Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013

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1 Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013 Walter Sanddorf-Köhle Foliensatz Nr. 3 1 / 46

2 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Betrachtet wird nun ein Wertpapiermarkt mit zwei Wertpapieren. Das Wertpapier 1 stellt ein sicheres Wertpapier (Zero-Bond) dar. Das Wertpapier 2 stellt eine Aktie dar. Es wird von zwei Zuständen Ω = {ω 1, ω 2 } ausgegangen. Die Auszahlungsmatrix und der Preisvektor sind gegeben mit: ( ) (1 + r) us0 D =, q = (1, S (1 + r) ds 0 ) 0 dabei stellt r > 0 offenbar den risikolosen Zins für die Periode [0, T ] dar. 2 / 46

3 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Für die Parameter u, d wird angenommen: 0 < d < 1 < u d.h. für WP2: wenn ω 1 eintritt steigt der Kurs um R T := S T S 0 S 0 = (u 1) wenn ω 2 eintritt fällt der Kurs um R T := S T S 0 S 0 = (d 1) 3 / 46

4 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 t 0 = 0 T S 0 p S T = us 0 {ω 1 } Kurs ist gestiegen 1 p S T = ds 0 {ω 2 } Kurs ist gefallen 4 / 46

5 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Zunächst sollen die folgenden Fragen beantwortet werden: Unter welchen Bedingungen ist der Markt vollständig, d.h. jede terminale zustandsbedingte Auszahlung ist erreichbar, arbitragefrei? Zur Marktvollständigkeit: Damit der Markt vollständig ist, muss die Auszahlungsmatrix D vollen Spaltenrang haben, es muss also gelten rg(d) = S = 2 5 / 46

6 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Da im vorliegenden Fall die Auszahlungsmatrix quadratisch ist, muss gelten det(d) 0. det(d) = (1 + r)ds 0 (1 + r)us 0 = (1 + r)(d u)s 0 Auf Grund der Annahmen r > 0 und 0 < d < 1 < u ist der Markt vollständig. Zur Arbitragefreiheit: Die Frage, ob der Markt arbitragefrei ist, kann mit der arbitragefreien Preisregel beantwortet werden. 6 / 46

7 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Der Markt ist arbitragefrei, wenn ein nichtnegativer 2 1 Vektor λ = (λ 1, λ 2 ) existiert, der das Gleichungssystem q = D λ löst. Da die Matrix D auf Grund der getroffenen Annahmen nichtsingulär ist, gilt: λ = (D ) 1 q Damit erhält man: ( ) λ1 1 λ = = λ 2 (1 + r)(d u)s 0 ( ds0 (1 + r) us 0 (1 + r) ) ( 1 S 0 ) 7 / 46

8 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Für die Parameter λ 1 und λ 2 erhält man: λ 1 = ds 0 (1 + r)s 0 (1 + r)(d u)s 0 = λ 2 = us 0 + (1 + r)s 0 (1 + r)(d u)s 0 = Damit ist der Markt arbitragefrei, wenn gilt. (1 + r) d (1 + r)(u d) u (1 + r) (1 + r)(u d) λ 1 > 0 (1 + r) > d λ 2 > 0 (1 + r) < u 8 / 46

9 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Fall 1: d < u < (1 + r) = λ 2 < 0 Dann ist die Auszahlungsmatrix und Preissystem gegeben durch: q D 0 θ 1 S 0 (1 + r) us 0 (1 + r) ds A S 0 0 (1 + r) u > 0 (1 + r) d > 0 Das Arbitrageportfolio θ = (1, 1/S 0 ) kann wie folgt interpretiert werden: t 0 T ω 1 ω 2 kaufe 1 Einheit WP 1 1 (1 + r) (1 + r) verkaufe 1 S 0 Einheit WP 2 +1 u d Vermögensposition 0 (1 + r) u > 0 (1 + r) d > 0 In diesem Fall ist eine durch Aktienverkauf finanzierte Anlage im Festzins eine Arbitragemöglichkeit. 1 A 9 / 46

10 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Fall 2: (1 + r) < d < u = λ 1 < 0 Dann ist die Auszahlungsmatrix und Preissystem gegeben durch: q D 0 θ 1 S 0 (1 + r) us 0 (1 + r) ds S A 0 u (1 + r) > 0 d (1 + r) > 0 Das Arbitrageportfolio θ = ( 1, 1/S 0 ) kann wie folgt interpretiert werden: t 0 T ω 1 ω 2 verkaufe 1 Einheit WP 1 +1 (1 + r) (1 + r) kaufe 1 S 0 Einheit WP 2 1 +u +d Vermögensposition 0 u (1 + r) > 0 d (1 + r) > 0 Hier stellt ein kreditfinanzierter Aktienkauf eine Arbitragemöglichkeit dar. 1 A 10 / 46

11 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Zusammengefasst: der Wertpapiermarkt ist arbitragefrei, wenn 0 < d < 1 < (1 + r) < u gilt. Die arbitragefreie Preisregel lautet somit: f (x 1, x 2 ) = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 = = (1 + r) d (1 + r)(u d) x u (1 + r) 1 + (1 + r)(u d) x r ([ ] (1 + r) d x 1 + (u d) [ ] ) u (1 + r) x 2 (u d) 11 / 46

12 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Offenbar gilt wegen 0 < d < 1 < (1 + r) < u: Notation: (1 + r) d 0 < < 1 und (u d) u (1 + r) (1 + r) d = 1. (u d) (u d) p = 1 p = (1 + r) d (u d) u (1 + r) (u d) 12 / 46

13 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Die Größen p und 1 p als Wahrscheinlichkeiten interpretierbar. Anmerkung: p wird die das äquivalente Martingalmaß definierende Übergangswahrscheinlichkeit genannt, denn es gilt: 1 (1 + r) E P (S T S 0 ) = = = = 1 (1 + r) (p us 0 + (1 p )ds 0 )) 1 (1 + r) 1 (1 + r) (1 + r) d u (1 + r) us 0 + ds 0 u d u d (1 + r)us0 uds 0 + uds 0 (1 + r)ds 0 u d 1 (1 + r)(u d)s 0 = S 0 (1 + r) (u d) 13 / 46

14 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Der Kapitalmarkt wird jetzt um einen europäischen Call auf Wertpapier 2 mit Basispreis K erweitert. Die Auszahlungen für die zwei Zustände ω 1 und ω 2 sind dem Schaubild zu entnehmen: t 0 = 0 T Auszahlung eines Calls in T 1 + r us 0 [us 0 K] + =: C u 1 S0 1 + r ds 0 [ds 0 K] + =: C d 14 / 46

15 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 D.h. der Wert des Calls in T, bezeichnet mit C T, ist eine Zufallsvariable: { [us0 K] C T = + mit Ws. p wenn ω 1 eintritt [ds 0 K] + mit Ws. 1 p wenn ω 2 eintritt Wert des Calls in t 0, bezeichnet mit C 0, nach der arbitragefreien Preisregel: f (x 1, x 2 ) = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 x 1 = [us 0 K] + = C u Auszahlung in Zustand 1 x 2 = [ds 0 K] + = C d Auszahlung in Zustand / 46

16 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Die Anwendung der arbitragefreien Preisrel ist äquivalent dem Bilden der diskontierten erwarteten Auszahlungen unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß P. Für den Optionspreis zum Zeitpunkt t 0 erhält man: C 0 = 1 (1 + r) E P (C T ) = = 1 (1 + r) (p C u + (1 p )C d ) 1 (1 + r) ([ (1 + r) d u d ] C u + [ ] ) u (1 + r) C d u d 16 / 46

17 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Eine Alternative Vorgehensweise zur Besimmung des Optionspreises C 0 : Gesucht ist eine selbstfinanzierende Portfoliostrategie, die die Auszahlungen des Calls dupliziert: B + S 0 C 0 = 0 D.h. wenn die Auszahlungen des Portfolios in T in jedem Zustand gleich Null sind, dann beträgt der Wert des Portfolios in t 0 ebenfalls Null (arbitragefreie Preisregel). B : Anzahl Bonds : Anzahl Aktien 17 / 46

18 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 t 0 = 0 T S 0 + B = C 0 us 0 + (1 + r)b = C u ds 0 + (1 + r)b = C d 18 / 46

19 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Gesucht ist eine selbstfinanzierende Portfoliostrategie, die die Auszahlungen des Calls dupliziert: B + S 0 C 0 = 0 D.h. wenn der Wert des Portfolios in T in alle Zuständen gleich Null ist, dann muss der Preis des Portfolios in t 0 Null sein (arbitragefreie Preisregel). Es muss also zum Zeitpunkt T gelten: (1 + r)b + us 0 = C u (1 + r)b + ds 0 = C d 19 / 46

20 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 In matrizieller Schreibweise: ( (1 + r) us0 (1 + r) ds 0 ) ( B ) = ( Cu C d ) Löst man das Gleichungssystem nach B und auf, dann erhält man: B = uc d dc u (1 + r)(u d), und = C u C d (u d)s 0 heißt Hedgeratio des Call zum Zeitpunkt t 0. Mit dem Hedgeratio wird die Anzahl der zu kaufenden Aktien bestimmt, die zur Duplizierung des Calls benötigt werden. 20 / 46

21 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Als fairen und arbitragefreien Preis des Calls in t 0 erhält man: C 0 = B + S 0 1 uc d dc u = (1 + r) u d = r ([ (1 + r) d u d + C u C d u d ] C u + [ ] ) u (1 + r) C d u d = = r (p C u + (1 p )C d ) r E P (C T ) 21 / 46

22 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Zahlenbeispiel Call mit Basispreis K = 250 EUR einem Jahr. und einer Laufzeit von Die Aktie notiert heute zum Kurs von S 0 = 250 EUR Die künftige Aktienkursentwicklung ist unsicher. Nach einem Zeitraum von einem Jahr stellt sich genau einer von zwei unterschiedlichen Aktienkursen ein: us 0 = 400 EUR oder ds 0 = 200 EUR d.h. u = 1.6 und d = / 46

23 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Der Zinsatz für einjährige Anlagen beträgt: 12%, d.h. r = Für den Call ergeben sich als Auszahlungen in T C u = [ ] + = 150 C d = [ ] + = 0 Somit erhält man: B = uc d dc u = (u d)(1 + r) ( ) 1.12 = = C u C d (u d)s 0 = ( ) 250 = / 46

24 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Durch eine Kreditaufnahme in Höhe von EUR und den Kauf von 0.75 Aktien wird die Option dupliziert. Damit ist der Wert des Calls zu t 0 bestimmt durch: C 0 = B + S 0 = = EUR Pricing des Calls mit Hilfe der arbitragefreien Preisregel. p = 0.4, C u = 150, C d = 0 C 0 = = r E P (C T ) 1 [ ] = EUR / 46

25 Verteilungsunabhängige Bewertungsgrenzen für Call und Put-Optionen Lineare arbitragefreie Preisregel: S f (x) = λ x = λ s x s, λ IR S 0. s=1 Aus der arbitragefreien Preisregel folgt: Sind a 1, a 2 : Ω IR zwei Wertpapiere mit a 1 (ω s ) a 2 (ω s ) ω s Ω = {ω 1,..., ω S }, so muss gelten: q(a 1 ) q(a 2 ), falls keine Arbitragemöglichkeit besteht. 25 / 46

26 Verteilungsunabhängige Bewertungsgrenzen für Call und Put-Optionen Gilt darüber hinaus a 1 (ω s ) > a 2 (ω s ) für ein ω s Ω, wobei jeder Elementarzustand als möglich angesehen wird, so muss gelten q(a 1 ) > q(a 2 ). Sind a 1, a 2 IR S zwei Wertpapiere und α, β IR zwei Portfoliogewichte, so muss gelten: q(αa 1 + βa 2 ) = αq(a 1 ) + βq(a 2 ), falls keine Arbitragemöglichkeit existiert. 26 / 46

27 Verteilungsunabhängige Bewertungsgrenzen für Call und Put-Optionen Denn: q(a 1 ) = und damit: S S λ s a 1 (ω s ) und q(a 2 ) = λ s a 2 (ω s ) s=1 s=1 S q(αa 1 + βa 2 ) = λ s (αa 1 (ω s ) + βa 2 (ω s )) = α s=1 S λ s a 1 (ω s ) + β s=1 s=1 = αq(a 1 ) + βq(a 2 ) S λ s βa 2 (ω s ) 27 / 46

28 Verteilungsunabhängige Bewertungsgrenzen für Call und Put-Optionen Sei r > 0 der konstante Zinssatz pro Periode, so ist (1 + r) T der Diskontsatz bis zum Zeitpunkt T. Ist S ein Wertpapier mit beschränkter Haftung, d.h. S t > 0, t, so gilt unter Ausschluss von Arbitrage: a) Der Preis einer Call-Option (Europäisch oder Amerikanisch) ist nichtnegativ. Beweis: Auszahlung einer Europäischen Call-Option mit Basispreis K zum Ausübungszeitpunkt T ist gegeben durch: [S T K] + 0, S T 0 Aus der Positivität einer arbitragefreien Preisregel folgt: q([s T K] + ) q(0) = / 46

29 Verteilungsunabhängige Bewertungsgrenzen für Call und Put-Optionen b) Der Preis einer Put-Option (Europäisch oder Amerikanisch) ist nichtnegativ. Beweis: Analog zu a) c) Der Preis eines (Europäischen oder Amerikanischen) Call ist nicht größer als der gegenwärtige Wert S 0 des zugrundeliegenden Wertpapiers. Beweis: Da S T 0, gilt für die Auszahlung einer Call-Option mit Ausübungszeitpunkt T [S T K] + S T, K 0. Die Monotonie der arbitragefreien Preisregel bedingt dann: q(call e ) q(s T ) = S 0 29 / 46

30 Verteilungsunabhängige Bewertungsgrenzen für Call und Put-Optionen d) Der Preis eines Europäischen Put ist nicht größer als der diskontierte Basispreis. Beweis:Da S T 0, gilt für die Auszahlung einer Put-Option mit Ausübungszeitpunkt T [K S T ] + K Aus der Monotonie der arbitragefreien Preisregel folgt dann: q(put e ) q(k) = K(1 + r) T. 30 / 46

31 Verteilungsunabhängige Bewertungsgrenzen für Call und Put-Optionen Put-Call-Parität Seien Call e [S 0, K, t 0, T ] und Put e [S 0, K, t 0, T ] die Preise Europäischer Call und Put-Optionen über einem dividendengeschützten Wertpapier S mit Basispreis K und Ausübungzeitpunkt T. Sei r der konstante Zinssatz, so gilt unter der Bedingung der Arbitragefreiheit: Call e [S 0, K, t 0, T ] = Put e [S 0, K, t 0, T ] + S 0 (1 + r) T K Put e [S 0, K, t 0, T ] = Call e [S 0, K, t 0, T ] S 0 + (1 + r) T K 31 / 46

32 Verteilungsunabhängige Bewertungsgrenzen für Call und Put-Optionen Seien C und P die Preise der beiden Optionen. Wert des Portfolios in t 0 Auszahlung in t = T S T K S T > K verkaufe den Call C 0 (S T K) kaufe den Put P K S T 0 kaufe das Wertpapier S 0 S T S T leihe (1 + r) T K (1 + r) T K K K Wert: C + P + S 0 (1 + r) T K 0 0 = C P S 0 + (1 + r) T K = 0 C = P + S 0 (1 + r) T K. 32 / 46

33 Verteilungsunabhängige Bewertungsgrenzen für Call und Put-Optionen Mit Put e [S 0, K, t 0, T ] 0, K > 0, und r 0 folgt aus der Put-Call-Parität direkt die folgende Aussage: Call e [S 0, K, t 0, T ] = Put e [S 0, K, t 0, T ] + S 0 (1 + r) T K S 0 (1 + r) T K S 0 K Innere Wert einer Call-Option zum Zeitpunkt t 0 : [S 0 K] + Zeitwert einer Call-Option zum Zeitpunkt t 0 : Call e [S 0, K, t 0, T ] Innerer Wert 0 33 / 46

34 Verteilungsunabhängige Bewertungsgrenzen für Call und Put-Optionen Satz von Merton Der Wert einer Amerikanischen Call-Option über einem dividendengeschützten Wertpapier ist gleich dem Wert einer Europäischen Call-Option über dem gleichen Wertpapier mit demselben Ausübungszeitpunkt und Basispreis, falls der Basispreis und der Zinssatz nicht negativ sind. Damit gilt: Call a [S 0, K, t 0, T ] = Call e [S 0, K, t 0, T ]. Nachweis: Call a[s 0, K, t 0, T ] : Preis der Amerikanischen Call-Option zum Zeitpunkt t 0 Call e[s 0, K, t 0, T ] : Preis der Europäischen Call-Option zum Zeitpunkt t 0 34 / 46

35 Verteilungsunabhängige Bewertungsgrenzen für Call und Put-Optionen 1. Die Amerikanische Option kann nicht weniger wert sein als die sonst identische Europäische Option: Call a [S 0, K, t 0, T ] Call e [S 0, K, t 0, T ]. 2. Für die Europäische Option gilt (s.o.): Call e [S 0, K, t 0, T ] S 0 (1 + r) T K S 0 K D.h. Der Wert einer Europäischen Call-Option ist zu jedem Zeitpunkt t 0 [0, T ] nicht kleiner als der Innere Wert der Option. 3. Bei vorzeitigem Ausüben der Amerikanischen Call-Option würde genau der Innere Wert erzielt. = Vorzeitiges Ausüben ist nicht optimal. 35 / 46

36 Verteilungsunabhängige Bewertungsgrenzen für Call und Put-Optionen Bemerkung: Falls das Wertpapier Dividenden während der Laufzeit ausschüttet, gilt der Satz von Merton nicht mehr, da durch vorzeitiges Ausüben der Amerikanischen Call-Option in diesem Fall an den Dividenden partizipiert werden kann. 2. Amerikanischer Put Für einen Amerikanischen Put kann vorzeitiges Ausüben optimal sein. Nachweis: Hinreichend für vorzeitiges Ausüben ist, wenn der aufgezinste Innere Wert der Put-Option alle möglichen Auszahlungen zum Fälligkeitszeitpunkt T übersteigt. 36 / 46

37 Verteilungsunabhängige Bewertungsgrenzen für Call und Put-Optionen Sei t [0, T ], S t 0. Die Option wird ausgeübt, wenn für alle S T 0 gilt: (K S t )(1 + r) T t > K S T K S t > K(1 + r) (T t) (T t) S T (1 + r) S t > S t < K + K(1 + r) (T t) S T (1 + r) K ( 1 (1 + r) (T t)) + S T (1 + r) Hinreichend für vorzeitiges Ausüben ist, wenn für den aktuellen Kurs des underlying gilt: ( S t < K 1 (1 + r) (T t)). (T t) (T t) 37 / 46

38 Verteilungsunabhängige Bewertungsgrenzen für Call und Put-Optionen Zusammenfassung 1. Bewertungsgrenzen für (Europäischen/Amerikanischen) einen Call über einem dividendengeschützten Wertpapier { } max 0, S 0 K(1 + r) T Call[S 0, K, t 0, T ] S 0 2. Bewertungsgrenzen für einen Europäischen Put } max {0, K(1 + r) T S 0 Put e [S 0, K, t 0, T ] K(1+r) T 3. Bewertungsgrenzen für einen Amerikanischen Put max {0, K S 0 } Put a [S 0, K, t 0, T ] K. 38 / 46

39 Diskrete und stetige Renditen Mit S t wird der Preis eines Wertpapiers (WP) zum Zeitpunkt t bezeichnet. Die zeitlich geordnete Folge (S t ) t IN wird Zeitreihe genannt. S 1, S 2, S 3,..., S T Sieht man von Dividendenzahlungen ab, dann ist die diskrete Rendite des Wertpapiers für das Zeitintervall t 1 bis t als relative Veränderungsrate definiert: R t := S t S t 1 S t 1 = S t S t 1 1, Bruttoertragsrate: (R t + 1) Es gilt (per definitionem): S t = (R t + 1) S t 1 t = 2, 3,..., T 39 / 46

40 Diskrete und stetige Renditen Mehrperiodenrendite Bruttoertragsrate für ein WP über k Perioden: 1 + R t (k) = (1 + R t ) (1 + R t 1 ) (1 + R t k+1 ) S t S t 1 S t k+1 = = S t 1 S t 2 S t k S t S t k. k-periodenrendite: R t (k) = S t S t k S t k. Diskrete Tages- und Wochenrenditen BASF Kurs S t in Euro Tagesrendite R t in % Wochenrendite R t (5) in % / 46

41 Diskrete und stetige Renditen Annualisierte Rendite 1 Periodenlänge sei m eines Jahres m = 250 Tagesrendite R (250) t m = 52 Wochenrendite R (52) t m = 12 Monatsrendite R (12) t m = 1/2 2-Jahresrendite R (1/2) t Annualisierte Rendite ( R (a) t = R (m) m t + 1) 1 41 / 46

42 Diskrete und stetige Renditen Stetige Rendite Unterteilt man das Intervall (t 1, t] in k Teilintervalle und geht davon aus, dass in jeder Teilperiode anteilsmäßig die Rendite r t ausgeschüttet und wieder angelegt wird, dann beträgt die Bruttoertragsrate ( 1 + r ) t k. k Betrachtet man für k die Bruttoertragsrate, dann gilt: ( (1 + R t ) = lim 1 + r ) t k = e r t. k k Die stetige Rendite ist nun wie folgt definiert: ( ) St r t := ln(1 + R t ) = ln = ln S t ln S t 1 < r t < + S t 1 42 / 46

43 Diskrete und stetige Renditen Einschub: MacLaurin-Reihenentwicklung Es sei f (x) eine n + 1-mal differenzierbare Funktion. Eine MacLaurin-Reihe von f (x) ist dann f (x) = f (0) + R n (x) = n i=1 f (i) (0) x i + R n (x) i! x n+1 (n + 1)! f (n+1) (υx) wobei 0 < υ < 1. Aus einer MacLaurin-Reihenentwicklung folgt: R 2 t r t = R t 1 2 (1 + υr t ) 2 R t 0 < υ < 1 43 / 46

44 Diskrete und stetige Renditen 0.75 Diskrete versus stetige Rendite 0.50 R t 0.25 Diskrete/Stetige Rendite r t = ln(1 + R t ) Diskrete Rendite 44 / 46

45 Diskrete und stetige Renditen Stetige k-periodenrendite r t (k) = ln(1 + R t (k)) = ln [(1 + R t ) (1 + R t 1 ) (1 + R t k+1 )] = r t + r t r t k+1 = ln S t ln S t k Kurs S t in Euro ln S t Tagesrendite r t in % Wochenrendite r t (5) in % / 46

46 Diskrete und stetige Renditen Stetige annualisierte Rendite ( ) t = ln R (a) t + 1 (( ) = ln R (m) m ) t + 1 r (a) = m r (m) t mit: r (m) t ( ) = ln R (m) t + 1. (1) Sei mit R F der konstante Zinsatz p.a. bezeichnet, dann ist der stetige konstante Zins, r F, : r F = ln(1 + R F ) R F = e r F 1 46 / 46

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