Versicherungsmathematik

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2 Versicherungsmathematik Karl-H. Wolff 1970 Springer -Verlag Wien New York

3 Dr. KARL-H. WOLFF o. Professor an der Techillschen Hochschule in Wien 8 Abbildungen ISBN 13:97S DOl: / ISBN-13: Aile Rechte vorbehalten Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Springer -V erlages fibersetzt oder in irgendeiner Form vervielfiijtigt werden 1970 by Spr!nger-Verlag/Wien Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1970 Library of Congress Catalog Card Nnmber Titel Nr. 9265

4 Vorwort Das vorliegende Buch soli einen Dberblick iiber mathematische Methoden des Versicherungswesens geben. Es gliedert sich in acht Abschnitte, die in insgesamt 31 Kapitel unterteilt sind. Neben del' Beschreibung del' klassischen Versicherungsmathematik in den Abschnitten I, Finanzmathematik, II, Lebensversicherung, und III, Gewinnermittlung und Gewinnverwendung, wird auch eine Einflihrung in andere Bereiche in den Abschnitten IV, Krankenversicherung, V, Pensionsversicherung, und VI, Unfallversicherung, gegeben. Hier sei insbesondere auf die in Abschnitt IV dargelegte Theorie del' Personengesamtheiten verwiesen, die libel' den Bereich dieses Abschnittes hinaus VOl' allem fiir die Pensionsversicherung, abel' auch fur die Unfallversicherung von Bedeutung ist. Einen etwas allgemeineren Dberblick libel' die mathematische Behandlung von Versicherungen gibt Abschnitt VII, Allgemeine Versicherungstheorie. Die Einflihrung eines verallgemeinerten STIELTJES-SCH.ARF-Integrales ermoglicht eine einheitliche Darstellung verschiedenartiger Versicherungswerte. Abschnitt VIII, Risikotheorie, behandelt nach einer Diskussion des Begriffes "Risiko" verschiedene Arten del' Rlickversicherung. 1m letzten Kapitel wird eine Einfiihrung in die kohektive Risikotheorie gegeben, die Informationen iiber optimale Entscheidungen der VersicherungsgeseHschaft bei del' Pramiengestaltung, der Riickversicherung und der Dividendenpolitik ermoglicht. Diese Untersuchungen bilden vor ahem im Hinblick auf das den VersicherungsgeseHschaften im allgemeinen zur Verfiigung stehende statistische Material eine zweckmabige Erganzung zur klassischen Risikotheorie. Die Darstellungen sind im wesentlichen elementar gehalten. Vorausgesetzt werden die Grundbegriffe del' Wahrscheinlichkeitsrechnung und der mathematischen Statistik. Vorkenntnisse aus del' Theorie del' zufalligen Prozesse erleichtern deren Behandlung, insbesondere im Kapitel iiber die Einfiihrung in die kollektive Risikotheorie, ohne jedoch Voraussetzung fiir das Verstiindnis zu sein. Nach dem letzten Abschnitt wird eine Gegeniiberstellung von osterreichischen Sterbetafeln del' Jahre 1930(33, 1949[51 und 1959[61 gegeben, aus der die Entwicklung del' Sterbewahrscheinlichkeiten und Lebenserwartungen ersichtlich ist.

5 VI Vorwort Mit Hille der osterteiehisehen Sterbetafel 1959/61 wurden Kommutationszahlen fiir Erlebens- und Ablebensversieherungen erreehnet, wobei die Zinsraten 3,5%, 4% und 4,5% zugrunde liegen. Diese Kommutationszahlen sind ebenfalls in Tabellenform dargestellt. Es folgt eine Darstellung der deutsehen allgemeinen Sterbetafel 1960/62 und der sehweizerisehen Sterbetafel 1958/63. Ein Literaturverzeiehnis bietet Hinweise fiir weitergehendes Studium. Das Bueh ist als Lehrbueh zum Studium der Versieherungsmathematik, aber aueh als N aehsehlagewerk fiir den in der Praxis tatigen Versieherungsmathematiker gedaeht. leh gebe der Hoffnung Ausdruek, dab es diesen Zweek erfullen wird. Fur VorsehHi,ge und Anregungen, die einer Verbesserung dienen, werde ieh stets dankbar sein. Wien, im Juli 1970 KARL-H. WOLFF

6 Inhaltsverzeichnis Bezeichntmgen... XII Abschnitt I Finanzmathematik Kapite11: Die Verzinsung Einfache Verzinsung Zusammengesetzte und gemischte Verzinsung. 3. Allgemeine Verzinsung Unterjahrige Verzinsung.... Kapitel 2: Die R e n t e n ~ e r. e. c. h. n u n g. 1. Rentenbarwerte und Rentenendwerte 2. Unterjahrige Renten Steigende und fallende Renten.... Kapite13: Die Finanzmathematische Aquivalenz 1. Das Aquivalenzprinzip. 2. Anleiherechnung Abschnitt II Lebensversicherung Kapitel 4: Sterbetafeln.....' Sterbewahrscheinlichkeiten Ausgleichung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten 3. Sterbetafeln Sterbegesetze Kapitel 5: Erlebens- und Ablebensversicherungen. 1. Erlebens-Kapitalversichenmg. 2. Ablebens-Kapitalversicherung. 3. Leibrenten Die gemischte Versicherung. 5. Das ZinsfuBproblem Laufende Pramien Ausreichende Pramie und Tarifpramie 8. Verwendung doppelt abgestufter Sterbetafeln Kapitel 6: Das Deckungskapital Prospektive und retrospektive Berechnung des Deckungskapitales 2. Sparpramie tmd Risikopramie, natiirliche Pramie 3. Unterjahriges Deckungskapital 4. Ausreichendes Deckungskapital

7 VIII Inhaltsverzeichnis 5. Das Decku:Ugskapitai von A. ZILLMER Vollstandiges Decktmgskapital Kapitel 7: Gruppen- und Naherungsmethoden zur Berechnung des Deckungskapitales. 1. Problemstellung Die Methoden von KARuP Die Methode von AlirENBURGER. 4. Die z-methode von LIDSTONE.. 5. Die t-methode von JECKLIN Die n-alter-lvlethode von HENRY, PERKS und JOSEPH 7. Reserveschatzung nach JECKLIN. 8. Die Methoden von POTTKER Die Methode von J. MEIER.... KapiteI8: Ruckkauf und Umwandlung von Versicherungen 1. Ruckkauf einer Versicherung Pramienfreie Reduktion von Versichenmgen 3. Umwandhmg von Versicherungen Belehnung von Versicherungen..... Kapitel9: Versicherungen auf verbundene Leben. 1. Gruppen, die beim ersten Tod erloschen.. 2. Gruppen, die bei spaterem als dem ersten Tod erloschen 3. Jahrliche Pramie fiir Gruppen. 4. Deckungskapital fiir Gruppen UberIebensversicherungen Kapitell0: Versicherung fur erhiihtes Risiko. 1. Die Ubersterblichkeit Pramienzuschlage bei tibersterblichkeit.. 3. Das Deckungskapital bei Ubersterblichkeit : Abschnitt III Gewinnermittlung und Gewinnverwendung Kapitel 11: Gewinnermittlungsschema Das Bilanzschema Die Ermittlung der Summe der Deckungskapitalien 3. BOHLMANNsche Formel.... Kapitel 12: Die Kontributionsformel 1. Gewinn- und VerIustursachen 2. Der Zinsengewinn Der Sterblichkeitsgewinn Kostengewinn, Zuschlagsgewinn und Stornogewinn 5. Verschiebung des Bilanztermines. Kapitel13: Die Dividendenzahlung.. 1. Natiirliches Dividendensystem 2. Mechanische Dividendensysteme Abschnitt IV Krankenversicherong Kapitel14: Personengesamtheiten Die Ubergangswahrscheinlichkeiten 2. Die Ubergangsintensitaten Die Verbleibswahrscheinlichkeiten

8 Inhaltsverzeichnis 4. Der Umfang der Personengesamtheiten. G. Der diskrete Fall Pramien- und Leistungsbarwerte Kapitel15: Versicherungswerte der Krankenversicherung 1. Erkrankungs- und Gesundungsintensitaten. 2. Die Hohe der Pramien Die Berucksichtigung der Erkranktmgsdauer... Kapitel 16: Die Methode der altersabhangigen Durchschnittskosten. 1. Kommutationszahlen und Versicherungswerte der Krankenversicherung 2. Das Deckungskapitaltmd die Versicherung auf GeburtenbeihiHe. 3. Die Beriicksichtigung der Rucktrittswahrscheinlichkeit. 4. Die Methode der Teilkopfschaden 5. Normierte Kopfschaden.... IX AbschnittV Pensionsversieherong Kapitel 17: Ausscheideordnungen in der Pensionsversicherung Personengesamtheiten in der Pensionsversicherung tjbergangswahrscheinlichkeiten und Ausscheideordnungen fur Aktive Ausscheideordnungen fiir Invalide Wahrscheinlichkeiten fiir Hinterbliebenenpensionen SCHAERTLINSche Ausscheideordnung 197 Kapitel18: Direktpensionen Aktivitatsrenten Invaliditatspensionen Anwartschaft eines Aktiven auf Invaliditatspension Anwartschaft eines Aktiven auf Alterspension Steigende Anwartschaft eines Aktiven auf Invaliditatspension und Alterspension. 207 Kapite119: Hinterbliebenenpensionen Witwenpension nach der Individualmethode Witwenpension nach der Kollektivmethode Waisenpension nach der Individualmethode Waisenpension nach der Kollektivmethode Steigende Anwartschaft auf Hinterbliebenenpension 221 Kapite120: Sterbegeld Abfindung Sterbegeld beim Tod als Aktiver Sterbegeld beim Tod als Pensionist Allgemeine Anwartschaft auf Sterbegeld Steigende Anwartschaft auf Sterbegeld. 229 Kapitel 21: Finanzierungsverfahren Das Anwartschaftsdeckungsverfahren Das Rentendecktmgsverfahren Das Umlageverfahren Tarifbeitrage in der Pensionsversicherung. 237 Kapitel 22: Dynamische Pensionssysteme Grundsatze der Pensionsdynamik Das Anwartschaftsdeckungsverfahren fiir ein dynamisches System Rentendeckungsverfahren und Umlageverfahren fur ein dynamisches System Ad hoc-anpassung von Pensionssystemen

9 x InhaltBverzeichnis Abschnitt VI Unfallversieherung Kapitel 23: Versicherungswerte der Unfallversicherung 1. Leistungen der Unfallversicherung Versicherungswerte fiir die Unfallheilbehandlung 3. Versicherungswerte fiir Unfallrenten Versicherungswerte fur Hinterbliebenenrenten. 5. Versicherungswerte fiir das Sterbegeld.... Kapitel 24: Finanzierungsverfahren fiir Unfallrenten 1. Deckungsverfahren.. 2. Das Deckungskapital Abschnitt VII Allgemeine Versieherongstheorie Kapitel 25: Kontinuierliche Beschreibung des Versicherungsverlaufes 1. Personengesamtheiten mit mehreren Ausscheideursachen 2. Die TmELEsche Differentialgleichung 3. Das Theorem von CANTELLI Anwendung des Theorems von CANTELLI... Kapitel 26: Die Integrale von STIELTJES und SCIIARF 1. Aligemeinere Versicherungen Funktionen mit beschrankter Schwankung 3. Das RIEMANN-STIELTJES-Integral 4. Das STIELTJES-SCHARF-Integral Versicherungsfunktionen Zeitabhangige Vektoren mit beschrankter Schwankung Kapitel 27: Die versicherungsmathematische Aquivalenz. 1. Allgemeine Darstellung einer Lebensversicherung 2. Versicherungen mit mehreren Ausscheideursachen 3. Allgemeine Darstellung des Deckungskapitales 4. Allgemeine Versicherungen Kapitel 28: Erneuerungstheorie 1. Der ErneuerungsprozeE 2. Die Erneuerungsgleichung 3. Erneuerungsdichte und ErneuenmgszaWen 4. Versicherungswerte in Erneuerungsprozessen Abschnitt vm Risikotheorie Kapitel 29: Das MaE des Risikos Das mittlere Risiko einer Lebensversicherung 2. Das mittlere Risiko spezieller Lebensversicherungen 3. Das mittlere Risiko laufender Lebensversicherungen 4. Das mittlere Risiko fiir einen Versicherungsbestand 5. Die Stabilitat eines Versicherungsbestandes. Kapitel 30: Die Rftekversicherung Methoden der Riickversicherung. 2. Die Exzedentenriickversicherung. 3. Die Quotenriickversicherung

10 Inhaltsverzeichnis Kapitel 31: Einfiihrung in die kollektive Risikotheorie. 1. Problemstellung Das Theorem von DE FINETTI 3. Der Risikoprozel Die Ruinwahrscheinlichkeit.. 5. Explizite Darstellung der Ruinwahrscheinlichkeit Tabellen.... Literaturverzeichnis. Namen- und Sachverzeichnis XI

11 Bezeichnungen An einigen Stellen werden die Bezeichnungen F (x + 0) bzw. F (x - 0) verwendet, welche durch F (x + 0) = lim F (x + e) bzw. F (x - 0) = lim F (x - e) ~ o e ~ O mite >0 defuriertsind. DieSymboleO(e) bzw. 0(.0) sinddurch lim.!. 10(.0)1 < G o 8 bzw. lim.!. 0(.0) = 0 defuriert. Vektoren werden im allgemein;'" mit gotischen Buchstaben bezeichnet. Zufallige Prozesse werden durch Fettdruck a: (t), y (t) usw. gekennzeichnet, wahrend x(t), y(t) usw. Realisierungen dieser zufalligen Prozesse bedeuten.

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