Zur Außen-Bewertung von Freigeld

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1 Zur Außen-Bewertung von Fregeld Nkolaus K.A. Läufer De Fragestellung und hre Voraussetzungen De Frage der Bewertung von Fregeld st nur dann nteressant, wenn es mndestens zwe parallele Währungen gbt. Zum Bespel ene Währung mt und ene Währung ohne Belastung durch ene Umlaufgebühr (ULG). Denkbar snd auch zwe Fregeld-Währungen, de sch mt unterschedlchen Umlaufgebühren gegenüberstehen. Erst wenn wr ene Fregeldwährung n ener anderen Währung ausdrücken wollen, kann de Enhet Fregeldwährung überhaupt enen von 1 verschedenen Wert oder Pres haben. Wr stellen m folgenden de Frage nach dem Wert ener Enhet der Währung F (Fregeld) n Enheten ener Währung E (Euro). Der Untersched der beden Währungen besteht voraussetzungsgemäß ausschlesslch darn, dass F mt ener Umlaufgebühr belastet st, während E davon befret st. De beden Währungen können also bede Euro-Währungen sen oder bede Chemgauer. Während der reale Chemgauer ULG-belastet st, nehmen wr fktv an, dass es glechzetg enen ULG-unbelasteten Chemgauer gbt und wr benutzen den letzteren um den Wert des ersteren ausdrücken. Wr unterstellen m folgenden, dass n den beden Parallelwährungen der gleche Markt-Znssatz herrsche. Dese Fragestellung st ncht ohne praktsche Bedeutung. Se beschäftgt sch mt dem Problem, we n enem Währungssystem Fregeld zu bewerten st, das dadurch entstanden st, dass den bestehenden Geldenheten enes Systems de glechen Enheten mt ener ULG-Belastung als Konkurrenten zur Sete gestellt werden. Was st en ULG-belasteter Euro wert, wenn deser Wert n Enheten enes ULG-unbelasteten Euros ausgedrückt wrd? 2 Arbtrage-Bewertungsformel Da nach Voraussetzung de Währungen F und E sch nur durch de ULG-Belastung der Währung F unterscheden, würden sch de Währungen 1:1 tauschen, wenn man von der ULG-Belastung der Währung F absähe, der Pres wäre also 1. De 1

2 ULG-Belastung st ene glechblebende Belastung n Höhe von u Geldenheten je Enhet, de während der angenommenermaßen ewgen Lebensdauer der Währungsenhet perodsch wederkehrt. Der Kaptalwert (Gegenwartswert) des Stromes deser Belastungen, berechnet zum Znssatz, st nach der Formel für ene ewge Rente: Kaptalwert der ULG Belastung = u (1) Da de ULG-Belastung her de enzge Ursache für enen Bewertungsuntersched st, ergbt sch folgende Formel für de Bewertung der Enhet der Währung F n Enheten der Währung E: = 1 u. (2) Sobald < u st deser Wert negatv. De Währungsenhet repräsentert dann ene Netto-Verschuldung des Halters der Enhet, der sch der Halter durch Nchtzahlung der Umlaufgebühr entzehen kann. Durch geplante Nchtzahlung der Umlaufgebühr wrd de Fregeldenhet jedoch vernchtet, d.h. se nmmt den Wert null an. Daher glt W ert von F n Enheten von E = Max(0, 1 u ). (3) Dese Formel führt auf ene Bewertungsfunkton für de Enhet F, welche n hrem Verlauf n Abbldung 1 dargestellt st. De obge Bewertungsformel hat jedoch enen Defekt. Se modellert de Umlaufgebühr noch ncht rchtg. De Pläne für ene Umlaufgebühr sehen ene Belastung n u-% der Fregeld-Enhet (d.h. der F-Enhet vor). Dese Belastung muss man n E-Enheten umrechnen, um se dann abdskonteren zu können. In der obgen Formel wrd de ULG-Belastung dagegen n Höhe von u-% ener E-Enhet angesetzt. 1 Das bedeutet, dass de Belastung je F-Enhet, de n der Formel abdskontert wrd, n Wahrhet größer st als u %. De Modellerung muss anders laufen. Wr müssen zuerst de ULG-Belastung n F-Enheten berechnen, se anschlessend n E-Enheten umrechnen und dann den Kaptalwert der umgerechneten ULG-Belastung ermtteln und von 1 n Abzug brngen. Be deser Umrechnung wrd jedoch genau der Pres p g benötgt, den wr noch gar ncht kennen. Wr machen deshalb ene Rechnung mt ener noch Unbekannten. De Umrechnung der Belastung u n F-Enheten n ene Belastung n E- Enheten ergbt: p g u. (4) 1 Man beachte: 1 und u n der Formel (2) snd n E-Enheten. u-% ener F-Enhet snd nur glech u n E-Enheten, wenn de Wertrelaton zwschen E- und F-Enheten glech 1 st. Wr snd aber gerade dabe zu zegen, dass des ncht der Fall sen wrd. 2

3 Abbldung 1: Bewertungsfunkton für ULG belastetes Fregeld (alte Funkton) 1 Asymptote p = Max(0,1 u/) g p = 1 u/ g 0 0 u 0 Znssatz 3

4 Dese Belastung n E-Enheten muss zum Marktznssatz abdskontert werden: p g u. (5) Für den Wert p g der F-Enhet n E-Enheten erhalten wr nach dem Arbtrage- Prnzp den Ansatz: Dese Glechung kann man nach p g auflösen: p g = 1 p gu. (6) p g = + u. (7) p g st ene Funkton n den Varablen und u. De Werte deser Funkton legen zwschen 0 und 1. De Egenschaften deser neuen Bewertungsfunkton Funkton gehen auch aus Abbldung 2 hervor. Mt stegendem nähern sch de Funktonswerte asymptotsch dem Wert 1. Mt snkendem Zns nmmt der Wert p g ncht nur ab, sondern er geht sogar gegen null: lm p g = 0. (8) 0 De Selbstzerstörung von Fregeld st ene Egenschaft des Fregeldes, welche durch de Änderung der Bewertungs-Formel ncht verschwndet. Wenn der Znssatz glech der Umlaufgebühr st, dann st der Funktonswert n der neuen Formel glech 1/2. An deser Stelle (=u) st der Wert der alten Bewertungsfunkton berets null. Wr können jetzt auch erkennen, dass ene ULG-Belastung, de n E-Enheten u beträgt, n F-Enheten größer st, nämlch u p g, denn solange p g klener st als 1, haben wr u p g > u. Ene n E-Enheten konstante Belastung u bedeutet n F-Enheten ene be fallendem Znssatz zunehmende Belastung je F-Enhet. Es st wesentlch für das folgende, dass p g de Dmenson E-Enheten hat. p g st en Pres für F-Enheten ausgedrückt n E-Enheten. 3 Zur Interpretaton der neuen Arbtrage-Formel De bekannte Optmerungsbedngung LP = + u (9) kann man sch als de notwendge Bedngung für en Maxmum der folgenden Zel-Funkton herleten. Z L f (M f ) ( + u)m f, (10) dz = LP ( + u) = 0. dm f (11) 4

5 Abbldung 2: Bewertungsfunkton für ULG belastetes Fregeld 1 Asymptote p = /(+u) g 1/2 0 u Znssatz 5

6 Darn st L ene Lqudtätsproduktonsfunkton. De Ressource, mt der de Lqudtät erzeugt wrd, st de Fregeld-Geldmenge M f. 2 De margnale Lqudtätspräme LP st de erste Abletung von L nach M f. De Lqudtät hat de gleche Dmenson we M f, de Fregeld-Menge, de gewählt wrd. De Dmenson von L und damt auch von LP snd F-Enheten. Der Pres für ene F-Enhet n F-Enheten st natürlch 1. Dese 1 kann man sch als Ergebns ener Kaptalserung vorstellen. Kaptalsert wrd der Strom der konstant angenommenen Lqudtätsprämen LP = + u und der Strom der konstanten Belastung u u (12) (13) De Dfferenz der beden Gegenwartswerte st glech dem Kaptalwert ener F- Enhet ausgedrückt n F-Enheten: LP u = + u u = 1. (14) Das st de Rechnung all derer, de darauf bestehen, dass der Wert ener F-Enhet 1 se. Leder wrd her lecht übersehen, dass de engangs gestellte Frage nach der Bewertung von F-Enheten anders lautete. Es geht um de Bewertung von F- Enheten n E-Enheten und ncht um ene Bewertung n F-Enheten. Deser Untersched st entschedend. Deshalb werden wr als nächstes de Lqudtätspräme n F-Enheten (LP) n ene n E-Enheten (LP e ) umrechnen. LP e def = p g LP = ( + u) ( + u) =. (15) Dann rechnen wr de de ULG-Belastung n F-Enheten (u) um n ene Belastung n E-Enheten (u e ): u e def = p g u. (16) Anschleßend wederholen wr de Kaptalserungsrechnung mt Hlfe der Werte n E-Enheten und erhalten: LP e u e = = ( + u)p g up g = p g = p g. (17) Wr sehen, dass dese Kaptalserung auf den glechen Wert p g führt, den wr aus der Arbtrage-Formel kennen. Insbesondere sehen wr, dass wr de 1 n den 1. 2 M f steht für de reale Geldmenge bzw. de nomnelle Geldmenge be enem Presnveau von 6

7 Formeln (2) und (6) als abdskonterten Wert der margnalen Lqudtätspräme nterpreteren können, nachdem de letztere n E-Enheten umgerechnet wurde. Dese Lqudtätspräme hat den Wert und ncht den Wert +u. De +u stellen den Wert der margnalen Lqudtätspräme n F-Enheten dar. Nach der Umrechnung n E-Enheten hat dese margnale Lqudtätspräme den Wert. Dese Umrechnungen müssen vorgenommen werden, wel wr am Pres der F-Enhet n E-Enheten nteressert snd. Wenn wr de Umrechnung von F-Enheten n E-Enheten mt ener anderen Funkton als mt p g vornehmen, dann lefert de Kaptalserungsrechnung dese andere Funkton. 3 De Kaptalserungsrechnung st daher kene Methode, um den Wert von p g zu berechnen, sondern nur ene Methode, um sch de ökonomsche Bedeutung von p g zu veranschaulchen. Ene wrklche Berechnungsmethode für p g stellt dagegen de obge Arbtrage-Überlegung dar. 4 Zur Interpretaton der ursprünglchen Arbtrage- Formel De zuerst engeführte Formel p a g = 1 u (18) für den Wert ener F-Enhet, ausgedrückt n E-Enheten, soll jetzt analog nterpretert werden. De ULG-Belastung ener F-Enhet n F-Enheten ausgedrückt lautet n desem Fall: u f def = u p g. (19) Für de Zelfunkton und de Optmerungsbedngungen haben wr her: Z L f (M f ) ( + u p a g )M f (20) dz = LP ( + u ) = 0 (21) dm f p a g LP = + u p a g (22) LP e LP p a g = p a g + u (23) De Kaptalserungsrechnung n F-Enheten ergbt: LP u p a g = + u p a g u p a g = 1. (24) 3 Für de obge Kaptalserungsfunkton, als Argument von p g betrachtet, st jeder belebge p g -Wert en Fxpunkt. 7

8 Im Gegensatz dazu lautet de Kaptalserungsrechnung n E-Enheten: LP e u = pa g + u u = pa g. (25) 5 De Bewertungsformeln als Wechselkursfunktonen Gemäss den Voraussetzungen handelt es sch be den Bewertungsformeln um Formeln für Wechselkurse. Genau genommen snd es Faktoren gemäß denen de Wechselkurse zweer Währungen sch verändern werden, wenn n ener der beden Währungen plötzlch ene Umlaufgebühr engeführt wrd. Muss man, vor Enführung der Umlaufgebühr n Währung F, 2 Enheten der E-Währung für ene Enhet F-Währung aufwenden, dann muss man nach Enführung der ULG n der Währung F nur noch 2p g Enheten der Währung E bezahlen. De Währung E wertet um 1 p g p g = 1 p g 1 Prozent auf. De Währung F wertet entsprechend ab. Das Rezprok 1 p g stellt de umgekehrte Bewertung der Währung E n Enheten der Währung F dar. Man seht, dass der Pres der Währung E n Enheten der Währung F gegen unendlch geht, wenn der Znssatz gegen null geht. 6 Schlussfolgerung De analyserten Bewertungsfunktonen stellen den Außenwert ener Währung dar, jewels ausgedrückt n Enheten der Verglechswährung, wobe ene Währung mt ULG belastet st, während de andere davon befret st. Deser Außenwert geht mt dem Znssatz gegen null. Es legt auf der Hand, dass wr auf de glechen Formeln stossen, wenn wr n beden Währungen ULG-Belastungen haben. De Größe u msst dann de Dfferenz der ULG-Belastungen, de zwschen den beden Verglechswährungen besteht. Sobald de Belastung ener Währung mt Umlaufgebühr größer wrd als de der anderen Währung, wrkt de stärker belastete Währung schlagartg ab. De Abwertungsrate st 1 p g 1. 8

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