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1 Alternative Zinsgarantien in der Lebensversicherung, Köln, 1. Juni 2012 Was kosten Garantien? Prof. Dr. Ralf Korn Technische Universität Kaiserslautern, Fachbereich Mathematik EI-QFM und Fraunhofer ITWM Kaiserslautern 1

2 Überblick Was sind Garantien? CPPI, VA & Co: Was kosten Garantien? Schlussbemerkungen 2

3 Was sind Garantien? Klassische Garantien Optionsbasierte Garantien Synthetische Garantien CPPI-Strategien VA - Garantien mit Wahlmöglichkeiten 3

4 Was sind Garantien? Zukünftige Zahlung, die mindestens über einer gegebenen Schranke liegt Muss was kosten! Versprechen einer Mindestrendite auf bereit gestelltes Kapital Benötigt Kapital! Versprechen minimaler garantierter Versicherungsleistungen mit Wahlmöglichkeiten Hat seinen Preis, aber welchen? 4

5 Optionsbasierte Garantien: Ein einfaches Beispiel Absichern einer Untergrenze K einer Aktienposition: Kaufe eine Put-Option auf die Aktie mit Strike K 5

6 Ein nicht ganz simples Beispiel: 6

7 Ein nicht ganz simples Beispiel: -2- Theorie: Ja Praxis: Nein! Hauptprobleme: Absicherung ist nur synthetisch vorhanden, erfordert unendliche Liquidität und Reaktionsgeschwindigkeit Es gibt keinen Vertrag, der die Gegenseite zur Zahlung verpflichtet (=> Problem im 1987-Crash) 7

8 Eine Konsequenz: CPPI-Strategien Idee: Teile das Anfangskapital x auf in y Teil der zur Garantie der Untergrenze benötigt wird Investiere ihn risikolos Rest x-y ( Cushion ), der riskant angelegt werden kann, typischerweise gemäß einer konstanten Portfoliostrategie am Finanzmarkt Durchaus üblich: Lege mehr als das Cushion in riskante Wertpapiere an! 8

9 Eine Konsequenz: CPPI-Strategien -2- Quelle:zborowski29.hubpages.com 9

10 Eine Konsequenz: CPPI-Strategien -3- Hauptprobleme: Theorie: keine (bei Handel in stetiger Zeit, selbst bei riskantem Investment von Teilen des Garantiekapitals!) Praktisch: Absicherung lässt keine Erholung der Aktie zu Nur Handel in diskreter Zeit => Gap-Risiko Garantie auf lange Zeit evtl. gar nicht möglich! 10

11 Konsequenz: Hybridprodukte mit CPPI-Komponente CPPI als wesentlicher Baustein neuer Garantieprodukte wie z.b.: Höchststandsfonds mit CPPI-Komponente Zwei- oder Dreitopfhybridprodukte (statisch oder dynamisch) Individuelle CPPIs.. 11

12 Eine Alternative: Variable Annuities Enthalten typischerweise eine Garantie und eine Wahlmöglichkeit Bsp: Guaranteed Minimum Income Benefit (GMIB) Wahl zwischen Verrentung des Fondsguthabens zu dann gültigen Konditionen Garantierte Verrentung zu heute bereits festgelegten Konditionen Garantie und Wahlmöglichkeit sollten (!) etwas kosten (je nach den angebotenen Konditionen!!!) 12

13 Überblick Was sind Garantien? CPPI, VA & Co: Was kosten Garantien? Schlussbemerkungen 13

14 Kosten von Garantien Wir betrachten nur Garantiekosten, keine Gebühren oder Transaktionskosten Explizite Kosten von Garantien als Preis der Optionsbestandteile Implizite Kosten von Garantien durch Renditeverzicht Kosten der Wahlmöglichkeiten 14

15 Bewertung von Finanzprodukten Das No-Arbitrage-Prinzip: Es gibt keinen risikolosen Gewinn ohne eigenen Kapitaleinsatz Konsequenzen: Ein sicherer Ertrag oberhalb des risikolosen Zinssatzes ist nicht möglich! Eine Garantie oberhalb des risikolosen Ertrags erfordert zusätzliche Kosten (oder ist keine echte Garantie)! 15

16 Bewertung von Finanzprodukten Fundamentalsatz der Optionsbewertung: Ein Kapitalmarkt ist (i.w.) genau dann arbitragefrei, wenn ein äquivalentes Martingalmaß Q (zum Numeraire B(t)) existiert. Haupteigenschaft von Q - einfach ausgedrückt: Unter Q besitzen alle (!) am Markt handelbaren Investmentmöglichkeiten die gleiche mittlere Rendite wie B(t) 16

17 Bewertung von Finanzprodukten -3-17

18 Anwendungen 1: CPPI-basierte Produkte CPPI-Produkte enthalten keine Optionskomponente CPPI-Produkte kosten nichts! (Risikomanagement- und Umschichtungskosten als Kostenfaktor) Durch die Cash-Out-Eigenschaft zahlen CPPIbasierte Produkte ihre implizit erzeugte Garantie durch Renditeverzicht. 18

19 Anwendungen 1: CPPI-basierte Produkte Ein numerisches Beispiel: Kapital 100, Laufzeit 1 Jahr Bond 2%, Aktie µ=5%, σ=20% Log-optimales Portfolio (0.25, 0.75): µ*=4%, σ=15% CPPI mit gleichem µ* und Garantie von 1%, T=1: Multiplikator M = 36,95 Volatilität des Aktienteils = 739 % 19

20 Anwendungen 2: Optionsbasierte Produkte Optionsbasierte Produkte erzeugen die Garantie mittels einer zusätzlichen Optionskomponente Kosten der Garantie = Kosten der Option Bei Variable Annuities: Kosten der Wahlmöglichkeit Kosten hängen von der Attraktivität der vereinbarten Alternativen ab! 20

21 Anwendungen 2: Optionsbasierte Produkte Ein numerisches Beispiel Kapital 100, 1 Jahr Laufzeit Aktie µ=5%, σ=20% Ziel: Untere Schranke von 101,005 (1% Mindestrendite) bei freiem Aktieninvestment Preis des zugehörigen Puts: 7,44 21

22 Anwendungen 2: Optionsbasierte Produkte Allgemein (z.b. bei VA s) - Stelle ein Marktmodell (Zins- und Aktienmodellierung, Modellwahl) auf - Kalibriere die Parameter - Berechne den Erwartungswert der Zahlungen (z.b. mittels MC-Simulationen) Nicht-trivial, wegen Modellrisiko und langer Laufzeit! Risiko für beide Seiten! 22

23 Überblick Was sind Garantien? CPPI, VA & Co: Was kosten Garantien? Schlussbemerkungen 23

24 Schlussbemerkungen Sind Garantien teuer? Bewertung und Kosten nicht als einziges Kriterium Angaben von Effektivgarantien? Höhere Garantie durch Verzicht auf Extremrenditen möglich (?) Risiken in Garantien (z.b. CPPI mit Gap-Risiko, Ausfallrisiken (?), politische Risiken (?), ) Unmöglichkeit von Garantien Preis? No-Arbitrage-Annahme: Das gegenwärtige Umfeld lässt nicht viel Spielraum für attraktive Garantien Zeitlich lokale Garantien: Gerechter und einfacher! 24

25 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! 25

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