Analysis I im SS 2011 Kurzskript

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1 Anlysis I im SS 2011 Kurzskript Prof. Dr. C. Löh Sommersemester 2011 Inhltsverzeichnis -2 Literturhinweise 2-1 Einführung 4 0 Grundlgen: Logik und Mengenlehre 5 1 Zählen, Zhlen, ngeordnete Körper 14 2 Konvergenz und Vollständigkeit 23 3 Reihen 30 4 Stetigkeit 34 5 Differenzierbrkeit 41 6 Integrtion 46 Version vom 15. November 2011 clr.loeh@mthemtik.uni-regensburg.de Fkultät für Mthemtik, Universität Regensburg, Regensburg

2 -2 Literturhinweise Die folgenden Listen enthlten eine kleine Auswhl n Litertur zu Grundlgen der Mthemtik (insbesondere Logik und Mengenlehre) und zur Anlysis. Anlysis [1] O. Forster. Anlysis 1, neunte überrbeitete Auflge, Vieweg+Teubner, [2] S. Lng. Undergrdute Anlysis, zweite Auflge, Springer, [3] M. Spivk. Clculus, dritte Auflge, Cmbridge University Press, [4] R.S. Strichrtz. The Wy of Anlysis, Jones & Brtlett Lerning, [5] W. Wlter. Anlysis 1, siebte Auflge, Grundlgen [6] A. Beutelspcher. Ds ist o.b.d.a. trivil!, neunte Auflge, Vieweg+Teubner, [7] A. Doxidis, C. Ppdimitriou, A. Ppdtos, A. Di Donn, Logicomix: An epic serch for truth, Bloomsbury Publishing, [8] H.-D. Ebbinghus. Einführung in die Mengenlehre, dritte Auflge, BI Wissenschftsverlg, [9] H.-D. Ebbinghus et l.. Zhlen, dritte Auflge, Springer, [10] H.-D. Ebbinghus, J. Flum, W. Thoms. Einführung in die mthemtische Logik, vierte Auflge, Spektrum, [11] U. Friedrichsdorf, A. Prestel. Mengenlehre für den Mthemtiker, Vieweg, [12] R.M. Smullyn, M. Fitting. Set theory nd the continuum problem, überrbeitete Auflge, Dover, Weiterführende Themen [13] M. Aigner, G. Ziegler. Proofs from THE BOOK, vierte Auflge, Springer, [14] K. Jänich. Topologie, chte Auflge, Springer,

3 Ds griechische Alphbet Symbol Nme TEX-/L A TEX-Kommndo A α lph A \lph B β bet B \bet Γ γ gmm \Gmm \gmm δ delt \Delt \delt E ε, ɛ epsilon E \vrepsilon, \epsilon Z ζ zet Z \zet H η et H \et Θ ϑ, θ thet \Thet \vrthet, \thet I ι iot I \iot K κ kpp K \kpp Λ λ lmbd \Lmbd \lmbd M µ my M \mu N ν ny N \nu Ξ ξ xi \Xi \xi O o omikron O o Π π pi \Pi \pi P ϱ, ρ rho P \vrrho, \rho Σ σ, ς sigm \Sigm \sigm, \vrsigm T τ tu T \tu Y υ ypsilon Y \upsilon Φ ϕ, φ phi \Phi \vrphi, \phi X χ chi X \chi Ψ ψ psi \Psi \psi Ω ω omeg \Omeg \omeg 3

4 -1 Einführung Ws ist Mthemtik? Mthemtik beschäftigt sich mit dem Studium bstrkter Strukturen und Modelle (z.b. Arithmetik, Geometrie) und formlen Methoden, sowie Anwendungen dieser Theorie. Grob gesgt, besteht die Mthemtik us den folgenden Gebieten: Logik, Mengenlehre, Algebr, Anlysis, Geometrie, Kombintorik. Logik und Mengenlehre bilden die Grundlge der modernen Mthemtik; die vier zentrlen Gebiete Algebr, Anlysis, Geometrie und Kombintorik sind uf vielfältige Weise miteinnder verbunden. Ws ist Anlysis? Anlysis ist ds Studium lokler und globler Eigenschften von reell- bzw. komplexwertigen Funktionen; insbesondere ist zunächst zu klären, ws die reellen Zhlen sind. Beispiele für lokle Eigenschften sind Stetigkeit bzw. Differenzierbrkeit; Beispiele für globle Probleme sind die Bestimmung von (globlen) Extremwerten oder Integrlen. 4

5 0 Grundlgen: Logik und Mengenlehre Die mthemtische Logik beschreibt die Spielregeln, uf denen die Mthemtik bsiert; die Mengenlehre beschreibt ds Spielfeld bzw. die grundlegenden Busteine, us denen mthemtische Objekte konstruiert werden. Der stringente simultne Aufbu von Logik und Mengenlehre ls Grundlge der modernen Mthemtik ist zu ufwendig, um zu Beginn des Studiums im Detil usgeführt zu werden. Wir werden uns dher im folgenden uf ein pr Einblicke beschränken, die die für den mthemtischen Alltg wichtigsten Punkte behndeln. Logische Grundlgen Die mthemtische Logik beschäftigt sich mit den folgenden (miteinnder zusmmenhängenden) Frgen: Wie knn mn die mthemtische Sprche formlisieren? Ws ist eine whre mthemtische Aussge? Ws ist ein Beweis? Ws knn mn beweisen? Gibt es Grenzen der Beweisbrkeit? Wir folgen im folgenden dem llgemeinen Prinzip, mit einfchen Teilspekten zu beginnen und dnn Schritt für Schritt drus komplexere Strukturen und Theorien ufzubuen ( divide nd conquer ). Aussgenlogik Die Aussgenlogik ist ein einfches logisches System, ds die Grundlgen des logischen Denkens formlisiert. Aussgenlogik besteht us einer syntktischen und einer semntischen Ebene: Syntx ussgenlogischer Formeln. Aussgenlogische Vriblen sind ussgenlogische Formeln. Sind A und B ussgenlogische Formeln, so uch ( A), (A B), (A B), (A = B), (A B). Keine weiteren Symbolketten sind ussgenlogische Formeln. [Flls keine Missverständnisse möglich sind, setzt mn zur besseren Lesbrkeit mnchml Klmmern etws freizügiger.] Semntik ussgenlogischer Formeln. Vriblen können mit den Whrheitswerten w ( whr ) bzw. f ( flsch ) belegt werden. Belegen wir lle in einer ussgenlogischen Formel vorkommenden Vriblen mit w bzw. f (wobei verschiedene Auftreten derselben Vriblen in einer Formel denselben Wert erhlten müssen), so erhlten wir einen Whrheitswert, indem wir Schritt für Schritt die folgenden semntischen Regeln ( Whrheitstfeln ) nwenden: 5

6 A A nicht w f f w (insbesondere nehmen wir tertium non dtur n) A B A B A B A = B A B und oder impliziert gilt genu dnn, wenn w w w w w w w f f w f f f w f w w f f f f f w w Definition 0.1 (Tutologie). Eine ussgenlogische Formel A ist eine (ussgenlogische) Tutologie, wenn sich unter llen möglichen w/f-belegungen ller uftretenden ussgenlogischen Vriblen in A der Wert w ergibt. Beispiel 0.2. Für lle ussgenlogischen Formeln A und B sind (A = B) ( B = A) Kontrposition (A = B) ( ( A) B ) ( ) ( A) = (B B) = A reductio d bsurdum (A B) ( ( A) ( B) ) de Morgnsche Regeln (A B) ( ( A) ( B) ) de Morgnsche Regeln ussgenlogische Tutologien (knn z.b. über entsprechende Whrheitstfeln nchgewiesen werden). Cvet 0.3. Es gibt Zweige der Mthemtik/Informtik, in denen ds tertium non dtur nicht ls Axiom ngenommen wird; inbesondere steht in solchen Kontexten der Widerspruchsbeweis (reductio d bsurdum) nicht ls Beweistechnik zur Verfügung! Quntorenlogik Im llgemeinen wollen wir nicht nur über Whrheitswerte sprechen. Dher verfeinern/erweitern wir die Aussgenlogik zu einer umfngreicheren Sprche, der Quntorenlogik. Eine exkte Definition würde n dieser Stelle zu weit führen; wir begnügen uns dher mit einer prgmtischen, vereinfchten Drstellung: Sei dzu im folgenden T eine mthemtische Sprche/Theorie (z.b. die Theorie der ntürlichen Zhlen oder ähnliches). Syntx quntorenlogischer Aussgen. Atomre Aussgen us der Theorie T sind quntorenlogische Aussgen über T ; diese dürfen uch Vriblen enthlten. Ist A eine quntorenlogische Aussge über T und ist x eine (in A freie ) Vrible, so sind uch ( x A(x) ) quntorenlogische Aussgen über T. bzw. ( x A(x) ) 6

7 Sind A und B quntorenlogische Aussgen über T, so uch (A), (A B), (A B), (A = B), (A B). Keine weiteren Symbolketten sind quntorenlogische Aussgen über T. Semntik ussgenlogischer Aussgen. 1 Die Semntik von,,, =, wird nlog zur Aussgenlogik definiert. Zusätzlich gelten die folgenden Interprettionen: x A(x) gilt genu dnn, wenn: für lle x gilt A(x) x A(x) gilt genu dnn, wenn: es existiert (mindestens) ein x mit A(x) ( x A(x)) gilt genu dnn, wenn: ( x A(x)) ( x A(x)) gilt genu dnn, wenn: ( x A(x)) Cvet 0.4. Im llgemeinen drf die Reihenfolge von Quntoren nicht vertuscht werden! Mn betrchte dzu zum Beispiel die quntorenlogischen Aussgen x y A(x, y) bzw. y x A(x, y), wobei A(x, y) bedeute, dss x eine Fru ist, y ein Mnn und x eine Affäre mit y ht. Cvet 0.5. Formeln wie A(x) x mchen keinen Sinn (selbst wenn es die deutsche Sprche mnchml nhe legt... )! Ws ist ein Beweis? Wir beschreiben im folgenden den klssischen Beweisklkül der Mthemtik; er ist eine Formlisierung der gängigen logischen Schlussweisen. Gegeben seien eine mthemtische Sprche/Theorie T, Axiome/Vorussetzungen V (gegeben durch quntorenlogische Aussgen über T ), eine Behuptung B (d.h. eine quntorenlogische Aussge über T ). Der Nchweis, dss B logisch us V folgt, wird in Form eines Beweises gegeben. Ein Beweis von B us V über T ist dbei eine endliche Folge von quntorenlogischen Aussgen über T mit folgenden Eigenschften: Jede dieser Aussgen ist ein Axiom (d.h. eine Aussge us V ), 2 oder ein quntorenlogisches Axiom [die quntorenlogischen Axiome sind: für lle Formeln t in T (die beim Einsetzen keine ungewollten Vriblenbindungen erzeugen): ( x A(x) ) = A(t) für lle quntorenlogischen Aussgen A und A : ( x (A = A (x)) ) ( A = x A (x) ) (wobei x nicht frei in A vorkommen drf).], 1 Dbei können quntorenlogische Aussgen ber nur dnn uf einen Whrheitswert reduziert werden, wenn sie keine freien Vriblen enthlten. 2 oder ein identitätslogisches Axiom; druf soll hier ber nicht eingegngen werden. 7

8 oder eine ussgenlogische Tutologie über T [d.h. eine ussgenlogische Tutologie, in der lle ussgenlogischen Vriblen durch quntorenlogische Aussgen über T ersetzt werden], oder mn erhält sie us vorherigen Aussgen des Beweises mit Hilfe des Modus Ponens 3 : Enthlten die vorherigen Aussgen eine Aussge der Form A = A und die Aussge A, so knn mn A zum Beweis hinzufügen. und die letzte Aussge ist B. Im Normlfll werden Beweise ntürlich nicht in dieser Form ufgeschrieben, sondern sprchlich poliert und vereinfcht. Bemerkung 0.6. Häufig werden die folgenden Beweisschemt verwendet: Beweis von Äquivlenzen. Oft zerlegt mn den Beweis von Aussgen der Form Es gilt A genu dnn, wenn B gilt. in den Beweis von Wenn A gilt, dnn gilt uch B. und Wenn B gilt, dnn gilt uch A. Dies leitet sich von der ussgenlogischen Tutologie (A B) ( (A = B) (B = A) ) b. Widerspruchsbeweis. Knn mn us der Annhme, dss die Aussge A gilt, einen Widerspruch (lso eine Aussge der Form B B) bleiten, so folgt, dss A gilt. Dies leitet sich von der ussgenlogischen Tutologie ( ( A) = (B B) ) = A b (reductio d bsurdum). Mengentheoretische Grundlgen Die Mengenlehre beschreibt die grundlegenden Busteine, us denen lle mthemtischen Objekte ufgebut sind. Nive Mengenlehre Wir beginnen mit der sogennnten niven Mengenlehre, die uf folgender Begriffsbildung beruht: Definition 0.7 (Cntor, 1895). Unter einer Menge verstehen wir jede Zusmmenfssung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschuung oder unseres Denkens (welche Elemente von M gennnt werden) zu einem Gnzen. Cvet 0.8. Obige Definition ist keine Definition im mthemtischen Sinne, d einige der uftretenden Begriffe nicht erklärt sind (bzw. nicht erklärbr sind). Wir werden zunächst mit diesem niven Mengenbegriff rbeiten und erst später uf einen exkten Zugng eingehen. 3 oder der Generlisierungsregel; uf diese soll hier ber nicht eingegngen werden. (Die Generlisierungsregel beschreibt, wnn der Allquntor eingeführt werden drf.) 8

9 Definition 0.9 (Gleichheit von Mengen). Zwei Mengen sind genu dnn gleich, wenn sie dieselben Elemente enthlten. Bemerkung 0.10 (Beweis von Gleichheit von Mengen). Um zu beweisen, dss zwei Mengen A und B gleich sind, ist lso zu zeigen, dss lle Elemente von A in B liegen und dss lle Elemente von B in A liegen. Nottion 0.11 (Grundlegende Nottionen in der Mengenlehre). Im folgenden seien A und B Mengen. Nottion x A A B Bedeutung/Definition x ist ein Element von A A ist eine Teilmenge von B, d.h. lle Elemente von A sind Elemente von B {x, y, z,... } die Menge mit den Elementen x, y, z,... {x C(x)} die Menge ller x, für die C(x) gilt A B die Schnittmenge von A und B, d.h. die Menge 4 A B := { x } (x A) (x B) A B A \ B die Vereinigung von A und B, d.h. die Menge A B := { x } (x A) (x B) ds Komplement von B in A (oder A ohne B), d.h. die Menge 5 A \ B := { x } (x A) (x B) oder {} P (A) die leere Menge, d.h. die Menge, die keine Elemente enthält die Potenzmenge von A, d.h. die Menge ller Teilmengen von A: P (A) := {x x A} Cvet Es ist P ( ) = { }, denn { } enthält ein Element (nämlich ), ber enthält keine Elemente. Definition 0.13 (Disjunkt). Zwei Mengen A und B heißen disjunkt, wenn A B =. Proposition 0.14 (Eigenschften der Mengenopertionen). Seien A, B, C Mengen. 1. Ist A B und B C, so folgt A C. 2. Es gilt ( Kommuttivität von bzw. ) A B = B A und A B = B A. 3. Es gilt ( Assozitivität von bzw. ) (A B) C = A (B C) und (A B) C = A (B C). 4 Hierbei bedeutet x := y, dss x durch y definiert wird. 5 Hierbei ist x B eine Abkürzung für (x B). 9

10 4. Es gilt (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C). Nottion Ist A eine Menge, so schreiben wir uch oft x A... sttt x ( (x A) =... ) {x A... } sttt { x (x A)... }. Cvet 0.16 (Russellsches Prdoxon). Die Betrchtung von {x x ist eine Menge und x x} führt zu einem Widerspruch! Mn drf lso nicht wie in Cntors Definition von Mengen lle Konstrukte ls Mengen zulssen. Ein möglicher Ausweg ist, ein zweistufiges System einzuführen (s.u.). Abbildungen Es ist ein llgemeines Prinzip in der Mthemtik, nicht nur Objekte zu betrchten, sondern uch zu studieren, wie gewisse Objekte zueinnder in Beziehung stehen; im Fll der Mengenlehre sind die Objekte Mengen und die Beziehungen sind Abbildungen: Definition 0.17 (Abbildung). Seien X und Y Mengen. Eine Abbildung X Y ordnet jedem Element us X genu ein Element us Y zu. Cvet Dies ist keine mthemtische Definition, denn zuordnen besitzt keine mthemtisch exkte Bedeutung! Definition 0.19 (Abbildung). Seien X und Y Mengen. Eine Abbildung X Y ist eine Teilmenge f X Y mit folgender Eigenschft: Für jedes x X gibt es genu ein y Y mit (x, y) f; mn schreibt in diesem Fll f(x) := y. Zwei Abbildungen f, g : X Y sind genu dnn gleich, wenn die zugehörigen Teilmengen von X Y gleich sind, d.h., wenn für lle x X gilt, dss f(x) = g(x). Definition 0.20 (Identität). Sei X eine Menge. Die Identität (uf X) ist die wie folgt definierte Abbildung id X : id X : X X x x. (D.h. id X ist durch die Teilmenge {(x, x) x X} X X gegeben.) 10

11 Definition 0.21 (Komposition von Abbildungen). Seien X, Y, Z Mengen und seien f : X Y und g : Y Z Abbildungen. Die Komposition von g mit f ist die Abbildung g f : X Z x g ( f(x) ). Bemerkung Die Komposition von Abbildungen ist ssozitiv, d.h. für lle Abbildungen f : X Y, g : Y Z, h: Z U gilt (h g) f = h (g f). Definition 0.23 (Einschränkung von Abbildungen). Seien X und Y Mengen, sei f : X Y eine Abbildung und sei A X eine Teilmenge. Die Einschränkung von f uf A ist die Abbildung f A, die wie folgt definiert ist: f A : A Y x f(x). Definition 0.24 (Bild/Urbild). Seien X und Y Mengen und sei f : X Y eine Abbildung. Ist A X, so ist f(a) := { f(x) x A } Y ds Bild von A unter f. Ist B Y, so ist f 1 (B) := { x X f(x) B } X ds Urbild von B unter f. Definition 0.25 (Injektiv/surjektiv/bijektiv). Seien X und Y Mengen. Eine Abbildung f : X Y ist surjektiv, wenn f(x) = Y ist, d.h., wenn es zu jedem y Y ein x X mit f(x) = y gibt. Eine Abbildung f : X Y ist injektiv, wenn jedes Element us Y höchstens ein Urbild unter f besitzt, d.h., wenn für lle x, x X gilt: Ist f(x) = f(x ), so ist x = x. Eine Abbildung X Y ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist (d.h., wenn jedes Element us Y genu ein Urbild unter dieser Abbildung besitzt). Cvet Injektiv ist nicht ds Gegenteil von surjektiv! Definition 0.27 (Umkehrbbildung/inverse Abbildung). Seien X und Y Mengen und sei f : X Y eine Abbildung. Eine Abbildung g : Y X ist eine Umkehrbbildung/inverse Abbildung von f, wenn g f = id X und f g = id Y. Proposition 0.28 (Umkehrbbildungen und Bijektivität). Seien X und Y Mengen und sei f : X Y eine Abbildung. 1. Ist f bijektiv, so besitzt f eine Umkehrbbildung; ußerdem ist die Umkehrbbildung von f eindeutig bestimmt. 2. Besitzt f eine Umkehrbbildung, so ist f bijektiv. 11

12 Axiomtische Mengenlehre Ws ist xiomtische Mengenlehre? Sttt wie in Cntors Definition nzugeben, ws eine Menge ist, beschreibt mn die Mengenlehre durch eine Liste von Axiomen, die ngeben, wie mn mit Mengen umgehen knn. Wir geben im folgenden die Axiome für die Mengenlehre nch von Neumnn, Bernys und Gödel n 6 : Es gibt zwei Sorten von Objekten, Mengen und Klssen; mn sollte sich dbei Mengen ls kleine Klssen vorstellen. Nch dem Komprehensionsxiom drf mn Klssen sehr freizügig zusmmenstellen ber nicht jede Klsse ist eine Menge! Axiome 0.29 (Axiome der Mengenlehre nch von Neumnn, Bernys, Gödel). Es gibt zwei Sorten von Objekten, Mengen und Klssen. Jede Menge ist eine Klsse. Elemente von Klssen sind Mengen. Extensionlität. Zwei Klssen sind genu dnn gleich, wenn sie dieselben Elemente enthlten. Komprehension. Ist C eine quntorenlogische Aussge erster Stufe in einer mengenwertigen Vriblen und wird in C nicht über Klssenvriblen quntifiziert, so ist { x x ist eine Menge und es gilt C(x) } eine Klsse. Die leere Klsse := {x x ist eine Menge und x x} ist eine Menge. Jede Teilklsse einer Menge ist eine Menge; eine Klsse A ist eine Teilklsse einer Klsse B, wenn jedes Element von A ein Element von B ist. Prmengenxiom. Sind A und B Mengen, so ist uch {A, B} eine Menge. Vereinigungsxiom. Ist A eine Menge, so ist uch A := { x y ((x y) (y A)) } eine Menge, die Vereinigungsmenge von A. Potenzmengenxiom. Ist A eine Menge, so ist uch P (A) := {x x A} eine Menge, die Potenzmenge von A. Ersetzungsxiom. Ist F : X Y eine Funktion zwischen den Klssen X und Y und ist A X eine Teilmenge, so ist uch F (A) eine Menge. Unendlichkeitsxiom. Es gibt eine induktive Menge; eine Menge A heißt induktiv, wenn A und wenn für lle x A uch x {x} A ist. Auswhlxiom. Ist A eine Menge mit A, so gibt es eine Auswhlfunktion für A, d.h. eine Funktion f : A A mit folgender Eigenschft: Für lle x A ist f(x) x. Cvet Mn knn us den Axiomen der Mengenlehre nicht folgern, dss die Mengenlehre widerspruchsfrei ist! (Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitsstz). Die 6 Eine ndere weitverbreitete Axiomtisierung stmmt von Zermelo und Frenkel; es ergibt sich dbei dieselbe Mengenlehre (jedoch ohne Klssen). 12

13 Mthemtik beruht uf der Annhme, dss die Axiome der Mengenlehre widerspruchsfrei sind. Cvet Ds Auswhlxiom ist unbhängig von den nderen Axiomen der Mengenlehre. Aufgrund der Nicht-Konstruktivität und etws ungewöhnlicher Konsequenzen wird im Normlfll explizit ngegeben, wenn ein Beweis ds Auswhlxiom verwendet. Proposition Es gibt eine echte Klsse (d.h. eine Klsse, die keine Menge ist), nämlich zum Beispiel {x x ist eine Menge und x x}. 13

14 1 Zählen, Zhlen, ngeordnete Körper Ziel dieses und des nächsten Kpitels ist es, zu verstehen, ws die reellen Zhlen sind. Insbesondere werden wir uns zunächst mit den ntürlichen, gnzen und rtionlen Zhlen beschäftigen. Im nächsten Kpitel werden wir den Übergng von den rtionlen zu den reellen Zhlen studieren. Ntürliche Zhlen Die ntürlichen Zhlen formlisieren ds Zählen; zum Zählen benötigt mn einen Strtpunkt ( null ), die Möglichkeit weiterzuzählen ( +1 ), und lle Anzhlen müssen uf diese Weise erreicht werden können. Genuer: Axiome 1.1 (Peno-Axiome der ntürlichen Zhlen). Ein Tripel (N, 0, s) erfüllt die Peno-Axiome, wenn N eine Menge ist, 0 N und s: N N eine Abbildung ist, die die folgenden Eigenschften besitzen: Es ist 0 s(n). Die Abbildung s: N N ist injektiv. Induktionsprinzip. Ist A N eine Teilmenge mit 0 A und s(a) A, so ist A = N. Ds zentrle Axiom ist ds Induktionsprinzip; etws expliziter knn es wie folgt formuliert werden: Bemerkung 1.2 (Prinzip der vollständigen Induktion). Sei (N, 0, s) ein Tripel, ds die Peno-Axiome erfüllt. Sei E eine Eigenschft von Elementen von N (d.h. wir können E ls Teilmenge von N uffssen), und es gelte: Induktionsnfng. Ds Element 0 ht die Eigenschft E. Induktionsschritt. Für lle n N gilt: Ht n die Eigenschft E, so uch s(n). Dnn hben lle Elemente von N die Eigenschft E. Ds Prinzip der vollständigen Induktion besitzt viele Vrinten. Mit Hilfe des Induktionsprinzips lssen sich uch Abbildungen induktiv/rekursiv definieren: Stz 1.3 (Rekursionsstz). Sei (N, 0, s) ein Tripel, ds die Peno-Axiome erfüllt. Sei A eine Menge, sei A und sei g : A A eine Abbildung. Dnn gibt es genu eine Abbildung f : N A mit der Eigenschft, dss f(0) = und, dss f ( s(n) ) = g ( f(n) ) für lle n N gilt. Definition 1.4 (Addition/Multipliktion/Potenzen). Sei (N, 0, s) ein Tripel, ds die Peno-Axiome erfüllt und sei m N. Wir definieren die Abbildungen m+ : N N, m : N N und m : N N mit Hilfe des Rekursionsstzes wie folgt: Addition. Es sei m + 0 := m und für lle n N sei m + s(n) := s(m + n). Multipliktion. Es sei m 0 := 0 und für lle n N sei m s(n) := m n + m. Potenzen. Es sei m 0 := s(0) und für lle n N sei m s(n) := m n m. 14

15 Proposition 1.5 (Eigenschften von Addition/Multipliktion/Potenzen). Sei (N, 0, s) ein Tripel, ds die Peno-Axiome erfüllt. Dnn gilt: 1. Neutrle Elemente. Für lle n N gilt n + 0 = n = 0 + n und n s(0) = n = s(0) n. 2. Assozitivität. Für lle k, m, n N gilt k + (m + n) = (k + m) + n und k (m n) = (k m) n. 3. Kommuttivität. Für lle m, n N gilt m + n = n + m und m n = n m. 4. Distributivität. Für lle k, m, n N gilt 5. Potenzgesetze. Für lle k, m, n N gilt (k + m) n = k m + k n. (k m) n = k n m n, (k m ) n = k m n, k m k n = k m+n. Stz Es existiert ein Tripel, ds die Peno-Axiome erfüllt. 2. Je zwei Tripel, die die Peno-Axiome erfüllen, sind knonisch isomorph; genuer: Erfüllen (N, 0, s) und (N, 0, s ) die Peno-Axiome, so gibt es genu eine Bijektion f : N N mit f(0) = 0 und dss für lle n N gilt, dss f(s(n)) = s (f(n)). Der Beweis der ersten Aussge beruht uf dem Unendlichkeitsxiom; der Beweis der zweiten Aussge beruht uf dem Rekursionsstz. Definition 1.7 (Ntürliche Zhlen). Ds (bis uf knonische Isomorphie) eindeutige Tripel, ds die Peno-Axiome erfüllt, bezeichnen wir mit (N, 0, + 1) und nennen es ntürliche Zhlen. Nottion 1.8. Im Normlfll bezeichnen wir ntürliche Zhlen durch ihre Dezimldrstellung, d.h. N = {0, 1, 2,... }. Cvet 1.9. In mnchen Quellen wird die Konvention verwendet, dss die ntürlichen Zhlen mit 1 beginnen. Achten Sie dher unbedingt druf, welche Konvention jeweils verwendet wird! Nottion 1.10 ( / ). Sei X eine Menge zusmmen mit einer ssozitiven und kommuttiven Addition +: X X X, die ein bezüglich Addition neutrles Element 0 enthält, n und seien x 0, x 1,... X. Dnn definieren wir j=0 x j für lle n N induktiv durch 0 x j := x 0 j=0 15

16 und n+1 ( n ) x j := x j + x n+1 j=0 j=0 für lle n N. D.h. n j=0 x j = x x n. Ist k N, so definieren wir nlog k+n j=k x j = x k + x k x k+n (durch Induktion über n). Sind k, k N und gibt es kein n N mit k + n = k, so sei k j=k x j := 0. Anlog: Sei X eine Menge zusmmen mit einer ssozitiven und kommuttiven Multipliktion : X X X, die ein bezüglich Multipliktion neutrles Element 1 enthält, und seien x 0, x 1,... X. Dnn definieren wir n j=0 x j für lle n N induktiv durch 0 x j := x 0 und n+1 j=0 j=0 ( n x j := j=0 x j ) x n+1 für lle n N. D.h. n j=0 x j = x 0 x n. Ist k N, so definieren wir nlog k+n j=k x j = x k x k+1 x k+n (durch Induktion über n). Sind k, k N und gibt es kein n N mit k + n = k, so sei k j=k x j := 1. Proposition Für lle n N gilt 2 n j = n (n + 1). j=0 Definition 1.12 (Fkultät). Die Fkultätsfunktion ist wie folgt definiert: (Insbesondere ist 0! = 1).!: N N n n! := n j = 1 2 n. j=1 Proposition 1.13 (Addition uf N, Kürzungsregeln). 1. Es gilt die folgende Kürzungsregel: Für lle k, m, n N gilt: Ist k + n = m + n, so ist bereits k = m. 2. Jede ntürliche Zhl n N \ {0} besitzt einen Vorgänger, d.h. es gibt ein m N mit m + 1 = n. 3. Für lle n, n N gilt: Ist n + n = 0, so ist n = 0 = n. 4. Für lle n, n N existiert ein m N mit n+m = n oder es existiert ein m N mit n + m = n. 16

17 Gnze Zhlen Im llgemeinen sind für m, n N Gleichungen der Form x + m = n nicht mit x N lösbr. Wir erweitern dher die ntürlichen Zhlen zu den sogennnten gnzen Zhlen; grob gesgt sind die gnzen Zhlen die kleinste Gruppe, die die ntürlichen Zhlen enthält. Definition 1.14 (Gruppe). Eine Gruppe ist eine Menge G zusmmen mit einer Abbildung : G G G mit den folgenden Eigenschften: Es gibt ein neutrles Element bezüglich, d.h. es existiert ein e G mit der Eigenschft, dss für lle g G gilt g e = g = e g. [Ds neutrle Element ist durch diese Eigenschft eindeutig bestimmt. Außerdem ist insbesondere jede Gruppe nicht-leer.] Die Verknüpfung ist ssozitiv, d.h. für lle g, h, k gilt g (h k) = (g h) k. Jedes Element besitzt ein inverses Element bezüglich der Verknüpfung, d.h. zu jedem g G gibt es ein h G mit g h = e = h g. [Inverse Elemente sind durch diese Bedingung eindeutig bestimmt; ds inverse Element zu g G bezeichnet mn im Normlfll mit g 1.] Ist die Verknüpfung ußerdem kommuttiv, d.h. gilt g h = h g für lle g, h G, so nennt mn G eine belsche Gruppe. Stz 1.15 (Gnze Zhlen). Bis uf knonische Isomorphie gibt es genu eine belsche Gruppe (Z, +) mit den folgenden Eigenschften: Es ist N Z und die Addition uf Z erweitert die Addition uf N. Für lle x Z gilt x N oder x N; hierbei bezeichnet x ds dditive Inverse von x in Z. Wir nennen (Z, +) die gnzen Zhlen. Mn knn die gnzen Zhlen zum Beispiel ls Menge der formlen Differenzen von ntürlichen Zhlen (bezüglich einer geeigneten Gleichheit) konstruieren. [Dies wird später in der Algebr im Detil usgeführt.] Nottion 1.16 (Subtrktion). Sind x, y Z, so schreiben wir x y := x + ( y). 17

18 Definition 1.17 (Multipliktion uf Z). Sind x, x Z, so definieren wir x x := m m + n n (m n + n m ) Z, wenn x = m n und x = m n Drstellungen mit m, m, n, n N sind; die Multipliktionen uf der rechten Seite beziehen sich uf die bereits definierte Multipliktion in N. [Mn knn zeigen: Dies ist wohldefiniert, lso unbhängig von den gewählten Drstellungen von x bzw. x.] Bemerkung 1.18 (Multipliktion uf Z). 1. Die oben definierte Multipliktion uf Z setzt die Multipliktion uf N fort. 2. Die oben definierte Multipliktion uf Z ht 1 ls neutrles Element, ist kommuttiv und ssozitiv und erfüllt (mit der Addition uf Z) ds Distributivgesetz. Rtionle Zhlen Im llgemeinen sind für, b Z mit b 0 Gleichungen der Form x b = nicht mit x Z lösbr. Wir erweitern dher die gnzen Zhlen zu den sogennnten rtionlen Zhlen; grob gesgt sind die rtionlen Zhlen der kleinste Körper, der die gnzen Zhlen enthält. Definition 1.19 (Körper). Ein Körper ist eine Menge K zusmmen mit Abbildungen +: K K K und : K K K mit den folgenden Eigenschften: Es ist (K, +) eine belsche Gruppe; wir bezeichnen ds neutrle Element bezüglich der Addition + mit 0. Für lle x, y K \ {0} gilt x y 0 und (K \ {0}, K\{0} K\{0} K\{0} ) ist eine belsche Gruppe; wir bezeichnen ds neutrle Element bezüglich mit 1. [Insbesondere ist K \ {0} und 1 0.] Distributivgesetz. Für lle x, y, z K gilt (x + y) z = (x z) + (y z). Stz 1.20 (Rtionle Zhlen). Bis uf knonische Isomorphie gibt es genu einen Körper (Q, +, ) mit den folgenden Eigenschften: Es ist Z Q und die Addition/Multipliktion uf Q setzt die Addition/Multipliktion uf Z fort. Für lle x Q gibt es ein Z und ein b Z \ {0} mit x = b 1. Wir nennen (Q, +, ) die rtionlen Zhlen. Mn knn die rtionlen Zhlen zum Beispiel ls Menge der formlen Brüche von gnzen Zhlen mit nichtverschwindendem Nenner (bezüglich einer geeigneten Gleichheit) konstruieren. [Dies wird später in der Algebr im Detil usgeführt.] 18

19 Nottion 1.21 (Brüche). Sind x, y Q mit y 0, so schreiben wir x y := x y 1. [Mn knn zeigen, dss die gewöhnlichen Bruchrechenregeln gelten.] Ordnungen Bisher hben wir uf N, Z und Q nur lgebrische Opertionen betrchtet. Wir wollen ber uch über Ungleichungen und Anordnungen von Elementen sprechen können. Dies wird durch sogennnte Ordnungen formlisiert. Ordnungen sind spezielle Reltionen; Reltionen sind ein wichtiges und llgemeines Konzept, ds in llen Bereichen der Mthemtik verwendet wird: Definition 1.22 (Reltion). Sei X eine Menge. Eine Reltion uf X ist eine Teilmenge von X X. Ist X X eine Reltion uf X und sind x, y X, so schreiben wir genu dnn x y, wenn (x, y) gilt. Definition 1.23 (Eigenschften von Reltionen). Sei X eine Menge und sei X X eine Reltion uf X. Die Reltion ist reflexiv, flls für lle x X gilt, dss x x. Die Reltion ist symmetrisch, flls für lle x, y X genu dnn x y gilt, wenn y x gilt. Die Reltion ist nti-symmetrisch, flls für lle x, y X gilt: Ist x y und y x, so ist x = y. Die Reltion ist trnsitiv, flls für lle x, y, z X gilt: Ist x y und y z, so ist uch x z. Definition 1.24 ((Prtielle) Ordnung). Sei X eine Menge. Eine prtielle Ordnung uf X ist eine reflexive, nti-symmetrische und trnsitive Reltion uf X. Ist eine prtielle Ordnung uf X, so sgt mn uch, dss (X, ) eine prtiell geordnete Menge ist. Eine Ordnung (oder: totle Ordnung) uf X ist eine prtielle Ordnung uf X, für die ußerdem gilt: Für lle x, y X ist x y oder y x. Nottion Sei (X, ) eine prtiell geordnete Menge. Dnn definieren wir die Reltion < uf X durch die Menge { (x, x ) (x X) (x X) (x x ) (x x ) } X X. Sind x, x X, so schreiben wir uch x x für x x bzw. wir schreiben uch x > x für x < x. Ist x X, so schreiben wir X x := {x X x x} X x := {x X x x} X >x := {x X x > x} X <x := {x X x < x}. 19

20 Bemerkung Ist X eine Menge, so ist die Potenzmenge P (X) durch die Inklusionsreltion prtiell geordnet; im llgemeinen ist dies ber keine totle Ordnung uf P (X). Definition 1.27 (Die Reltionen uf N, Z, Q). Wir definieren die Reltion uf N durch die Menge { (n, n ) (n N) (n N) ( m N n + m = n ) } N N. In nderen Worten: Sind n, n N, so gilt genu dnn n n, wenn es ein m N mit n + m = n gibt. Wir definieren die Reltion uf Z durch die Menge { (x, x ) (x Z) (x Z) ( n N x + n = x ) } Z Z. Wir definieren die Reltion uf Q durch die Menge { (x, x ) (x Q) (x Q) n N\{0} ( (n x Z) (n x Z) (n x n x ) )} Q Q. Proposition Es ist eine Ordnung uf N. 2. Für lle n, n N gilt: Ist n > 0 und n > 0, so ist uch n n > 0. Proposition Es ist eine Ordnung uf Z. 2. Es ist Z 0 = N und für lle x Z ist genu dnn 0 x, wenn x Für lle x, x Z und lle n N gilt: Ist x x, so ist uch n x n x. Proposition Es ist eine Ordnung uf Q. 2. Für lle x, x, y Q gilt: Ist x x, so ist uch x + y x + y. Ist x x und y > 0, so ist x y x y. 3. Für jedes x Q existiert ein n N mit x n. Bemerkung 1.31 (Unterschiede zwischen den Ordnungen uf N, Z, Q). Die Ordnung uf N erfüllt ds Wohlordnungsprinzip, d.h. jede nicht-leere Teilmenge A N enthält ein minimles Element (lso ein Element m A mit der Eigenschft, dss für lle n A gilt, dss m n). Ds Wohlordnungsprinzip ist strk mit dem Induktionsprinzip und dem Rekursionsstz verwndt. Für lle x, x Q mit x < x gibt es ein y Q mit x < y < x, nämlich etw y = x/2+x /2. Für N und Z gilt die nloge Aussge im llgemeinen nicht. Im folgenden betrchten wir N, Z, Q immer mit den oben eingeführten Ordnungen (es sei denn, es wird explizit etws nderes vereinbrt). 20