2 Vektoren. 2.1 Vektorraum 2 VEKTOREN 1

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1 2 VEKTOREN 1 2 Vektoren 2.1 Vektorraum In der Physk unterscheden wr skalare Grössen von vektorellen. En Skalar st ene reelle Messgrösse, mathematsch enfach ene Zahl, phykalsch ene dmensonsbehaftete Zahl. Bespele snd de Temperatur, de Energe, de Dchte und de Masse. En Vektor besteht aus sovel Komponenten we de Dmenson des zugrunde legenden Raumes. Im dredmensonalen Raum also aus dre unabhänggen Komponenten. Ene solche Grösse kann geometrsch als de Verbndungslne zwschen zwe Punkten festgelegt werden, z.b. ~a = AE, wobe A der Anfangs- und B der Endpunkt bezechnet. De Rehenfolge der Punkte st wchtg, denn AE =,EA.Vektoren snd somt gegeben durch hre Länge (Abstand zwschen den Verbndungspunkten) und hrer Rchtung. Bespele für vektorelle Grössen snd de Kraft, de Geschwndgket und das elektrsche Feld. Es st wchtg zu verstehen, dass physkalsch de Grössen an Objekte gebunden snd. So greft de Kraft an enem bestmmten Punkt ~x enes Körpers an, so dass m allgemenen ~ F = ~ F (~x). De Addton von Vektoren s kommutatv, assozatv, es exstert en Nullvektoründ zu jedem Vektor enen nversen Vektor. Ferner st ene skalare Multplkaton mt den üblchen Egenschaften defnert. De so gewonnene mathematsche Struktur wrd n der Lnearen Algebra engeführt und allgemen als Vektorraum abgekürzt. Wr beschränken uns m folgenden auf den üblchen Eukldschen Raum, dem wr en kartessches Koordnatensystem zugrunde legen (we es m Gymnasum behandelt wrd). Das Koordnatensystem st festgelegt durch Vorgabe der sogenanten Bassvektoren mt der Länge 1 (physkalsch mt der Länge ens mal der zugrunde legenden Masszahl), abgekürzt als ~e ( =1:::3). Wr schreben dann für ~a: ~a = und nennen a de -te Komponente von ~a (Komonente n x, y, oder z Rchtung). De Algebra der Vektoren reduzert sch n deser Darstellung auf das Anwenden der Algebra reeller Zahlen auf jede enzelne Komponente. So ergbt sch zum Bespel: ~a + ~ b = a ~e (a + b )~e Anschaulch sagt dese Glechung enfach, dass be der Addton de Vektoren anenander gehängt werden. Falls Ihnen das ncht klar st, sollten Se jetzt en Blatt Paper zur Hand nehmen, darauf en rechtwnklges Koordnatensystem mt x und y Achse enzechen und zwe Vektoren

2 2 VEKTOREN 2 ~a und ~ b graphsch zusammenadderen. Betrachten Se dabe de Komponenten der Vektoren ~a und ~ b und der Summe. Physkalsch st folgender Sachverhalt bedeutsam: Senen ~ F 1 und ~ F 2 zwe Kräfte und ~ F 3 := ~F 2 + ~ F 1, dann st de Wrkung der Kraft ~ F 3 äquvalent zur Wrkung der beden Kräfte ~ F 1 und ~F 2 zusammen, vorausgesetzt, dass de beden Telkräfte am glechen Ort angrefen! 2.2 Das skalare Produkt Es bezechne V den Vektorraum (Eukldscher Raum). Das skalare Produkt st allgemen ene blneare Abbldung V V!R,für de wr schreben ~a~ b. Es hat ene enfache geometrsche Interpretaton. Se a := j~aj de Länge des Vektors ~a (analog b für ~ b), dann st ~a ~ b = ab cos() ; wobe den Wnkel zwschen den beden Vektoren bezechnet. Beachten se, dass ~a ~ b = 0 mplzert, dass de beden Vektoren senkrecht aufenander stehen (vorausgesetzt: a; b 6= 0). In Komponenten enes rechtwnklgen Koordnatensystems ergbt sch: ~a ~ b = a b : Des seht man we folgt en: Wähle das Koordnatensystem so, dass de x-achse n Rchtung ~ b zegt. De y-achse stehe senkrecht zu ~ b n der Ebene, de durch de beden Vektoren aufgespannt wrd. Dann glt: ~ b = b~ex ~a = a cos()~e x + a sn()~e y Mt deser Darstellung sehen wr sofort, dass n der Tat ~a ~ b = a b = ab cos() Natürlch haben P wr jetzt das Koordnatensystem spezell gewählt, und man kann sch zurecht fragen, ob a b unabhängg davon st. Des muss so sen, wel de geometrsche Defnton des Skalarproduktes das Vorlegen enes bestmmten Koordnatensystems ja gar ncht erfordert. Wr betrachten des nur engeschränkt auf de Ebene, n der de beden Vektoren legen. Betrachten Se dazu de Fgur 1. Es glt: ~a = a (cos()~e 1 + sn()~e 2 ) ~ b = a (cos( + )~e1 + sn( + )~e 2 )

3 2 VEKTOREN 3 Zegen se nun, dass sch aus a 1 b 1 + a 2 b 2 de Glechung ab cos ergbt. Für de Länge des Vektors ~a schreben wr: j~aj := p ~a ~a = a 2 s Der Vektorraum der Newton schen Mechank st der Eukldsche Raum. Skalare oder vektorelle physkalsche Grössen müssen mmer unabängg von der Wahl des Koordnatensystems sen. Für ene konkrete Darstellung wrd aber en Koordnatensystem vorausgesetzt. En Skalar st ene Zahl, während en Vektor durch dre Zahlen gegeben st, abgekürzt: a ( = 1:::3). Es gbt auch Grössen, de mehr als enen Index erfordern. Ene Matrze hat 2 Indzes und deshalb 6 Komponenten. En wchtges Bespel st de Enhetmatrx, de abgekürzt n folgender Darstellung häufg n der Physk erschent: j := 1; falls = j 0; falls 6= j Für de Bassvektoren enes rechtwnklges Koordnatensystem erhalten wr dann: ~e ~e j = j Das Skalarprodukt st lnear n beden Argumenten ( blnear ). Es glt daher zum Bespel: (~a + ~ b) ~c = ~a~c + ~ b ~c. Weter glt ~a ~ b = ~ b ~a. Wegen der Lneartät kommen auch de üblchen Regeln der Dfferentalrechnung zur Anwendung. Als Bespel betrachten wr de Bahnkurve t! ~x(t), de enen Kres um den Ursprung des Koordnatensystems mt Radus R beschreben soll. Es glt zunächst: ~x(t) ~x(t) = R 2 Dese Glechung leten wr nun nach der Zet ab, woraus folgt: 2 ~v ~x =0,d.h.deGeschwndgket ~v steht senkrecht auf dem Ortsvektor ~x. Angenommen de Geschwndgket st vom Betrage her konstant, dann können wr deses Argument noch enmal verwenden. Im Vektorraum

4 2 VEKTOREN 4 der Geschwndgketen, beschrebt t! ~v(t) wederum enen Kres. Daher muss de Beschleungung senkrecht zum Geschwndgketvektor stehen, oder parallel zum Ortsvektor. Letzteres erlaubt uns de Beschleungung als ~a = k~x zu schreben (k st ene noch zu bestmmende Konstante). Da ~v senkercht auf ~x steht, glt ~x ~v = 0. Ableten deser Glechung nach der Zet lefert: v 2 + kr 2 = 0,alsok =,v 2 =R 2. Damt snd wr am Zel. De Beschleungung der Kresbewegung mt konstanter Wnkelgeschwndgket st: ~a = v2 R 2 ~x Man nennt des de Zentrpetalbeschleungung. Bespel:Für de Bewegung enes Massenpunktes se ene Kraft ~ F verantwortlch, de senkrecht auf der Geschwndgket ~v(t) steht. Zegen Se, dass dann de Geschwndgket vom Betrage her konstant sen muss. Da ~ F = m~a, glt ~v d~v=dt =0. Integreren Se de letzte Glechung. Falls das schwerg erschent, betrachten Se zunächst nur ene Komponente. 2.3 Das vektorelle Produkt Das vektorelle Produkt st ene Abbldung V V! V,deblnear and antsymmetrsch st: ~c = ~a ~ b Antsymmetrsch bedeutet: ~a ~ b =, ~ b~a. Auch herzu gbt es ene geometrsche Interpretaton. Der Vektor ~c, der als Vektorprodukt aus den Vektoren ~a und ~ b hervorgeht, steht senkrecht auf der Ebene, de durch ~a und ~ b augespannt wrd, und hat den Betag j~cj = j~a ~ bj = j~ajj ~ bjjsn()j : st her weder der Wnkel zwschen ~a und ~ b. De dre Vektoren ~a; ~ b;~c blden (n deser Rehenfolge) en rechtshändges Koordnatensystem. Der Betrag des Produktes entsprcht der geometrschen Fläche des Parallelograms, das durch de beden Vektoren gegeben st. We bem Skalarprodukt kann ene Darstellung für de Komponenten enes kartesschen Koordnatensystems angegeben werden:! ~a ~ b = jk a j b k ~e : j;k Das Objekt mt dre Indzes st en Tensor drtter Stufe. Ene Matrze st en Tensor zweter Stufe, ene Vektor en solcher erster Stufe, und en Skalar st entsprechend en Tensor 0-ter Stufe. Der Tensor kj muss bestmmten Transformatons-Gesetzen genügen, damt de

5 2 VEKTOREN 5 Defntons unabhängg von der Wahl des Koordnatensystems st. Betrachtungen deser Art snd Gegenstand der Lnearen Algebra. jk st vollständg antsymmetrsch, d.h. bem Vertauschen zweer Indzes wechselt das Vorzechen, und es glt 123 =1. Aus ersterem folgt, dass jk = 0, falls zwe Indzes dentsch snd. Durch zwemalges Vertauschen zweer Indzes folgt: jk = kj = jk. Von den nsgesamt 27-Komponenten snd nur gerade 6 verscheden von Null: 123 = 321 = 231 =1und 132 = 213 = 321 =,1. Mt desem Result erhalten wr somt für de Komponenten des Vektorproduktes das folgende Resultat: ~a ~ b = (a 2 b 3, a 3 b 2 ;a 3 b 1, a 1 b 3 ;a 1 b 2, a 2 b 1 ) (1) Dese Schrebwese müsste aus der Mttelschule bekannt sen. De Darstellung mt Hlfe des -Tensors erschent vellecht erst umständlch, ermöglcht aber ene kompaktere Darstellung. Se st nsbesondere nützlch, wenn mehere Vektoroperatonen vorkommen und man dann z.b. das ganze noch dfferenzeren muss. Wr zegen noch kurz, dass de beden Defntonen n enem enfachen Bespel dentsch snd. De x 1 - und x 2 -Achse unseres rechtwnklgen Koordnatensystems wählen wr n der Ebene der beden Vektoren ~a und ~ b. Ferner se ~a zur x 1 -Achse parallel. Folglch glt für de Komponenten der Vektoren: (a; 0; 0) für ~a und (bcos(); b sn(); 0) für ~ b. Anwenden von 1 ergbt: ~a ~ b = (0; 0; ab sn), d.h. der Produktvektor steht senkrecht auf ~a und ~ b und hat de gewünschte Länge. Bespel: Was st de geometrsche Interpretaton von ~a ( ~ b ~c)? Bespel: ~x bezechne den Ortsvektor enes Punkttelchens n enem Kraftfeld F ~, das nur ene radale Komponente aufwest, d.h. F ~ (~x) :=f (~x) ~x=j~xj. Wasfolgtfür de Abletung von ~x ~v nach der Zet (~v := ~x)? _ Das Vektorprodukt erlaubt uns auch auf enen für de Physk wchtgen Untersched zwschen Vektoren hnzuwesen. Wr unterscheden zwschen polaren und axalen Vektoren mttels der Transformaton (Inverson) ~x!,~x des Raumes. Be deser Transformaton wrd der Raum nvertert. En rechtshändges Koordnatensystem geht dabe n en lnkshändges über. Des st auch n der Cheme und vor allem n der Bologe von Bedeutung, da es Moleküle gbt, de ene sogenante Chraltät aufwesen, d.h. de Gestalt des Moleküls gbt enen Drehsnn vor (we be ener Schraube). Be der Inverson wrd der Drehsnn geändert. Falls de Inverson ene Symmetre der Natur wäre, würde man erwarten, dass de Moleküle mt bedem Drehsnn glech häufg vorkommen. Dem st aber ncht so (warum st bs heute unklar). Polare Vektoren ändern hr Vorzechen be der Inverson, während axale unverändert bleben. Bespele für polare Vektoren snd de Geschwndgket, de Kraft und das elektrsche Feld. Axale Vektoren snd der Drehmpuls, das Drehmoment und das magnetsche Feld. Der Drehmpuls ~ L enes Punkttelchens der Masse m st defnert über das Vektorprodukt: ~ L := m~x ~v. DaderOrtsvektor ~x und der Geschwndgketsvektor ~v polare Vektoren snd, muss ~ L axal sen. Bespel: De Kresbewegung enes Massenpunktes um ene feste Achse durch den Koordnatenursprung mt Wnkelgeschwndgket! kann mt dem Vektorprodukt angegeben werden. Dazu schreben

6 2 VEKTOREN 6 wr de Wnkelgeschwndgket als Vektor ~!, der de Rchtung der Drehachse ennmmt. Es glt dann für de Geschwndgket ~v = ~! ~x. Dskuteren Se dese Glechung anhand ener Skzze. Als Bespel der Anwendung des -Tensors betrachten wr das doppelte Vektorprodukt. Gesucht st ~g := (~a ~ b) ~c. Das Produkt n Klammer nennen wr den Vektor ~ d. Wr betrachten de -te Komponente von ~g: g = jl jl d j c l Ensetzen von d j ergbbt: g = jl jrt a r b t c l jlrt De Summe über j betrfft nur de -Tensoren. Daher: g = ( a r b t c l j jl jrt ) lrt Der Ausdruck n der geschweften Klammer hängt nur noch von ver Indzes ab. Man erhält (durch Überlegen): j jl jrt = lr t, lt r und weter: g = = c l l rt a r b t lr t, rt (c l a l b, c l b l a ) a r b t lt r! l = b ~c ~a, a ~c ~ b Schlussendlch n Vektorschrebwese: ~a ~ b ~c = (~a ~c) ~ b, ( ~ b ~c)~a Offenbar legt deser Vektor n der Ebene, de durch de Vektoren ~a und ~ b defnert st. Warum?