Atom-, Molekül- und Festkörperphysik

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1 Atom-, Molekül- und Festkörperphysik für LAK, SS 2013 Peter Puschnig basierend auf Unterlagen von Prof. Ulrich Hohenester 9. Vorlesung, Transport, von 1D zu 2 & 3D, Bandstruktur Fermienergie, Zustandsdichte

2 Wie bewegt sich Elektron im Festkörper? Gruppengeschwindigkeit Elektrisches Feld F, Energieänderung in Zeit δt andererseits gilt Bewegungsgleichung für Elektron im Festkörper ähnlich wie 2. Newtonsches Gesetz

3 Wie bewegt sich Elektron im Festkörper? Bewegungsgleichung für Elektron im Festkörper Dispersion freies Teilchen Ohmsches Gesetz Strom (mittlere Geschwindigkeit der Elektronen) ist proportional zu angelegter Spannung Was ist falsch? Was müssen wir noch zusätzlich berücksichtigen?

4 Wie bewegt sich Elektron im Festkörper? Bewegungsgleichung für Elektron im Festkörper Dispersion freies Teilchen Ohmsches Gesetz Strom (mittlere Geschwindigkeit der Elektronen) ist proportional zu angelegter Spannung Reibungsterm (Stöße mit Gitterfehlstellen und Gitterschwingungen)

5 Wie bewegt sich Elektron im Festkörper? Streuung Beschleunigung F Reibungsterm (Stöße mit Gitterfehlstellen und Gitterschwingungen)

6 Wie viele Zustände gibt es im Festkörper? Spin

7 Wie viele Zustände gibt es im Festkörper? Beispiel: ein Atomzustand, ein Elektron pro Atom unbesetzte Zustände besetzte Zustände Nur Zustände bis zur Hälfte des Bandes sind besetzt

8 Wie viele Zustände gibt es im Festkörper? Beispiel: ein Atomzustand, zwei Elektronen pro Atom besetzte Zustände Alle Zustände des Bandes sind besetzt Was passiert, wenn man elektrisches Feld anlegt?

9 Isolator versus Metall Ohne Feld : es gibt genau so viele Elektronen, die sich nach links bewegen, wie solche, die sich nach rechts bewegen kein Nettostrom Elektronen, die sich nach links bewegen Elektronen, die sich nach rechts bewegen

10 Isolator versus Metall Mit Feld : alle Endzustände sind besetzt, es kann kein Strom fließen Isolator alle Endzustände besetzt keine Umbesetzung Elektronen, die sich nach links bewegen Elektronen, die sich nach rechts bewegen

11 Isolator versus Metall Ohne Feld : es gibt genau so viele Elektronen, die sich nach links bewegen, wie solche, die sich nach rechts bewegen kein Nettostrom unbesetzte Zustände besetzte Zustände Elektronen, die sich nach links bewegen Elektronen, die sich nach rechts bewegen

12 Isolator versus Metall Mit Feld : mehr Elektronen, die sich nach rechts als links bewegen Metall Elektronen werden angeregt F Elektronen, die sich nach links bewegen Elektronen, die sich nach rechts bewegen

13 Isolator versus Metall Isolator, Halbleiter und Metall unterscheiden sich durch die vollständige bzw. teilweise Besetzung der Energiebänder Isolator, Halbleiter: Unterstes Energieband (Valenzband) vollständig besetzt Metall: Unterstes Energieband (Leitungsband) nur teilweise besetzt

14 Von 1D zu 2D und 3D Beispiel Graphene eine einzelne Schicht von Graphit Brillouinzone

15 Von 1D zu 2D und 3D Zustände unbesetzt Zustände besetzt Beispiel Graphene eine einzelne Schicht von Graphit Brillouinzone

16 Kann man Bandstruktur E(k) messen? ARPES Angle Resolved Photon Emission Spectroscopy K Photon überträgt Energie und Impuls an Elektron im Festkörper

17 3D Bandstruktur E(k) Brillouinzone In 3D (Beispiel GaAs) trägt man üblicherweise die Bandstruktur E( kx, ky, kz ) entlang bestimmter Symmetrielinien (L Γ X) auf

18 Zustandsdichte und Fermienergie Die höchste in einem Festkörper besetzte Elektronenenergie bezeichnet man als Fermienergie Fermienergie

19 Zustandsdichte und Fermienergie Wie zählt man (unendlich) viele Zustände? Zustandsdichte Zahl bzw. Dichte der Zustände pro Energieintervall Gesamtzahl der Zustände muß N ergeben Zahl der Zustände mit einer Energie kleiner als E

20 2D Zustandsdichte Beispiel: Dispersion eines freien Teilchens Zahl der Zustände im Intervall [ E, E + δe ]

21 2D Zustandsdichte Beispiel: Dispersion eines freien Teilchens Fläche konstanter Energie E

22 Zustandsdichte und Fermienergie Bestimmen Sie N2D(E) und N3D(E) für freies Teilchen Zahl der Zustände mit einer Energie kleiner als E

23 Zustandsdichte und Fermienergie Bestimmen Sie EF für N = 1023 Atome pro cm-3 und m=m0 Zahl der Elektronen pro Bohr3 Fermienergie

24 Zustandsdichte und Fermienergie Bestimmen Sie EF für N = 1023 Atome pro cm-3 und m=m0 Fermienergie Thermische Energie Temperatureffekt

25 Fermienergie, -geschwindigkeit, -wellenvektor Elektronengasparameter rs, Fermienergien EF, Fermivektoren kf, und Fermigeschwindigkeiten vf für typische Metalle.

26 Freie Elektronen im fcc-gitter 1. Brillouin Zone Wellenvektor 1. Brillouin Zone Reziproker Gittervektor

27 Vergleich: Freie Elektronen vs. Aluminium fcc Al

28 Bandstruktur von Na [Ne]3s1 Brillouin Zone eines kubischraumzentrierten Gitters

29 Bandstruktur von Al [Ne]3s23p1 Brillouin Zone eines kubischflächenzentrierten Gitters

30 Bandstruktur von Kupfer und Silber Cu [Ar]3d104s1 Ag [Kr]4d105s1

31 Bandstruktur Gold Licht überträgt an Festkörper Impuls: Da Lichtwellenlänge (~ µm) viel größer als Gitterkonstante (~ nm) ist, ist der Wellenzahlvektor von Licht sehr klein im Vergleich zu dem Festkörper Wellenzahlvektor die Übergänge erfolgen senkrecht

32 Bandstruktur Palladium Licht überträgt an Festkörper Impuls: Da Lichtwellenlänge (~ µm) viel größer als Gitterkonstante (~ nm) ist, ist der Wellenzahlvektor von Licht sehr klein im Vergleich zu dem Festkörper Wellenzahlvektor die Übergänge erfolgen senkrecht

33 Fermifläche für 2D und 3D 3D Fläche konstanter Energie EF liegt auf einer Kugeloberfläche Fermienergie 2D Fläche konstanter Energie EF liegt auf einem Kreis

34 2D Fermifläche Sr2RuO4

35 3D Fermifläche Ein Energieband bei Fermienergie Silber Mehrere Energiebänder bei Fermienergie Palladium

36 Bandstruktur Diamant Diamant ist Halbleiter bzw. Isolator und absorbiert nicht im sichtbaren Bereich. Farben entstehen durch Einlagerung von Fremdatomen.

37 Bandstruktur Silizium

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