Tilgungsrechnung 2. Bearbeitet von Martin Kubsch Tilgungsrechnung 2 1. Formelsammlung. Jahres-, Quartals,- Halbjahres oder Monatsrechnung

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1 Tlgugsrechug Bearbetet vo Mart Kubsch.0.00 Tlgugsrechug Formelsammlug Uterjährge Tlgug a) m r = m z Azahl glech Jahres-, Quartals,- Halbjahres oder Moatsrechug b) m z > m r (mehr Zs- als Tlgugsperode) Zsazahl auf Tlgugsazahl hochreche m z (*) mr m (*) k = ( + ), * = ( + ) m r m z k z.0.00 Tlgugsrechug

2 Formelsammlug c) m z < m r (aspare uterjährlcher, efach verzster (achschüssg gezahlter) Rate a zu eer Gesamtautät etspreched der Ersatzrete r e ) A e = a [ m + ( m )] S a = [ m + ( m )] A a = [ m + ( m )].0.00 Tlgugsrechug. E Darlehe vo soll moatlch mt % verzst ud 0 Jahre durch kostate Autäte getlgt werde. We hoch sd a) de Moatsrate? geg: Lsg: p*=% m r = m z a= S = (Moatsrechug) a= ,00 0,0,0 0 a =7.7,.0.00 Tlgugsrechug 4

3 . E Darlehe vo soll moatlch mt % verzst ud 0 Jahre durch kostate Autäte getlgt werde. We hoch sd b) de Verteljahresrate geg: m r = 4 < mz = ges: a Moatszs Verteljahreszs umreche = ( + ) m= (,0) Q M =0,00 Q a= (,00)40 0,00,00 40 a =.76, Tlgugsrechug 4. E Hypothekedarlehe vo soll Jahre durch kostate Autäte getlgt werde. Der Zs beträgt verteljährlch %. Bereche Se a) de Moatsrate, Geg: m = > 4 = r m z 00 Quartale (Zs), Rate je Quartal 00 0,0 S ,0,0 00 a= = [ m+ ( m)] [+ 0,0 ()] a =.6, Tlgugsrechug 6

4 4. E Hypothekedarlehe vo soll Jahre durch kostate Autäte getlgt werde. Der Zs beträgt verteljährlch %. Bereche Se b) de sgesamt zu zahlede Zse. Z ges = A ges S =.6, Z ges = Tlgugsrechug 7. Der Zsfuß ees Darlehes über00.000, welches moatlch mt.98 zurückzuzahle st, beträgt 8% jährlch. Nach we vel Jahre st das Darlehe getlgt? geg: S = a =.98 p=8% ges: Lsg: S ,08 0,08,08 a= = [ m+ ( m)] [+ 0,08 ()] 4.90, = ,08 0,08,08 = l, 9 = 0Jahre l, Tlgugsrechug 8 4

5 6. Ee Schuld vo wrd mt kostate halbjährlche Autäte vo.877,60 0 Jahre getlgt. We hoch st der Jahreszsfuß? geg: S = a =.877,60 = 0Jahre ges: p Lsg: S a = [ m + ( m )] 0,9,8 + 0, ,8 = 0 = ) 0 9,,8 + 0,079 = F'( ) 9 8, 0,4 = F''( ).0.00 Tlgugsrechug 9 Newto Verfahre =,09 ) F''( ) = 0,47 < F'( ) 0,07 =,09 =,06,497 0,0087 =,06 =,0996,08 ) = 0,000< 0 > Abbruch ) = 0,07 F'( ) =,497 F''( ) = 7, Tlgugsrechug 0

6 Newto Verfahre = =,0996 p = 0%.0.00 Tlgugsrechug 7. De Verzsug für e Darlehe über erfolgt halbjährlch. Das Darlehe soll 6 Jahre mt Hlfe vo moatlche Autäte vo.99,47 getlgt werde. Bereche Se de Semesterzssatz. geg: m r = > = m z a =.99,47 = 6 > Halbjahre ges: p* Lsg: S a = = [ m + ( m )] [6 + (6 )] 9, 0, ,48 + 0,679 = 0 = ),69 8,48 + 0,48 = F'( ) 0.484,4.409,68 = F''( ).0.00 Tlgugsrechug 6

7 Newto Verfahre =,0 ) F''( ) = 0,97 < F'( ) 4 0,0477 =,0 =,0684,447 0,04 =,064 =,0604 7,868 0,0084 =,0604 =, ,4 ) = 0,0477 F'( ) =,447 F''( ) = 4, Tlgugsrechug Newto Verfahre F ( 4) = 0,00004 < 0 > Abbruch = =,06 4 p HJ = 6%.0.00 Tlgugsrechug 4 7

8 8. We hoch sd de gesamte Zsaufweduge eer Schuld vo , de durch halbjährlche Autäte vo be eem Jahreszsfuß vo 7% getlgt wrd? geg: ges: Lsg: m = > = S = a =4.000 p = 7% r m z Z ges 0,07 S ,07,07 a = = 0,07 [ m + ( m )] [ + ( )] = 4.000,07,07 l,966 = = 0Jahre l, Tlgugsrechug 8. We hoch sd de gesamte Zsaufweduge eer Schuld vo , de durch halbjährlche Autäte vo be eem Jahreszsfuß vo 7% getlgt wrd? A Z ges ges = = = = Tlgugsrechug 6 8

9 9. E Telzahlugskredt über soll 8 Moate getlgt werde. Moatlch müsse 00 zurückbezahlt werde. Be der Kredtauszahlug fällt ee emalge Gebühr vo 800 a. Bereche Se de effektve Jahreszs be moatlcher Verzsug. geg: ges: Lsg: m m = S =0.000 r = z p eff = 8Moate a = 00 8 a = S = , 9, + 0, = 0 = ) 8 7 8,8 6 = F'( ) ,40.7 = F''( ).0.00 Tlgugsrechug 7 Newto Verfahre =,0 ) F''( ) = 0,6 < F'( ) 0,008 =,0 =,078,008 0,00098 =,078 =,0,9 ) = 0,0000 < 0 4 > Abbruch ) = 0,008 F'( ) =,008 F''( ) = 9, Tlgugsrechug 8 9

10 Newto Verfahre p eff eff M = =,0 =,% = ( + p M ) m = 0,47 > p = ( + 0,0) eff = 4,7%.0.00 Tlgugsrechug 9 0. E Uterehmer beötgt geau für ee Ivestto. Dese Betrag möchte er durch e Bakdarlehe decke, welches zu folgede Kodtoe agebote wrd: Zs 6,% p.a., Auszahlug 9,%, Laufzet 0 Jahre a) We hoch sd de kostate Autäte? ,06 A = S =,06 0,9,06 0 A =4.99, Tlgugsrechug 0 0

11 0. E Uterehmer beötgt geau für ee Ivestto. Dese Betrag möchte er durch e Bakdarlehe decke, welches zu folgede Kodtoe agebote wrd: Zs 6,% p.a., Auszahlug 9,%, Laufzet 0 Jahre b) Welche Effektvzs bezahlt er? geg: S = A =4.99,9 = 0Jahre Lsg: 0 A = S = ,49 + 0,49 = 0 = ) 0 9,49 = F'( ) ,48 = F''( ).0.00 Tlgugsrechug Newto Verfahre =,07 ) F''( ) = 0,69 < F'( ) 0,0066 =,07 =,089 0, 0,009 =,089 =,0804 0,8604 ) = 0,00009 < 0 4 > Abbruch ) = 0,0066 F'( ) = 0, F''( ) = 4,.0.00 Tlgugsrechug

12 Newto Verfahre = =,0804 p = 8,04% c) We hoch sd de Gesamtaufweduge für de Kredt? A A ges ges = A = 4.99,90 = 49.9, Tlgugsrechug. Ee Autäteschuld vo st moatlch mt 490,8 zurückzubezahle. De jährlche Verzsug beträgt %. a) Bereche Se de Laufzet geg: m r = > = m z S = a = 490,8 Lsg: 0,0 S 0.000,0,0 a = = 0,0 [ m + ( m )] [ + ( )] 6.09,4 =.00,0,0 l,7 = = Jahre l, Tlgugsrechug 4

13 . Ee Autäteschuld vo st moatlch mt 490,8 zurückzubezahle. De jährlche Verzsug beträgt %. b) We hoch st de Restschuld ach Jahre ud Moate? k l p p l Rk, l = S ( + ) a {( m + ) m k l p l p l ( + ) + ( m + )} m 00 m 00 0,0 R, = 0.000,0 ( + 0,0) 490,8{( + ),0 0,0 ( + 0,0) + ( + )} 0, Tlgugsrechug. Ee Autäteschuld vo st moatlch mt 490,8 zurückzubezahle. De jährlche Verzsug beträgt %. b) We hoch st de Restschuld ach Jahre ud Moate? R R,, = 64.6,7.4,0 = 9.47, Tlgugsrechug 6

14 . E Kredt über (% Dsago)wrd zu 0% Jahreszse be halbjährlcher Verzsug gewährt. Nach Jahre solle de Schuld sowe de agefallee Zse zurückbezahlt werde. Jedoch muss am Ede ees jede Jahres ee Gebühr vo 0,% der Kredtsumme a de Kredtgeber überwese werde. We hoch st de Effektvverzsug? geg: Lsg: K 0 = ( % Dsago) = Jahre p =0% m z = m 0, K = K0 ( + ) = 0.000( + ) m K =.77,89 Kaptalwertberechug: G( t) = Pt A t t= ,89 G( ) = Tlgugsrechug 7 Newto Verfahre ,4 G'( ) = ,70 G ''( ) = =, G( ) G''( ) = 0,07 < G'( ) G( ) =.07,8 G'( ) = 9.9,6 G''( ) = 0.0, Tlgugsrechug 8 4

15 4 Newto Verfahre.07,8 =, =,99 9.9,6,7 =,99 =, ,466 9,97 =,0 =, ,999 0,0480 =,474 =, , Tlgugsrechug 9 Newto Verfahre G( p eff ) = 0, < 0 = =,47 =,% 4 > Abbruch.0.00 Tlgugsrechug 0

16 . Nach 8 Jahre beträgt de Restschuld ees Autätekredts mt eer Gesamtlaufzet vo 0 Jahre, der zu 8% verzst ud jährlch getlgt wrd och.67,60. a) Erstelle Se de Tlgugspla der letzte bede Jahre. geg: R 8 =.67,60 p = 8% = 0Jahre k Lsg: Rk = S 0,08,08 R8 =.67,60 = S 0,08 S = ,08 A = S = 0.000,08 0 =.490,9, Tlgugsrechug 8. Nach 8 Jahre beträgt de Restschuld ees Autätekredts mt eer Gesamtlaufzet vo 0 Jahre, der zu 8% verzst ud jährlch getlgt wrd och.67,60. Tlgugspla der letzte bede Jahre Jahr Restschuld Zse Autät Tlgug RS Jede 9.67,60,6.490,9.77,68.79,9 0.79,9 0,9.490,9.79,90 0, Tlgugsrechug 6

17 . Nach 8 Jahre beträgt de Restschuld ees Autätekredts mt eer Gesamtlaufzet vo 0 Jahre, der zu 8% verzst ud jährlch getlgt wrd och.67,60. b) We hoch sd de sgesamt für de Kredt zu zahlede Zse? Z Z ges ges = A ges S =.490, = 4.90, Tlgugsrechug 4. E Autätedarlehe über (be jährlcher Tlgug) wurde Ede 990 zu eem Zssatz vo 9% p.a. be eer Bak aufgeomme. De Laufzet betrug 8 Jahre. Wel Jahre später das Zsveau auf 7% p.a. gesuke st, möchte der Darlehesehmer de Restschuld jetzt zurückbezahle (ablöse). De Bak macht de Ablösug des Darlehes davo abhägg, ob der Kude beret st, als Ersatz für de etstadee Schade ee Vorfällgketsetschädgug zu zahle. Se berechet sch ach der sogeate Bakformel: De Restschuld am Vorfällgketsterm wrd mt der Restlaufzet ud der prozetuale Zsdfferez zw. Vertrags- ud Wederalagezs multplzert Tlgugsrechug 4 7

18 4. E Autätedarlehe über (be jährlcher Tlgug) wurde Ede 990 zu eem Zssatz vo 9% p.a. be eer Bak aufgeomme. De Laufzet betrug 8 Jahre. a) We hoch st der fazelle Schade, welcher der Bak ohe Berückschtgug vo Kredtbearbetugskoste tatsächlch etsteht? geg: S = p = 9% = 8Jahre p * = 7% 0,09 A = S = ,09 8 = 4.0,,09 8 Jahre Autätetlgug mt 9% -> Autät mt euem Zssatz vo 7%.0.00 Tlgugsrechug 4. E Autätedarlehe über (be jährlcher Tlgug) wurde Ede 990 zu eem Zssatz vo 9% p.a. be eer Bak aufgeomme. De Laufzet betrug 8 Jahre. R R k k = S = 0.88,0 = S * A* =.49,0 8,09,09 = ,09 * 0,07 A* = S * * = 0.88,0,07 *, Tlgugsrechug 6 8

19 4. E Autätedarlehe über (be jährlcher Tlgug) wurde Ede 990 zu eem Zssatz vo 9% p.a. be eer Bak aufgeomme. De Laufzet betrug 8 Jahre. Jährlcher Verlust für de Bak st de Dfferez der Autäte. A A* =.78,0 Gesamtschade = Barwert des jährlche Verlustes R R 0 0 R =.78,0,07 =,07 0,07 =.4, Tlgugsrechug 7 4. E Autätedarlehe über (be jährlcher Tlgug) wurde Ede 990 zu eem Zssatz vo 9% p.a. be eer Bak aufgeomme. De Laufzet betrug 8 Jahre. b) Ermttel Se de Höhe der Vorfällgketsetschädgug ach der Bakformel. De Restschuld am Vorfällgketsterm wrd mt der Restlaufzet ud der prozetuale Zsdfferez zw. Vertrags- ud Wederalagezs multplzert. R k Re st ( p p*) = Etschädgug 0.88,0(0,09 0,07) =.08, Tlgugsrechug 8 9