: e,,, H : Teststatst: Verglech der Quadratsumme uter dem odell ud der Quadratsumme der Fehler Testetschedug: Verglech des Teststatstwertes mt Quatle der zugehörge F-Vertelug 64 Efache leare Regresso Testverfahre der Regresso odell odell Regresso Resdue Gesamt ANOVA b Quadrats ttel der umme df Quadrate F Sgfaz 389, ,333 48,7, a 74,97 3 3,7 3,6 4 a Eflußvarable : (Kostate), Alter b Abhägge Varable: Dauer m Pflegeberuf Fehler Teststatst dq od /dq Res ormerte Quadratsumme dq QS/df p-wert 6 Efache leare Regresso Testverfahre der Regresso t-test: Überprüfug ezeler Regressosoeffzete odell: Nullhpothese: e,,, H : j j ( ) oder Teststatst: H : j j bzw H : j j Verglech vo Schätzer ud theoretschem Wert des Regressosoeffzete Testetschedug: Verglech des Teststatstwertes mt Quatle der zugehörge t-vertelug 66

23 Efache leare Regresso Testverfahre der Regresso Be der Durchführug des Tests vergleche wr u de Realsato deser Teststatst j j t σ j mt σ j st Varazschätzer für j mt Quatle der t-vertelug mt - Frehetsgrade ( sd gägge Statst-ehrbücher vertafelt) 67 Efache leare Regresso Testverfahre der Regresso Esetge (Null-)Hpothese über de Parameter ß j werde zum Nveau α abgeleht, falls t α > t ; st Dabe st t der Absolutbetrag der Teststatst t ud t -;-α das (-α)-quatl eer t-vertelug mt - Frehetsgrade Zwesetge (Null-)Hpothese über de Parameter ßj werde zum Nveau α abgeleht, falls t t > ; α st Dabe st t -;-α/ das (-α/)-quatl eer t-vertelug mt - Frehetsgrade 68 Efache leare Regresso Testverfahre der Regresso odell (Kostate) Alter Ncht stadardserte Koeffzete Koeffzete a a Abhägge Varable: Dauer m Pflegeberuf Stadardserte Koeffzete Stadardf B ehler Beta T Sgfaz -3,86,637-8,99,,87,4,84,6, Varazschätzer σ(ß j ) Teststatst p-wert Regressosoeffzete 69 3

24 ultple leare Regresso Voraussetzuge es legt ee metrsche Stchprobe (,,, ),,(,,, ) vor mt Eflussvarable (Regressore) ud jewels Beobachtuge futoaler Zusammehag vo Y ud X,, X Y E der futoale Zusammehag vo Y ud X,, X beschrebt u cht mehr ee efache Gerade soder velmehr ee (Hper-)Ebee 7 ultple leare Regresso Voraussetzuge der zufällge Fehler E st ee (ormalvertelte) Zufallsvarable mt E(E) ud Var (E) σ e sowe E ~ N(, σ e ) Es glt E ( Y ) f ( ) ud Var ( Y ) σ e 7 ultple leare Regresso Voraussetzuge für de beobachtete Wertepaare setze wr damt de leare Zusammehag voraus e,,, herbe bezechet das Absolutgled (Achseabschtt der Regressosgerade) ud,, de Stegugsparameter der uterstellte Glechug für de Hperebee 7 4

25 ultple leare Regresso Voraussetzuge für de beobachtete Wertepaare setze wr damt de leare Zusammehag voraus e,,, weterh bezeche e,, e Realsatoe der uabhägge Zufallsvarable E,, E de realserte zufällge Fehler e,, e sd jedoch cht dret beobachtbar 73 ultple leare Regresso Voraussetzuge de Azahl der Regressosparameter darf de Azahl vo Beobachtuge (Stchprobeumfag) cht überschrete! (Sost öe de Regressosparameter cht mehr edeutg geschätzt werde) < Heterosedastztät: Fehler e,, e als Realsatoe uterschedlch vertelter Zufallsvarable mt uterschedlche Varaze Homosedastztät: Fehler e,, e als Realsatoe vo Zufallsvarable mt derselbe Varaz (her ur betrachtet!) 74 ultple leare Regresso Zel aus der vorlegede Stchprobe (,,, ),,(,,, ) solle u Schätzer für das Absolutgled ud de Stegugsparameter so bestmmt werde, dass de Summe der quadrerte vertale Abstäde aller Beobachtugspaare mmal wrd 7

26 ultple leare Regresso Zel Summe aller quadrerte Abstäde SQ ( K ), K, st Schätzer für ß (Absolutgled) sd Schätzer für ß,, ß ( Stegug ) 76 ultple leare Regresso Zel quadratsche Abstäde, damt Abwechuge vo der vermutete Gerade ach obe ud ute sch cht gegesetg aufhebe 77 ultple leare Regresso Ermttlug eer Regressosgerade Für de Ermttlug eer Regressos(hper)ebee de dem zuvor aufgestellte merugsrterum gerecht wrd, müsse de partelle Abletuge gebldet ud glech Null gesetzt werde SQ j j j SQ j j j SQ j j 78 j 6

27 7 79 Ermttlug eer Regressos(hper)ebee Es ergebe sch de Normaleglechuge ultple leare Regresso 8 Ermttlug eer Regressos(hper)ebee Als ösug des Glechugssstems erhalte wr als Schätzer für das Absolutgled ultple leare Regresso 8 Ermttlug eer Regressos(hper)ebee Zu jedem beobachtete Stchprobewert (,,, ) läßt sch u e geschätzter Wert auf der Regressosgerade bestmme als (,,,ŷ ) mt ultple leare Regresso,,,,

28 ultple leare Regresso Ermttlug eer Regressos(hper)ebee De Dfferez vo beobachtetem Wert ud geschätztem Wert ŷ, wrd als Schätzer für de zufällge Fehler ê betrachtet ud als Resduum bezechet e,, Für de geschätzte Resdue glt e ( ) 8 ultple leare Regresso Ermttlug eer Regressos(hper)ebee De theoretsche Resdue ergebe sch als e,,,, Se sd cht dret zu bestmme, da ß, ß,, ß ubeat sd ud öe daher ur geschätzt werde 83 ultple leare Regresso Ermttlug eer Regressos(hper)ebee De Summe aller Abwechuge vo tatsächlch beobachtete Werte zu de geschätzte Werte beträgt gerade Null Je besser de geschätzte Regressos(hper)ebee de zugrudelegede Date agepaßt st, desto äher lege de beobachtete Werte (, ) a der geschätzte Regressosgerade Jede geschätzte Regressos(hper)ebee geht dabe durch de Put,,, aller ttelwerte ( ) K 84 8

29 ultple leare Regresso Bespel Bespel: Reha-Kle Für de zuvor utersuchte Zusammehag vo Azahl Kleteotate ud Azahl tarbeter(e) Verbäde vo Reha-Kle soll u auch das zur Verfügug stehede jährlche Budget ( Taused Euro) de Aalse mt ebezoge werde Herbe soll de Azahl der Kleteotate Abhägget vo der Azahl der tarbeter ud des jährlche Budgets utersucht werde : Az Kleteotate : Az tarbeter : jährlches Budget earer Zusammehag? 8 Bespel: Reha-Kle ultple leare Regresso Bespel earer Zusammehag? 86 Bespel: Reha-Kle ultple leare Regresso Bespel Es wrd e learer Zusammehag der Form e,, vermutet Um de Schätzer für das Absolutgled sowe de Stegugsparameter zu ermttel, müsse zuächst de folgede emprsche Größe berechet werde: de arthmetsche ttel, de emprsche Quadratsumme aller - ud -Werte 87 9

30 3 88 ultple leare Regresso Bespel Bespel: Reha-Kle ( ) ( ) ( ) 3 Zur Ermttlug der Schätzer werde de folgede Normaleglechuge beötgt 89 ultple leare Regresso Bespel Bespel: Reha-Kle 9 9, 8 7, 99 9, , ultple leare Regresso Bespel Bespel: Reha-Kle, ,

31 Bespel: Reha-Kle ultple leare Regresso Bespel ultple leare Regresso Bespel Bespel: Reha-Kle Damt ergbt sch ( ) : ( ) : , , ( 3) : Bespel: Reha-Kle ultple leare Regresso Bespel Esetze ud Auflöse der Glechuge ergbt

32 ultple leare Regresso Bespel Bespel: Reha-Kle De orrete Glechug für de ermttelte Regressosebee lautet damt ,,, Aus pragmatsche Grüde st es jedoch ratsam, de Glechug mt 4 6 4,,, azugebe 94 ultple leare Regresso Bespel Bespel: Reha-Kle 4 6 4,,, Uter dem erweterte Regressosmodell setzt sch de Azahl der Kleteotate zusamme aus eem feste Atel vo ca 4 Kotate plus eem Atel, der sch als das ugefähre 6fache der tarbeterazahl bestmmt, mus eem Atel, der ugefähr 4 Prozet des Budgets etsprcht Aus de geschätzte Regressosparameter lässt sch cht schlussfolger, dass de tarbeterazahl ee deutlch größere Efluss auf de Azahl der Kleteotate bestzt als das jährlch zur Verfügug stehede Budget 9 ultple leare Regresso Bespel Bespel: Reha-Kle ŷ ê Tatsächlch beobachtete sowe geschätzte Azahle der Kleteotate ud de daraus resulterede geschätzte Resdue e 96 3

33 33 97 Bespel Bespel: Reha-Kle ultple leare Regresso Regressosmodelle atrschrebwese astelle vo lässt sch allgeme atrschrebwese auch schrebe ultple leare Regresso X e e,,, üblche Schrebwese überschtlchere Notato 99 e e e ud, e ultple leare Regresso X e Regressosmodelle atrschrebwese Stchprobewerte ( ), Regressosparameter (ß, ß,, ß ) sowe de Resdue (e ) werde spaltewese zu Vetore der äge, ud zusammegefaßt

34 34 ultple leare Regresso X e Regressosmodelle atrschrebwese e e e O ultple leare Regresso Regressosmodelle atrschrebwese De ultplato eer atr mt eem (Spalte)vetor setzt dabe voraus, daß de äge des Vetors () detsch st mt der Spalteazahl der atr De ultplato wrd vo rechts durchgeführt Es werde für jede Zele der atr X de dort stehede Werte elemetwese mt de Werte des Vetors multplzert ud aufsummert de Addto vo Vetore (glecher äge!) erfolgt elemetwese X e ultple leare Regresso Regressosmodelle atrschrebwese X O

35 ultple leare Regresso Regressosmodelle atrschrebwese X e st damt detsch mt e e e 3 ultple leare Regresso Regressosmodelle atrschrebwese Das Sstem der Normaleglechuge lautet atrschrebwese X T X X T mt X T st de traspoerte atr zu X (Zele ud Spalte vertauscht), 3 T X $ ( X' X) X' ultple leare Regresso Regressosmodelle atrschrebwese Als ösuge der Normaleglechuge erhalte wr ( atrschrebwese) mt (X X) - st de verse atr zu (X X) De Vetore der geschätzte -Werte ud der geschätzte Resdue sd X e X 3

36 ultple leare Regresso Bespel Bespel: Reha-Kle Für de zuvor utersuchte Zusammehag vo Azahl Kleteotate ud Azahl tarbeter(e) Verbäde vo Reha-Kle soll u auch das zur Verfügug stehede jährlche Budget ( Taused Euro) de Aalse mt ebezoge werde Herbe soll de Azahl der Kleteotate Abhägget vo der Azahl der tarbeter ud des jährlche Budgets utersucht werde : Az Kleteotate : Az tarbeter : jährlches Budget earer Zusammehag? 6 ultple leare Regresso Bespel Bespel: Reha-Kle Date atrzeform X e ud X ultple leare Regresso Bespel Bespel: Reha-Kle Date atrzeform X T X

37 ultple leare Regresso Bespel Bespel: Reha-Kle Date atrzeform X T ultple leare Regresso Bespel Bespel: Reha-Kle Date atrzeform $ ( X' X) X' ultple leare Regresso Bespel Bespel: Reha-Kle

38 ultple leare Regresso Resdualaalse Bestmmthetsmaß Testverfahre der Regresso aalog zur efache leare Regresso ultple leare Regresso Testverfahre der Regresso F-Test: Überprüfug der gesamte Regressosfuto odell: Nullhpothese: e,,, H K : Teststatst: Verglech der Quadratsumme uter dem odell ud der Quadratsumme der Fehler Testetschedug: Verglech des Teststatstwertes mt Quatle der zugehörge F-Vertelug 3 Testverfahre der Regresso t-test: Überprüfug ezeler Regressosoeffzete odell: Nullhpothese: ultple leare Regresso e H : ( ) j j oder H : j j bzw H : j j Teststatst: Verglech vo Schätzer ud theoretschem Wert des Regressosoeffzete Testetschedug: Verglech des Teststatstwertes mt Quatle der zugehörge t -- -Vertelug 4 38

39 odell Regresso Resdue Gesamt ultple leare Regresso ANOVA b Quadrat ttel der summe df Quadrate F Sgfaz 3,8 66,883 4,7, a 676,44 9 3, , a Eflußvarable : (Kostate), otvato zum Pflegeberuf, Alter b Abhägge Varable: Dauer m Pflegeberuf Globalhpothese: F-Test Koeffzete a Partalhpothese: t-tests odell (Kostate) Alter otvato zum Pflegeberuf Ncht stadardserte Koeffzete a Abhägge Varable: Dauer m Pflegeberuf Stadardserte Koeffzete Stadard B fehler Beta T Sgfaz -,69, -,684,,8,4,83,69, -,3,76 -,33 -,8,39 ultple leare Regresso Bespel Bespel: Reha-Kle ultple leare Regresso Bespel Für de utersuchte Zusammehag vo Kleteotate, Azahl tarbeter(e) ud zur Verfügug stehedem jährlche Budget soll überprüft werde, ob der Regressosparameter ß (Budget) tatsächlch vo Null verschede st Wr teste dazu de Hpothese H : gege H : Als Sgfazveau setze wr α% voraus De zu verwedede Teststatst st t σ 7 39

40 ultple leare Regresso Bespel Es st 386 t Da t 49< 36 t8;97 st, a de Nullhpothese be eem Sgfazveau vo % cht verworfe werde t Hlfe des Tests a also cht achgewese werde, dass das zur Verfügug stehede jährlche Budget ee Efluss auf de Zahl der Kleteotate hat 8 ultple leare Regresso Verglech vo Regressosoeffzete Verglech der Eflussstäre mttels stadardserter Regressosoeffzete Prüfug der Voraussetzuge des Regressosmodells zb ultolleartät (Abhäggete zwsche uabhägge Varable) Verwes auf weterführede Fachlteratur 9 ultple leare Regresso 4

41 Regresso teratur: Osterma R & Wolf-Osterma K (): Statst Pflege ud Sozaler Arbet 3 Aufl, Oldebourg, üche Redwl H & Ambühl (): Statstsche Auswertuge mt Regressosprogramme Oldebourg, üche 4