Aufgaben zur Diplomvorprüfung im Fach Investition und Finanzierung. mit Lösungen

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1 Aufgaben zur Diplomvorprüfung im Fach Investition und Finanzierung Themengebiete mit Lösungen 1. Fisher-Hirshleifer... 2 WS 1997/98 - Aufg WS 1999/ Aufg. 2 (alte DPO)... 4 SS Aufg. 1 (alte DPO)... 5 SS Aufg. 1 (neue DPO)... 6 WS 2000/01 - Aufg SS Aufg WS 2002/03 - Aufg SS Aufg Finanzmathematik...13 WS 1996/97 - Aufg SS Aufg WS 1997/98 - Aufg WS 1999/ Aufg. 2 (neue DPO) SS Aufg WS 2000/01 - Aufg SS Aufg WS 2000/01 - Aufg SS Aufg WS 2002/03 - Aufg SS Aufg Nutzungsdaueroptimierung SS Aufg WS 1999/ Aufg. 1 (neue DPO) WS 2000/01 - Aufg Sonstiges...32 WS 1996/97 - Aufg SS Aufg WS 1999/ Aufg. 1 (alte DPO) WS 2000/01 - Aufg SS Aufg

2 1. Fisher-Hirshleifer 2 WS 1997/98 - Aufg. 1 Ein Investor in einer Zwei-Zeitpunkt-Welt hat im Zeitpunkt t=1 ein Anfangsvermögen von 600 DM. Wird das Anfangsvermögen im Zeitpunkt t=1 zur Finanzierung von Sachinvestitionen verwendet, so läßt sich bei einem Investitionsvolumen von I ein Zahlungsrückfluß von R I =4 121 I erzielen, der in t=2 konsumiert werden kann. Der Zinssatz am vollkommenen Kapitalmarkt beträgt 10%. Berechnen Sie den optimalen Konsumplan des Investors mit der Nutzenfunktion U =C 1 C 2, wobei C t den optimalen Konsumplan im Zeitpunkt t angibt. Geben Sie dabei auch die Höhe des optimalen Investitionsvolumens I sowie die Art und Höhe der Inanspruchnahme des Kapitalmarkts an. (10 Punkte) Lösung zu R I = 22 I =! 1,1 I =400 Berührpunkt 200/880 Gleichung der Kapitalmarktgeraden: Maximierung der Nutzens: Inanspruchnahme des Kapitalmarkts: C = 1,1 C C 2 =1100 1,1 C 1 max U =C 1 C 2 =C ,1 C 1 U C 1 =1100 2,2 C 1 =! 0 C 1 =500 C 2 =550 U = M =600 C 1 I = Kreditaufnahme in t=1 Zeigen Sie graphisch, wie der Investor aus Teilaufgabe seinen nutzenmaximalen Konsumplan findet. Geben Sie dabei die Koordinaten der relevanten Punkte in Ihrer Skizze an. (5 Punkte)

3 3 C U = M KW C 1 c) Ungeachtet der obigen Nutzenfunktion möchte der Investor jetzt seinen Konsum in t=1 maximierten. Welchen Betrag kann er in t=1 konsumieren? Wie hoch ist der Kapitalwert der Investition? (4 Punkte) Lösung zu c) d) KW = I R I 1,1 = ,1 =400 C 1 max =600 KW =1000 Welchen maximalen Konum in t=1 könnte der Investor realisieren, wenn er die Hälfte seines Anfangsvermögens verloren hätte und statt über 600 DM nur noch über 300 DM verfügen könnte? Wie hoch ist sein optimales Investitionsvolumen jetzt? Wie lautet das hierfür relevante Separationstheorem? (5 Punkte) Lösung zu d) C 1max =300 KW =700 I =400 Separationstheorem von Fisher: I ist bei Existenz eines vollkommenen Kapitalmarkts unabhängig vom Anfangsvermögen und den Konsumpräferenzen des Investors.

4 4 WS 1999/ Aufg. 2 (alte DPO) Ein Investor in einer Zwei-Zeitpunkt-Welt hat im Zeitpunkt t=1 ein Anfangsvermögen von DM. Ihm bietet sich die Möglichkeit, in t=1 maximal DM in eine Sachinvestition mit einer sicheren Rendite von 65% bis t=2 zu investieren. Ein Kapitalmarkt existiert vorerst nicht. Berechnen Sie den optimalen Konsumplan des Investors mit der Nutzenfunktion U =C 1 C 2, wobei C t den Konsum im Zeitpunkt t angibt. Welches Nutzenniveau kann er erreichen? (4 Punkte) Lösung zu max.u =C 1 C 2 U = 1,65C C 1 Nebenbedingung: C 2 = 1,65 C du dc 1 = 3,3C =! 0 C 1 =3500 C 2 =5775 U = Nun existiere ein vollkommener Kapitalmarkt mit einem Zinssazt von 10%. Wie lautet der optimale Konsumplan für den Investor jetzt? In welchem Umfang nimmt er den Kapitalmarkt in Anspruch? Welches Nutzenniveau kann er dadurch erreichen? (8 Punkte) max.u =C 1 C 2 U = 1,1C C 1 Nebenbedingung: C 2 = 1,1 C du dc 1 = 2,2C =! 0 C 1 =6000 C 2 =6600 U = Inanspruchnahme des Kapitalmarkts: M =7000 C 1 I = c) Zeigen Sie graphisch, wie der Investor seinen nutzenmaximalen Konsumplan findet. Geben Sie die Schnittpunkte der Transformationskurve mit den Achsen sowie Ihre Ergebnisse aus Teilaufgabe in Ihrer Skizze an. (5 Punkte) Lösung zu c) Schnittpunktbestimmung: x-achse: 7000/0 ; y-achse: 0/11550 d) Wie hoch ist der Kapitalwert der in getätigten Investition? Stellen Sie den Kapitalwert in der Graphik aus Teilaufgabe c) dar. (3 Punkte) Lösung zu d) KW = I R I 1 i = ,1 =5000

5 5 SS Aufg. 1 (alte DPO) Ein Investor in einer Zwei-Zeitpunkt-Welt hat im Zeitpunkt t=1 bereits Schulden in Höhe von DM. Ihm bieten sich zwei Investitionsobjekte, die sich nicht gegenseitig ausschließen. Das erste Investitionsobjekt ermöglicht ihm bei einem Investitionsvolumen von DM einen Rückfluß in Höhe von DM. Das Zweite erbringt ihm nach der Investition von DM einen Rückfluß in Höhe von DM. Berechnen Sie den optimalen Konsumplan des Investors mit der Nutzenfunktion U =C 1 C 2, wobei C t den Konsum im Zeitpunkt t angibt. Der Zinssatz am vollkommenen Kapitalmarkt beträgt 30%. Welches Nutzenniveau kann er erreichen? (5 Punkte) Lösung zu max.u =C 1 C 2 Nebenbedingung: C 2 = 1,3 C U = 1,3C C 1 du dc 1 = 2,6C =! 0 C 1 =500 C 2 =650 U = Inanspruchnahme des Kapitalmarkts: M = 2000 C 1 I = Nun existiert im Gegensatz zu Aufgabe ein unvollkommener Kapitalmarkt mit einem Habenzins von 10%. Für Kredite gilt ein Zinssatz von 20%. Wie lautet der optimale Konsumplan des Investors jetzt? In welchem Umfang nimmt er den Kapitalmarkt in Anspruch? Welches Nutzenniveau kann er dadurch erreichen? (6 Punkte) max.u =C 1 C 2 Nebenbedingung: C 2 = 1,2 C U = 1,2C C 1 du dc 1 = 2,4C =! 0 C 1 = C 2 =1.000 U = c) Inanspruchnahme des Kapitalmarkts: M = 2000 C 1 I = ,33 0 Geben Sie den Kapitalwert der getätigen Investition in an! Stellen Sie weiterhin in einer geeigneten Graphik den Kapitalwert dar und bestimmen Sie die Schnittpunkte der Kapitalmarktgerade mit den Koordinatenachsen. Mit welchem Zinsfuß ist der Kapitalwert zu berechnen und warum? (6 Punkte) Lösung zu c) KW = , , ,66 Schnittpunktbestimmung: x-achse: 1.666,66/0 ; y-achse: 0/2.000

6 d) 6 Der Kapitalwert ist mit dem Kreditzinssatz zu berechnen, da der Investor ein Schuldner ist. Wie hoch darf der Sollzins maximal sein, damit der verschuldete Investor keinen Hungertod erleidet, sondern in der Lage ist, sowohl in t=1 als auch in t=2 einen positiven Konsum zu realisieren. (3 Punkte) Lösung zu d) C C = C 2 C 1 C 2 = C 1= 1,625 C 1 m= 1,625 i S 62,5 % SS Aufg. 1 (neue DPO) Ein Investor in einer Zwei-Zeitpunkt-Welt hat im Zeitpunkt t=1 ein Anfangsvermögen von DM. Ihm bieten sich zwei Investitionsobjekte, die sich nicht gegenseitig ausschließen. Das erste Investitionsobjekt ermöglicht ihm bei einem Investitionsvolumen von DM einen Rückfluß in Höhe von DM. Das zweite Investitionsobjekt erbringt ihm nach der Investition von DM einen Rückfluß in Höhe von DM. Geldaufnahme- und Geldanlagemöglichkeiten existieren vorerst nicht. Berechnen Sie den optimalen Konsumplan des Investors mit der Nutzenfunktion U =C 1 C 2, wobei C t den Konsum im Zeitpunkt t angibt. Welches Nutzenniveau kann er erreichen? (11 Punkte) Lösung zu max.u =C 1 C 2 1. Bereich: C 2 = 1,5 C U = 1,5C C 1 C 1 = Bereich: C 2 = 1,2 C U = 1,2C C 1 C 1 = keine zulässige Lösung keine zulässige Lösung du dc 1 = 3,0C =! 0 du dc 1 = 2,4C =! 0 Ecklösung optimal: C 1 = C 2 = U = Nun existiere ein vollkommener Kapitalmarkt mit einem Zinssazt von 20%. Wie lautet jetzt der optimale Konsumplan und welches Nutzenniveau kann der Investor erreichen? (4 Punkte)

7 c) Kapitalmarktgerade: C 2 = 1,2 C U = 1,2C C 1 7 du dc 1 = 2,4C =! 0 C 1 = C 2 = U = Wie hoch müßte der Zinssatz am vollkommenen Kapitalmarkt sein, damit der Investor durch diesen Kapitalmarkt seinen Nutzen im Vergleich zu nicht steigern kann? (5 Punkte) Lösung zu c) U =C 1 C 2 C 2 = U C 1 d C 2 d C 1 = U C 1 2 Einsetzen der Werte aus liefert: =1,25 i=25 % WS 2000/01 - Aufg. 1 Ein Investor in einer Zwei-Zeitpunkt-Welt verfügt im Zeitpunkt t=1 über ein Anfangsvermögen von Ihm stehen zwei beliebig teilbare Investitionsobjekte zur Verfügung, die sich gegenseitig nicht ausschließen. Das erste Investitionsobjekt bringt bei einem Investitionsvolumen von maximal einen Rückfluss im Zeitpunkt t=2 in Höhe des 1,2-fachen des Investitionsbetrages, maximal also Das zweite Objekt ermöglicht ihm bei einem Investitionsvolumen von maximal 800 einen Rückfluss in t=2 in Höhe des 1,35-fachen Investitionsbetrages, also maximal Verdeutlichen Sie anhand einer Zeichnung den Verlauf der Transformationskurve aller effizienten C 1 C 2 - Kombinationen, die durch die Investitionen erreichbar sind! Berechnen Sie die Gleichungen der einzelnen Abschnitte der Transformationskurve. Geben Sie außerdem die Koordinaten jener Punkte an, in denen die Transformationskurve die Koordinatenachsen schneidet. (8 Punkte) Lösung zu 1. Bereich: C 2 = 1,35 C Bereich: C 2 = 1,2 C Schnittpunkte: 2000/0 0/2520 Nun existiert zusätzlich ein Kapitalmarkt mit einem Zinssatz von 10%. Die Nutzenfunktion des Investors lautet U =C 1 C 2, wobei C t den Konsum im Zeitpunkt t angibt. Bestimmen Sie das optimale Sachinvestitionsvolumen. Berechnen Sie außerdem die Gleichung der Kapitalmarktgerade, den nutzenmaximalen Konsumplan sowie das

8 8 erreichbare Nutzenniveau. Geben Sie die Höhe der Inanspruchnahme des Kapitalmarktes an! Verdeutlichen Sie Ihre Lösung anhand der Grafik aus Teilaufgabe! (8 Punkte) c) I =2100 Kapitalmarktgerade: C 2 = 1,1 C Konsumplan: C 1 =1150 C 2 =1265 U = Inanspruchnahme des Kapitalmarkts: M =2000 C 1 I = Nun besteht für den Investor nur die Möglichkeit, Geld am Kapitalmarkt zu 10% anzulegen, Kredite können nicht aufgenommen werden. Bestimmen Sie den optimalen Konsumplan sowie das erreichbare Nutzenniveau! (6 Punkte) Lösung zu c) d) Anlage am Kapitalmarkt stellt keine Alternative zu den Investitionsobjekten dar, deshalb: 1. Bereich: max.u =C 1 1,35C C 1 = Bereich: max.u =C 1 1,2C keine zulässige Lösung C 1 =1050 C 2 =1260 U = Der Kapitalmarkt sei nun unvollkommen mit einem Habenzins von 10%. Für Kredite gilt ein Zinssatz von 25%. Geben Sie das optimale Sachinvestitionsvolumen für einen Schuldner an. Verdeutlichen Sie die Lage der Sollzinsgerade in Ihrer Zeichnung aus Teilaufgabe! (3 Punkte) Lösung zu d) I =800 SS Aufg. 1 Ein Investor in einer Zwei-Zeitpunkt-Welt verfügt im Zeitpunkt t=1 über ein Anfangsvermögen von 300 GE. Wird das Anfangsvermögen im Zeitpunkt t=1 zur Finanzierung von Sachinvestitionen verwendet, so lässt sich bei einem Investitionsvolumen von I im Zeitpunkt t=2 ein Rückfluss von R I =11 16 I erzielen. Die Nutzenfunktion des Investors lautet U =C 1 C 2, wobei C t den Konsum im Zeitpunkt t angibt. Bestimmen Sie den optimalen Konsumplan, das erreichbare Nutzenniveau sowie das optimale Sachinvestitionsvolumen des Investors. (6 Punkte) Lösung zu

9 9 R I =11 16 I C 2 =44 K C 1 max.u =C 1 C 2 U =C C 1 du 22 = C dc C 1 =! C 1 C 1 =200 C 2 =440 U = I =100 Gehen Sie nun davon aus, daß ein vollkommener Kapitalmarkt mit einem Zinssatz von 10% existiert. Berechnen Sie das optimale Sachinvestitionsvolumen sowie den optimalen Konsumplan des Investors. Geben Sie außerdem das erreichbare Nutzenniveau sowie die Höhe der Inanspruchnahme des Kapitalmarktes an. Verdeutlichen Sie Ihren Lösungsweg grafisch. (9 Punkte) c) I =400 Kapitalmarktgerade: C 2 = 1,1 C Konsumplan: C 1 =350 C 2 =385 U = Inanspruchnahme des Kapitalmarkts: M =300 C 1 I = Wie hoch ist der Kapitalwert des Investitionsprogramms aus Teilaufgabe? Zeichnen Sie den Kapitalwert in Ihre Skizze aus Teilaufgabe ein. (4 Punkte) Lösung zu c) d) KW =400 Wie hoch müsste der Zins auf dem vollkommenen Kapitalmarkt sein, damit der Investor den Kapitalmarkt nicht in Anspruch nimmt? (6 Punkte) Lösung zu d) U C 1 2 =! 1 i i=120 % WS 2002/03 - Aufg. 1 Ein nutzenmaximierender Akteur in einer Zwei-Zeitpunkt-Welt verfügt in t=0 über ein Anfangsvermögen in Höhe von 490, das er unmittelbar konsumieren oder zur Durchführung von sicheren Sachinvestitionen verwenden kann. Werden die Eigenmittel in t=0 zur Finanzierung von Realinvestitionen eingesetzt, so kann bei einem Investitionsvolumen I ein durch die Funktion R I =40 I 2 bestimmter Rückfluß in t=1 generiert werden. Unterschiedliche

10 10 Kombinationen von Gegenwarts- und Zukunftskonsum beurteilt der Investor auf Grundlage einer Nutzenfunktion U C 0, C 1 =C 2 0 C 1, wobei C t 0 den jeweiligen Konsum im Zeitpunkt t angibt. Berechnen Sie vor dem Hintergrund einer Welt ohne Kapitalmarkt, wie der Investor sein Vermögen auf die beiden Verwendungsmöglichkeiten aufteilen sollte, um seinen Nutzen nach Maßgabe seiner intertemporalen Konsumpräferenzen zu maximieren! Welchen Konsumnutzen kann er realisieren? Skizzieren Sie die Lage des Optimums im C 0 C 1 - Koordinatensystem! Geben Sie dabei auch die Schnittpunkte mit den Achsen an! (8 Punkte) Lösung zu R I =40 I 2 C 1 = C 0 2 max.u =C 0 2 C 1 U =C C 0 2 du =2C dc C 0 C C =! 0 2C C C 2 0=0 490C C 2 0=0 C 0 =392 C 1 =280 U = I =98 Schnittpunkte: 490/0 0/ Jetzt eröffnet sich dem Entscheidungsträger eine weitere Handlungsmöglichkeit. Am Kapitalmarkt wird ein risikoloses Wertpapier gehandelt, das im betrachteten Planungszeitraum einen Zinssatz von 25% abwirft. Welche Nutzensteigerung kann der Akteur durch die Existenz eines vollkommenen Kapitalmarktes erzielen? In welchem Umfang ist der Investor dabei auf die Inanspruchnahme des Kapitalmarktes angewiesen? Interpretieren Sie kurz mit eigenen Worten die Marginalbedingung für das Investitionsoptimum sowie die daraus resultierenden Implikationen! (8 Punkte) R' I = 10 I =! 1,25 I =128 R I =320 2 Kapitalmarktgerade: C 1 = 1,25 C = 1,25 C 0 772,5 max.u =C 0 2 C 1 U = 1,25C ,5C 0 2 du dc 0 = 3,75C C 0 =! 0

11 c) 11 C 0 =412 C 1 =257,5 U = Inanspruchnahme des Kapitalmarkts: M =490 C 0 I = 50 0 Bei welchem Zinssatz ergibt sich für den Investor trotz der Existenz eines vollkommenen Kapitalmarktes kein Nutzenzuwachs im Vergleich zur Situation in Teilaufgabe? Verdeutlichen Sie Ihren Lösungsansatz durch eine entsprechende Ergänzung des Diagramms aus Teilaufgabe! (5 Punkte) Lösung zu c) d) I =98 alternativ: C 1 = U C 0 2 R' 98 = d C 1 d C 0 = 2U C 0 3 =! 1 i 2U C 0 3 i 42,857 % =! 1 i mit U = und C 0 =392 i 42,857 % Nun werde ein anderer Entscheidungsträger betrachtet, dessen Präferenzstruktur durch die Nutzenfunktion U C 0, C 1 =C 2 0 C zum Ausdruck kommt. Wie wird dieser Akteur in einer Welt ohne Kapitalmarkt seine Investitions- und Konsumplanung gestalten, wenn alle übrigen Angaben unverändert bleiben? Begründung! Geben Sie den optimalen Konsumplan, das optimale Sachinvestitionsvolumen sowie das erreichbare Nutzenniveau des Investors an! (4 Punkte) Lösung zu d) Nutzenfunktion in d) ist eine lineare Transformation der Nutzenfunktion in C 0 =392 C 1 =280 I =98 U = = SS Aufg. 1 Ein Investor in einer Zwei-Zeitpunkt-Welt hat im Zeitpunkt t=1 ein Anfangsvermögen in Höhe von 800 balkanesischen Schrotteinheiten (BSE). Falls er dieses Vermögen zur Durchführung von Sachinvestitionen nutzt, erhält er bei einem Investitionsvolumen von I im Zeitpunkt t=2 einen Mittelrückfluss in Höhe von R I =57,6 0,5 I. Diesen kann er in t=2 für Konsumzwecke verwenden. Die Nutzenfunktion des Investors ist gegeben durch U =C 1 C 2, wobei C 1 den Konsum in t=1 und C 2 den Konsum in t=2 bezeichnet. Zusätzlich existiert ein vollkommener Kapitalmarkt, an dem Mittel unbegrenzt zu einem Zinssatz von 20% angelegt bzw. aufgenommen werden können. Bestimmen Sie auf rechnerischem Weg den optimalen Investitions- und Entnahmeplan des

12 12 Investors sowie das entsprechende Nutzenniveau. Geben Sie die Inanspruchnahme des Kapitalmarktes und den Kapitalwert der Investition an! (10 Punkte) Lösung zu c) R' I = 57,6 4 0,5 I =! 1,2 I =288 R I =691,2 Kapitalmarktgerade: C 2 = 1,2 C ,2= 1,2 C ,6 max.u =C 1 C 2 U = 1,2C ,6C 0 du dc 1 = 2,4C ,6=! 0 C 1 =544 C 2 =652,8 U = ,2 Inanspruchnahme des Kapitalmarkts: KW = ,2 1,2 =288 M =800 C 1 I = 32 0 Verdeutlichen Sie Ihre Lösung aus Teilaufgabe anhand einer Skizze. Benennen Sie dabei die relevanten Kurven, machen Sie die Lage des Optimums kenntlich und tragen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ein! Zeichnen Sie außerdem den Kapitalwert der Investition in die Grafik ein! (5 Punkte) Nehmen Sie an, es existiere ein zweiter Investor, der ebenfalls ein Anfangsvermögen von 800 BSE besitzt und für den die Kurve der Investitionsmöglichkeiten R I die gleiche Gestalt wie für den bisher betrachteten Investor besitzt. Der zweite Investor hat jedoch eine Nutzenfunktion, die von der des bisher betrachteten Investors abweicht. Das optimale Konsumniveau des zweiten Investors betrage im Zeitpunkt t=2 deshalb C 2 =1065,6 BSE. Bestimmen Sie für den zweiten Investor das optimale Sachinvestitionsvolumen, die Höhe und Art der Kapitalmarktinanspruchnahme und das optimale Konsumniveau im Zeitpunkt t=1. (6 Punkte) Lösung zu c) d) I =288 Kapitalmarktgerade: C 2 = 1,2 C ,6 C 1 =200 Inanspruchnahme des Kapitalmarkts: M =800 C 1 I =312 0 Gehen Sie davon aus, daß die Zinsen für Geldanlagen nun mit 50% besteuert werden, während Sollzinsen steuerlich nicht abzugsfähig sind. Ändert sich die Lösung gegenüber Teilaufgabe? Begründung! Verdeutlichen Sie die neue Entscheidungssituation anhand einer Skizze! (4 Punkte) Lösung zu d) i S =20 % i H =10 % keine Änderung im Vergleich zu Teilaufgabe, da der Anleger aus bereits Schuldner ist!

13 2. Finanzmathematik 13 WS 1996/97 - Aufg. 1 Ein Investor hat sich zwischen zwei Investitionsobjekten zu entscheiden. IO 1 ist einperiodig, hat eine Anschaffungsauszahlung in t=0 von 200 GE und eine Verzinsung des eingesetzten Kapitals von 24%. IO 2 hat eine Anschaffungsauszahlung in t=0 von 400 GE, eine Verzinsung des jeweils gebundenen Kapitals von 18% und erbringt im Zeitpunkt t=2 eine einmalige Einzahlung. Der Investor besitzt 200 GE, die er investieren möchte. Die Geldanlage auf dem Kapitalmarkt erbringt 10%, Kreditaufnahme ist in beliebiger Höhe zu einem Zinssatz von 20% möglich. Für welches Investitionsobjekt entscheidet sich der Investor, wenn er seinen Konsum im Zeitpunkt t=1 maximieren möchte? (8 Punkte) Lösung zu i H =10 % i S =20 % Maximierung des Konsums in t=1! 1. IO 1 : 2. IO 2 : t 0 1 IO M 200 C t t IO ,96 M Kredit ,00 2. Kredit 224,13 268,96 C t 0 224, Anlage des Eigenkapitals: C 1 =200 1,1=220 Wahl von IO 1, da hier C 1 =248 maximal ist.

14 14 Geben Sie einen Kreditzinssatz an, der über dem Zinssatz von 10% für Geldanlage liegt, bei dem sich die Rangfolge der Vorteilhaftigkeit der Investitionsobjekte in Teilaufgabe umkehren würde, wenn der Investor einen möglichst hohen Konsum im Zeitpunkt t=2 anstrebt! Geben Sie daneben den Kreditzinssatz an, bei dem der Investor - bei gleichem Konsumplan - indifferent gegenüber beiden Investitionsobjekten wäre! (12 Punkte) Maximierung des Konsums in t=2! IO 1 : IO 2 : t IO M 200 Anlage ,8 C t ,8 t IO ,96 M 200 Kredit ,00 C t ,96 Der Investor ist indifferent, wenn C 2 bei IO 2 auch 272,8 beträgt. Kreditzins muß unter 20% liegen, damit der negative Konsumbeitrag des Kredits in t=2 geringer ausfällt: 556, i S 2 =! 272,8 i S 19,19 % Bei einem Sollzins von 19,19% ist der Investor indifferent. Sobald der Zinssatz für Kredite darunter fällt, ändert sich die Vorteilhaftigkeit der Projekte zugunsten von IO 2 SS Aufg. 2 Theo möchte sich ein neues Auto für DM kaufen. Der Händler bietet ihm 5% Rabatt bei Barzahlung oder Ratenzahlung zu folgenden Bedingungen an: DM Anzahlung, 18 monatliche, nachschüssige Raten zu je 1.131,30 DM,

15 15 erste Rate am Ende des 3. Monats fällig, effektiver Jahreszins 1,9%. Da Theo, der sein Studium nach bestandenem Vordiplom abbrechen und sich als Vermögensberater betätigen will, nur über eigenes Vermögen in Höhe von DM verfügt, könnte er das Barzahlungsangebot nur über einen Kredit seiner Hausbank in Anspruch nehmen. Der Kredit hätte folgende Konditionen: gleichbleibende, jeweils am Monatsende fällige Raten, erste Rate am Ende des 3. Monats fällig, 20 Monate Laufzeit (, d.h. Kredit ist nach 18 Raten getilgt), Zinssatz 9% p.a. nominal (effektiv 9,38%); monatliche Zinsverrechnung. Soll sich Theo für die Ratenzahlung oder die Barzahlung in Verbindung mit dem Kredit entscheiden? Hinweis: Berechnen Sie die Höhe der monatlichen Rate für den Kredit, damit dieser nach genau 20 Monaten bzw. 18 Raten getilgt ist. (9 Punkte) Lösung: n=18 i=0,75 % 9 % 12 Monate S= % 10000=18500 aber: bzw. 12 1, Vergleich von S in t=0 mit dem Barwert der Raten in t=2 nicht direkt möglich entweder S auf t=2 beziehen oder Barwert auf t=0 abzinsen! 1 1 n 1 i mit n=18 und S=18500 S 1 i 2 =Rate i Rate=1.119,16 DM 1.131,30 DM Ergebnis: Theo sollte sich für die Barzahlung in Verbindung mit dem Bankkredit entscheiden, da in diesem Fall die Rate bei gleicher Zahlungsstruktur geringer ausfällt. WS 1997/98 - Aufg. 2 Ein Investor hat die Möglichkeit ein Investitionsprojekt durchzuführen, das am Ende der jeweiligen Periode t folgende Zahlung Z t auslöst: t Z t Da er über keinerlei Eigenkapital verfügt, benötigt er einen Kredit, um über die entsprechenden

16 Barmittel zu verfügen. Ihm werden zwei Formen von Krediten angeboten: 16 Einen Festkredit mit einem Zinssatz von 6% (Zinszahlungen am Ende jeder Periode) Dieser Festkredit kann erst am Ende von Periode 2 zurückgezahlt werden. Die Auszahlung erfolgt abzüglich eines Disagios von 250 DM. Einen jederzeit tilgbaren Kontokorrentkredit mit einem Zinssazt von 10% pro Periode. Als Anlagemöglichkeit steht dem Investor ein Sparbuch mit einer Verzinsung von 4% pro Periode zur Verfügung. Für welchen Kredit entscheidet sich der Investor, wenn er ein möglichst hohes Endvermögen in t=2 anstrebt? (Die Aufstellung eines vollständigen Finanzplans erleichtert die Beantwortung der Frage, ist aber nicht Voraussetzung.) (9 Punkte) Lösung zu Festkredit: t Z t Kredit Disagio 250 Anlage , ,4 Kontokorrentkredit: t Z t Kredit 1 Kredit Entscheidung für den Kontokorrentkredit; C 2 max =1350 Bei welchem Zinssatz für Geldanlagen wäre der Investor gegenüber beiden Kreditalternativen indifferent? (7 Punkte) Der Investor wird indiffernt, wenn der Festkredit auch einen Konsum von C 2 =1350 ermögilicht. Beim Kontokorrentkredit hat der Guthabenzins keinen Einfluß auf C 2 max i = i = 3915 i=6,24 %

17 17 WS 1999/ Aufg. 2 (neue DPO) Um ein Jahr früher aus dem Berufsleben ausscheiden zu können, will Abteilungsleiter Vorruh jährlich einen konstanten Betrag aus seinem jährlichen Bruttolohn von DM sparen. Sein Plan ist, vom bis zum jeweils zum Jahresende einen bestimmten Prozentsatz seines nach Abzug der Steuer ausbezahlten Lohns auf einem Konto mit einer festen Verzinsung vor Steuern von 10% p.a. anzulegen. Der Rest seines Nettolohns wird konsumiert. Am will er in den Ruhestand gehen und zu diesem Zeitpunkt aus der Ansparung DM zur Verfügung haben. Welchen Prozentsatz seines Nettolohnes muß er für die Ansparung aufbringen, wenn sein Einkommensteuersatz, der für alle Arbeits- und Zinseinkünfte heranzuziehen ist, 40% beträgt? Hinweis 1: Es sind weder Freibeträge noch Sozialversicherungsabgaben zu berücksichtigen. Hinweis 2: Die Formel für die geometrische Reihe lautet: Lösung zu n t=0 q t = 1 q n 1 1 q n=20 i=10 % s=40 % i nst =0,6 0,1=0,06 R = Anlagebetrag pro Jahr; Nettolohn= 1 s Bruttolohn= =R 1 1, Barwert in t=0 1, ,06 0,06 R=! , ,06 21 R=2564,58 %Sparen= 2564, ,56 % (12 Punkte) Um Arbeitnehmern einen eigenfinanzierten Vorruhestand zu erleichtern, bietet der Fiskus ihnen folgende Möglichkeit: Sie können Teile ihres Lohns unversteuert in einem Investmentfonds einzahlen. Bis zur Auszahlung kommt es dort für die Zinserträge aus diesen Fonds zu keiner Besteuerung. Erst bei der Auszahlung wird das bis dahin akkumulierte Kapital einschließlich der Zinsen einer einmaligen Besteuerung mit dem Einkommensteuersatz von 40% unterworfen. Wieviel bekommt Vorruh am nach Steuern ausbezahlt, wenn er bis dahin in jeder Periode genau so viel konsumiert wie in Teilaufgabe, aber nicht auf ein Konto, sondern in den steuerbegünstigten Investmentfonds einbezahlt und hier ebenfalls eine Rendite von 10% p.a. erzielt? (8 Punkte) Sparbetrag: 2564,58 (netto) 4274,3 (brutto)

18 EW vst ,1 =4274,3 1,1 21 0,1 EW vst = ,58 EW nst SS Aufg. 2 Aufgrund der Unsicherheit über die zukünftige Altersversorgung überlegt sich der 33-jährige Arbeitnehmer Walter R. eine zusätzliche private Absicherung neben der gesetzlichen Rentenversicherung aufzubauen. Walter R. nimmt sich vor, vom an bis zum alljährlich DM in eine private Rentenversicherung einzuzahlen, bei der sich die Höhe die Einzahlung prozentual an der Entwicklung seines Jahresnettolohns anlehnt. Annahmegemäß wächst sein Einkommen alljährlich um 5%. Sein Einlagen verzinsen sich mit 10% p.a.. Wie hoch ist der absolute Betrag seiner privaten Altersversorgung am Ende des Jahres 2031? Hinweis: Bei einer Wachstumsrate w und einem Zinssatz i lautet die Formel für den i w Wiedergewinnungsfaktor: 1 1 w n 1 i (6 Punkte) Lösung zu n=30 R=6.000 w=5 % i=10 % 1 1 0, ,1 EW 2031 =BW 1, ,20 BW = ,89 0,1 0,05 Um welchen Prozentsatz müßten seine Einzahlungen in die private Rentenversicherung zunehmen, damit er am Ende der Laufzeit, also am , über einen für ihn auskömmlichen Betrag von 2 Mio. DM verfügen könnte. Hinweis 1: Hinweis 2: Prozentsätze auf zwei Stellen nach dem Komma runden! Für die Interpolation sind Prozentsätze von 5,4% und 5,5% zu verwenden; es ist nur ein Interpolationsschritt durchzuführen. (14 Punkte) 1 1 w , =! ,1 32 0,1 w w 1 =5,4 % EW ,30 w 2 =5,5 % EW ,80

19 Lineare Interpolation: x 10563,7 = 0, ,5 19 x 0,0488 w =5,4488 % WS 2000/01 - Aufg. 2 Markus wird das Haus, in dem er bisher zur Miete wohnt zum Kauf angeboten. Die Anschaffungskosten (inklusive Grunderwerbsteuer, Notar- und Grundbuchkosten) betragen ,44 DM, die am zu bezahlen sind. Vom Staat erhält Markus in den ersten sechs Jahren eine Zuwendung von jährlich 2000 DM und außerdem über das Kindergeld hinaus noch für jedes seiner drei Kinder 400 DM pro Jahr. Diese nur im Falle eines Hauskaufs gewährten Zuwendungen fallen jeweils am 01. Januar eines Jahres an, erstmals am Darüber hinaus gewährt der Staat Markus noch ein zinsloses Darlehen in Höhe von DM. Die Tilgung erfolgt in 4 gleich hohen Jahresraten, wobei die erste am und die letzte am fällig wird. Am wird Markus das Haus für DM verkaufen und in eine andere Stadt umziehen. Der Zins am vollkommenen Kapitalmarkt beträgt 10%. Soll Markus das Haus kaufen oder weiterhin bei einer am Jahresende zu bezahlenden nachschüssigen Miete von DM zur Miete wohnen? Reparaturen fallen in den ersten sechs Jahren nicht an. Hinweis: Die Formeln für die Rentenbarwertfaktoren lauten: RBF ns 1 1 n 1 i RBF vs 1 1 n 1 i = = i 1 1 i 1 Lösung: KW Hauskauf = , , , ,1 3 1,1 4 1,1 5 1,1 6 KW Hauskauf = ,998 KW Miete ,1 = = ,13 0,1 KW Miete KW Hauskauf Entscheidung für Miete (12 Punkte) SS Aufg. 2 Dem vermögenden Berufseinsteiger Axel J. bietet sich die Möglichkeit, zum das auf dem Land gelegene Haus seiner Tante für DM zu erwerben. Da Axel J. bereits ein eigenes Appartement in der Stadt besitzt, plant er, das Haus seiner Tante nach dem Kauf zu vermieten. Die erzielbaren Mieteinnahmen liegen in den ersten zwei Jahren bei DM pro Jahr. Ab dem dritten Jahr steigen sie jährlich um 500 DM. Die laufenden Auszahlungen im Zusammenhang mit dem Mietobjekt betragen im ersten Jahr der Nutzung DM, im zweiten Jahr DM und im dritten Jahr DM. Vom vierten Jahr an erhöhen sich die Auszahlungen um jährlich 500 DM. An Abschreibungen können pro Jahr DM geltend gemacht werden.

20 20 Am wird Axel J. das Haus für DM verkaufen und sich mit seinem bis dahin verdienten Vermögen nach Mallorca absetzen. Berechnen Sie, ob es sich für Axel J. lohnt, das Haus seiner Tante zu erwerben! Falls nicht explizit erwähnt, erfolgen die Zahlungen zum jeweiligen Jahresende. Der Steuersatz, dem die gesamten Einkünfte von Axel J. unterliegen, beträgt 40%. Axel J. verfügt am über freie Eigenmittel in Höhe von DM, die er alternativ am Kapitalmarkt zu 5% anlegen kann. Anmerkung: Da der Verkauf des Hauses außerhalb der steuerlichen Mindesthaltefrist von zehn Jahren erfolgt, unterliegt der Veräußerungsgewinn nicht der Besteuerung. Gehen Sie davon aus, daß die Steuern auf Einkünfte der Periode t am Ende des Jahres t anfallen. In Verlustfällen kommt es demzufolge zu einer Steuererstattung von 40% des Verlusts aus dem Landhaus. 1 1 w n 1 i Hinweis: Die Formel für den Rentenbarwertfaktor lautet: RBF = i w (12 Punkte) Lösung zu i nst =0,6 0,05=0,03 t EZ t AZ t ZÜ vst Afa BMG Steuer ZÜ nst ,03 KW = , , , ,03 1,03 15 KW 27673,82 0 Axel J. erwirbt das Haus. Kurz vor Abschluss des Kaufvertrages verliert Axel J. seine baren Mittel an der Börse. Aufgrund der bisher guten Beziehungen zu seiner Bank biete diese ihm die Übernahme des Kaufpreises von DM an. Im Gegenzug werden von ihm über eine Laufzeit von zehn Jahren monatliche nachschüssige Raten in Höhe von DM gefordert. Zusätzlich verlangt die Bank bei Vertragsbeginn eine einmalige Gebühr in Höhe von DM. Berechnen Sie den jährlichen Effektivzins dieses Finanzierungsangebots! Anmerkung: Verwenden Sie für die Interpolation Monatszinssätze von 0,7% und 0,8%. Runden Sie Prozentsätze auf vier Stellen nach dem Komma. (9 Punkte)

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