2. Kinematik. 2.1 Modell Punktmasse

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1 2. Kinematik 2.1 Modell Punktmasse 2.22 Mittlere Geschwindigkeit (1-dimensional) 2.3 Momentane Geschwindigkeit (1-dimensional) 2.4 Beschleunigung (1-dimensional) 2.5 Bahnkurve 2.6 Bewegung in 3 Dimensionen 2.7 Gleichförmige Kreisbewegung

2 2.1 Modell Punktmasse Kinematik: Bewegung: Lehre von Bewegung (beschreibt nur) z. B. Änderung des Ortes (y) mit der Zeit (t), y = f(t) = y(t) Beispiele: y = k oder y = k` t (k, k` = Konstanten) Problem: Lösung: Reale Objekte ausgedehnt (Auto, Flugzeug, ) Ort nicht eindeutig Idealisierung ausgedehnter Körper zur PUNKTMASSE = Körper, dessen Masse man sich in einem Punkt konzentriert tdenkt

3 Modell Punktmasse anwendbar, falls 1. der Körper nahezu punktförmig ist, z.b. e - in einem elektrischen Leiter, 2. die Körperabmessungen klein gegenüber dem Abstand sind, z.b. Erde um Sonne, 3. man einen repräsentativen Punkt wählt. z.b. Schwerpunkt einer Kugel, Punkt auf fautostoßstange Beschreibung von Bewegung in 1. Koordinatensystem 2. Bezugssystem Ot Ort als Funktion der Zeit Zit r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = Ortsvektor [Animation]

4 2.2 Mittlere Geschwindigkeit (1-dimensional) Annahme: Bewegung: 1-dimensional (z.b. x-achse) Modell: Punktmasse x [Animation] Def.: Mittlere Geschwindigkeit Beispiel: [Animation] Vorsicht!!Manchmal auch Mittlere Geschwindigkeit i = zurückgelegte Strecke dazu benötigte Zeit

5 Typische (mittlere) Geschwindigkeiten: Schnecke 10-3 m/s Spaziergang 1 m/s Schnellste Mann 10 m/s Gasmoleküle (bei 20 o C) 500 m/s Mond um Erde 1000 m/s e - in einem Atom 10 6 m/s Lichtgeschwindigkeit (Vakuum) 3x10 8 m/s Problem: x(t) =? Keine Aussagen über v und Ot Ort zu einem bestimmten Zeitpunkt v(t) =?

6 2.3 Momentane Geschwindigkeit (1-dimensional) Def.: momentane Geschwindigkeit Beispiele: v(t) =? v(t) =?

7 2.4 Beschleunigung Annahme: Bewegung ist 1-dimensional. Fragen: Wie schnell wird man schnell? Wie schnell wird man langsam? Def.: Mittlere Beschleunigung Def.: Momentane Beschleunigung

8 2.5 Ortsänderung aus v und a (1-dimensional, x-achse) Es gilt: Beispiele: 1. v(t) = konst. = v 0 x(t) =? 2. a(t) = konst. = a 0 v(t) =?, x(t) =?

9 2.6 Bewegung in 3 Dimensionen Mittlere Geschwindigkeit Momentane Geschwindigkeit Mittlere Beschleunigung Μomentane Beschleunigung

10 Der schiefe Wurf Beispiel einer 2-dimensionalen Bewegung: Tennisballwurf auf der Erde Annahmen: 1. Tennisball ist punktförmig 2. Ball hat Anfangsgeschwindigkeit v 0 3. Abwurfwinkel = α 4. Erdbeschleunigung a= g = konstant 5. Reibung wird vernachlässigt v v Frage: Wie sieht y = f(x) aus? = Bahnkurve

11 Zum Zeitpunkt t = 0 gilt: v Für Bewegung in x-richtung gilt: v Auflösen nach der Zeit ergibt:

12 Für Bewegung in y-richtung gilt: mit y a Parabel: y(x) = ax +bx 2 b x

13 2.7 Gleichförmige i Kreisbewegung ( v konst.) r a zur Tangentialgeschwindigkeit Richtung zum Kreismittelpunkt Ursache für Kreisbewegung Bewegung ist beschleunigte Bewegung a = v r 2 a= - v 2 r^ r vektoriell Zentripetalbeschleunigung = radiale Beschleunigung

14 Beweis Betrag y Im Punkt P gilt: Im Punkt q gilt: Für mittlere Beschleunigungen gilt: Für Δt von p q pq = Länge des Kreisbogens von p q Momentane Beschleunigung in P ) Mit L Hospital scher Regel

15 Beispiele