VERSICHERUNGEN AUF MEHRERE LEBEN. Marta Ja lowiecka. 23 Januar 2009

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1 VERSICHERUNGEN AUF MEHRERE LEBEN Marta Ja lowiecka 23 Januar

2 1 Einführung Im Folgenden werden betrachtet- basierend auf Modellen und Formeln für einfache Versicherungen auf ein Leben- verschiedene Versicherungen auf mehrere Leben. Das Hauptziel dieser Ausarbeitung wird sein, allgemeine Formeln zu finden, mithilfe derer man die Nettoeinmalprämie (NEP) für diese verschiedene Versicherungen ausrechnen kann. Der Hauptunterschied zwischen der Versicherung auf eine Person und der auf mehrere Leben ist, dass wir bei der Versicherung auf mehrere Leben eine Gruppe von Menschen betrachten, die nicht unbedingt im gleichen Alter sind und das gleiche Geschlecht haben. Die Verteilung der zukünftigen Lebensdauer eines x-jährigen kann man einfach mithilfe der Sterbetafeln berechnen; man kann aber vermuten, dass diese Verteilung bei einer Gruppe von Menschen viel schwieriger zu finden ist. Es ist aber unentbehrlich um die Formel für die NEP zu finden. Allgemein gehen wir von m unabhängigen Leben aus, die die Versicherung umfasst. Zusätzlich werden folgende Bezeichnungen angenommen: x k... das anfängliche Alter der k-ten Person T (x k ) T k... die zukünftige Lebensdauer des k-ten Lebens tp xk... die t-jährige Überlebenswahrscheinlichkeit eines x k -Jährigen q xk... die 1-jährige Sterbewahrscheinlichkeit des x k -Jährigen µ x+t... die Sterblichkeitsintensität des x k jährigen im Alter x k + t v 1 1+i... Abzinsungsfaktor, wobei i die jährliche effektive Zinsrate ist ä xk... die NEP für eine vorschüssige lebenslängliche Rente, d.h. für die Folge von den Zahlungen von je 1, die zu den Zeitpunkten 0, 1, 2... erfolgen, solange die Person x k am Leben ist ä xk v t tp xk A xk -die NEP für eine Versicherung, die darin besteht, dass der Betrag von 1 am Ende des Jahres, in dem der Versicherte stirbt ausbezahlt wird. A xk v t+1 tp xk q xk +t Darüber hinaus wird das Finden einer allgemeinen Formel für die NEP bei Versicherungen auf mehrere Leben dadurch erschwert, dass es eine große Vielzahl an verschiedenen Versicherungen gibt. Wenn wir eine Todesfallversicherung auf eine Person betrachten, ist offensichtlich, dass die Auszahlung des Betrages nach dem Tod dieser konkreten Person erfolgen wird; bei den Versicherungen auf mehrere Leben kann die Auszahlung beispielweise nach dem ersten, letzten oder k-ten Tod(k<m) erfolgen. Es gibt auch die Möglichkeit, dass nach jedem Tod ein Betrag ausbezahlt wird, wobei die Höhe der Beträge nicht bei jedem Tod gleich sein muss. Beispiel 1 Betrachten wir eine Versicherung auf 3 Leben mit anfänglichem Alter x 1, x 2, x 3, wobei die Beträge 1 beim ersten Tod, 6 beim zweiten und 9 beim dritten jeweils am Ende des Jahres bezahlt werden. Wie kann man für diese Versicherung die NEP ausrechnen?? Bei den Renten auf mehrere Leben können auch viele Faktoren variieren. Die Auszahlungen können z.b. nur in einer bestimmten Periode erfolgen, abhängig davon, wieviel 2

3 von m Personen, die die Rente umfasst hat, noch am Leben sind. Des Weiteren kann sich auch die Intensität der Zahlungen ändern. Beispiel 2 Betrachten wir eine Rente auf 3 Leben mit anfänglichem Alter x 1, x 2, x 3. Die Intensität der Zahlungen ist anfänglich 5 und wird mit jedem Tod um 2 reduziert. Wie kann man für diese Renten die NEP ausrechnen? Im Folgenden werden nicht nur Antworten auf die oben gestellten Fragen gegeben, sondern auch allgemeine Formeln gezeigt, die man unabhängig von den Variablen anwenden kann, um die NEP auszurechnen. An den oben aufgeführten Beispielen kann man erkennen, dass es wichtig ist zu betrachten, wieviele Personen zu einem bestimmten Zeitpunkt am Leben sind. Bezüglich der Versicherungen ist es unentbehrlich den Begriff des Zustandes eizuführen und zu definieren. Definition 1 Der allgemeine symmetrische Zustand u k x 1:x 2...x m ist definitionsgemäß intakt ( am Leben ), solange mindestens k der m Personen am Leben sind. Definition 2 Der allgemeine symmetrische Zustand u x 1:x 2...x m ist definitionsgemäß intakt, falls genau k der m Personen leben. Man kann für k m und k 1 zwei Spezialfälle betrachten: Definition 3 Der Zustand der verbundenen Leben u ist definitionsgemäß intakt, solange alle m Personen am Leben sind. [m] x 1:x 2...x m : x 1 : x 2 :... : x m 1 Definition 4 Der Zustand des letzten Lebens u x 1:x 2...x m : x 1 : x 2...x m ist definitionsgemäß intakt, solange mindestens eine der m Personen am Leben ist. Außerdem definieren wir für den Zustand u analog T (u), x u, t p u, q u, µ x+u, ä u und Äu. 2 Der Zustand der verbundenen Leben Der Zustand u x 1 : x 2 :... : x m ist definitionsgemäß intakt ( am Leben ), solange alle m Komponenten am Leben sind und erlischt demnach mit dem ersten Tod. Wir wissen im Voraus natürlich nicht, welche Person zuerst stirbt. Deswegen schreiben wir die Zufallsvariable, die dem Zustand u seine zukünftige Lebensdauer zuordnet, folgendermaßen: T (u) min(t 1,..., T m ) Wir nehmen nun an, dass wir eine Formel für die NEP von Versicherungen auf den ersten Tod und NEP für sogenannte Verbindungsrente finden wollen. Zuerst ersetzen 3

4 wir in vorher aufgeführten Formel für a xk und A xk die Variable x k durch u. ä u A u v t tp u }{{}? v t+1 tp u q u+t? Zusätzlich wissen wir, dass q u 1 p u. Jetzt ist offensichtlich, dass um die beiden NEP berechnen zu können, man die Verteilung der zukünftige Lebensdauer von u berechnen muss. tp u t p x1:x 2:...:x m P (T 1 t T 2 t... T m t) unab. P (T 1 t)p (T 2 t)... P (T m t) t p x1 tp x2... t p xm Die t-jährige Überlebesnwahrscheinlichkeit des Zustandes u ist nun dargestellt als das Produkt der Überlebenswahrscheinlichkeiten der x k -Jährigen, welche man den Sterbetafeln entnehmen kann. Formel 1 Die Verteilung der zukünftigen Lebensdauer des Zustandes der verbundenen Leben m tp x1:x 2:...:x m tp xk Abschließend setzen wir die in die richtigen Stellen ein und erhalten : Formel 2 NEP für Verbindungsrente ä u m v t ( tp xk ) tp x1 :...:xm Formel 3 NEP für Versicherungen auf den ersten Tod m m A u v t+1 ( tp xk ) (1 tp x1 :...:xm p xk +t) q x1 +k:...:xm+k Wir wissen bereits, wie sich die Verteilung der zukünftigen Lebensdauer des Zustandes der verbundenen Leben u aus den Verteilungen der zukünftigen Lebensdauer der x k -Jährigen zusammensetzt. Damit können wir die NEP für jede Versicherung und jede Rente, die im Zusammenhang mit diesem Zustand definiert sind, berechnen. Nun stellt sich aber die Frage, ob es möglich ist die Berechnungen zu vereinfachen. Nehmen wir an, wir wollen ein solches Alter w finden, wobei die Zufallsvariable T (w) die gleiche Verteilung wie T (u) haben wird. Gilt dieses, dürfen wir statt des Zustandes u eine konkrete Person betrachten, die das Ausgangsalter w hat. Dadurch werden die Berechnungen für die NEP vereifacht. Das Problem ist hier ein solches ausgangsalter w zu finden.an dieser Stelle müssen wir 4

5 ein Sterbegesetz annehmen, um zu den Vereinfachungen zu kommen. Nehmen wir für alle m Leben das Gompertz sche Sterbegesetz an: µ xk +t Bc x k+t t > 0, B > 0, c > 1 Die Forderung einer analytischen Verteilungsfunktion für die zukünftige Lebensdauer T ist leider nicht realistisch, liefert aber in diesem Fall ein brauchbares Modell für den Demonstrationszweck. Betrachten wir nun die Sterbeintensität des Zustandes u. Wenn wir jetzt für u zuerst die Formel für t p u anwenden, dann weiter, unter Beachtung des Gompertz schen Sterbegesetzes bekommen wir: µ u+t d dt ln tp u d m dt ln( tp xk ) d ln t p xk µ xk +t dt Bc xk+t Bc t (c x1 + c x c xm ) Für gesuchte w, unter Beachtung des Gompertz schen Sterbegesetzes, gilt: µ w+t Bc t c w Jetzt ist es einfach festzustellen, dass das gesuchte w, die folgende Gleichung erfüllen soll: c x1 + c x c xm c w Alle Berechnungen im Zusammenhang mit dem Zustand der verbundenen Leben können zurückgeführt werden auf die entsprechenden Berechnungen für ein einzelnes Leben, das das Ausgangsalter w hat. Beispielsweise gilt: A x1:x 2:...:x m A w und ä x1:x 2:...:x m ä w Aufgrund dessen, dass wir hier das Gompertz sche Sterbegesetz angenommen haben, hat die erhaltene Vereinfachung kaum mehr einen praktischen Wert. 3 Die Allgemeinen Formeln für die NEP Wir werden jetzt die Renten betrachten, bei denen sich die Intensität der Zahlungen mit jedem Tod ändert und analog die Versicherungen, bei denen mit jedem Tod eine Auszahlung eines Betrages ausfällt, wobei die Beträge verschiedene Höhe haben können. Allgemein wollen wir die NEP für die Versicherung als folgende Summe darstellen: 0 d 1 S A m 1 d 1 S A m und analog die NEP für die Rente darstellen als: 0 c 0 Sä m c 0 Säm Die Ausdrücke S A j und Säj werden weiter unten definiert, die Koeffizienten i d 1 und j c O werden mithilfe der Formel von Schuette-Nesbitt berechnet. 5

6 3.1 DIE FORMEL VON SCHUETTE-NESBITT B 1, B 2,..., B m... beliebige Ereignisse N... Anzahl der Ereignisse, welche eintreten c 0, c 1,..., c m... beliebige Koeffizienten Dann gilt: c n P (N n) k c o S k n0 wobei S 0 0. Die Summen S k für k > 0 sind folgendermaßen definiert: Definition 5 S k ( P (B j1 B j2... B jk ), wobei sich die Summation über alle m ) k Möglichkeiten erstreckt. Nehmen wir beispielweise m 3. Dann gilt: S 0 1 S 1 P (B 1 ) + P (B 2 ) + P (B 3 ) S 2 P (B 1 B 2 ) + P (B 1 B 3 ) + P (B 2 B 3 ) unab. P (B 1 )P (B 2 ) + P (B 1 )P (B 3 ) + P (B 2 )P (B 3 ) S 3 P (B 1 B 2 B 3 ) 3.2 SCHUETTE-NESBITT BEZÜGLICH VERSICHERUNGEN Jetzt muss man überlegen, wie man die Formel von Schuette-Nesbitt für die Berechnung der NEP verwenden kann. Wenn wir nun annehmen, dass B k... das Ereigniss, dass die k-te Person zum Zeitpunkt t noch lebt N... die Anzahl der Personen die zum Zeitpunkt t noch leben: tp Dann ist äquivalent zu P (X j1 t,..., X jk t, X jk+1 < t,...x jm < t) P (N k) c k P (N k) j c 0 S j Formel 4 c k t p j c 0 Sj t An dieser Stelle überlegt man, wie in diesem Fall die Summen Sj t aussehen werden. Die sind mit der früher definierten Summe S k fast identisch. Der Index t betont nur, dass P (B j ) auch von t abhängt. 6

7 Definition 6 S t j t p x i1 :x i2...:x ij Für m 3 gilt: wobei wir über alle ( m j ) Möglichkeiten summieren. S t 1 t p x1 + t p x2 + t p x3 S t 2 t p x1 tp x2 + t p x1 tp x3 + t p x2 tp x3 S t 3 t p x1 tp x2 tp x3 Nun betrachten wir, was passiert, wenn wir die obere Identität beidseitig mit v t multiplizieren und über t summieren: c k tp v t j c 0 Sjv t t Abschließend erhalten wir: ä Formel 5 Die Formel von Schuette-Nesbitt bezüglich Renten c k ä j c 0 Säj Jetzt sieht man, wie Säj definiert ist: Säj Definition 7 Säj Sjv t t Man muss beachten, dass es im Zusammenhang mit dem Zustand u sinnvoll ist, die Versicherung zu definieren. x 1:x 2:...:x m kaum Deswegen wollen wir jetzt die Formel 4 im Zusammenhang mit u x 1:x 2:...:x m erhalten. Die ergibt sich, wenn wir jetzt in Formel 4 c 0 0 und c k d 1 + d d k einsetzen. Dann bekommen wir: d k t p k j 1 d 1 Sj t Nun definieren wir die Summe Sj A. Sie ist mit der Summe Säj durch Beziehung verknüpft Definition 8 Abschließend erhalten wir: S A j ( ) m j j1 Säj d k die folgende Formel 6 Die Formel von Schuette-Nesbitt bezüglich der Todesfallversicherungen d k A k j 1 d 1 Sj A j1 7

8 3.3 Anwendung Beispiel 1 Die NEP dieser Versicherung kann offenbar geschrieben werden als NEP 9A [1] + 6A [2] + 1A [3] Wenden wir jetzt die Formel von Schuette-Nesbitte an und erhalten: 9A [1] +6A [2] +1A [3] 3 d k A k Nun muss man nur die Koeffizienten j d 1 ausrechnen: 0 d j 1 d 1 Sj A 0 d 1 S1 A + 1 d 1 S2 A + 2 d 1 S3 A j1 1 d 1 d 2 d d 1 d 3 2d 2 + d 1 2 NEP 9S A 1 3S A 2 2S A 3 Beispiel 2 Die NEP dieser Rente kann offenbar geschrieben werden als: NEP 1ä [1] + 3ä [2] + 5ä [3] Wenden wir jetzt die Formel von Schuette-Nesbitte an und erhalten: 1ä [1] +3ä [2] +5ä [3] 3 c k ä 3 j c 0 Säj 0 c 0 Sä0 + 1 c 0 Sä1 + 2 c 0 Sä2 + 3 c 0 Sä3 Nun muss man nur die Koeffizienten j c 0 ausrechnen: 0 c c 0 c 1 c c 0 ( c 0 ) (c 1 c 0 ) c 1 c 0 (c 2 c 1 ) (c 1 c 0 ) c 2 2c 1 + c c 0 c 3 3c 2 + 3c 1 c 0 1 NEP 1Sä1 + 1Sä2 + 1Sä3 Literatur: [1] H.U.Gerber: Versicherungsmathematik, Springer-Verlag (1986) [2] H.Albrecher & R.Tichy: Finanz- und Versicherungsmathematik 1, Tu Graz (2003) 8

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