Hedging von Zinsrisiken. Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft Prof. Dr. Mark Wahrenburg. Bond Yields und Preise von Zerobonds

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1 Hedging von Zinsrisiken Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft Prof. Dr. Mark Wahrenburg Bond Yields und Preise von Zerobonds 3 Zerobonds mit Nominalwert F=100 yield to maturity r=10% (horizontale Zinskurve), (annual compounding) Marktpreise: Yield Bond 1 Bond 2 Bond 3 Time / Bond value 10% 90,91 75,13 62, Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft - Prof. Wahrenburg 2

2 Preisreaktion auf Zinsänderungen Wirkung einer plötzlichen Zinssenkung auf 9%, Zinserhöhung auf 11%: Yield Bond 1 Bond 2 Bond 3 1 Year 3 Year 5 Year 10% 90,91 75,13 62,09 9% 91,74 77,22 64,99 % Änderung 0,91% 2,70% 4,46% 11% 90,09 73,12 59,35 % Änderung -0,91% -2,75% -4,63% Bondpreise steigen bei Zinssenkung, sinken bei Zinssteigerung Längere Laufzeit -> größere Preiswirkung, größere Volatilität Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft - Prof. Wahrenburg 3 Preisreaktion von Zerobonds aus Ableitung bestimmt Formel : 100 PV ( r) = T dpv 100 = T dr dpv PV T = dr 1+ r T + 1 T = * PV 1+ r Beispiel: T = 5, r =10%, dr = 1% PV sinkt um 5/(1,1)*1%=4,54% Wie kann dies für Kuponbonds verallgemeinert werden? Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft - Prof. Wahrenburg 4

3 Zusammenhang Bond Preis und Yields Bondpreis (PV) 100 PV = T Ableitung unterschätzt Preisanstieg bei Zinsrückgang überschätzt Preisfall bei Zinsanstieg Konvexitätsrisiko r Yield Volatilität von Kuponbonds 2 Kuponbonds mit 10% jährlichem Kupon und 5, 10 Jahren Laufzeit Yield: 8% Preisreaktion auf 1% Zinsveränderung: Yield 5-jähriger Bond 10-jähriger Bond 8% 1.079, ,20 9% 1.038, ,18 % Änderung -3,79% -6,17% 7% 1.123, ,71 % Änderung 4,00% 6,75% Kuponbond reagiert weniger stark als Zerobond! Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft - Prof. Wahrenburg 6

4 Volatilität von Kuponbonds ff Vergleich von 2 Kuponbonds: Beide haben 5 Jahre Laufzeit Beide haben eine Rendite (Yield) von 8% Eine hat 6% Kupon, die andere 10% Kupon (annual compounding) Wirkung einer Zinsänderung um 1%: Yield 6%-Bond 10%-Bond 8% % % Änderung -4,00% -3,79% 7% % Änderung 4,22% 4,00% Woher kommt der Unterschied? Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft - Prof. Wahrenburg 7 Duration (1) Idee: Berechnung der durchschnittlichen Laufzeit des Bonds: Kuponbond ist Portfolio von Zerobonds Berechne durchschnittliche Laufzeit des Portfolios Gewichtungsfaktoren: Anteil des Zerobonds am Wert des Bonds Wert der Anleihe: C C C C F PV = 1 2 n t = PV t n t ( C ) PV( C ) + PV( F) C t ( 1 + r ) PV t ist der Anteil des t-ten Kupons am Gesamtwert der Anleihe Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft - Prof. Wahrenburg 8

5 Duration (2) Duration ist die durchschnittliche Laufzeit mit den obigen Gewichten: C1 C2 D= 1* + 2* PV PV 2 Ct t t PV Cn + F n (1+ r) n PV Diese Maßzahl wird auch Macaulay Duration genannt. Die Macaulay Duration eines Zerobonds entspricht seiner Laufzeit. Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft - Prof. Wahrenburg 9 Berechnung der Duration Durationsberechnung für einen 5-jährigen Bond mit 6% Kupon Zeit Cash Flow PV(Cash Flow) % des PV Zeit *%PV ,56 6,04% 0, ,44 5,59% 0, ,63 5,18% 0, ,10 4,79% 0, ,42 78,40% 3,92 920,15 100,00% 4,44 5-jähriger Bond mit 10% Kupon: Zeit Cash Flow PV(Cash Flow) % des PV Zeit *%PV ,59 8,57% 0, ,73 7,94% 0, ,38 7,35% 0, ,50 6,81% 0, ,64 69,33% 3, ,85 100,00% 4,20 Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft - Prof. Wahrenburg 10

6 Duration und Zinssensitivität eines Bands Für kleine Zinsänderungen gilt: dpv PV 1 = D * dr 1+ r Prozentuale Preisänderung = Macauly Duration * 1/(1+r) * Zinsänderung = Modifizierte Duration * Zinsänderung modifizierte Duration Herleitung analog zur vorhergehenden Vorgehensweise über die Ableitung der PV-Funktion Duration von Bonds: Beispiele Marktsegment Koupon Restlaufzeit Kreditqualität Preis Duration Modified Duration Government Bonds 7,205 8,293 Treasury 106,72 4,99 4,83 Corporate Bonds 7,722 12,353 A2 104,12 6,66 6,42 Mortgage bonds 7,385 21, ,67 4,86 4,69 High Yield bonds 9,900 8,828 B1 104,03 5,50 5,53 Total/Average 7,432 12, ,57 5,25 5,08 Der Unterschied zwischen Duration und Restlaufzeit kann substanziell sein Nur Duration gibt korrekte Zinssensitivität Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft - Prof. Wahrenburg 12

7 Wie genau ist das Durationsmaß? Beispiel der 5-jährigen Bonds (6% und 10% Kupon) für Zinsänderung von 3% : Yield 6%-Bond 10% Bond 8% $920,15 $1.079,85 11% $815,21 $963,04 % Änderung -11,40% -10,82% 5% $1.043,29 $1.216,47 % Änderung 13,38% 12,65% Berechnung über Durationsformel: 6% Kuponbond: 3%*4.44 = 13,32% 10% Kuponbond: 3%*4,2 = 12,6% Durationsansatz ungenau für große Zinsänderungen aufgrund Konvexität der PV-Funktion Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft - Prof. Wahrenburg 13 Immunisierung mit dem Durationsmaß: Kursrisiko und Wiederanlagerisiko Annahme: Sie müssen in 2 Jahren DM zahlen Wahl zwischen zwei Zerobonds mit Nominalwert 1000 DM: Laufzeit 1 Jahr Laufzeit 3 Jahre Welcher Bond/Portfolio von Bonds sollte gekauft werden? Gegenwärtige Yield to Maturity: 8% für beide Bonds Notwendiges Investitionsvolumen heute: DM = DM ( 1,08) Annahme: Zinsen können nur unmittelbar nach Tätigung der Investition einmalig steigen/fallen Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft - Prof. Wahrenburg 14

8 Anlage in einjährigen Zerobond: Reinvestitionsrisiko Strategie 1: Investiere nur in 1-jährige Anleihe, nach einem Jahr Reinvestition: Duration des Portfolios = 1 Bondpreis heute = DM 926 Investiere DM 8.573/926 = 9,26 Bonds Rückfluß = DM in einem Jahr (mit Sicherheit) Portfoliowert nach 2 Jahren: Zins Portfolio in t=2 7,0% ,5% ,0% ,5% ,0% Reinvestitionsrisiko, wenn Zinsen steigen/fallen Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft - Prof. Wahrenburg 15 Anlage in 3-jährigen Zerobond: Kursänderungsrisiko Strategie 2: Investiere nur in 3-jährigen Bond und verkaufe Bond nach 2 Jahren: Duration des Portfolios = 3 Bondpreis heute = DM 794 Investiere DM 8.573/794 = 10,8 Bonds Portfoliowert nach 2 Jahren : Zins Portfolio in t=2 7,0% ,5% ,0% ,5% ,0% 9908 Kursrisiko bleibt Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft - Prof. Wahrenburg 16

9 Hedge auf Durationsbasis Konstruiere Portfolio mit Duration = 2 = Duration der zu finanzierenden Verbindlichkeit Duration der Bonds: 1 bzw. 3 Duration des Portfolios : [Anlagebetrag Bond(1) * 1 + Anlagebetrag Bond(3) * 3] / Gesamtanlagebetrag Anlagebeträge gleich groß damit Portfolio-Duration = 2 = DM 8573/2 = DM /926 = jährige Bonds * Werden fällig in einem Jahr, danach Reinvestition 4287/794 = jährige Bonds * Werden fällig in t=3, Verkauf in 2 Jahren Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft - Prof. Wahrenburg 17 Durationshedge: Ergebnisse Wert nach 2 Jahren: Interest rate Bond 1 at t=2 Bond 2 at t=2 Portfolio 6.5% % % % % % % Beobachtung: Reinvestitionsrisiko gerade kompensiert durch Kursrisiko Kleiner Fehler durch Konvexitätsrisiko Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft - Prof. Wahrenburg 18

10 Duration und Zinsstrukturrisiko In allen Beispielen gab es nur eine Zinsänderung Interpretation: Zinsänderung für alle Laufzeiten (1 Jahr, 3 Jahre) identisch Implizit wurde Parallelverschiebung der Zinsstrukturkurve angenommen! Gefahr: bei nichtparalleler Verschiebung der Zinskurve funktioniert Durationshedge nicht perfekt Es verbleiben zwei Basisrisiken: Konvexitätsrisiko + Zinsstrukturänderungsrisiko! Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft - Prof. Wahrenburg 19 Zinsänderungen Beispiele Zins Ausgangskurve Drehung Parrallelverschiebung Laufzeit Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft - Prof. Wahrenburg 20

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