Mikroökonomik 5. Vorlesungswoche Korrigierte Version

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1 Mikroökonomik 5. Vorlesungswoche Korrigierte Version Tone Arnold Universität des Saarlandes 25. November 2007 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

2 Ineffiziente oder nicht eindeutige Lösungen Obwohl wir eine streng konvexe Indifferenzkurve betrachten, ergeben sich zwei optimale Lösungen. Das liegt daran, dass die Budgetmenge nicht konvex ist. x ˆF T F Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

3 Berücksichtigung von Nichtarbeitseinkommen Konsument gewinnt 1000 e im Lotto. Er würde gern weniger arbeiten. Problem: Es ist unmöglich, mehr als 16 Stunden Freizeit zu wählen, da mindestens 8 Stunden gearbeitet werden muss. Nur der durchgezogene Teil der Budgetgeraden links von 16 ist relevant. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

4 Nichtarbeitseinkommen x F Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

5 Beschränkung der Arbeitszeit Gesetzlich geregelte maximale Arbeitszeit (z.b. 10 Stunden) entspricht einer Mindestmenge von 14 Stunden Freizeit. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

6 Maximale Arbeitszeit x F Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

7 Beispiel zur Slutzky Zerlegung Herr M. ist starker Raucher. Seine Nutzenfunktion bezüglich Zigarretten (Gut 1) und dem Konsum anderer Güter (Gut 2) ist u(x 1, x 2 ) = x 1 x 2. Sein Einkommen beträgt m = 120 pro Woche. Die Preise sind p 1 = 4 und p 2 = 1. Nachfrage: x 1 (4, 1, 120) = = 15, x 2(4, 1, 120) = = 60. Sein Nutzen beträgt v(4, 1, 120) = = 900. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

8 Erhöhung der Tabaksteuer Durch eine Erhöhung der Tabaksteuer steigt der Preis für Zigarretten auf p 1 = 5epro Schachtel. Neue Nachfrage: x 1 (5, 1, 120) = = 12, x 2(5, 1, 120) = 60. (Wieso?) Sein neuer Nutzen beträgt v(5, 1, 120) = = 720. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

9 Erhöhung der Tabaksteuer x x(5, 1, 120) x(4, 1, 120) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114 x 1

10 Kompensationsvariation Frage: Wieviel Geld müsste Herr M. erhalten, um für die Steuererhöhung entschädigt (kompensiert) zu werden? Vor der Steuererhöhung betrug sein Nutzen 900. Um Herrn M. zu kompensieren, müsste er genau soviel Geld m erhalten, dass er nach der Steuer den Nutzen von 900 wieder erreicht. Es muss gelten: v(5, 1, m ) = 900. Wir verschieben die neue Budgetgerade nach aussen, bis sie die alte Indifferenzkurve berührt. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

11 Kompensationsvariation x x(5, 1, m ) x(5, 1, 120) x(4, 1, 120) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114 x 1

12 Kompensationsvariation Es muss gelten: v(5, 1, m ) = 900. v(p 1, p 2, m) = m2 4p 1 p 2 v(5, 1, m ) = (m ) = 900. (m ) 2 = m = = 134, 16. Beim Einkommen von m = 134, 16 erreicht Herr M. sein Nutzenniveau von vor der Steuererhöhung. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

13 Kompensationsvariation Um Herrn M. für die Steuererhöhung zu kompensieren, müsste er ausgezahlt bekommen. 134, = 14, 16e Kompensationsvariation Die Kompensationsvariation von 14,16 e ist ein monetäres Mass für die aus der Steuererhöhung resultierende Nutzeneinbusse. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

14 SE und EE Frage: Wie gross sind Einkommens und Substitutionseffekt? Der SE ist die Differenz zwischen x 1 (4, 1, 120) = 15 und x 1 (5, 1, ). Wie berechnen wir x 1 (5, 1, )? x 1 (5, 1, ) = = Der SE ist also = 1.6. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

15 Substitutionseffekt x x(5, 1, m ) x(5, 1, 120) x(4, 1, 120) SE Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114 x 1

16 Einkommenseffekt Der EE ist die Differenz zwischen x 1 (5, 1, ) = 13.4 und x 1 (5, 1, 120) = 12, i.e. EE = 1.4 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

17 Intertemporale Konsumentscheidungen Wie wird ein Konsument sein Einkommen über mehrere Perioden verteilen? Modell kann auf beliebig viele Perioden erweitert werden. Wenn es nach dem Heute noch ein Morgen gibt, kann es sinnvoll sein, nicht das gesamte heute verfügbare Einkommen heute auszugeben, sondern einen Teil zu sparen. Alternativ: Konsument möchte lieber heute mehr ausgeben, als er hat, d.h. er würde einen Kredit aufnehmen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

18 Das Grundmodell intertemporaler Konsumentscheidungen Annahmen: Güter werden nach dem Zeitpunkt der Bereitstellung unterschieden: Konsum heute vs. Konsum morgen. Wir betrachten das einfachste Modell: zwei Perioden (t = 1, 2). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

19 Intertemporale Konsumentscheidungen Konsum in Periode t = 1: c 1, Konsum in Periode t = 2: c 2. Konsum wird in Euro gemessen, i.e. p 1 = p 2 = 1. Nicht der Tausch von Gütern, sondern der mögliche Transfer von Einkommen, d. h. Sparen bzw. Kreditaufnahme wird betrachtet. Güter haben eine Lebensdauer von einer Periode. Einkommen des Konsumenten in jeder Periode: (m 1, m 2 ). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

20 Intertemporale Konsumentscheidungen Die Budgetbeschränkung Ohne Banken: Konsument kann Geld, das er in der ersten Periode besitzt, in die zweite Periode transferieren, indem er spart. Tauschrate für Geld in Periode 1 und in Periode 2 ist p 1 p 2 = 1 entsprechend 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

21 Intertemporale Konsumentscheidungen c 2 m 2 (m 1, m 2 ) m 1 c 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

22 Intertemporale Konsumentscheidungen Zwei mögliche Entscheidungen des Konsumenten: Er konsumiert Güter entsprechend seiner Einkommen (m 1, m 2 ), oder er konsumiert weniger als m 1 in der ersten Periode und transferiert das restliche Einkommen in die Periode 2, d.h. er spart. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

23 Intertemporale Konsumentscheidungen Mit Bankensektor: Transfer eines Geldbetrags m 1 c 1 in die zweite Periode: Betrag wird in Periode t = 1 bei der Bank eingezahlt und dann in Periode t = 2 plus Zinsen (Zinssatz r) ausgezahlt. Konsument erhält in der zweiten Periode (1 + r) (m 1 c 1 ). Konsument konsumiert in Periode 1 weniger als m 1, um in der zweiten Periode mehr Geld für den Konsum zur Verfügung zu haben, er ist Gläubiger bzw.sparer. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

24 Intertemporale Konsumentscheidungen Will der Konsument heute einen Betrag K 1 von der Bank als Kredit erhalten, muss er morgen diesen Betrag plus Zinsen zurückzahlen, insgesamt also (1 + r) K 1. Der Konsument kann in diesem Fall in der ersten Periode mehr konsumieren als m 1, indem er Einkommen aus der zweiten in die erste Periode transferiert. Er ist ein Gläubiger oder Kreditnehmer. 3. Möglichkeit: Konsument ist weder Sparer noch Kreditnehmer; er konsumiert in jeder Periode genau das Einkommen, das er in dieser Periode erhält. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

25 Zinssatz Der Zinssatz legt das Tauschverhältnis zwischen Einkommen heute und Einkommen morgen fest. Eine Einheit Einkommen heute kann gegen (1 + r) Einheiten morgen getauscht werden. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

26 Budgetbeschränkung Frage: Wieviel kann der Konsument in t = 2 für Konsum ausgeben? Antwort: Sein Einkommen m 2 plus die verzinsten Ersparnisse aus t = 1: c 2 = m 2 + (1 + r)(m 1 c 1 ) = m 2 + (1 + r)m 1 (1 + r)c 1. Budgetgerade hat c 2 Achsenabschnitt m 2 + (1 + r)m 1 und Steigung (1 + r). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

27 Grafische Dartstellung der Budgetgeraden c 2 (1 + r) m 1 + m 2 Steigung = (1 + r) m 2 (m 1, m 2 ) m 1 m r m 2 c 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

28 Intertemporale Konsumentscheidungen Vereinfachende Annahme: Zinssatz für Spareinlagen ist der selbe wie der für Kredite, i.e. Sparzins = Kreditzins. Realität: Zinssatz für Spareinlagen r ist geringer als der für Kredite r : r < r. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

29 Budgetgerade bei unterschiedlichen Zinssätzen c 2 (1 + r) m 1 + m 2 Steigung = (1 + r) m 2 (m 1, m 2 ) Steigung = (1 + r ) m 1 m r m 2 c 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

30 Zukunftswert Formale Herleitung der Budgetgeraden (Zukunftswert) Geldvermögen wird in den Wert aus der Sicht von Periode t = 2 umgerechnet. Anfangsausstattung m 2 ist in Periode 2 natürlich m 2 wert. Anfangsaustattung m 1 in Periode 1 kann gespart werden und erbringt Zinsen, Zukunftswert: (1 + r) m 1. gesamtes Budget ausgedrückt im Zukunftswert (1 + r) m 1 + m 2. Gleichung der Budgetgeraden ausgedrückt im Zukunftswert (1 + r) c 1 + c 2 = (1 + r) m 1 + m 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

31 Gegenwartswert Formale Herleitung der Budgetgeraden (Gegenwartswert) Budgetgleichung im Gegenwartswert Division der vorigen Gleichung durch 1 + r c r c 2 = m r m 2. Wert einer Geldeinheit oder einer Einheit Konsum morgen: Wie viel muss ein Konsument heute sparen, wenn er morgen eine Geldeinheit bekommen möchte. morgen erhält er das (1 + r)-fache des gesparten Betrags, daher: 1 1+r. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

32 Gegenwartswert Auflösen der Budgetgeraden nach c 2 ergibt c 2 = (1 + r) m 1 + m 2 (1 + r) c 1. Maximaler Konsum morgen entspricht dem Zukunftswert der Einkommen (1 + r) m 1 + m 2 Maximaler Konsum heute entspricht dem Gegenwartswert der Einkommen m r m 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

33 Präferenzen Präferenzen über gegenwärtigen und zukünftigen Konsum Konvexität der Präferenzen hat in diesem Rahmen eine naheliegende Interpretation: Der Konsument wird lieber eine Mischung von gegenwärtigen und zukünftigen Konsum wollen, als entweder nur heute oder nur morgen zu konsumieren. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

34 Netto Sparer c 2 c 2 c m 2 c 1 m 1 c 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

35 Netto Kreditnehmer c 2 m 2 c 2 (m 1, m 2 ) c m 1 c 1 c 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

36 Weder Kreditnehmer noch Sparer c 2 m 2 = c 2 (m 1, m 2 ) c m 1 = c 1 c 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

37 Zinsänderungen Zinserhöhung: Budgetgerade dreht sich im Uhrzeigersinn um den Punkt der Anfangsausstattung an Einkommen (m 1, m 2 ). Der maximale Konsum heute sinkt, da Kredite teurer werden. Der maximale Konsum morgen steigt, denn Spareinlagen erbringen einen höheren Zinsertrag. Zinssenkung: Budgetgerade dreht sich entgegen dem Uhrzeigersinn um den Punkt der Anfangsausstattung an Einkommen. Der maximale Konsum heute steigt, da Kredite billiger werden. Der maximale Konsum morgen sinkt, denn Spareinlagen erbringen jetzt einen geringeren Zinsertrag. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

38 Zinsänderungen Reaktion des Konsumenten auf Zinsänderungen hängt davon ab, ob er vor der Zinsänderung Sparer oder Kreditnehmer war. Erster Fall: Zinserhöhung Konsument war vorher weder Sparer noch Kreditnehmer. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

39 Zinserhöhung Konsument weder Sparer noch Kreditnehmer c 2 c 2 c c 2 = m 2 c = (m 1, m 2 ) c 1 c 1 = m 1 c 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

40 Zinserhöhung Der Konsument kann sich durch die Zinserhöhung besser stellen. Der neue Nachfragepunkt c liegt links von c und damit linkss von (m 1, m 2 ). Der Konsument wird zum Sparer. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

41 Zinssenkung Konsument vorher weder Sparer noch Kreditnehmer c 2 m 2 = c 2 c 2 c m 1 = c 1 c 1 c 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

42 Zinssenkung Konsument kann sich durch die Zinssenkung besser stellen. Der neue Nachfragepunkt c liegt rechts von c und damit rechts von (m 1, m 2 ). Konsument wird zum Kreditnehmer. Zinsänderung Der Konsument wird durch eine Zinsänderung, egal in welche Richtung, immer besser gestellt! Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

43 Zinsänderung Da der Punkt (m 1, m 2 ) für den Konsumenten immer erreichbar ist, ist der Fall, dass dieser Punkt die optimale Wahl ist, die schlechteste denkbare Situation für ihn: Weder durch sparen noch durch eine Kreditaufnahme ergibt sich für ihn eine Verbesserungsmöglichkeit. Eine Zinsänderung macht nun eine der beiden Möglichkeiten noch weniger attraktiv (eine Zinserhöhung die Kreditaufnahme, eine Zinssenkung das Sparen), während die andere vorteilhafter wird und ihm so die Möglichkeit bietet, sich zu verbessern (durch Sparen nach einer Zinserhöhung, durch Kreditaufnahme nach einer Zinssenkung). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

44 Zinsänderung Es gilt: Ein Konsument, der weder Kreditnehmer noch Sparer ist, wird 1 nach einer Zinserhöhung keinen Kredit aufnehmen, 2 und nach einer Zinssenkung nicht zum Sparer werden. Besser stellen kann er sich allerdings nicht immer: Hat die Indifferenzkurve an der Stelle (m 1, m 2 ) einen Knick, so bewirkt eine Zinsänderung nicht automatisch, dass die neue Budgetgerade die Bessermenge schneidet. Extremfall: Es ist unmöglich, dass eine Zinsänderung eine Besserstellung ermöglicht. Egal wie der Zinssatz ist, der Konsument wird immer seine Anfangsausstattung wählen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

45 Zinsänderung c 2 m 2 = c 2 = c 2 (m 1, m 2 ) = c = c m 1 = c 1 = c 1 c 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

46 Zinserhöhung bei Sparer Intuitiv: Zinserhöhung ist für Sparer vorteilhaft, da er höhere Zinsen auf seine Spareinlagen bekommt. Zinssenkung stellt ihn schlechter. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

47 Zinserhöhung bei Sparer c 2 c c 2 c m 2 (m 1, m 2 ) c 1 m 1 c 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

48 Zinserhöhung bei Sparer Die neue Budgetgerade schneidet die Bessermenge B (c ), das heisst der Konsument kann sich verbessern. Ein Sparer bleibt auch nach der Zinserhöhung Sparer. Ob er seine Spareinlagen erhöht oder senkt, d.h. die exakte Lage der neuen optimalen intertemporalen Konsumentscheidung c, ist a priori unklar und hängt von den konkreten Präferenzen ab. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

49 Zinssenkung bei Sparer Fall 1: Sparer bleibt auch nach Zinssenkung Sparer. c 2 c 2 m 2 c c (m 1, m 2 ) c 1 m 1 c 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

50 Zinssenkung bei Sparer Fall 1: Sparer bleibt auch nach Zinssenkung Sparer. Falls der Konsument Sparer bleibt, verschlechtert er sich durch die Zinssenkung. Die Konditionen für das Sparen haben sich verschlechtert. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

51 Zinssenkung bei Sparer Fall 2: Sparer wird nach der Zinssenkung Kreditnehmer und verschlechtert sich. c 2 c 2 c c m 2 2 c c 1 m 1 c 1 c 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

52 Zinssenkung bei Sparer Fall 2: Sparer wird nach der Zinssenkung Kreditnehmer und verbessert sich. c 2 c2 m 2 c c m 1 1 c 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

53 Kreditnehmer Die Analyse im Fall eines Kreditnehmers ergibt analoge Resultate. Eindeutig ist der Fall der Zinssenkung Für einen Kreditnehmer ist es von Vorteil, wenn Kredite billiger werden. Durch eine Zinssenkung kann er sich auf jeden Fall besser stellen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

54 Zinssenkung: Kreditnehmer verbessert sich c 2 m 2 c 2 (m 1, m 2 ) c c m 1 c 1 c 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

55 Zinssenkung: Kreditnehmer verbessert sich Ein Kreditnehmer bleibt nach einer Zinssenkung Kreditnehmer. Unklar ist in diesem Fall allerdings, ob der Konsument mehr oder weniger Kredit aufnehmen wird. Liegt die neue optimale intertemporale Konsumentscheidung c links oder rechts der ursprünglichen c? Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

56 Zinssenkung: Kreditnehmer verbessert sich c 2 m 2 c 2 (m 1, m 2 ) c m 1 c 1 c 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

57 Zinserhöhung Kreditnehmer verschlechtert sich Fall 1: Egal ob er Kreditnehmer bleibt oder ob er zu Sparer wird, er verschlechtert sich auf jeden Fall. c 2 m 2 c 2 (m 1, m 2 ) c m 1 c 1 c 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

58 Zinserhöhung bei Kreditnehmer Fall 2: Schulner wird nach Zinserhöhung zum Sparer und verbessert sich. c 2 m 2 c2 (m 1, m 2 ) c m 1 c1 c 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

59 Aggregation von Nachfragefunktionen Bisher: Wir analysierten Nachfrageverhalten bzw. Nachfragefunktionen eines Konsumenten. Zur Analyse eines Marktes oder einer Volkswirtschaft benötigen wir die aggregierte Nachfrage. Die Aggregierte oder Marktnachfragefunktion ergibt sich aus der Summe der individuellen Nachfragefunktionen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

60 Aggregierte Nachfrage Für eine Ökonomie mit Konsumenten i {1, 2,...,I} ist die aggregierte Nachfragefunktion nach einem Gut mit Preis p X (p, m 1, m 2,...,m I ) = I x i (p, m i ). i=1 Achtung: Die aggregierte Nachfrage hängt von der Einkommensverteilung ab und nicht nur vom insgesamt zur Verfügung stehenden Einkommen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

61 Inverse Marktnachfrage bzw. Preis Absatz Funktion Aggregierte inverse Nachfrage bzw. aggregierte Preis Absatz Funktion für Gut 1: p 1 X 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

62 Inverse Marktnachfrage bzw. Preis Absatz Funktion Preis Absatz Funktion ist ein partialanalytisches Konzept, d.h. wir analysieren nur einen Teil der Volkswirtschaft, nämlich den Markt für ein Gut. Die Preise der anderen Güter p 2, p 3,..., p n sowie die Einkommen aller Konsumenten m 1, m 2,..., m I müssen berücksichtigt werden. Jede Änderung dieser Parameter kann zu einer Veränderung der aggregierten Preis Absatz Funktion für Gut 1 führen. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

63 Lineare Nachfrage Aggregation individueller linearer Nachfragefunktionen Nachfragefunktionen der beiden Haushalte 1 und 2 nach Gut 1: x 1 (p 1 ) = max{20 p 1, 0} und x 2 (p 1 ) = max{5 1 2 p 1, 0}. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

64 Lineare Nachfrage Achtung: Hier ist x als abhängige Variable auf der Ordinaten und p als unabhängige Variable auf der Abzisse abgetragen, umgekehrt wie sonst üblich. x x (a) Haushalt 1 20 p 1 10 (b) Haushalt 2 p 1 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

65 Horizontale Addition Die aggregierte Nachfrage ergibt sich durch horizontale Addition der individuellen Nachfragefunktionen: Für jeden Preis p 1 werden die von den beiden Haushalten jeweils nachgefragten Mengen addiert. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

66 Horizontale Addition Die individuellen Nachfragefunktionen sind x 1 (p 1 ) = 20 p 1 und x 2 (p 1 ) = 5 (p 1 /2). Für jeden Preis p 1 ist die aggregierte Nachfrage gegeben durch X(p 1 ) = x 1 (p 1 ) + x 2 (p 1 ). p 1 x 1 x 2 X Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

67 Aggregierte Nachfrage Zusammenfassend gilt: p 20 X(p) = 0, 20 > p 10 X(p) = x 1 (p) = 20 p, p < 10 X(p) = x 1 (p) + x 2 (p) = 25 3p 2. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

68 Inverse Marktnachfrage Um die aggregierte Nachfrage im normalen p X Diagramm darstellen zu können, müssen wir X in Abhängigkeit von p berechnen, i.e. die Nachfrage X(p) nach p auflösen. Dann erhalten wir die Preis Absatz Funktion bzw. inverse Marktnachfragefunktion. Für 20 > p 10 gilt Für p < 10 gilt X = 20 p p(x) = 20 X. X = 25 2 p p(x) = p. D.h. die inverse Marktnachfrage hat einen Knick an der Stelle p = 10 bzw. X = 10. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

69 Inverse Marktnachfrage 20 p Steigung = 1 10 Steigung = (2/3) X Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

70 Das Konzept der Elastizität Frage: Wie stark reagiert die Marktnachfrage auf Änderungen bestimmter Parameter, z. B. der Preise oder des Einkommens? Erhöhung der Mehrwertsteuer: Der Preis, den die Konsumenten für ein Gut bezahlen müssen, steigt. Abschätzung der Auswirkungen einer solchen Steuererhöhung Mass für die Reagibilität der Nachfrage. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

71 Das Konzept der Elastizität Aggregierte Nachfragefunktion nach Gut 1: Wie ändert sich die nachgefragte Menge, wenn der Preis p 1 steigt? Wir betrachten eine Erhöhung von p 1 von p 1 auf p 1 + p 1. Dadurch wird eine Senkung der Nachfrage nach Gut 1 ausgelöst. Die Änderung der Nachfrage wird ins Verhältnis gesetzt zur Änderung des Preises. X 1 ( p 1 + p 1 ) X 1 ( p 1 ) p 1. (1) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

72 Marginale Änderungen X 1 p 1 = lim p 1 0 X 1 ( p 1 + p 1 ) X 1 ( p 1 ) p 1. (2) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

73 Problem 1 Der Wert der Ableitung hängt von den Masseinheiten ab! Wenn wir e.g. den Preis in Cent statt in Euro messen, wird jede Preisänderung mit dem Faktor 100 multipliziert. Dadurch sieht es so aus, als reagiere die Nachfrage wesentlich weniger stark, da wir nun eine um das Hundertfache grössere Preisdifferenz brauchen, um die selbe Änderung der Nachfrage zu bewirken. Real hat sich aber überhaupt nichts geändert. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

74 Problem 2 Wenn wir absolute Preisänderungen betrachten, ergeben sich Schwierigkeiten beim Vergleich unterschiedlicher Güter. Grund: Die selbe absolute Änderung des Preises hat relativ betrachtet unterschiedliche Bedeutungen, je nachdem, wie hoch der Ausgangspreis ist. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

75 Beispiel Angenommen, der Preis von Gut 1 wird um einen Euro heraufgesetzt. Handelt es sich bei dem betrachteten Gut 1 z. B. um Brot, wäre dies (relativ zum Preisniveau) eine beträchtliche Preissteigerung. Die Nachfrage würde wahrscheinlich stark sinken. Handelt es sich dagegen um ein Produkt mit sehr hohem Preis, z.b. einen Porsche, so stellt die Preiserhöhung um 1 e (relativ zum Preisniveau gesehen) eine eher vernachlässigbare Preissteigerung dar. Die Nachfrage würde sich daraufhin kaum ändern. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

76 Lösung der Probleme Änderungen sowohl des Preises als auch der Nachfrage werden jeweils auf ihr Ausgangsniveau bezogen. Wir betrachten das Verhältnis der prozentualen Mengenänderung zur prozentualen Preisänderung. % Änderung der Nachfrage % Änderung des Preises Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

77 Dimensionsloses Mass Der Ausdruck ist äquivalent zu % Änderung der Nachfrage % Änderung des Preises [X 1 ( p 1 + p 1 ) X 1 ( p 1 )] ME X 1 ( p 1 ) ME p 1 GE/ME p 1 GE/ME Alle Einheiten kürzen sich heraus es handelt sich um ein dimensionsloses Mass. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

78 Dimensionsloses Mass [X 1 ( p 1 + p 1 ) X 1 ( p 1 )] ME X 1 ( p 1 ) ME p 1 GE/ME p 1 GE/ME = X 1 X 1 p 1 p 1 ist äquivalent zu X 1 p 1 p1 X 1 (3) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

79 Grenzwertbetrachtung Wir betrachten Marginale Änderungen: X 1 p 1 p1 X 1 lim p 1 0 X 1 p 1 p1 X 1 = X 1 p 1 p1 X 1 = ε p1 (p 1 ). Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

80 Elastizität Dieses Konzept wird als Preiselastizität der Nachfrage bezeichnet. Es handelt sich ein lokales Konzept. D.h., die Elastizität der Nachfragefunktion hängt ab von dem Punkt, an dem gemessen wird. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

81 Andere Elastizitäten Analog zur Preiselastizität kann man auch die Einkommenselastizität der (aggregierten) Nachfrage betrachten: ε m (p, m) = X 1 m oder die Kreuzpreiselastizitäten (p, m) m ε pj (p, m) = X 1 p j (p, m) X 1 (p, m) p j X 1 (p, m) Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

82 Elastizitäten der Nachfrage Definition 1 (Elastizitäten der Nachfrage) Sei X i (p, m) die (aggregierte) Nachfragefunktion nach Gut i. Dann ist die Preiselastizität der Nachfrage ε pi = X i p i p i X i. Die Einkommenselastizität der Nachfrage ist ε m = X i m m X i. Die Kreuzpreiselastizitäten der Nachfrage sind für j i ε pj = X i p j p j X i. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

83 3 Fälle Definition 2 (elastische, einheits, unelastische Nachfrage) Die Nachfragefunktion x i (p, m) reagiert auf eine Änderung des Preises p i elastisch, wenn ε pi > 1 ist, einheitselastisch, wenn ε pi = 1 ist, und, unelastisch, wenn ε pi < 1 ist. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

84 Elastizität Beispiel: x(p) = 1 p ε pi = p/x. p p > x ε pi > 1 x p = x ε pi = 1 45 o p p < x ε pi < 1 x Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

85 Preiselastizität und Ausgaben Beispiel: Adam Schmit isst jeden Tag in der Mensa. Mensaessen ist für ihn ein normales Gut. Ein Mensaessen kostet p e. Seine Nachfrage nach Mensaessen ist x(p). Seine Ausgaben für Mensaessen sind pro Monat A(p) = x(p) p. Frage: Wie wirkt sich eine Preiserhöhung für Mensaessen auf Herrn Schmids Ausgaben für Mensaessen aus? Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

86 Preiselastizität und Ausgaben 2 Effekte: 1 Das Essen ist teurer geworden, daher muss er pro Essen mehr bezahlen. Dadurch steigen seine Ausgaben für Mensaessen. 2 Da es sich um ein normales Gut handelt, bewirkt die Preiserhöhung einen Rückgang der Nachfrage, i.e. er isst seltener in der Mensa. Dadurch sinken seine Ausgaben für Mensaessen. Welcher der beiden Effekte überwiegt? Das hängt ab von der Preiselastizität der Nachfrage. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

87 Preiselastizität und Ausgaben Preiselastizität der Nachfrage: 2 Extremfälle 1 Die Nachfrage ist extrem unelastisch, reagiert überhaupt nicht auf die Preisänderung. Dann steigen die Ausgaben für Mensaessen. 2 Die Nachfrage ist extrem elastisch, reagiert sehr stark auf die Preisänderung. Im Extremfall geht Herr Schmid nicht mehr in die Mensa und die Ausgaben für Mensaessen sinken auf null. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

88 Preiselastizität und Ausgaben Die Reaktion der Ausgaben auf marginale Preisänderungen wird formal durch die Ableitung ausgedrückt: da dp = dx dp p + x (Produktregel). Ausklammern von x ergibt ( ) da dx dp = x p dp x + 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

89 Preiselastizität und Ausgaben ( ) da dx dp = x p dp x + 1. Der erste Term in der Klammer ist die Preiselastizität der Nachfrage! Es gilt also da dp = x [ε p 1 + 1]. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

90 Preiselastizität und Ausgaben da dp = x [ε p 1 + 1]. Da ε p1 < 0 ist, rechnen wir mit dem Betrag der Elasizität ε p1 = ε p1. Einsetzen ergibt da dp = x [1 ε p 1 ]. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

91 Preiselastizität und Ausgaben Wir haben einen Zusammenhang hergestellt zwischen der Änderung der Ausgaben und der Preisänderung: da dp = x [1 ε p 1 ]. 3 Fälle: 1 Die Nachfrage ist preiselastisch, d.h. ε p1 > 1. 2 Die Nachfrage ist preisunelastisch, d.h. ε p1 < 1. 3 Die Nachfrage ist einheitselastisch, d.h. ε p1 = 1. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

92 Preiselastizität und Ausgaben Fall 1: ε p1 > 1. Beispiel: ε p1 = 2. Dann folgt da = x [1 2] = x < 0. dp D.h. da dp < 0, die Ausgaben sinken also bei steigendem Preis, da die Nachfrage sehr stark reagiert. Tone Arnold (Universität des Saarlandes) 5. Vorlesungswoche 25. November / 114

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