Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban

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1 Insttut für Stochastk Prof Dr N Bäuerle Dpl-Math S Urban Lösungsvorschlag 6 Übungsblatt zur Vorlesung Fnanzatheatk I Aufgabe Put-Call-Party Wr snd nach Voraussetzung n ene arbtragefreen Markt, also exstert en äquvalentes Martngalaß, etwa Q De n Bezehung zu setzenden Zahlungsansprüche snd HC = S T + für den Call und HP = S T + für den Put Bede Ansprüche snd errechbar, denn der Markt st vollständg Mt obgen Bezechnungen glt HC + = ax{s T, } = HP + S T Wr benutzen de rskoneutrale Bewertungsforel und fnden für jedes t {,, T } C t P t F t P Q F t [ = P + S T Q H F t P Q [ [ ST = Q F t Q F t BT = Q C = S t F t Durch Multplkaton t folgt de Behauptung Alternatv kann an dese Identtät t Arbtragearguenten bewesen Dazu betrachten wr de n der nachfolgenden Tabelle beschrebene Handelsstratege Alle Geschäfte werden zu Zetpunkt t = getätgt, bs zu nde gehalten und dann weder aufgelöst Tabellert st de Wertentwcklung der enzelnen Postonen über de Zet sowe der Blanzwert Stratege Zet Zet t Zet T verkaufe Call C Ct S T + kaufe Put P Pt S T + kaufe Akte S S t S t belehe Nuérare Blanz C P S + C t P t S t + Bt n jede Fall Wäre der Portfolowert V t zu rgendener Zet t {,, T } verscheden vo ndwert V T =, könnte an durch Verkauf falls V t > = V T bzw Ankauf falls V t < = V T des strukturerten Portfolos zu deser Zet und Auflösung zu Perodenende scheren Gewnn erwrtschaften Dazu kann an ene konkrete Arbtragestratege angeben s uss also für alle t =,, T gelten, was zu zegen war C t P t S t + = C t P t = S t Aufgabe 2 n Asatscher Put Gegeben st der folgende arbtragefree, dreperodge Bnoalarkt: n Bond t Startwert B = verznst sch t r = 32 je Perode, ene Akte startet t S = 5 und entwckelt sch geäß S n = S n Y n, wobe Y n t unbekannter Wahrschenlchket p, den Wert u n und andernfalls den Wert d n annt, n =, 2, 3 Her st u, u 2, u 3 = 5, 5,, d, d 2, d 3 = 95, 9, 8

2 a Wr wollen en äquvalentes Marngalaß besten n solches exstert, denn der Markt st nach Voraussetzung arbtragefre das üssen Se zunächst glauben, glech werden wr es auch nachrechnen Nennen wr es Q Dann glt unter Q für n =, 2, 3: [ Sn Q B n F n = S n B n [ S n Y n = Q B n + r S n F n B n = Q [Y n F n + r = q n u n + q n d n + r Dabe st q n := QY n = u n F n und q n = + r d n u n d n Q{ω} = Q{ω,, ω T } = T q n Ynω=un + q n Ynω=dn n= Wr setzen de konkreten Zahlen en und fnden q, q 2, q 3 = 4 5, 66 25, s exstert also ene Lösung und wr haben t Recht de Arbtragefrehet angenoen und dese st endeutg, also st der Markt vollständg De konkreten Pfadwahrschenlchketen snd zweten Tel notert b De Auszahlung ener Asatschen Put-Opton auf de Akte S st H = S ST +, S := T + T S n Der Markt st vollständg, also st jeder F T -essbare, ntegrerbare Zahlungsanspruch errechbar In der folgenden Tabelle snd ntrttswahrschenlchket und Auszahlung für jeden Pfad notert: ω 5 S 5 S ω 5 S 2ω 5 S 3ω Sω 5 5 Hω Q{ω} 5 HωQ{ω} uuu,5,275,32825,46437, uud,5,275,966,55875,89875,98376,8827 udu,5,945,395,862, udd,5,945,756,93775,875,877297, duu,95,925,275,663, dud,95,925,874,97925,525,25424, ddu,95,855,945,936375,25424 ddd,95,855,684,87225,8825,92576, n= Σ, Mt der rskoneutralen Bewertungsforel fndet an den farer Pres zur Zet n = lecht als π H = Q F = ω Ω HωQ{ω} = 3 5, =, Falls Se gerade kenen Taschenrechner zur Hand haben, können Se obge Rechnungen beque t folgende R-Skrpt download von der Vorlesungshoepage nachvollzehen: 2

3 # Hlfsroutne, erzeugt ene bnaere Pfadtabelle = up, = down 2 erzeugepfade = functont, zwschenstand=null { 3 f T == {return zwschenstand} 4 else {return erzeugepfadet, rbndcbnd,zwschenstand,cbnd,zwschenstand} 5 } 7 # Zethorzont, Pfade und Verzwegungsgewchte defneren 8 T < 3 9 pfade < erzeugepfadet r < 32/ up < c5, 5, 2 down < c95, 9, 8 4 # rskoneutrale Wahrschenlchketen berechnen 5 q < + r down / up down 6 Q < pfade % % dagq + pfade % % dag q 7 for t n 2:T {Q[,t < Q[,t Q[,t} 8 Q < Q[,T 2 # Aktenkurse berechnen, Pfade nach unten, Zetachse nach rechts, 2 # nutze Matrxoperatonen, u de Pfadgewchte zuzuwesen 22 S < 5 23 S < cbnd, pfade % % dagup + pfade % % dagdown 24 for t n :T {S[,t+ < S[,t S[,t+} 25 S < S S 27 # Asatschen Put bewerten 28 Squer < atrx, 2ˆT 29 H < atrx, 2ˆT 3 for pfad n :2ˆT { 3 Squer[pfad < /T+ sus[pfad, 32 H[pfad < ax, Squer[pfad S[pfad,T+ 33 } 34 pres < suh Q Aufgabe 3 De Presschranke als lneares Progra Wr starten t der Mnerungsaufgabe λ n, [ P π+ λ = p j H, j =,,, H H Für j =,, lest sch de Nebenbedngung [ λ = p j H = Hω p j + + B Hω p j T = λ Hω pj B T =, pj Hω pj,, pj λ, B Hω,, Hω T T } {{ } =:x R + Jede Glechhet A = B lässt sch zu A B A B uschreben Her schreben wr de Nebenbedngungen als Unglechungen, duplzeren se und kehren n der ope auf beden Seten das Vorzechen u Das st der erste Tel der Nebenbedngungsatrx A Wr üssen noch de zwete 3

4 Nebenbedngung unterbrngen: H H Hω Hω, =,, e x Hω, =,, Her st e der legende -te nhetsvektor des R Zusaenfassend haben wr de Nebenbedngungen p p p p p p A := R 2+ +, b := R 2+ p p Hω Hω Wr wollen de Zelfunkton λ neren, schreben also c :=,,, T nsgesat das lneare Progra { c T x n, P Ax b Nun zu dualen Proble Mt A, b und c we oben st deses b T y ax, D A T y = c, y R + und haben Schrebe de aufzufndende Lösung y = y,, y 2+ R 2+ De ersten 2 oponenten von b snd null, also st de Zelfunkton y 2+ Hω + + y 2+ Hω = ψ,, ψ Hω,, Hω T = ψ T H ax Setze her ψ := ψ,, ψ T t ψ := y 2+, =,, Wr werden glech noch sehen, wozu dese Abkürzung gut st De erste Zele von A T y = c lest sch = y + + y y y 2 = y y y y 2 = θ + + θ, wobe wr her θ := y y + setzen für =,, De enzelnen y snd nach Voraussetzung nchtnegatv, also st θ := θ,, θ T R en Vektor, dessen nträge kenen nschränkungen unterlegen Jede der verblebenden Zelen des Systes A T y = c lest sch p = y + + p y + p p = θ + + θ ψ = j= θ j p j p + ψ 4 y p y 2 + y 2+

5 für en {,, } In Matrxschrebwese fnden wr zusaengenoen über all dese Zelen ψ = j= θ jp j Schleßlch können wr de zu Ausgangsproble duale Maxerungsaufgabe n der Sprache der Fnanzatheatk foruleren: ψ T H ax, ψ = j= D π+ θ jp j, j= θ j =, ψ Aufgabe 4 Presschranken besten Wr betrachten den enperodgen Trnoalarkt t Bond B, B =, B = 9, und Akte S, S = 5, 2 3, ω = ω S ω = 4 9, ω = ω 2 3, ω = ω 3 a Für en Martngalaß t q := Q{ω }, q := Q{ω 2 } und q q = Q{ω 3 } uss aus der Martngalegenschaft vgl frühere Aufgaben q q q q = 3q + q 2 = gelten Das plzert de Lösung Q = q, q, q q = q, 2 3q, 2q t free Paraeter q R Dat wr en Wahrschenlchketsaß aus Q erhalten, uss Q koponentenwese n [, legen, woraus sch de nschränkung q [ 2, 2 3 ergbt Soll Q äquvalentes Martngalaß sen, wählt an de Intervallgrenzen offen s exsteren verschedene äquvalente Martngalaße, also st der Markt zwar arbtragefre, aber ncht vollständg b Se H : Ω R en Zahlungsanspruch t Hω = 3, Hω 2 = 2, Hω 3 = Für jedes q 2, 2 3 notere q für den rwartungswert unter de entsprechenden Maß Q = q, 2 3q, 2q Q s glt Verwende Satz 86 der Vorlesung: [ H q = 9 3q q + 2q = 27 9q π H = nf Q Q π + H = sup Q Q { Q BT } = = 42 2, [ } { Q = 27 HBT 9 2 =

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