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2 Dr. Max-K. von Renesse Institut für Angewandte Mathematik Rh ein isch e Fr ied r ich - Wilh em s- Un iver sit ät Wegeler st r aße Bon n kost iam.u n i- b on n.d e ( i ) Aus Sicht des Autor s dies er Studie geb en die M onogr aphien Ris k N eut ra l Va l ua t io n von Bingham/Kies el (Spr inger 98) und Cred it Ris k: M od el l ing, Va l ua t io n a nd H ed ging von Bielecki/R utkows ki (Spr inger 02) gemeins am den zur Zeit b es ten und denno ch kompakten Üb er blick üb er die G r undlagen s owie den gegenwär tigen Stand der mathematis chen F inanzmar kttheor ie von Equity- und Kr editder ivaten. 1

3 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Die Portfolio-Perspektive Risiko, Wert und Wahrscheinlichkeit Empirische und risikoneutrale Wahrscheinlichkeit CreditManager von RiskMetrics Zusammenfassung Funktionalität/Ziele Modell Simulation Eingabedaten Implementation Handhabung Reporting Datenmanagement und -sicherheit Diskussion Bet r acht u n g von Ein zelp r ob lem en Cr ed it Defau lt S wap s Integration von CDO-Tranchen Cashflow CDOs und CDOs von CDOs CDOManager von RiskMetrics Zusammenfassung Funktionalität/Ziele Modell Simulation Eingabedaten Implementation Handhabung Reporting Datenmanagement und -sicherheit

4 3.6 Diskussion MARVEL von JP Morgan Zusammenfassung Funktionalität/Ziele Modell Das Kreditportfoliomodell von Moody s Implementation Diskussion Diversity Score für Multi-Industrie Portfolios MARVEL von Moody s Zusammenfassung Modell Implementation Diskussion Risk Tabulator/CDO Evaluator von Standard & Poor s Zusammenfassung Modell Diskussion CDO Calculator von Lehman Brothers Zusammenfassung Modell Handhabung Diskussion Beispiele und Tests Portfolioptimierung mit dem CreditManager Modellportfolios und statische CDOs Vergleich mit generischen Portfoliomodellen anhand von Hights CrinCept und RiskTabulator auf CLO CDOs von CDOs Kre ditrisiko 9.1 S p r ead s, Rat in gs u n d Risiko- Ar b it r age Einsatz von EDV-Hilfsmitteln Diskussion

5 10 Weitere Kreditrisiko-Modelle Asymptotisch feinkörnige Portfolios Vasicek-Modell (Basel II) CDO - Tr an ch en au f Asym p t ot isch Fein kör n igen Por t - folios Z u r M o d ellier u n g von gekop p elt en Au sfällen Int egr ier t e M o d elle S t r u ku r m o d elle Cop u la- Fu n kt ion en Int en sität sm o d elle Z u m Ver hält n is von Int en sität s- u n d S t r u kt u r m o d ellen Schlussbemerkungen Zur Reichweite von Portfolio-Modellen Empfehlungen

6 Kapitel 1 Einführung 1.1 Die Portfolio-Perspektive Die Erkennung und Quantifizierung der Risiken von Kreditportfolios und -derivaten haben in der Bankenpraxis während der letzten Jahre eine große Bedeutung gewonnen. Gleichzeitig stehen durch die Fortentwicklung der modernen Finanzmathematik auf den Kreditsektor eine Vielzahl von Modellen und analytischen Methoden zur Verfügung, um das Risikoprofil von zusammengesetzen und derivativen Kreditinstrumenten in vielerlei Hinsicht zu studieren. Möglichst genaue Abschätzungen nicht nur über erwartete Verluste, sondern auch über feinere Risikomaße, die etwa mit den Schlagworten Unexpected Loss, Value at Risk (i), RAROC (ii) oder CVaR (iii) verbunden sind und die die weiteren Verteilungseigenschaften der Risiken einfangen sollen, stehen dabei nicht allein aufgrund der neuen Kapitaldeckungs-Richtlien (Basel II) sondern auch bei der risikogesteuerten Optimierung von Kreditportfolios im Mittelpunkt des Interesses. Entscheidend ist hier aus Bankenperspektive, die möglichen Ausfallszenarien im Hinblick auf das Gesamt- Kreditportfolio zu analysieren, weil erst hierdurch der Effekt von wechselseitigen Abhängigkeiten der individuell gehaltenen Titel untersucht werden kann: Im Gegensatz zur Bestimmung des zu erwartenden Verlustes kann bei der Untersuchung aller weiteren Risikomaße eines Portfolios von Kreditprodukten dieses nicht länger als einfache Summe seiner Einzelpositionen betrachtet werden. So können zum einen bei geeigneter Streuung der Positionen gewünschte Mittelungseffekte eintreten, zum anderen können auch durch versteckte Abhängigkeiten unerwünschte Sensitivitäten gegenüber einzelnen Marktdaten oder Kreditpositionen entstehen. Beide Phänomene können al- (i) Value at Risk: q-quantil der Barwertverteilung mit q = 0,05%, 0,5%, 1% etc. (ii) Risk Adjusted Return On Capital: Quotient aus erwartetem Ertrag und eingesetztem Riskokapital. (iii) Conditional Value at Risk: Erwarter Barwert unter der Bedingung, dass 1%- Quantilwert unterschritten wird, cf. Delbaen et al. Coherent Measures of Risk. 5

7 Einführung lein im Rahmen einer Gesamtportfolio-Analyse aufgezeigt und verstanden werden. Die in dieser Studie vorgestellten kommerziell vertriebenen EDV-Anwendungen versuchen auf verschiedene Weise, diesem Ansatz für unterschiedliche Kreditportfolios und daraus abgeleite Derivate gerecht zu werden. Die grundlegende Gemeinsamkeit aller behandelten Modelle liegt in ihrer Portfolio- Perspektive, die aus den genannten Gründen gleichermaßen bei der Gesamtbank-Steuerung wie bei etwa bei der CDO-Bewertung von fundamentaler Bedeutung ist Ri s i ko, We rt u n d Wah rs ch e i n l i ch ke i t Diese d r ei Begr iff e b ild en gewisser m aßen d as m agisch e Dr eieck d er Kr ed it - p or t folio- S t eu er u n g. Ih r e gen au e Bed eu t u n g ist jed o ch jeweils kont ext ab hän - gig u n d int er d ep en d ent, was d ie Bezeich nu n g m agisch r echtfer t igen m ag: Der W e rt ein es En gagem ent hän gt n icht allein von d en ver t r aglich ver einb ar - t en Z ah lu n gsst röm en ab, son d er n au ch von d em d am it ver b u n d en en Ri si k o d er Z ah lu n gsu n fäh igkeit d er G egen p ar t ei. Der er h ob en e Ri si k oauf sc hlag b e- stimmt sich nicht allein aus der Wahrscheinlichkeit der Insolvenz, sondern auch aus dem Risiko-Marktpreis: Gibt es einen Kapitalgeber, der dasselbe Risiko zu einem geringeren Preis zu tragen bereit ist, wird die Gegenpartei einen Vertrag mit kleinerer Zinsmarge abschliessen, d.h. der zweite Kapitalgeber bewertet das Kreditgeschäft auf andere Weise. - Im Falle von Kreditderivaten und -portfolios, die mehr als nur eine Gegenpartei involvieren, ist die wechselseitige Durchdringung der Begriffe noch schwieriger, weshalb in dieser kurzen Einführung auf das Konzept des risiko-neutralen Wahrscheinlichkeitsmaßes als dem zentralen Hilfsmittel zur Behandlung bzw. Trennung der drei Begriffe Risiko, Wert und Wahrscheinlichkeit hingwiesen werden soll. (iv) Aus der Reihe der Arbeiten, die einen Vergleich zwischen RiskMetrics, KMV, Credit- PortfolioView und CreditRisk+ vornehmen, seien besonders die Beiträge von Nyfeler, M. Modeling Dependencies in Credit Risk Management, Gordy, M.B. A comparative anatomy of credit risk models und Crouhy, M. et al. A comparative analysis of current credit risk models hervorgehoben. 6

8 Einführung Empirische und risikoneutrale Wahrscheinlichkeit Das risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaß stellt eine Hilfsgröße dar, die die Einschätzungen eines synthetischen ( risikoneutralen ) Marktteilnehmers widerspiegelt: Der risikoneutrale Agent kauft ein Produkt am Markt zu den empirisch gegebenen Preisen, genau deshalb weil sich unter seiner subjektiven Annahme von Wahrscheinlichkeiten für die relevanten Ereignisse Preis und Ertrag des Geschäfts im Erwartungswert das Gleichgewicht halten. Er verlangt keinen Aufpreis für das mit der Möglichkeit eines Vertragsausfalls verbundene Risiko, was ihm das Attribut riskoneutral einträgt. Die Idee der Methode besteht also darin, ein synthetisches Wahrscheinlichkeitsmaß anhand der Marktpreise von einer Auswahl an Titeln so zu kalibrieren, dass sich die Preise von allen weiteren Produkten einfach als erwarteter Barwert der induzierten Zahlungsströme ergeben. Insofern kann das Verfahren als eine Interpolation von beobachteten auf neu zu berechnende Preise verstanden werden. Das hierbei konstruierte synthetische Wahrscheinlichkeitsmaß ist implizit nicht nur nach den realen Wahrscheinlichkeiten sondern auch nach dem Risiko-Marktpreis kalibriert: In der risikoneutralen Welt hat Sicherheit keinen Wert mehr. Bei der praktischen Anwendung dieses Gedankens sind demnach folgende Punkte zu beachten: Die Berechnung des fairen oder marktgerechten Preises von komplexen Finanzprodukten ist unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß besonders leicht, weil sich unter diesem Maß (v) der Marktpreis eines Produktes einfach als Erwartungswert der diskontierten Zahlungsströme ergibt. Das risikoneutrale Martingalmaß ist lediglich eine Hilfskonstruktion und trifft keine Aussagen über reale Wahrscheinlichkeiten. So haben etwa Quantile bzw. VaR-Werte von Verlustverteilungen unter dem syn- (v) Die Frage, ob es nur ein einziges risikoneutrales Maß gibt, ist bei dieser Methode natürlich entscheidend und hängt eng mit der Frage der Vollständigkeit der Märkte zusammen. Damit meint man die Eigenschaft, dass jede synthetische und vom Zufall abhängende Auszahlung eines hierzu geschaffenen Finanzproduktes durch bereits vorhandene Finanzinstrumente mit einer selbstfinanzierenden Portfoliostrategie dupliziert werden kann. Ist dieses der Fall und der Markt arbitragefrei, gibt es ein eindeutiges risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß, das Martingalmaß genannt wird, weil unter diesem Maß der diskontierte Preisprozesse eines beliebigen Finanzproduktes ein Martingal ist, d.h. die mathematische Struktur einer zu jeden Zeit fairen Wette aufweist. - Im Falle von nicht-vollständigen Märkten folgt zwar weiterhin aus der Arbitrage-Freiheit die Existenz mindestens eines Martingalmaßes, es kann jedoch mehrere geben, so dass man sich hier nicht mehr auf eine allgemein gültige Preisformel berufen kann. 7

9 Einführung thetischen Martingalmaß keine Bedeutung für das reale Risiko der entsprechenden Position. Das risikoneutrale Maß ist dadurch gekennzeichnet, dass alle am Markt beobachteten Preise und Auszahlungen wie faire Spiele erscheinen, d.h. der Einsatz bzw. Preis entspricht dem mittleren erwarteten Gewinn des Spiels. Diese Eigenschaft wird genutzt, um aus den beobachteten Preisen und Erlösen von Finanzprodukten das risikoneutrale Maß zu synthetisieren. Unter dem realen bzw. empirischen Maß werden nicht nur der mittlere erwartete Gewinn eines Engagements zur Bewertung herangezogen, sondern auch die damit verbundenen Risiken. Da der Begriff Risiko in den meisten Fällen unklar und folglich auch nicht quantifizierbar ist, sind einer systematischen und widerspruchsfreien Bewertung von Risiko verschiedener Produkte auf der Grundlage der empirischen Wahrscheinlichkeiten enge Grenzen gesetzt. Ideal für die Risikosteuerung eines Gesamtbankportfolios wäre also ein System, das zur marktgerechten Bewertung von komplexeren Produkten und Portfolios im jeweiligen Ist-Zustand auf risikoneutrale Methoden zugreift, während die Generierung von zukünftigen Markt- und Portfolioszenarien auf der Grundlage der empirisch ermittelten Wahrscheinlichkeiten erfolgt. Die Verwirklichung dieser Agenda bereitet jedoch aus vielerlei Gründen noch erhebliche technische Schwierigkeiten, die in den folgenden Abschnitten über bereits implementierte Teillösungen an verschiedener Stelle auftreten werden. 8

10 Kapitel 2 CreditManager von RiskMetrics 2.1 Zusammenfassung Ziel: Mark-to-Market Risiko-Analyse eines Kreditp ortfolios b ei einjährigem (i) Zeithorizont unter Ber ücksichtigung korrelierter Ratingmigrationen der Kreditnehmer. Metho de : Monte-Carlo-Simulation der Migrationsszenarien unter Verwendung der Merton schen Hyp othese üb er den Zusammenhang zwischen Marktkapitalisierung und Bonität zur Mo dellierung der Migrationskorrelationen. Reichweite: Portfolios aus Krediten und einfachen Kreditderivaten mit b örsennotierten Debitoren. Der CreditManager (ii) von RiskMetrics stellt in seiner jetzigen Fassung ein mächtiges Instrument auf wohletablierter theoretischer Grundlage zur Risikokontrolle und zum Bewerten von umfangreichen Portfolios aus einer Vielzahl gängiger Kreditformen und -derivate dar. Die Metho de b eruht auf der Kombination einer einstufigen Monte-Carlo-Simulation der teilweise gekopp elten Bewegungen aller relevanten Mark-, Debitoren- und Agentenparameter mit einer angepassten Metho dologie zur Barwertermittlung von einfacheren Kreditpro dukten. Entscheidend f ür die Genauigkeit der Prognosen sind dab ei die Verf ügbarkeit und die Pflege einer umfassenden Datenbasis, aufgrund derer d ie zu k ü n ft igen M ar kt szen ar ien gen er ier t wer d en. (i) Ab Version 3.1 sind auch weiter entfernte Zeithorizonte möglich, die ab er in jedem Fall in einem Einschrittverfahren angesteuert werden. 9

11 RM G Cr ed it M an ager 2.2 Funktionalität/Ziele Der CreditManager ermittelt auf der Grundlage einer umfassenden Menge von aktuellen Marktdaten die vollständige zukünftige (iii) Verteilung des Barwertes eines beliebigen Portfolios aus einfachen Typen von Kreditprodukten (d.h. Bonds, Loans, Generische Zahlungsströme, Kreditlinien, Credit Default Swaps etc.) unter Berücksichtigung der korrelierten Bonitätsschwankungen der zugehörigen Kreditnehmer. Logisch besteht das Programm aus den folgenden drei funktionalen Elementen: 1. Szenario-Generator: Ein Szenario besteht aus Ratings aller Marktteilnehmer (R 1,R 2,...R N ) Sicherheitenerlösraten aller Marktteilnehmer (r 1,...,r N ) 2. Barwert-Rechner: Berechnet in einem gegebenem Szenario aus Spreads etc. den Wert eines Portfolios 3. Protokoll-Führer: Protokolliert alle relevanten Daten szenarioweise mit und gibt die Statistik der Daten aus Aus der Barwert-Verteilung können alle relevanten Riskomaße und daraus abgeleitete Größen (VaR, Regulatorischer Eigenkapitalbedarf etc.) abgelesen werden. Ferner können Einzelpositionen im Hinblick auf ihren Risiko- und Ergebnisbeitrag zum Gesamtportfolio untersucht und weitere Partialanalysen zur Portfoliosteuerung durchgeführt werden. (iii) D.h. zu einem frei gewählten, in der Zukunft liegenden Zeitpunkt. 10

12 RMG CreditManager 2.3 Modell Barwert-Ermittlung Der Modellierung der zukünftigen Barwertverteilung des Portfolios liegt der Ansatz zugrunde, dass der Barwert eines Kreditportfolios allein aufgrund der Rating-Migrationen der Schuldner (und ggf. Bürgen) fluktuiert. Dieser Ansatz ergibt sich aus der Interpretation eines Kreditportfolios als Summe von Zahlungsströmen sowie aus der Barwertermittlung eines beliebigen Zahlungsstroms, bei der die zu wählende Diskontierung einer zukünftigen Zahlung von der augenblicklichen (iv) Bonität des Obligors abhängt. Der Diskontsatz wird hierbei als konstant in einer Bonitäts- oder Ratingklasse angenommen und in Form der Spread-Kurve zur Libor-Zinskurve als Funktion des Auszahlungszeitpunktes empirisch auf dem Markt ermittelt. Damit stellt sich der Barwert eines Portfolios dar als Funktion des Rating-Vektors aller im Portfolio auftretenden Namen. Bei der Berechnung des Portfolio-Barwertes am Risikohorizont werden die zwischenzeitlich eingegangenen Zins- und Tilgungszahlungen nicht, bzw. letztere nur durch die entsprechende Reduzierung der ausstehenden Nominalwerte berücksichtigt. Dagegen setzt sich der Ertrag eines Portfolios am Risikohorizont zusammen aus dem aktuellen Porfolio-Bartwert und der Summe der bereits erfolgten Zahlungen bzw. realisierten Sicherheitenerlöse im Insolvenzfall. Damit hängt der Portfolioertrag nicht nur vom realsierten Ratingvektor sondern auch von den erzielten Sicherheitenerlösen ab. Rating via Return Somit ist das Problem der Bestimmung der Barwert- und Ertragsverteilungen des Portfolios zurückgeführt auf die Modellierung der Rating-Migrationen der zugehörigen Kreditnehmer. Entsprechend dem Modell durchläuft jeder Kreditnehmer einen von zufälligen Marktdaten beeinflussten Rating-Prozess, der als gedächtnislos angenommen und dessen Sprungverteilung durch die sogenannte Migrationsmatrix beschrieben wird (v). Diese Migrationsmatrix wird ebenfalls am Markt empirisch ermittelt (und von Ratingagenturen aktualisiert zur Verfügung gestellt). Es verbleibt die zentrale Aufgabe der Modellierung der stochastischen Koppelung der Migrationsdynamiken der einzelnen Debitoren, die auf Gesamtportfolio-Ebene die Verteilung des zukünftigen (iv) Ein genaueres stochastisches Modell müsste die Rating-Verteilungen des Kreditnehmers über alle möglichen Zahlungszeitpunkte mit einbeziehen. (v) Mathematisch gesprochen wird die zeitliche Folge der Ratings (R i (t)) t=0,1,... des Kreditnehmers KN i als Markov-Kette mit Übergangsmatrix (p ij ) modelliert. Dabei gibt jeder Eintrag p ij dieser quadratischen Matrix die Wahrscheinlichkeit eines Übergangs von der i-ten Ratingklasse in die j-te an. 11

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