III Stochastische Analysis und Finanzmathematik

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1 III Stochastische Analysis und Finanzmathematik Ziel dieses Kapitels ist es, eine Einführung in die stochastischen Grundlagen von Finanzmärkten zu geben. Es werden zunächst Modelle in diskreter Zeit behandelt, anschließend in stetiger Zeit. Letztere gehen bereits auf Bachelier 1900 zurück, der ein Modell der so genannten geometrischen Brown schen Bewegung zur quantitativen Analyse von Aktienverläufen vorschlug. Die moderne Entwicklung der Finanzmathematik wurde eingeleitet von Black 1 und Scholes 1973 und Merton 1973, die hierfür 1997 den obelpreis für Wirtschaftswissenschaften verliehen bekamen, und ist ein hochaktuelles Anwendungsgebiet der stochastischen Analysis. Als Literatur empfehlen wir z.b. Irle, A Finanzmathematik. Teubner, Stuttgart. Lamberton, D., Lapeyre, B Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance. Chapman-Hall, London. Es gibt verschiedene Typen von Finanzmärkten, z.b. Aktienmärkte Handel mit Aktien; Rentenmärkte Handel mit festverzinslichen Wertpapien; Währungsmärkte Handel mit Währungen; Warenmärkte Handel mit Waren. Zu den oben genannten Basisgütern hat sich seit 1973 ein schwunghafter Handel mit so genannten derivativen Finanzgütern entwickelt; das sind in die Zukunft reichende Kontrakte über einen potentiellen Handel mit einem Basisgut. Wir konzentrieren unsere Betrachtungen auf Optionen: Sie geben dem Käufer das Recht aber nicht die Pflicht, ein bestimmtes Finanzgut zu einem zukünftigen Zeitpunkt T zu einem vereinbarten Preis K zu kaufen oder zu verkaufen. Bei Kaufrecht: Call-Option; Bei Verkaufsrecht: Put-Option. Europäische Option: Ausübung nur zu festem Zeitpunkt T ; Amerikanische Option: Ausübung bis zum festem Zeitpunkt T. Der Käufer der Option befindet sich in einer long position; Der Verkäufer der Option befindet sich in einer short position verstorben 38

2 Verkäufer verlangt Preis Prämie. Welcher Preis ist angemessen? Beispiel: Europäische Call-Option z.b. auf Aktie, T: Ausübungszeitpunkt, K: Ausübungspreis; Sei S t der Preis der Aktie z.zt. t. Wert der Option zum Zeitpunkt T : S T K, S T > K 0, S T K }, also = [S T K] +. Verkäufer muss Wert [S T K] + z.zt. T zur Verfügung stellen. Zwei Fragen: 1. Welcher Preis Wert z.zt. t = 0 ist angemessen für eine Option, die z.zt. T den Wert [S T K] + hat? 2. Wie stellt der Verkäufer, der z.zt. t = 0 die Prämie erhält, sicher, dass er z.zt. T den Wert [S T K] + zur Verfügung stellen kann? Hedging o-arbitrage-prinzip: Es kann kein risikoloser Profit Arbitrage gemacht werden. Anwendung auf obiges Beispiel: Annahme: Es kann Geld zu fester Zinsrate r geliehen oder investiert werden, d.h. für 1 EUR erhält man nach 1 Jahr e r EUR = 1 + p EUR, also r = ln1 + p, p : Zinssatz. Seien C t bzw. P t der Preis einer Call- bzw. Put-Option auf dasselbe Finanzgut z.zt. t. Call- bzw. Put-Parität: Für alle t < T muss gelten: C t P t = S t K e rt t } } տ abgezinster Ausübungspreis z.zt. t [ Beachte: CT P T = [S T K] + [K S T ] + = S T K. ] Andernfalls ohne Transaktionskosten: Sei z.b. C t P t > S t Ke rt t, so kaufe man z.zt. t 1 Aktie + 1 Put-Option und verkaufe 1 Call-Option: Wert C t P t S t. Falls C t P t S t > 0 : Betrag risikolos anlegen bis T zu Rate r; Falls C t P t S t 0 : Betrag leihen bis T zu Rate r. Zur Zeit T gibt es dann zwei Möglichkeiten: 1 S T > K : Call wird ausgeübt Aktie muss zum Preis K abgegeben werden, Put nicht ausüben, Cash-Konto ausgleichen; Wert z.zt. T : K +0+e rt t C t P t S t > 0! 39

3 2 S T K : Call wird nicht ausgeübt, aber Put ausüben, Cash-Konto ausgleichen; Wert z.zt. T : 0+K +e rt t C t P t S t > 0! Also in beiden Fällen positiv, Widerspruch zur Arbitrage-Freiheit! Bei C t P t < S t κe rt t analog: Verkaufe 1 Aktie + 1 Put-Option, kaufe 1 Call-Option; Wert z.zt. T : S t e rt t S T +P t C t e rt t +S T K da C T P T = S T K. Für t = 0 erhält man aus der Call-Put-Parität: C 0 P 0 = S 0 Ke rt, folglich, da C 0 0, P 0 0, C 0 max0,s 0 Ke rt } europäische Wertuntergrenze. Die Call-Put-Parität liefert keine Preisformel für C 0 bzw. P 0. Hierfür benötigt manstochastischemodellefürdenaktienverkauf S t } 0 t T inverbindungmitmöglichen Handelsstrategien perfect hedging, complete markets. Dabei wird z.b. der Wert einer Option als stochastisches Integral ausgedrückt, welches aus einer bestimmten Handelsstrategie resultiert. Wir beginnen mit einer Formalisierung von Finanzmodellen in diskreter Zeit. 10 Finanzmodelle in diskreter Zeit Zunächst einige Begriffe: Assets Werte, Aktiva: Der Markt bestehe aus d + 1 Finanzgütern Assets mit Werten S 0,n,S 1,n,...,S d,n 0 zur Zeit n. Formal seien die S i,n ZV. auf Ω,A,P, die messbar sind bezüglich A n, A n } n=0,1,..., Filterung, die die Information zu den jeweiligen Zeiten 0,1,..., modelliert. Annahmen: A 0 =,Ω}, A = A, Pω} > 0 ω Ω. Setze S n := S 0,n,...,S d,n T und nehme S 0,n als risikolos an, d.h. bei konstantem Zins r liefert S 0,0 = 1 z.zt. n einen Ertrag S 0,n = 1+r n. Der Koeffizient β n = 1 1+r n heißt Diskontierungsfaktor. Allgemeiner Diskontierungsfaktor: β n = 1 S 0,n Betrag, den man z.zt. 0 risikolos anlegen muss, um z.zt. n den Betrag 1 zu erhalten. 40

4 Portfolio: Gesamtheit der Finanzgüter Handelsstrategie: ZV. ϑ n = ϑ 0,n,...,ϑ d,n T, wobei ϑ n A n 1 -messbar vorhersagbar ist und die ϑ i,n die Anteile bezeichnen, die z.zt. n vom Asset i gehalten werden dabei sei ϑ 0 ebenfalls A 0 -messbar. Interpretation: Die Anteile zur Zeit n werden aufgrund der Information bis zum Zeitpunkt n 1 festgelegt. Wert des Portfolios z.zt. n: V n = d ϑ i,n S i,n = ϑ T n S n i=0 bzw. Ṽ n = β n V n = ϑ T n β n S n =: ϑ T n S n diskontiert. Die Handelsstrategie heißt selbstfinanzierend, falls ϑ T n S n = ϑ T n+1s n n = 0,1,..., 1. Interpretation: Sobald z.zt. n die neuen Werte der Assets S 0,n,...,S d,n bekannt sind, passt der Investor seine Handelsstrategie an, ohne Werte zu- oder abfließen zu lassen. Satz Folgende Aussagen sind äquivalent: a ϑ n } n=0,..., ist selbstfinanzierend; b Für alle n 1,...,} gilt: V n = V 0 + n ϑ T j S j, wobei S j = S j S j 1 ; j=1 c Für alle n 1,...,} gilt: Ṽ n = V 0 + n ϑ T j S j, wobei S j = β j S j β j 1 S j 1. j=1 Bemerkung Für jeden vorhersagbaren Prozess ϑ1,n,...,ϑ d,n T} n=0,..., und jeden A 0 -messbaren Wert V 0 existiert ein eindeutig bestimmter vorhersagbarer Prozess ϑ0,n } n=0,1,...,, sodassdiestrategie ϑ n = ϑ 0,n,...,ϑ d,n T} n=0,1,..., selbstfinanzierend ist mit Anfangswert V 0. 41

5 Bemerkung Bisher wurden keine Annahmen gemacht über das Vorzeichen der Anteile ϑ i,n. Interpretation: Bei ϑ 0,n < 0 : Anteil ϑ 0,n risikolos leihen; ϑ i,n < 0 i = 1,...,d : Anteil ϑ i,n von Asset i geschuldet z.b. bei Fälligkeit einer Call-Option. Definition a Die Strategie ϑ = ϑ n } n=0,..., heißt zulässig : ϑ ist selbstfinanzierend und V n 0 n = 0,...,. Interpretation: Der Anleger ist jederzeit in der Lage, seine Schulden zurückzuzahlen. b Eine Arbitrage-Strategie ist eine zulässige Strategie mit V 0 = 0 und PṼ > 0 > 0 risikoloser Profit [ PV = β 1 Ṽ > 0 > 0, V n 0 n. ] Es lässt sich eine Beziehung herstellen zwischen Arbitrage-Freiheit in einem diskreten Finanzmodell und Martingalen. Zunächst zur Vorbereitung: Lemma Sei ϑ n } n=0,1,..., vorhersagbar und selbstfinanzierend. Falls es keine Arbitrage-Möglichkeit gibt, so muss für G n := G n ϑ := gelten: P G 0 > 0. n ϑ1,j S 1,j + +ϑ d,j S d,j n = 0,..., j=1 } } diskontierter Gewinn Beispiel Cox-Ross-Rubinstein-Modell d = 1 : S 1,n =: S n n = 0,1,...,; S 0,n = 1+r n n = 0,1,...,, r > 0 fest. Modell für S n : Mit 0 < 1+a < 1+b gelte S 0 > 0, S n+1 = 1+aSn, mit Wahrscheinlichkeit p n > 0, 1+bS n, mit Wahrscheinlichkeit q n = 1 p n > 0. 42

6 W-Modell: Ω = ω 1,...ω ω i 1+a,1+b} } [ ωn möglicher Wert von S n /S n 1 n = 1,..., ] ; A 0 =,Ω}, A n = AS 1,...,S n, A = PΩ; S 0 > 0 konstant, S 1 ω := S 0 ω 1,...,S ω := S 1 ω ω. Mit T n = S n /S n 1 n = 1,..., gilt: P ω 1,...,ω } = PT 1 = ω 1,...,T = ω Ferner: A n = AT 1,...,T n = AS 1,...,S n, da S n = S 0 S 1 S 0 S n S n 1 = S 0 T 1 T n also! > 0 ω. bzw. T n = Sn S n 1, AS 1,...,S n AT 1,...,T n und umgekehrt. 1 Zeige: Der diskontierte Prozess S n } n=0,...,, Sn = 1+r n S n, ist ein Martingal bezüglich A n } n=0,..., unter P ET n+1 A n = 1+r n = 0,1,..., wie bei der risikofreien Anlage. Wir charakterisieren jetzt die Arbitrage-Freiheit über eine Martingal-Eigenschaft: Satz Der obige Finanzmarkt ist genau dann arbitragefrei, wenn es ein zu P äqivalentes W-Maß P gibt mit denselben ullmengen wie P, unter dem der diskontierte Asset-Prozess S n } n=0,..., komponentenweise ein P -Martingal ist bezüglich A n } n=0,...,. Beispiel 10.1 Cox-Ross-Rubinstein Fortsetzung S 0,n = 1+r n, S 1,n = S n = 1+aSn 1, 1+bS n 1. 2 Modell ist arbitragefrei = a < r < b. 3 Arbitrage-Strategie bei i r a : Leihe S 0 z.zt. 0 undinvestiereinasset1. Zahle z.zt. S 0 1+r zurück und verkaufe Asset 1. Dann erhält man: n 1 S n+1 S = S 0 1+a S 0 1+r S 0 S n n=0 P S > 1+a S 0 PS1 = 1+bS 0 > 0, also besteht eine Arbitrage-Möglichkeit. 43 und

7 ii r b : Verkaufe Asset 1 z.zt. 0 und lege das Geld risikolos an. Profit: 1+r S 0 S. 4 Zeige jetzt: Modell arbitragefrei äquivalentes W-Maß P : T 1,...,T i.i.d., P T 1 = 1+a = b r b a =: p := 1 P T 1 = 1+b. Claim und Hedge: Ein Claim ist eine zufallsabhängige Forderung, die ihrem Besitzer z.zt. eine Auszahlung, etwa h = h, ermöglicht, z.b. Call-Option: h = [S K] + ; Put-Option: h = [K S ] +. Hier: h = hs, aber auch h = hs 0,...,S möglich. Der Claim heisst absicherbar attainable, falls es eine zulässige Strategie gibt mit h = V ϑ. Ein derartiges ϑ heißt Hedge. Definition Der obige Finanzmarkt heißt Claim absicherbar ist. vollständig, falls jeder Satz Ein arbitragefreier Markt ist genau dann vollständig, wenn es genau ein zu P äquivalentes W-Maß P gibt, unter dem der diskontierte Preisprozess S n } n=0,..., komponentenweise ein P -Martingal ist bezüglich A n } n=0,...,. Bemerkung P Strategien zu entwickeln. wird dazu benutzt werden, um Preisformeln und Hedge- Mit P aus Satz 10.3 erhält man nun die Möglichkeit, Claims in vollständigen Finanzmärkten zu bewerten Preise und zu hedgen: Sei h ein A -messbarer Claim und ϑ n } n=0,..., Claim absichert, d.h. ein Hedge, der den h = V ϑ 44

8 Dann folgt: Ṽnϑ} n=0,..., ist P -Martingal, insbesondere V 0 ϑ = E Ṽ ϑ = E h S 0, V n ϑ = S 0,n E h S 0, An und n = 0,1,..., da Ṽn} Martingal. D.h., zu jeder Zeit n 0,1,...,} ist der Wert V n ϑ einer zulässigen Strategie ϑ n } n=0,1,...,, die h absichert, durch h vollständig bestimmt. Man nennt V n ϑ den Preis des Claims z.zt. n, d.h. den Betrag, den man z.zt. n benötigt, um mit ϑ n den Wert h = V ϑ zur Zeit zu erzielen. Ein Investor, der den Claim zur Zeit 0 zum Preis h E S 0, verkauft, kann über die Strategie ϑ n mit h = V ϑ den Claim perfekt hedgen. Bemerkung Das zugunde liegende W-Maß P muss für die Preisfestsetzung nicht bekannt sein. Benötigt wird das äquivalente Martingalmaß P und die Filtration A n } n=0,...,. Beispiel 10.1 Cox-Ross-Rubinstein Fortsetzung 5 Es gilt die Call-Put-Parität: C n P n = S n K1+r n, wobei C n bzw. P n den Preis z.zt. n einer europäischen Call- bzw. Put- Option mit Ausübungspreis K bezeichnet. 6 Asymptotischer Preis für Call- bzw. Put-Option zu einer festen Zeit T : Im Cox-Ross-Rubinstein sei r = RT 1+r < 1+b so, dass log 1+a = σ, log 1+r R,T fest, und 0 < 1+a < 1+b = σ σ 2 > 0 fest. 1+r 45

9 Beachte: i β = 1+r = 1+ RT e RT, d.h. R kann als Zinsrate interpretiert werden; ii E Ti log 1+r = 1 2p σ, wobei p = b r r a 2r a b, 1 p =, 1 2p =, b a b a b a 1+a = 1+re σ/, 1+b = 1+re σ/, 1 2p = 21+r 1+a+1+b 1+b 1+a σ 1 2p 2 σ2 2 2 σ σ σ2 2 Var Ti log = E log 2 Ti 1+r 1+r d.h. E S log 1+r = σ2 1 2p = 2 e σ/ e σ/ e σ/ e σ/ E log σ } 2 = logs 0 +E, Ti } 2, 1+r i=1 σ 2, Ti } log, 1+r, Var S } log 1+r = logs 0 σ2 2 1+o1, = Var logs σ 2. Put-Option: P 0 = 1+ RT E ] + [K S 0 T i i=1 = E [K 1+ RT ] +, S0 e Zn wobei Z n := i=1 X i := i=1 Ti log. 1+r Zeige: Z D Z, wobei P Z = σ2 2, σ2. 46

10 Setze fz := [ Ke RT S 0 e z] +, stetig, beschränkt in z. Da P 0 E fz K 1+ RT e RT 0 und E fz E fz, erhält man: lim P wobei P Z = 0,1. 0 = E [ Ke RT S 0 e σ 2 2 +σz ] +, Wegen [ Ke RT S 0 e σ2 2 +σz ] + = Ke RT S 0 e σ2 2 +σz, Z z 0, 0, Z > z 0, wobei z 0 = logs 0 /K+RT σ 2 /2 }/ σ, ergibt sich schließlich mit Φz = P Z z und z 1 = logs 0 /K+RT +σ 2 /2 } /σ, z 2 = z 1 σ = z 0, die Preisformel: lim P 0 = Ke RT Φ z 2 S 0 Φ z 1, lim C 0 = S 0 Φz 1 Ke RT Φz 2 über die Call-Put-Parität. Bemerkung Der Preis hängt entscheidend von der asymptotischen Volatilität σ des Log-Preisprozesses ab. Die Black-Scholes-Formel erhält man für σ 2 = T σ Hedging: Gesucht ist eine zulässige Strategie ϑ = ϑ n } n=0,1,..., : C = V ϑ. i Zunächst: C n = cn,s n, wobei die Funktion c nur von K,a,b,r abhängt. ii Eine duplizierende Strategie ϑ n } mit Cn = V n ϑ ist von der Form ϑ n = n,s n 1, ϑ n = Anteil des risikobehafteten Assets z.zt. n, wobei n,x = c n,x1+b c n,x1+a. xb a Zusammen: Europäische Call-Optionen lassen sich im Cox-Ross-Rubinstein-Modell perfekt hedgen. Der asymptotische Preis ist über die Black-Scholes-Formel festgelegt, in die ausschließlich die Volatilität als unbekannter Parameter eingeht. 47

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