Bewertung von Finanzderivaten

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1 Bewertung von Finanzderivaten am Beispiel von LIBOR Zinsmodellen Christian Fries (Version Revision 2 ( ) - First Version ) 1

2 Modellierung 2

3 Modellierung (1/3) Finanzprodukt: Vertraglich festgelegte Zahlungsströme in Abhängigkeit von Ereignissen. Modellierung: Modellierung eines Zahlungsstromes zu festem Zeitpunkt T 0 als Zufallsvariable X : Ω IR. Modellierung des Wertes eines Finanzproduktes als stochastischer Prozess S : [0, ) Ω IR S(ω) mit ωɛω ist als Abbildung von [0, ) IR der Pfad von S im Zustand ω. Alle Zufallsvariablen seien über dem selben Messraum (Ω, F) definiert. ωɛω pfad / historie Information wird modelliert durch die Filtration: Familie von σ-algebren F t ( F s, t < s), deren Elemente die Ereignisse sind, welche in t bekannten sein können X muß F T meßbar sein. 3

4 Modellierung (2/3): Brownsche Bewegung Prototyp eines stochastischen Prozesses - Baustein für Itô Prozesse: Brownsche Bewegung: W W (t) definiert über (Ω, F, P ). W (0) = 0. W (t) Normalverteilt mit Mittelwert 0 und Standardabweichung t. W (t 2 ) W (t 1 ) Normalverteilt mit Mittelwert 0 und Standardabweichung t 2 t 1. W (, ω) stetige (aber nirgends differenzierbare) Funktion [0, ) IR (P -fast sicher). Konstruktion einer zeit-diskreten Approximation: wobei W (t k ) := k 1 i=0 W (t i ) (0 = t 0 < t 1 <...), W (t 0 ) := 0, W (t i ) = (W (t i+1 ) W (t i )) N (0, t i+1 t i ) (i.i.d). Infinitesmimale Notation: t W (t) =: dw (τ). 0 4 Theory of stochastic integration (integration with stochastic process as integrator).

5 Modellierung (3/3): Itô-Prozesse Wir beschränken uns zunächst auf die Modellierung mittels Ito Prozessen: Stochastic Differential Equation: ds = µdt + σdw, wobei µ, σ Konstanten, Funktionen in t, oder gar selbst (F t -adaptierte) stochastische Prozesse oder stochastische Prozesse der Form µ(t, S(t)), σ(t, S(t)) sind. Integral Form: t t S(t) = S 0 + µ(τ, S(τ)) dτ + σ(τ, S(τ))dW (τ). 0 0 X(t,!) Z X(t 1,") dp(")!! 1 Z T X(t)dW(t)[! 1 ] 0 Euler Discretization: S(t i ) = µ(t } {{ } i, S(t i )) t i + σ(t }{{} i, S(t i )) W } {{ } i S(t i+1 ) S(t i ) t i+1 t i N (0, t i ) 0 t 1 T t mit S(0) = S(0), wobei { S(t i ) 0 = t 0 < t 1 <...} die Euler Diskretisierung von {S(t) t 0} ist. 5

6 Risikoneutrale Bewertung 6

7 Risikoneutrale Bewertung (1/5) Produkt A: Zum Zeitpunkt T 2 > 0 wird die Regenmenge R(T 2 ) (in mm) an einer definierten Stelle gemessen und der Euro-Betrag A(T 2 ) := (R(T 2 ) X) mm ausgezahlt. R(T 2 ) (somit A(T 2 )) ist im allgemeinen stochastisch. Was bestimmt den Wert A(T 1 ) dieses Vertrages in T 1? Produkt B: Zum Zeitpunkt T 2 wird der Kurs S(T 2 ) der IBM Aktie (in ) festgestellt und der Euro-Betrag B(T 2 ) := (S(T 2 ) X) ausgezahlt. Was bestimmt den Wert B(T 1 ) dieses Vertrages in T 1? Replikation: Die Auszahlung von Produkt B ist replizierbar durch in T 1 erwerbbare Produkte: Sei P (T 2 ; T 1 ) die Auszahlung eines Kredites, der in T 2 durch die Zahlung von 1 getilgt werden muß. In T 1 : Kaufe Aktie S(T 1 ) und nehme Kredit X P (T 2 ; T 1 ) auf, der in T 2 mit X getilgt werden muß. Wert in T 2 : S(T 2 ) X = A(T 2 ) Wert in T 1 : S(T 1 ) X P (T 2 ; T 1 )! = A(T 1 ) 7

8 Risikoneutrale Bewertung (2/5) Replikation ist (unter Voraussetzungen) möglich für beliebige Auszahlungsfunktionen V (T 2 ), z.b. Option mit Strike K: V (T 2 ) = max(s(t 2 ) K, 0) 1 falls S(T 2 ) > K Digital-Option mit Strike K: V (T 2 ) = 0 falls S(T 2 ) < K - sofern man den stochastischen Prozess der unterliegenden Größen kennt. 8

9 Risikoneutrale Bewertung (3/5) Replication Strategy Discrete Time (T 1, T 2 ), Two Assets (S, B), Two States (ω 1, ω 2 ) In T 2 existieren nur zwei disjunkte Ereignisse / Zustände ω 1 und ω 2. Gegeben sei V (T 2, ω i ), sowie zwei gehandelte Produkte S und B. Gesucht ist ein Portfolio αs + βb, welches in T 2 den Wert von V (T 2 ) repliziert. Sein Wert in T 1 bestimmt dann den Wert V (T 1 ). α S(T 1 ) + β B(T 1 ) α S(T 2 ; ω 1 ) + β B(T 2 ; ω 1 )! = V (T 2 ; ω 1 ) α S(T 2 ; ω 2 ) + β B(T 2 ; ω 2 )! = V (T 2 ; ω 2 ) Das Geleichungssystem rechter hand ist lösbar, falls S(T 2 ; ω 1 ) B(T 2 ; ω 2 ) S(T 2 ; ω 2 ) B(T 2 ; ω 1 ) 0 d.h. (B 0) S(T 2 ; ω 1 ) B(T 2 ; ω 1 ) S(T 2; ω 2 ) B(T 2 ; ω 2 ) 9

10 Risikoneutrale Bewertung (4/5) Wir betrachten nochmals α S(T 1) B(T 1 ) + β 1 p α S(T 2;ω 1 ) B(T 2 ;ω 1 ) + β 1 =! V (T 2;ω 1 ) B(T 2 ;ω 1 ) Replikationsportfolio ist unabhängig vom Wahrscheinlichkeitsmaß 1-p α S(T 2;ω 2 ) B(T 2 ;ω 2 ) + β 1 =! V (T 2;ω 2 ) B(T 2 ;ω 2 ) Im Allgemeinen ist V (T 1 ) B(T 1 ) EP ( ) V (T2 ) B(T 2 ) d.h. S(T 1 ) B(T 1 ) EP ( ) S(T2 ). B(T 2 ) Ist sign ( S(T 2 ;ω 2 ) B(T 2 ;ω 2 ) S(T 1) B(T 1 ) S(T 1 ) B(T 1 ) = EQ ) sign ( S(T2 ;ω 1 ) ( ) S(T2 ) B(T 2 ) B(T 2 ;ω 1 ) S(T 1) B(T 1 ) und somit ) so existiert ein W keitsmaß Q mit V (T 1 ) B(T 1 ) = EQ ( ) V (T2 ). B(T 2 ) Das Maß Q wird als risikoneutrales Maß bzw. equivalent martingale measure bezeichnet. Es hängt nicht von V ab! (Gilt nicht bei Betrachtung von V (T 1 ) =! E (V (T 2 )) statt V (T 1)! = E ( ) V (T 2 ) B(T 1 ) B(T 2 ) ). 10

11 Risikoneutrale Bewertung (5/5): Tools for continuous time / Ito Processes Definition (Martingal): Ein stochastischer Prozess M t heißt P-Martingal, falls i) M s = E P (M t F s ) s t ii) E P ( M t ) < t Change of measure theorem: Sei W t eine P-Brownsche Bewegung und γ t ein {F t }-vorhersehbarer Prozess mit E P ( exp( 1 T0 2 γt 2)) <. Dann existiert ein Maß Q, äquivalent zu P, mit i) dq dp = exp ( T 0 γ t dw t 1 T0 2 γt 2dt) ii) W t := W t + t 0 γ s ds ist eine Q-Brownsche Bewegung. Martingal property for Ito processes: Sei X ein Ito-Prozess mit dx t = µ t dt + σ t dw t mit E(( T 0 σ 2 t ds)1/2 ) <. Dann gilt X ist ein Martingal X ist driftfrei, d.h. µ t 0. Martingal representation theorem: Sei M t, mit dm t = σ t dw t ein Q-Martingal und σ t > 0 (Q-f.s.). Dann existiert für jedes Q-Martingal N t ein vorhersehbarer Prozess φ t mit i) N t = N 0 + t 0 φ s dm s ii) T 0 φ 2 t σ2 t dt < (Q-f.s.). 11

12 Zinsstrukturen 12

13 Zinsstrukturen Zero-Coupon Bond: Grundlegendes Objekt. Zinsen werden als abgeleitete Größen interpretiert. P (T 2 ) : [0, T 2 ] Ω IR P (T 2 ; t) : Ω IR (Zufallsvariable): Wert einer garantierten Zahlung von 1 im Zeitpunkt T 2, gesehen im Zeitpunkt t < T 2. Bemerkung: P (T 2 ; T 2 ) = 1 Forward-Rate: P (T 1 ) P (T 2 ) =: (1 + L(T 1, T 2 ) (T 2 T 1 )). L(T 1, T 2 ; t) : Ω IR (Zufallsvariable): Zinsrate einer Investition von 1 im Zeitpunkt T 1 mit Auszahlung in Zeitpunkt T 2, gesehen im Zeitpunkt t T 1. 13

14 Black (1976) Model for an option on the forward rate (aka Caplet) 14

15 Black (1976) Model for a Caplet (option of forward rate) Option payoff: max ( (L n (T n ) X) (T n+1 T n ), 0 ) in T n+1, where L n (T n+1 T n ) := P (T n )/P (T n+1 ) 1, i.e. L n denotes the forward rate for the period [T n, T n+1 ]. Model specification: dl n (t) L n (t) = µ(t)dt + σdw, σ = const. Numeraire (good choice): N(t) := P (T n+1 ; t). Drift: L n (t) = 1 (T n+1 T n ) (P (T n)/p (T n+1 ) 1) = 1 (T n+1 T n ) P (T n) P (T n+1 ) P (T n+1 ) = 1 (T n+1 T n ) (P (T n) P (T n+1 )). N 15 N-relative price Under the equivalent martingale measure Q N, the N-relative prices are martingales (drift = 0)

16 Black (1976) Model for a Caplet (option of forward rate) Model specification: dl n (t) L n (t) = σdw, under QN, where σ = const., N(t) := P (T n+1 ; t) (Numeraire) Option value: V (T n+1 ) = max ( (L n (T n ) X) (T n+1 T n ), 0 ) in T n+1. V (T n ) = max ( (L n (T n ) X) (T n+1 T n ), 0 ) P (T n+1 ; T n ) in T n. Universal Pricing Theorem: ( ) V (0) V (Tn N(0) = ) EQN N(T n ) = E QN ( max((ln (T n ) X) (T n+1 T n ), 0) P (T n+1 ; T n ) P (T n+1 ; T n ) ) Option value: log normal distributed V (0) = P (T n+1 ; 0) E QN (max ((L n (T n ) X), 0)) (T } {{ } n+1 T n ) L n (0) Φ ( ln( Ln(0) X ) )+ 1 2 σ2 T n σ T n X Φ ( ln( Ln(0) X ) ) 1 2 σ2 T n σ T n 16

17 Black (1976) Model for a Caplet (option of forward rate) Under log-normal dynamics of the forward rate dl(t) L(t) = µ(t)dt + σdw, σ = const. the price of a Caplet paying V (T n+1 ) = max ( (L n (T n ) X) (T n+1 T n ), 0 ) in T n+1 is given by a Black Scholes type formula V (0) = P (T n+1 ; 0) L n (0) Φ ln(l n(0) X σ T n ) σ2 T n X Φ ln(l n(0) X σ T n ) 1 2 σ2 T n (T n+1 T n ) 17

18 LIBOR Market Model aka BGM Brace, Gatarek, Musiela; Sandmann, Sondermann; etc. 18

19 LIBOR Market Model Modellspezifikation: dl i L i = µ i (t)dt + σ i (t)dw i für i = 0,..., N 1, Eigenschaften: Zeitabhängige Volatilität σ i (t) Konsistente Modellierung von N Zinsraten L i ( Zinskurve) bezüglich einem Numeraire / Maß. Multi Faktor Modell: N korrelierte Brownsche Bewegungen < dw i, dw j >= ρ i,j. LIBOR L n Log-Normal Verteilt im Q P (T n+1) -Maß ( kompatibel zu Black Modell) Verallgemeinerung des Black-Modells 19

20 LIBOR Market Model: Bestimmung des Drift Terms (1/3) Choice of Numeraire: N(t) = P (T N ; t) (T N Bond). Consider the N-relative Prices of tradable assets: N 1 P (T i ) P (T N ) = P (T k ) = P (T k=i k+1 ) } {{ } =1+δ k L k N 1 k=i (1 + δ k L k ) i = 1,..., N 1. In an arbitrage free model N-relative prices are drift free in: [ ] P N 1 (Ti ) Drift = Drift (1 + δ k L k ) = 0 i = 1,..., N 1 in Q P (TN), P (T N ) k=i Product rule for Ito processes: N 1 d (1 + δ k L k ) = k=i N 1 k=i (1 + δ k L k ) N 1 j=i δ j dl j (1 + δ j L j ) + l j+1 l N 1 δ j dl j (1 + δ j L j ) δ l dl l (1 + δ l L l ). 20

21 LIBOR Market Model: Bestimmung des Drift Terms (2/3) From Drift Q P (T N ) N 1 (1 + δ k L k ) = 0 i = 1,..., N 1 k=i we find N 1 j=i Drift Q P (T N ) δ j dl j (1 + δ j L j ) + l j+1 l N 1 δ j dl j (1 + δ j L j ) δ l dl l (1 + δ l L l ) = 0 i = 1,..., N 1 and thus Drift Q P (T N ) δ j dl j (1 + δ j L j ) + l j+1 l N 1 δ j dl j (1 + δ j L j ) δ l dl l = 0 j = 1,..., N 1. (1 + δ l L l ) 21

22 LIBOR Market Model: Bestimmung des Drift Terms (3/3) With dl j = L j µ j dt + L j σ j dw j, dl j dl l = L j L l σ j (t)σ l (t)ρ j,l dt the drift equation Drift Q P (T N ) δ j dl j (1 + δ j L j ) + l j+1 l N 1 δ j dl j (1 + δ j L j ) δ l dl l (1 + δ l L l ) = 0 j = 1,..., N 1 becomes µ j δ j L j (1 + δ j L j ) + l j+1 l N 1 δ j L j (1 + δ j L j ) δ l L l (1 + δ l L l ) σ j(t)σ l (t)ρ j,l = 0. Thus µ j = l j+1 l N 1 δ l L l (1 + δ l L l ) σ j(t)σ l (t)ρ j,l 22

23 LIBOR Market Model Model Framework: Dynamik in Q P (T N) : dl j = j+1 l N 1 < dw i, dw j >= ρ i,j δ l L j L l (1 + δ l L l ) σ j(t)σ l (t)ρ j,l dt + L j σ j (t) dw j ; L j (0) = L j,0 Freie Parameter: σ 1 (t),..., σ N 1 (t) N 1 zeitabhängige Volatilitätsfunktionen. ρ i,j (N 1) (N 2) 2 Korrelationen. Kalibrierungsproblem: Bestimme fit der Parameter durch aktuelle Marktpreise und/oder historische Daten. 23

24 LIBOR Market Model In der Praxis übliche Modellkalibrierung(en) (und Reduktion der Feiheitsgrade): Empirie: Zeithomogene funktionale Form: σ i (t) = g(t i t); g(τ) = (aτ +b) exp(cτ +d). Fit an Caplet Marktpreise: T i 0 σ 2 i implied (t)dt (σblack, i ) 2 T i min. Empirie: Exponentiell abfallende Korrelation: ρ i,j = exp( α i j ). Fit an korrelationsempfindliche Produkte (e.g. Swaptions). Faktorreduktion: Principal Component Analysis der Korrelationsmatrix. 24

25 LIBOR Market Model Some extensions of the model: Multi-Currency-Model (linked through an F X prozess). Smile Modelling: Introducing non-log-normal terminal LIBOR distributions (under corresponding measure): State dependend (local) volatility. Stochastic volatility. Jump processes. 25

26 Example: Auto Cap Sensitivities in Monte Carlo LIBOR Market Model 26

27 Example: AutoCap Sensitivities: Cap Products Caplet: Single option on forward rate (LIBOR). Payoff profile: max(l i (T i ) S, 0) T i, paid in T i + T i Cap: Portfolio (series) of n options on forward rates (LIBORs) (Sum of caplets). Chooser Cap: Cap where only some (k<n) options may be exercised. Holder may choose upon each exercise date. Value is given by optimal exercise strategy 27

28 Example: AutoCap Sensitivities Flexi Cap (aka Auto Cap) product definition: Fixing dates: T 1, T 2,..., T n Payment dates: T 2, T 3,..., T n+1 Maximum number of exercises: k Payoff profile: max(l i (T i ) S, 0) T i if 0 else { j : Lj (T j ) S > 0 j < i } < k Feature: On a (fixed) single path, the product depends discontinuously on the input (i.e. todays) interest rate level. Note: On a (fixed) single path, Chooser Cap depends continuously on input. Effect: For low number of path, numerical evaluation of partial derivatives (greeks) is terrible inaccurate. } paid in T i+1 28

29 Example: AutoCap Sensitivities: 1 bp shift Jump due to change in exercise times on some path Price dependence of the caplets, without a change in exercise times. 29

30 Example: AutoCap Sensitivities: 10 bp shift 31

31 Example: AutoCap Sensitivities: 100 bp shift 33

32 Example: AutoCap Sensitivities: Delta 100 bp 34

33 Example: AutoCap Sensitivities: Delta 100 bp 35

34 Example: AutoCap Sensitivities: Delta 100 bp 36

35 Example: AutoCap Sensitivities: Delta 10 bp 37

36 Example: AutoCap Sensitivities: Gamma 100 bp 38

37 Example: AutoCap Sensitivities: Gamma 100 bp 39

38 Example: AutoCap Sensitivities: Gamma 10 bp 40

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