Analysis I im SS 2011 Kurzskript

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Analysis I im SS 2011 Kurzskript"

Transkript

1 Anlysis I im SS 2011 Kurzskript Prof. Dr. C. Löh Sommersemester 2011 Inhltsverzeichnis -2 Literturhinweise 2-1 Einführung 4 0 Grundlgen: Logik und Mengenlehre 5 1 Zählen, Zhlen, ngeordnete Körper 14 2 Konvergenz und Vollständigkeit 23 3 Reihen 30 4 Stetigkeit 34 5 Differenzierbrkeit 41 6 Integrtion 46 Version vom 15. November 2011 Fkultät für Mthemtik, Universität Regensburg, Regensburg

2 -2 Literturhinweise Die folgenden Listen enthlten eine kleine Auswhl n Litertur zu Grundlgen der Mthemtik (insbesondere Logik und Mengenlehre) und zur Anlysis. Anlysis [1] O. Forster. Anlysis 1, neunte überrbeitete Auflge, Vieweg+Teubner, [2] S. Lng. Undergrdute Anlysis, zweite Auflge, Springer, [3] M. Spivk. Clculus, dritte Auflge, Cmbridge University Press, [4] R.S. Strichrtz. The Wy of Anlysis, Jones & Brtlett Lerning, [5] W. Wlter. Anlysis 1, siebte Auflge, Grundlgen [6] A. Beutelspcher. Ds ist o.b.d.a. trivil!, neunte Auflge, Vieweg+Teubner, [7] A. Doxidis, C. Ppdimitriou, A. Ppdtos, A. Di Donn, Logicomix: An epic serch for truth, Bloomsbury Publishing, [8] H.-D. Ebbinghus. Einführung in die Mengenlehre, dritte Auflge, BI Wissenschftsverlg, [9] H.-D. Ebbinghus et l.. Zhlen, dritte Auflge, Springer, [10] H.-D. Ebbinghus, J. Flum, W. Thoms. Einführung in die mthemtische Logik, vierte Auflge, Spektrum, [11] U. Friedrichsdorf, A. Prestel. Mengenlehre für den Mthemtiker, Vieweg, [12] R.M. Smullyn, M. Fitting. Set theory nd the continuum problem, überrbeitete Auflge, Dover, Weiterführende Themen [13] M. Aigner, G. Ziegler. Proofs from THE BOOK, vierte Auflge, Springer, [14] K. Jänich. Topologie, chte Auflge, Springer,

3 Ds griechische Alphbet Symbol Nme TEX-/L A TEX-Kommndo A α lph A \lph B β bet B \bet Γ γ gmm \Gmm \gmm δ delt \Delt \delt E ε, ɛ epsilon E \vrepsilon, \epsilon Z ζ zet Z \zet H η et H \et Θ ϑ, θ thet \Thet \vrthet, \thet I ι iot I \iot K κ kpp K \kpp Λ λ lmbd \Lmbd \lmbd M µ my M \mu N ν ny N \nu Ξ ξ xi \Xi \xi O o omikron O o Π π pi \Pi \pi P ϱ, ρ rho P \vrrho, \rho Σ σ, ς sigm \Sigm \sigm, \vrsigm T τ tu T \tu Y υ ypsilon Y \upsilon Φ ϕ, φ phi \Phi \vrphi, \phi X χ chi X \chi Ψ ψ psi \Psi \psi Ω ω omeg \Omeg \omeg 3

4 -1 Einführung Ws ist Mthemtik? Mthemtik beschäftigt sich mit dem Studium bstrkter Strukturen und Modelle (z.b. Arithmetik, Geometrie) und formlen Methoden, sowie Anwendungen dieser Theorie. Grob gesgt, besteht die Mthemtik us den folgenden Gebieten: Logik, Mengenlehre, Algebr, Anlysis, Geometrie, Kombintorik. Logik und Mengenlehre bilden die Grundlge der modernen Mthemtik; die vier zentrlen Gebiete Algebr, Anlysis, Geometrie und Kombintorik sind uf vielfältige Weise miteinnder verbunden. Ws ist Anlysis? Anlysis ist ds Studium lokler und globler Eigenschften von reell- bzw. komplexwertigen Funktionen; insbesondere ist zunächst zu klären, ws die reellen Zhlen sind. Beispiele für lokle Eigenschften sind Stetigkeit bzw. Differenzierbrkeit; Beispiele für globle Probleme sind die Bestimmung von (globlen) Extremwerten oder Integrlen. 4

5 0 Grundlgen: Logik und Mengenlehre Die mthemtische Logik beschreibt die Spielregeln, uf denen die Mthemtik bsiert; die Mengenlehre beschreibt ds Spielfeld bzw. die grundlegenden Busteine, us denen mthemtische Objekte konstruiert werden. Der stringente simultne Aufbu von Logik und Mengenlehre ls Grundlge der modernen Mthemtik ist zu ufwendig, um zu Beginn des Studiums im Detil usgeführt zu werden. Wir werden uns dher im folgenden uf ein pr Einblicke beschränken, die die für den mthemtischen Alltg wichtigsten Punkte behndeln. Logische Grundlgen Die mthemtische Logik beschäftigt sich mit den folgenden (miteinnder zusmmenhängenden) Frgen: Wie knn mn die mthemtische Sprche formlisieren? Ws ist eine whre mthemtische Aussge? Ws ist ein Beweis? Ws knn mn beweisen? Gibt es Grenzen der Beweisbrkeit? Wir folgen im folgenden dem llgemeinen Prinzip, mit einfchen Teilspekten zu beginnen und dnn Schritt für Schritt drus komplexere Strukturen und Theorien ufzubuen ( divide nd conquer ). Aussgenlogik Die Aussgenlogik ist ein einfches logisches System, ds die Grundlgen des logischen Denkens formlisiert. Aussgenlogik besteht us einer syntktischen und einer semntischen Ebene: Syntx ussgenlogischer Formeln. Aussgenlogische Vriblen sind ussgenlogische Formeln. Sind A und B ussgenlogische Formeln, so uch ( A), (A B), (A B), (A = B), (A B). Keine weiteren Symbolketten sind ussgenlogische Formeln. [Flls keine Missverständnisse möglich sind, setzt mn zur besseren Lesbrkeit mnchml Klmmern etws freizügiger.] Semntik ussgenlogischer Formeln. Vriblen können mit den Whrheitswerten w ( whr ) bzw. f ( flsch ) belegt werden. Belegen wir lle in einer ussgenlogischen Formel vorkommenden Vriblen mit w bzw. f (wobei verschiedene Auftreten derselben Vriblen in einer Formel denselben Wert erhlten müssen), so erhlten wir einen Whrheitswert, indem wir Schritt für Schritt die folgenden semntischen Regeln ( Whrheitstfeln ) nwenden: 5

6 A A nicht w f f w (insbesondere nehmen wir tertium non dtur n) A B A B A B A = B A B und oder impliziert gilt genu dnn, wenn w w w w w w w f f w f f f w f w w f f f f f w w Definition 0.1 (Tutologie). Eine ussgenlogische Formel A ist eine (ussgenlogische) Tutologie, wenn sich unter llen möglichen w/f-belegungen ller uftretenden ussgenlogischen Vriblen in A der Wert w ergibt. Beispiel 0.2. Für lle ussgenlogischen Formeln A und B sind (A = B) ( B = A) Kontrposition (A = B) ( ( A) B ) ( ) ( A) = (B B) = A reductio d bsurdum (A B) ( ( A) ( B) ) de Morgnsche Regeln (A B) ( ( A) ( B) ) de Morgnsche Regeln ussgenlogische Tutologien (knn z.b. über entsprechende Whrheitstfeln nchgewiesen werden). Cvet 0.3. Es gibt Zweige der Mthemtik/Informtik, in denen ds tertium non dtur nicht ls Axiom ngenommen wird; inbesondere steht in solchen Kontexten der Widerspruchsbeweis (reductio d bsurdum) nicht ls Beweistechnik zur Verfügung! Quntorenlogik Im llgemeinen wollen wir nicht nur über Whrheitswerte sprechen. Dher verfeinern/erweitern wir die Aussgenlogik zu einer umfngreicheren Sprche, der Quntorenlogik. Eine exkte Definition würde n dieser Stelle zu weit führen; wir begnügen uns dher mit einer prgmtischen, vereinfchten Drstellung: Sei dzu im folgenden T eine mthemtische Sprche/Theorie (z.b. die Theorie der ntürlichen Zhlen oder ähnliches). Syntx quntorenlogischer Aussgen. Atomre Aussgen us der Theorie T sind quntorenlogische Aussgen über T ; diese dürfen uch Vriblen enthlten. Ist A eine quntorenlogische Aussge über T und ist x eine (in A freie ) Vrible, so sind uch ( x A(x) ) quntorenlogische Aussgen über T. bzw. ( x A(x) ) 6

7 Sind A und B quntorenlogische Aussgen über T, so uch (A), (A B), (A B), (A = B), (A B). Keine weiteren Symbolketten sind quntorenlogische Aussgen über T. Semntik ussgenlogischer Aussgen. 1 Die Semntik von,,, =, wird nlog zur Aussgenlogik definiert. Zusätzlich gelten die folgenden Interprettionen: x A(x) gilt genu dnn, wenn: für lle x gilt A(x) x A(x) gilt genu dnn, wenn: es existiert (mindestens) ein x mit A(x) ( x A(x)) gilt genu dnn, wenn: ( x A(x)) ( x A(x)) gilt genu dnn, wenn: ( x A(x)) Cvet 0.4. Im llgemeinen drf die Reihenfolge von Quntoren nicht vertuscht werden! Mn betrchte dzu zum Beispiel die quntorenlogischen Aussgen x y A(x, y) bzw. y x A(x, y), wobei A(x, y) bedeute, dss x eine Fru ist, y ein Mnn und x eine Affäre mit y ht. Cvet 0.5. Formeln wie A(x) x mchen keinen Sinn (selbst wenn es die deutsche Sprche mnchml nhe legt... )! Ws ist ein Beweis? Wir beschreiben im folgenden den klssischen Beweisklkül der Mthemtik; er ist eine Formlisierung der gängigen logischen Schlussweisen. Gegeben seien eine mthemtische Sprche/Theorie T, Axiome/Vorussetzungen V (gegeben durch quntorenlogische Aussgen über T ), eine Behuptung B (d.h. eine quntorenlogische Aussge über T ). Der Nchweis, dss B logisch us V folgt, wird in Form eines Beweises gegeben. Ein Beweis von B us V über T ist dbei eine endliche Folge von quntorenlogischen Aussgen über T mit folgenden Eigenschften: Jede dieser Aussgen ist ein Axiom (d.h. eine Aussge us V ), 2 oder ein quntorenlogisches Axiom [die quntorenlogischen Axiome sind: für lle Formeln t in T (die beim Einsetzen keine ungewollten Vriblenbindungen erzeugen): ( x A(x) ) = A(t) für lle quntorenlogischen Aussgen A und A : ( x (A = A (x)) ) ( A = x A (x) ) (wobei x nicht frei in A vorkommen drf).], 1 Dbei können quntorenlogische Aussgen ber nur dnn uf einen Whrheitswert reduziert werden, wenn sie keine freien Vriblen enthlten. 2 oder ein identitätslogisches Axiom; druf soll hier ber nicht eingegngen werden. 7

8 oder eine ussgenlogische Tutologie über T [d.h. eine ussgenlogische Tutologie, in der lle ussgenlogischen Vriblen durch quntorenlogische Aussgen über T ersetzt werden], oder mn erhält sie us vorherigen Aussgen des Beweises mit Hilfe des Modus Ponens 3 : Enthlten die vorherigen Aussgen eine Aussge der Form A = A und die Aussge A, so knn mn A zum Beweis hinzufügen. und die letzte Aussge ist B. Im Normlfll werden Beweise ntürlich nicht in dieser Form ufgeschrieben, sondern sprchlich poliert und vereinfcht. Bemerkung 0.6. Häufig werden die folgenden Beweisschemt verwendet: Beweis von Äquivlenzen. Oft zerlegt mn den Beweis von Aussgen der Form Es gilt A genu dnn, wenn B gilt. in den Beweis von Wenn A gilt, dnn gilt uch B. und Wenn B gilt, dnn gilt uch A. Dies leitet sich von der ussgenlogischen Tutologie (A B) ( (A = B) (B = A) ) b. Widerspruchsbeweis. Knn mn us der Annhme, dss die Aussge A gilt, einen Widerspruch (lso eine Aussge der Form B B) bleiten, so folgt, dss A gilt. Dies leitet sich von der ussgenlogischen Tutologie ( ( A) = (B B) ) = A b (reductio d bsurdum). Mengentheoretische Grundlgen Die Mengenlehre beschreibt die grundlegenden Busteine, us denen lle mthemtischen Objekte ufgebut sind. Nive Mengenlehre Wir beginnen mit der sogennnten niven Mengenlehre, die uf folgender Begriffsbildung beruht: Definition 0.7 (Cntor, 1895). Unter einer Menge verstehen wir jede Zusmmenfssung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschuung oder unseres Denkens (welche Elemente von M gennnt werden) zu einem Gnzen. Cvet 0.8. Obige Definition ist keine Definition im mthemtischen Sinne, d einige der uftretenden Begriffe nicht erklärt sind (bzw. nicht erklärbr sind). Wir werden zunächst mit diesem niven Mengenbegriff rbeiten und erst später uf einen exkten Zugng eingehen. 3 oder der Generlisierungsregel; uf diese soll hier ber nicht eingegngen werden. (Die Generlisierungsregel beschreibt, wnn der Allquntor eingeführt werden drf.) 8

9 Definition 0.9 (Gleichheit von Mengen). Zwei Mengen sind genu dnn gleich, wenn sie dieselben Elemente enthlten. Bemerkung 0.10 (Beweis von Gleichheit von Mengen). Um zu beweisen, dss zwei Mengen A und B gleich sind, ist lso zu zeigen, dss lle Elemente von A in B liegen und dss lle Elemente von B in A liegen. Nottion 0.11 (Grundlegende Nottionen in der Mengenlehre). Im folgenden seien A und B Mengen. Nottion x A A B Bedeutung/Definition x ist ein Element von A A ist eine Teilmenge von B, d.h. lle Elemente von A sind Elemente von B {x, y, z,... } die Menge mit den Elementen x, y, z,... {x C(x)} die Menge ller x, für die C(x) gilt A B die Schnittmenge von A und B, d.h. die Menge 4 A B := { x } (x A) (x B) A B A \ B die Vereinigung von A und B, d.h. die Menge A B := { x } (x A) (x B) ds Komplement von B in A (oder A ohne B), d.h. die Menge 5 A \ B := { x } (x A) (x B) oder {} P (A) die leere Menge, d.h. die Menge, die keine Elemente enthält die Potenzmenge von A, d.h. die Menge ller Teilmengen von A: P (A) := {x x A} Cvet Es ist P ( ) = { }, denn { } enthält ein Element (nämlich ), ber enthält keine Elemente. Definition 0.13 (Disjunkt). Zwei Mengen A und B heißen disjunkt, wenn A B =. Proposition 0.14 (Eigenschften der Mengenopertionen). Seien A, B, C Mengen. 1. Ist A B und B C, so folgt A C. 2. Es gilt ( Kommuttivität von bzw. ) A B = B A und A B = B A. 3. Es gilt ( Assozitivität von bzw. ) (A B) C = A (B C) und (A B) C = A (B C). 4 Hierbei bedeutet x := y, dss x durch y definiert wird. 5 Hierbei ist x B eine Abkürzung für (x B). 9

10 4. Es gilt (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C). Nottion Ist A eine Menge, so schreiben wir uch oft x A... sttt x ( (x A) =... ) {x A... } sttt { x (x A)... }. Cvet 0.16 (Russellsches Prdoxon). Die Betrchtung von {x x ist eine Menge und x x} führt zu einem Widerspruch! Mn drf lso nicht wie in Cntors Definition von Mengen lle Konstrukte ls Mengen zulssen. Ein möglicher Ausweg ist, ein zweistufiges System einzuführen (s.u.). Abbildungen Es ist ein llgemeines Prinzip in der Mthemtik, nicht nur Objekte zu betrchten, sondern uch zu studieren, wie gewisse Objekte zueinnder in Beziehung stehen; im Fll der Mengenlehre sind die Objekte Mengen und die Beziehungen sind Abbildungen: Definition 0.17 (Abbildung). Seien X und Y Mengen. Eine Abbildung X Y ordnet jedem Element us X genu ein Element us Y zu. Cvet Dies ist keine mthemtische Definition, denn zuordnen besitzt keine mthemtisch exkte Bedeutung! Definition 0.19 (Abbildung). Seien X und Y Mengen. Eine Abbildung X Y ist eine Teilmenge f X Y mit folgender Eigenschft: Für jedes x X gibt es genu ein y Y mit (x, y) f; mn schreibt in diesem Fll f(x) := y. Zwei Abbildungen f, g : X Y sind genu dnn gleich, wenn die zugehörigen Teilmengen von X Y gleich sind, d.h., wenn für lle x X gilt, dss f(x) = g(x). Definition 0.20 (Identität). Sei X eine Menge. Die Identität (uf X) ist die wie folgt definierte Abbildung id X : id X : X X x x. (D.h. id X ist durch die Teilmenge {(x, x) x X} X X gegeben.) 10

11 Definition 0.21 (Komposition von Abbildungen). Seien X, Y, Z Mengen und seien f : X Y und g : Y Z Abbildungen. Die Komposition von g mit f ist die Abbildung g f : X Z x g ( f(x) ). Bemerkung Die Komposition von Abbildungen ist ssozitiv, d.h. für lle Abbildungen f : X Y, g : Y Z, h: Z U gilt (h g) f = h (g f). Definition 0.23 (Einschränkung von Abbildungen). Seien X und Y Mengen, sei f : X Y eine Abbildung und sei A X eine Teilmenge. Die Einschränkung von f uf A ist die Abbildung f A, die wie folgt definiert ist: f A : A Y x f(x). Definition 0.24 (Bild/Urbild). Seien X und Y Mengen und sei f : X Y eine Abbildung. Ist A X, so ist f(a) := { f(x) x A } Y ds Bild von A unter f. Ist B Y, so ist f 1 (B) := { x X f(x) B } X ds Urbild von B unter f. Definition 0.25 (Injektiv/surjektiv/bijektiv). Seien X und Y Mengen. Eine Abbildung f : X Y ist surjektiv, wenn f(x) = Y ist, d.h., wenn es zu jedem y Y ein x X mit f(x) = y gibt. Eine Abbildung f : X Y ist injektiv, wenn jedes Element us Y höchstens ein Urbild unter f besitzt, d.h., wenn für lle x, x X gilt: Ist f(x) = f(x ), so ist x = x. Eine Abbildung X Y ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist (d.h., wenn jedes Element us Y genu ein Urbild unter dieser Abbildung besitzt). Cvet Injektiv ist nicht ds Gegenteil von surjektiv! Definition 0.27 (Umkehrbbildung/inverse Abbildung). Seien X und Y Mengen und sei f : X Y eine Abbildung. Eine Abbildung g : Y X ist eine Umkehrbbildung/inverse Abbildung von f, wenn g f = id X und f g = id Y. Proposition 0.28 (Umkehrbbildungen und Bijektivität). Seien X und Y Mengen und sei f : X Y eine Abbildung. 1. Ist f bijektiv, so besitzt f eine Umkehrbbildung; ußerdem ist die Umkehrbbildung von f eindeutig bestimmt. 2. Besitzt f eine Umkehrbbildung, so ist f bijektiv. 11

12 Axiomtische Mengenlehre Ws ist xiomtische Mengenlehre? Sttt wie in Cntors Definition nzugeben, ws eine Menge ist, beschreibt mn die Mengenlehre durch eine Liste von Axiomen, die ngeben, wie mn mit Mengen umgehen knn. Wir geben im folgenden die Axiome für die Mengenlehre nch von Neumnn, Bernys und Gödel n 6 : Es gibt zwei Sorten von Objekten, Mengen und Klssen; mn sollte sich dbei Mengen ls kleine Klssen vorstellen. Nch dem Komprehensionsxiom drf mn Klssen sehr freizügig zusmmenstellen ber nicht jede Klsse ist eine Menge! Axiome 0.29 (Axiome der Mengenlehre nch von Neumnn, Bernys, Gödel). Es gibt zwei Sorten von Objekten, Mengen und Klssen. Jede Menge ist eine Klsse. Elemente von Klssen sind Mengen. Extensionlität. Zwei Klssen sind genu dnn gleich, wenn sie dieselben Elemente enthlten. Komprehension. Ist C eine quntorenlogische Aussge erster Stufe in einer mengenwertigen Vriblen und wird in C nicht über Klssenvriblen quntifiziert, so ist { x x ist eine Menge und es gilt C(x) } eine Klsse. Die leere Klsse := {x x ist eine Menge und x x} ist eine Menge. Jede Teilklsse einer Menge ist eine Menge; eine Klsse A ist eine Teilklsse einer Klsse B, wenn jedes Element von A ein Element von B ist. Prmengenxiom. Sind A und B Mengen, so ist uch {A, B} eine Menge. Vereinigungsxiom. Ist A eine Menge, so ist uch A := { x y ((x y) (y A)) } eine Menge, die Vereinigungsmenge von A. Potenzmengenxiom. Ist A eine Menge, so ist uch P (A) := {x x A} eine Menge, die Potenzmenge von A. Ersetzungsxiom. Ist F : X Y eine Funktion zwischen den Klssen X und Y und ist A X eine Teilmenge, so ist uch F (A) eine Menge. Unendlichkeitsxiom. Es gibt eine induktive Menge; eine Menge A heißt induktiv, wenn A und wenn für lle x A uch x {x} A ist. Auswhlxiom. Ist A eine Menge mit A, so gibt es eine Auswhlfunktion für A, d.h. eine Funktion f : A A mit folgender Eigenschft: Für lle x A ist f(x) x. Cvet Mn knn us den Axiomen der Mengenlehre nicht folgern, dss die Mengenlehre widerspruchsfrei ist! (Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitsstz). Die 6 Eine ndere weitverbreitete Axiomtisierung stmmt von Zermelo und Frenkel; es ergibt sich dbei dieselbe Mengenlehre (jedoch ohne Klssen). 12

13 Mthemtik beruht uf der Annhme, dss die Axiome der Mengenlehre widerspruchsfrei sind. Cvet Ds Auswhlxiom ist unbhängig von den nderen Axiomen der Mengenlehre. Aufgrund der Nicht-Konstruktivität und etws ungewöhnlicher Konsequenzen wird im Normlfll explizit ngegeben, wenn ein Beweis ds Auswhlxiom verwendet. Proposition Es gibt eine echte Klsse (d.h. eine Klsse, die keine Menge ist), nämlich zum Beispiel {x x ist eine Menge und x x}. 13

14 1 Zählen, Zhlen, ngeordnete Körper Ziel dieses und des nächsten Kpitels ist es, zu verstehen, ws die reellen Zhlen sind. Insbesondere werden wir uns zunächst mit den ntürlichen, gnzen und rtionlen Zhlen beschäftigen. Im nächsten Kpitel werden wir den Übergng von den rtionlen zu den reellen Zhlen studieren. Ntürliche Zhlen Die ntürlichen Zhlen formlisieren ds Zählen; zum Zählen benötigt mn einen Strtpunkt ( null ), die Möglichkeit weiterzuzählen ( +1 ), und lle Anzhlen müssen uf diese Weise erreicht werden können. Genuer: Axiome 1.1 (Peno-Axiome der ntürlichen Zhlen). Ein Tripel (N, 0, s) erfüllt die Peno-Axiome, wenn N eine Menge ist, 0 N und s: N N eine Abbildung ist, die die folgenden Eigenschften besitzen: Es ist 0 s(n). Die Abbildung s: N N ist injektiv. Induktionsprinzip. Ist A N eine Teilmenge mit 0 A und s(a) A, so ist A = N. Ds zentrle Axiom ist ds Induktionsprinzip; etws expliziter knn es wie folgt formuliert werden: Bemerkung 1.2 (Prinzip der vollständigen Induktion). Sei (N, 0, s) ein Tripel, ds die Peno-Axiome erfüllt. Sei E eine Eigenschft von Elementen von N (d.h. wir können E ls Teilmenge von N uffssen), und es gelte: Induktionsnfng. Ds Element 0 ht die Eigenschft E. Induktionsschritt. Für lle n N gilt: Ht n die Eigenschft E, so uch s(n). Dnn hben lle Elemente von N die Eigenschft E. Ds Prinzip der vollständigen Induktion besitzt viele Vrinten. Mit Hilfe des Induktionsprinzips lssen sich uch Abbildungen induktiv/rekursiv definieren: Stz 1.3 (Rekursionsstz). Sei (N, 0, s) ein Tripel, ds die Peno-Axiome erfüllt. Sei A eine Menge, sei A und sei g : A A eine Abbildung. Dnn gibt es genu eine Abbildung f : N A mit der Eigenschft, dss f(0) = und, dss f ( s(n) ) = g ( f(n) ) für lle n N gilt. Definition 1.4 (Addition/Multipliktion/Potenzen). Sei (N, 0, s) ein Tripel, ds die Peno-Axiome erfüllt und sei m N. Wir definieren die Abbildungen m+ : N N, m : N N und m : N N mit Hilfe des Rekursionsstzes wie folgt: Addition. Es sei m + 0 := m und für lle n N sei m + s(n) := s(m + n). Multipliktion. Es sei m 0 := 0 und für lle n N sei m s(n) := m n + m. Potenzen. Es sei m 0 := s(0) und für lle n N sei m s(n) := m n m. 14

15 Proposition 1.5 (Eigenschften von Addition/Multipliktion/Potenzen). Sei (N, 0, s) ein Tripel, ds die Peno-Axiome erfüllt. Dnn gilt: 1. Neutrle Elemente. Für lle n N gilt n + 0 = n = 0 + n und n s(0) = n = s(0) n. 2. Assozitivität. Für lle k, m, n N gilt k + (m + n) = (k + m) + n und k (m n) = (k m) n. 3. Kommuttivität. Für lle m, n N gilt m + n = n + m und m n = n m. 4. Distributivität. Für lle k, m, n N gilt 5. Potenzgesetze. Für lle k, m, n N gilt (k + m) n = k m + k n. (k m) n = k n m n, (k m ) n = k m n, k m k n = k m+n. Stz Es existiert ein Tripel, ds die Peno-Axiome erfüllt. 2. Je zwei Tripel, die die Peno-Axiome erfüllen, sind knonisch isomorph; genuer: Erfüllen (N, 0, s) und (N, 0, s ) die Peno-Axiome, so gibt es genu eine Bijektion f : N N mit f(0) = 0 und dss für lle n N gilt, dss f(s(n)) = s (f(n)). Der Beweis der ersten Aussge beruht uf dem Unendlichkeitsxiom; der Beweis der zweiten Aussge beruht uf dem Rekursionsstz. Definition 1.7 (Ntürliche Zhlen). Ds (bis uf knonische Isomorphie) eindeutige Tripel, ds die Peno-Axiome erfüllt, bezeichnen wir mit (N, 0, + 1) und nennen es ntürliche Zhlen. Nottion 1.8. Im Normlfll bezeichnen wir ntürliche Zhlen durch ihre Dezimldrstellung, d.h. N = {0, 1, 2,... }. Cvet 1.9. In mnchen Quellen wird die Konvention verwendet, dss die ntürlichen Zhlen mit 1 beginnen. Achten Sie dher unbedingt druf, welche Konvention jeweils verwendet wird! Nottion 1.10 ( / ). Sei X eine Menge zusmmen mit einer ssozitiven und kommuttiven Addition +: X X X, die ein bezüglich Addition neutrles Element 0 enthält, n und seien x 0, x 1,... X. Dnn definieren wir j=0 x j für lle n N induktiv durch 0 x j := x 0 j=0 15

16 und n+1 ( n ) x j := x j + x n+1 j=0 j=0 für lle n N. D.h. n j=0 x j = x x n. Ist k N, so definieren wir nlog k+n j=k x j = x k + x k x k+n (durch Induktion über n). Sind k, k N und gibt es kein n N mit k + n = k, so sei k j=k x j := 0. Anlog: Sei X eine Menge zusmmen mit einer ssozitiven und kommuttiven Multipliktion : X X X, die ein bezüglich Multipliktion neutrles Element 1 enthält, und seien x 0, x 1,... X. Dnn definieren wir n j=0 x j für lle n N induktiv durch 0 x j := x 0 und n+1 j=0 j=0 ( n x j := j=0 x j ) x n+1 für lle n N. D.h. n j=0 x j = x 0 x n. Ist k N, so definieren wir nlog k+n j=k x j = x k x k+1 x k+n (durch Induktion über n). Sind k, k N und gibt es kein n N mit k + n = k, so sei k j=k x j := 1. Proposition Für lle n N gilt 2 n j = n (n + 1). j=0 Definition 1.12 (Fkultät). Die Fkultätsfunktion ist wie folgt definiert: (Insbesondere ist 0! = 1).!: N N n n! := n j = 1 2 n. j=1 Proposition 1.13 (Addition uf N, Kürzungsregeln). 1. Es gilt die folgende Kürzungsregel: Für lle k, m, n N gilt: Ist k + n = m + n, so ist bereits k = m. 2. Jede ntürliche Zhl n N \ {0} besitzt einen Vorgänger, d.h. es gibt ein m N mit m + 1 = n. 3. Für lle n, n N gilt: Ist n + n = 0, so ist n = 0 = n. 4. Für lle n, n N existiert ein m N mit n+m = n oder es existiert ein m N mit n + m = n. 16

17 Gnze Zhlen Im llgemeinen sind für m, n N Gleichungen der Form x + m = n nicht mit x N lösbr. Wir erweitern dher die ntürlichen Zhlen zu den sogennnten gnzen Zhlen; grob gesgt sind die gnzen Zhlen die kleinste Gruppe, die die ntürlichen Zhlen enthält. Definition 1.14 (Gruppe). Eine Gruppe ist eine Menge G zusmmen mit einer Abbildung : G G G mit den folgenden Eigenschften: Es gibt ein neutrles Element bezüglich, d.h. es existiert ein e G mit der Eigenschft, dss für lle g G gilt g e = g = e g. [Ds neutrle Element ist durch diese Eigenschft eindeutig bestimmt. Außerdem ist insbesondere jede Gruppe nicht-leer.] Die Verknüpfung ist ssozitiv, d.h. für lle g, h, k gilt g (h k) = (g h) k. Jedes Element besitzt ein inverses Element bezüglich der Verknüpfung, d.h. zu jedem g G gibt es ein h G mit g h = e = h g. [Inverse Elemente sind durch diese Bedingung eindeutig bestimmt; ds inverse Element zu g G bezeichnet mn im Normlfll mit g 1.] Ist die Verknüpfung ußerdem kommuttiv, d.h. gilt g h = h g für lle g, h G, so nennt mn G eine belsche Gruppe. Stz 1.15 (Gnze Zhlen). Bis uf knonische Isomorphie gibt es genu eine belsche Gruppe (Z, +) mit den folgenden Eigenschften: Es ist N Z und die Addition uf Z erweitert die Addition uf N. Für lle x Z gilt x N oder x N; hierbei bezeichnet x ds dditive Inverse von x in Z. Wir nennen (Z, +) die gnzen Zhlen. Mn knn die gnzen Zhlen zum Beispiel ls Menge der formlen Differenzen von ntürlichen Zhlen (bezüglich einer geeigneten Gleichheit) konstruieren. [Dies wird später in der Algebr im Detil usgeführt.] Nottion 1.16 (Subtrktion). Sind x, y Z, so schreiben wir x y := x + ( y). 17

18 Definition 1.17 (Multipliktion uf Z). Sind x, x Z, so definieren wir x x := m m + n n (m n + n m ) Z, wenn x = m n und x = m n Drstellungen mit m, m, n, n N sind; die Multipliktionen uf der rechten Seite beziehen sich uf die bereits definierte Multipliktion in N. [Mn knn zeigen: Dies ist wohldefiniert, lso unbhängig von den gewählten Drstellungen von x bzw. x.] Bemerkung 1.18 (Multipliktion uf Z). 1. Die oben definierte Multipliktion uf Z setzt die Multipliktion uf N fort. 2. Die oben definierte Multipliktion uf Z ht 1 ls neutrles Element, ist kommuttiv und ssozitiv und erfüllt (mit der Addition uf Z) ds Distributivgesetz. Rtionle Zhlen Im llgemeinen sind für, b Z mit b 0 Gleichungen der Form x b = nicht mit x Z lösbr. Wir erweitern dher die gnzen Zhlen zu den sogennnten rtionlen Zhlen; grob gesgt sind die rtionlen Zhlen der kleinste Körper, der die gnzen Zhlen enthält. Definition 1.19 (Körper). Ein Körper ist eine Menge K zusmmen mit Abbildungen +: K K K und : K K K mit den folgenden Eigenschften: Es ist (K, +) eine belsche Gruppe; wir bezeichnen ds neutrle Element bezüglich der Addition + mit 0. Für lle x, y K \ {0} gilt x y 0 und (K \ {0}, K\{0} K\{0} K\{0} ) ist eine belsche Gruppe; wir bezeichnen ds neutrle Element bezüglich mit 1. [Insbesondere ist K \ {0} und 1 0.] Distributivgesetz. Für lle x, y, z K gilt (x + y) z = (x z) + (y z). Stz 1.20 (Rtionle Zhlen). Bis uf knonische Isomorphie gibt es genu einen Körper (Q, +, ) mit den folgenden Eigenschften: Es ist Z Q und die Addition/Multipliktion uf Q setzt die Addition/Multipliktion uf Z fort. Für lle x Q gibt es ein Z und ein b Z \ {0} mit x = b 1. Wir nennen (Q, +, ) die rtionlen Zhlen. Mn knn die rtionlen Zhlen zum Beispiel ls Menge der formlen Brüche von gnzen Zhlen mit nichtverschwindendem Nenner (bezüglich einer geeigneten Gleichheit) konstruieren. [Dies wird später in der Algebr im Detil usgeführt.] 18

19 Nottion 1.21 (Brüche). Sind x, y Q mit y 0, so schreiben wir x y := x y 1. [Mn knn zeigen, dss die gewöhnlichen Bruchrechenregeln gelten.] Ordnungen Bisher hben wir uf N, Z und Q nur lgebrische Opertionen betrchtet. Wir wollen ber uch über Ungleichungen und Anordnungen von Elementen sprechen können. Dies wird durch sogennnte Ordnungen formlisiert. Ordnungen sind spezielle Reltionen; Reltionen sind ein wichtiges und llgemeines Konzept, ds in llen Bereichen der Mthemtik verwendet wird: Definition 1.22 (Reltion). Sei X eine Menge. Eine Reltion uf X ist eine Teilmenge von X X. Ist X X eine Reltion uf X und sind x, y X, so schreiben wir genu dnn x y, wenn (x, y) gilt. Definition 1.23 (Eigenschften von Reltionen). Sei X eine Menge und sei X X eine Reltion uf X. Die Reltion ist reflexiv, flls für lle x X gilt, dss x x. Die Reltion ist symmetrisch, flls für lle x, y X genu dnn x y gilt, wenn y x gilt. Die Reltion ist nti-symmetrisch, flls für lle x, y X gilt: Ist x y und y x, so ist x = y. Die Reltion ist trnsitiv, flls für lle x, y, z X gilt: Ist x y und y z, so ist uch x z. Definition 1.24 ((Prtielle) Ordnung). Sei X eine Menge. Eine prtielle Ordnung uf X ist eine reflexive, nti-symmetrische und trnsitive Reltion uf X. Ist eine prtielle Ordnung uf X, so sgt mn uch, dss (X, ) eine prtiell geordnete Menge ist. Eine Ordnung (oder: totle Ordnung) uf X ist eine prtielle Ordnung uf X, für die ußerdem gilt: Für lle x, y X ist x y oder y x. Nottion Sei (X, ) eine prtiell geordnete Menge. Dnn definieren wir die Reltion < uf X durch die Menge { (x, x ) (x X) (x X) (x x ) (x x ) } X X. Sind x, x X, so schreiben wir uch x x für x x bzw. wir schreiben uch x > x für x < x. Ist x X, so schreiben wir X x := {x X x x} X x := {x X x x} X >x := {x X x > x} X <x := {x X x < x}. 19

20 Bemerkung Ist X eine Menge, so ist die Potenzmenge P (X) durch die Inklusionsreltion prtiell geordnet; im llgemeinen ist dies ber keine totle Ordnung uf P (X). Definition 1.27 (Die Reltionen uf N, Z, Q). Wir definieren die Reltion uf N durch die Menge { (n, n ) (n N) (n N) ( m N n + m = n ) } N N. In nderen Worten: Sind n, n N, so gilt genu dnn n n, wenn es ein m N mit n + m = n gibt. Wir definieren die Reltion uf Z durch die Menge { (x, x ) (x Z) (x Z) ( n N x + n = x ) } Z Z. Wir definieren die Reltion uf Q durch die Menge { (x, x ) (x Q) (x Q) n N\{0} ( (n x Z) (n x Z) (n x n x ) )} Q Q. Proposition Es ist eine Ordnung uf N. 2. Für lle n, n N gilt: Ist n > 0 und n > 0, so ist uch n n > 0. Proposition Es ist eine Ordnung uf Z. 2. Es ist Z 0 = N und für lle x Z ist genu dnn 0 x, wenn x Für lle x, x Z und lle n N gilt: Ist x x, so ist uch n x n x. Proposition Es ist eine Ordnung uf Q. 2. Für lle x, x, y Q gilt: Ist x x, so ist uch x + y x + y. Ist x x und y > 0, so ist x y x y. 3. Für jedes x Q existiert ein n N mit x n. Bemerkung 1.31 (Unterschiede zwischen den Ordnungen uf N, Z, Q). Die Ordnung uf N erfüllt ds Wohlordnungsprinzip, d.h. jede nicht-leere Teilmenge A N enthält ein minimles Element (lso ein Element m A mit der Eigenschft, dss für lle n A gilt, dss m n). Ds Wohlordnungsprinzip ist strk mit dem Induktionsprinzip und dem Rekursionsstz verwndt. Für lle x, x Q mit x < x gibt es ein y Q mit x < y < x, nämlich etw y = x/2+x /2. Für N und Z gilt die nloge Aussge im llgemeinen nicht. Im folgenden betrchten wir N, Z, Q immer mit den oben eingeführten Ordnungen (es sei denn, es wird explizit etws nderes vereinbrt). 20

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6 Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.

Mehr

Analysis 2. Vorlesungsskript Sommersemester 2014. Bernd Schmidt. Version vom 15. Oktober 2014

Analysis 2. Vorlesungsskript Sommersemester 2014. Bernd Schmidt. Version vom 15. Oktober 2014 Anlysis 2 Vorlesungsskript Sommersemester 214 Bernd Schmidt Version vom 15. Oktober 214 Institut für Mthemtik, Universität Augsburg, Universitätsstr. 14, 86135 Augsburg, bschmidt@mth.uni-ugsburg.de 1 Inhltsverzeichnis

Mehr

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009 UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis

Mehr

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus Präfixcodes und der Huffmn Algorithmus Präfixcodes und Codebäume Im Folgenden werden wir Codes untersuchen, die in der Regel keine Blockcodes sind. In diesem Fll können Codewörter verschiedene Länge hben

Mehr

Elemente der Analysis II: Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse

Elemente der Analysis II: Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse Elemente der Anlysis II: Zusmmenfssung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse J. Wengenroth Dies ist die einzige zugelssene Formelsmmlung, die bei der Klusur benutzt werden drf. Es dürfen Unterstreichungen

Mehr

Ein Aufschrieb der Vorlesung Analysis I an der Uni Karlsruhe im Wintersemester 1998/99, gelesen von Priv.-Doz. Dr. G. Herzog.

Ein Aufschrieb der Vorlesung Analysis I an der Uni Karlsruhe im Wintersemester 1998/99, gelesen von Priv.-Doz. Dr. G. Herzog. Anlysis I Ein Aufschrieb der Vorlesung Anlysis I n der Uni Krlsruhe im Wintersemester 1998/99, gelesen von Priv.-Doz. Dr. G. Herzog. GeTEXt von Andres Klöckner (k@ixion.net). Für Kommentre und Berichtigungen

Mehr

Analysis II. Universität Stuttgart, SS 06 M. Griesemer

Analysis II. Universität Stuttgart, SS 06 M. Griesemer Anlysis II Universität Stuttgrt, SS 06 M. Griesemer Inhltsverzeichnis 9 Ds Riemnnsche Integrl 3 9.1 Definition und Beispiele........................... 3 9.2 Elementre Eigenschften..........................

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Domäne und Bereich. Relationen zwischen Mengen/auf einer Menge. Anmerkungen zur Terminologie. r Relationen auf/in einer Menge.

Domäne und Bereich. Relationen zwischen Mengen/auf einer Menge. Anmerkungen zur Terminologie. r Relationen auf/in einer Menge. Reltionen zwischen Mengen/uf einer Menge! Eine Reltion R A B (mit A B) ist eine Reltion zwischen der Menge A und der Menge B, oder uch: von A nch B. Drstellung: c A! Wenn A = B, d.h. R A A, heißt R eine

Mehr

Boole'sche Algebra. Inhaltsübersicht. Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schaltalgebra. Verknüpfungen der mathematischen Logik

Boole'sche Algebra. Inhaltsübersicht. Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schaltalgebra. Verknüpfungen der mathematischen Logik Boole'sche Algebr Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schltlgebr Inhltsübersicht Verknüpfungen der mthemtischen Logik Boole sche Algebren Grundelemente der Schltlgebr Regeln der Schltlgebr Normlformen

Mehr

Beispiel-Abiturprüfung

Beispiel-Abiturprüfung Mthemtik BeispielAbiturprüfung Prüfungsteile A und B Bewertungsschlüssel und Lösungshinweise (nicht für den Prüfling bestimmt) Die Bewertung der erbrchten Prüfungsleistungen ht sich für jede Aufgbe nch

Mehr

Reguläre Sprachen und endliche Automaten

Reguläre Sprachen und endliche Automaten 2 Reguläre Sprchen und endliche Automten Sei Σ = {, b,...} ein endliches Alphbet. Ein endliches Wort über Σ ist eine Folge w = 0... n 1, wobei i Σ für i = 0,...,n 1. Wir schreiben w für die Länge von w,

Mehr

Grundwissen Mathematik 10. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele

Grundwissen Mathematik 10. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele Themen Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Kreis beknnt us Klsse 8: U Kreis = 2 π r A Kreis = r 2 π Kreissektor Bogenlänge b Flächeninhlt Kreissektor: Die Länge b des Kreisbogens und der Flächeninhlt

Mehr

Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt:

Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 8. Grundlgen der Informtionstheorie 8.1 Informtionsgehlt, Entropie, Redundnz Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* ller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 1.

Mehr

Funktionen und Mächtigkeiten

Funktionen und Mächtigkeiten Vorlesung Funktionen und Mähtigkeiten. Etws Mengenlehre In der Folge reiten wir intuitiv mit Mengen. Eine Menge ist eine Zusmmenfssung von Elementen. Zum Beispiel ist A = {,,,,5} eine endlihe Menge mit

Mehr

Analysis I Probeklausur 2

Analysis I Probeklausur 2 WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

Beispiel-Abiturprüfung. Fach Mathematik

Beispiel-Abiturprüfung. Fach Mathematik Beispiel-Abiturprüfung in den Bildungsgängen des Berufskollegs. Leistungskurs Fch Mthemtik Fchbereich Technik mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite von 9 Konstruktionsmerkmle der Aufgbe rten Aufgbe

Mehr

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12 Mthemtisches Istitut der Uiversität Müche Prof. Dr. Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 2 2.0.204 Aufgbe 2. [8 Pute] Übuge zur Alysis für Iformtier ud Sttistier Lösug zu Bltt 2 Für eie Teilmege Ω R, sei {, flls

Mehr

Übungsblatt 1 zum Propädeutikum

Übungsblatt 1 zum Propädeutikum Üungsltt zum Propädeutium. Gegeen seien die Mengen A = {,,,}, B = {,,} und C = {,,,}. Bilden Sie die Mengen A B, A C, (A B) C, (A C) B und geen Sie diese in ufzählender Form n.. Geen Sie lle Teilmengen

Mehr

Sponsored Search Markets

Sponsored Search Markets Sponsored Serch Mrkets ngelehnt n [EK1], Kpitel 15 Seminr Mschinelles Lernen, WS 21/211 Preise Slots b c Interessenten y z 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 1 Them dieses Vortrgs

Mehr

1 Kurvendiskussion /40

1 Kurvendiskussion /40 009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen.

Mehr

13 Rekonfigurierende binäre Suchbäume

13 Rekonfigurierende binäre Suchbäume 13 Rekonfigurierende inäre Suchäume U.-P. Schroeder, Uni Pderorn inäräume, die zufällig erzeugt wurden, weisen für die wesentlichen Opertionen Suchen, Einfügen und Löschen einen logrithmischen ufwnd uf.

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis... 1 3.Logik... 2. 3.1 Zahlensysteme... 2. 3.2 Grundbegriffe zweiwertiger Logik... 13

Inhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis... 1 3.Logik... 2. 3.1 Zahlensysteme... 2. 3.2 Grundbegriffe zweiwertiger Logik... 13 Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... 3.Logik... 2 3. Zhlensysteme... 2 3.2 Grundegriffe zweiwertiger Logik... 3 3.3 Rechengesetze für logische Ausdrücke... 9 3.4 Logische Funktionen... 24 3.5 Logische

Mehr

Musterlösung zu Aufgabe 1 (Klassenstufe 9/10)

Musterlösung zu Aufgabe 1 (Klassenstufe 9/10) Musterlösung zu Aufgbe 1 (Klssenstufe 9/10) Aufgbe. Drei Freunde spielen mehrere Runden eines Spiels, bei dem sie je nch Rundenpltzierung in jeder Runde einen festen, gnzzhligen Betrg x, y oder z usgezhlt

Mehr

Streuungsmaße. Grundbegriffe

Streuungsmaße. Grundbegriffe Grundbegriffe Untersuchungseinheiten U,...,U n Merkml X Urliste x,...,x n geordnete Urliste x (),...,x (n) Es gilt i.llg.: xi x() i, i, Κ, n In einer westdeutschen Großstdt gibt es insgesmt drei Träger

Mehr

Über die sog. «Ein-Franken-pro-Todesfall» -Kassen.

Über die sog. «Ein-Franken-pro-Todesfall» -Kassen. Über die sog. «Ein-Frnken-pro-Todesfll» -Kssen. Eine versicherungstechnische Studie von HEINRICH JECKLIN (Zürich). (AIs Mnuskript eingegngen m 25. Jnur 1940.) In der versicherungstechnischen Litertur finden

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

Wo liegen die Unterschiede?

Wo liegen die Unterschiede? 0 VERGLEICH VON MSA UND VDA BAND 5 Wo liegen die Unterschiede? MSA steht für Mesurement System Anlysis. Dieses Dokument wurde erstmls 1990 von der Automotive Industry Action Group (AIAG) veröffentlicht.

Mehr

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) = Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.

Mehr

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2 1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba

Mehr

UNIVERSELLER ZUSAMMENHANG: WIE DAS ELEKTROMAGNETISCHE FELD DIE WELT VERBINDET

UNIVERSELLER ZUSAMMENHANG: WIE DAS ELEKTROMAGNETISCHE FELD DIE WELT VERBINDET MAGDEBURGER WISSENSCHAFTSJOURNAL 1-2/2001 UNIVERSELLER ZUSAMMENHANG: WIE DAS ELEKTROMAGNETISCHE FELD DIE WELT VERBINDET ELEKTROTECHNIK UND INFORMATIONSTECHNIK Frnk Gronwld, Jürgen Nitsch Die heutzutge

Mehr

Folgen. Kapitel 3. 3.1 Zinsrechnung

Folgen. Kapitel 3. 3.1 Zinsrechnung Kapitel 3 Folgen Eine Folge reeller Zahlen ordnet natürlichen Zahlen jeweils eine reelle Zahl zu. Liegen beispielsweise volkswirtschaftliche Daten quartalsweise vor, so kann man diese als Folge interpretieren.

Mehr

Schützen Sie diejenigen, die Ihnen am Herzen liegen. Risikopremium

Schützen Sie diejenigen, die Ihnen am Herzen liegen. Risikopremium Schützen Sie diejenigen, die Ihnen m Herzen liegen Risikopremium Verntwortung heißt, weiter zu denken Die richtige Berufswhl, die Gründung einer eigenen Fmilie, die eigenen vier Wände, der Schritt in die

Mehr

Gedanken stoppen und entschleunigen

Gedanken stoppen und entschleunigen 32 AGOGIK 2/10 Bertie Frei, Luigi Chiodo Gednken stoppen und entschleunigen Individuelles Coching Burn-out-Prävention Probleme knn mn nie mit derselben Denkweise lösen, durch die sie entstnden sind. Albert

Mehr

Vorlesung. Komplexe Zahlen

Vorlesung. Komplexe Zahlen Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems

Mehr

Karlsruhe - Mannheim - Aachen

Karlsruhe - Mannheim - Aachen Deutsche Finnzdtenbnk - DFDB Krlsruhe - Mnnheim - Achen - Krlsruhe - Die Bereinigung von Aktienkursen - Ein kurzer Uberblick uber Konzept und prktische Umsetzung - Andres Suer Version 10, August 1991 Projektleitung:

Mehr

1 Räumliche Darstellung in Adobe Illustrator

1 Räumliche Darstellung in Adobe Illustrator Räumliche Drstellung in Adobe Illustrtor 1 1 Räumliche Drstellung in Adobe Illustrtor Dieses Tutoril gibt Tips und Hinweise zur räumlichen Drstellung von einfchen Objekten, insbesondere Bewegungspfeilen.

Mehr

Digitaltechnik. 3 Sequenzielle. Schaltungen. Revision 1.1

Digitaltechnik. 3 Sequenzielle. Schaltungen. Revision 1.1 igitltechnik 3 Sequenzielle Schltungen A Revision 1.1 Trnsitionssysteme Synchroner sequenzieller Entwurf Timing-Anlyse Pipelining Mely und Moore Mschinen Zustndsmschinen in Verilog Sequentielle Schltungen

Mehr

XING Events. Kurzanleitung

XING Events. Kurzanleitung XING Events Kurznleitung 00 BASIC nd PLUS Events 2 Die Angebotspkete im Überblick Wählen Sie zwischen zwei Pketen und steigern Sie jetzt gezielt den Erfolg Ihres Events mit XING. Leistungen Event BASIS

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

1 Aussagenlogik und Mengenlehre

1 Aussagenlogik und Mengenlehre 1 Aussagenlogik und engenlehre 1.1 engenlehre Definition (Georg Cantor): nter einer enge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten (m) unserer Anschauung oder unseres

Mehr

Wirtschaftsinformatik Informatik Grundlagen

Wirtschaftsinformatik Informatik Grundlagen C:\WINDOWS\TEMP\wiweig.doc Wirtschftsinformtik Informtik Grundlgen Grundlgen der Codierung Informtion und Kommuniktion Kommuniktion ist der Austusch von Informtionen. Dies setzt Verschlüsselung der Informtion

Mehr

Jurgen Muller Analysis I-IV

Jurgen Muller Analysis I-IV Jurgen Muller Analysis I-IV Skriptum zur Vorlesung Wintersemester 5/6 bis Sommersemester 7 Universitat Trier Fachbereich IV Mathematik/Analysis Dank an Elke Gawronski und Judith Wahlen fur die Mithilfe

Mehr

( 3) k ) = 3) k 2 3 für k gerade

( 3) k ) = 3) k 2 3 für k gerade Aufgbe : ( Pute Zeige Sie mithilfe des Biomische Lehrstzes: ( 3 ( 3 ist für lle N eie türliche Zhl Lösug : Nch dem biomische Lehrstz gilt: ( 3 Somit ergibt sich ( 3 ( 3 ( ( 3 bzw ( 3 ( ( 3 ( ( 3 ( ( 3

Mehr

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend

Mehr

Geometrische Mannigfaltigkeiten

Geometrische Mannigfaltigkeiten Geometrische Mannigfaltigkeiten Thilo Kuessner Abstract Kurzfassung der Vorlesung: Definitionen, Beispiele und Sätze, keine Beweise. Definition 1. Ein topologischer Raum ist eine Menge X mit einer Familie

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

Die Separierung von Kompakttarifen in der Pensions- und Lebensversicherung. Loïc Dreher. COR&FJA AG, Stuttgart

Die Separierung von Kompakttarifen in der Pensions- und Lebensversicherung. Loïc Dreher. COR&FJA AG, Stuttgart Die Seprierung von Kopkttrifen in der Pensions- und Lebensversicherung Loïc Dreher COR&FJ G, Stuttgrt Zusenfssung Kopkttrife finden nicht nur in der Pensionsversicherung, sondern uch in der (Einzel-) Lebensversicherung

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen .3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt

Mehr

Stoffumfang 1.Semester - Lektionen. Grundbegriffe 1 2 3 4 5 6

Stoffumfang 1.Semester - Lektionen. Grundbegriffe 1 2 3 4 5 6 FH Augsburg Ingenieurmthemtik Stoffumfng.Semester - Lektionen Grundbegriffe 4 5 6 Differenzition 7 8 9 0 Höhere Funktionen 4 Koordinten, Gerde, Steigung Funktionen und Grphen, Umkehrfunktion Trigonometrische

Mehr

Kapitalerhöhungen börsennotierter Gesellschaften ohne börslichen Bezugsrechtshandel

Kapitalerhöhungen börsennotierter Gesellschaften ohne börslichen Bezugsrechtshandel Kpitlerhöhungen börsennotierter Gesellschften ohne börslichen Bezugsrechtshndel Udo Terstege* ) / Gunnr Strk** ) Diskussionsbeitrg Nr. 390 2006 * PD Dr. Udo Terstege ist Hochschuldozent m Lehrstuhl für

Mehr

Gibt es verschiedene Arten unendlich? Dieter Wolke

Gibt es verschiedene Arten unendlich? Dieter Wolke Gibt es verschiedene Arten unendlich? Dieter Wolke 1 Zuerst zum Gebrauch des Wortes unendlich Es wird in der Mathematik in zwei unterschiedlichen Bedeutungen benutzt Erstens im Zusammenhang mit Funktionen

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie

Karlsruher Institut für Technologie Krlsruher Institut für Technologie Lehrstuhl für Progrmmierprdigmen Sprchtechnologie und Compiler WS 2010/2011 Dozent: Prof. Dr.-Ing. G. Snelting Üungsleiter: Mtthis Brun Lösung zu Üungsltt 1 Ausge: 18.04.2012

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

Die Weierstraßsche Funktion

Die Weierstraßsche Funktion Die Weierstraßsche Funktion Nicolas Weisskopf 7. September 0 Zusammenfassung In dieser Arbeit führen wir die Weierstraßsche Funktion ein und untersuchen einige ihrer Eigenschaften. Wir zeigen, dass jede

Mehr

Institut für Produktion und Industrielles Informationsmanagement

Institut für Produktion und Industrielles Informationsmanagement Institut für Produktion und Industrielles Informtionsmngement Universität Essen Fchbereich : Wirtschftswissenschften Universitätsstrße 9, D 44 Essen Tel.: 49 (0) 0 / 8-400 Fx: 49 (0) 0 / 8-40 Arbeitsbericht

Mehr

Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013

Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013 Reelle Analysis Vorlesungsskript Enno Lenzmann, Universität Basel 7. November 2013 6 L p -Räume Mit Hilfe der Masstheorie können wir nun die sog. L p -Räume einführen. Diese Räume sind wichtig in vielen

Mehr

Ausbildungslehrgang zum PCM - Business Coach

Ausbildungslehrgang zum PCM - Business Coach Lehrgngsleitung, Informtion und Anmeldung: Bete Kolouch Dipl. Lebens- & Sozilberterin, kd. Supervisorin, PCM -Trinerin & Coch DI Uwe Reiner-Kolouch selbständiger Unternehmensberter, Triner, Sprringprtner,

Mehr

Article Die Separierung von Kompakttarifen in der Pensionsund Lebensversicherung

Article Die Separierung von Kompakttarifen in der Pensionsund Lebensversicherung econstor www.econstor.eu Der Open-Access-Publiktionsserver der ZBW Leibniz-Infortionszentru Wirtschft The Open Access Publiction Server of the ZBW Leibniz Infortion Centre for Econoics Dreher, Loïc Article

Mehr

Article Negative Einlagezinsen im Euroraum? Lehren aus Dänemark

Article Negative Einlagezinsen im Euroraum? Lehren aus Dänemark econstor www.econstor.eu Der Open-Access-Publiktionsserver der ZBW Leibniz-Informtionszentrum Wirtschft The Open Access Publiction Server of the ZBW Leibniz Informtion Centre for Economics Klose, Jens

Mehr

Whitepaper epayslip Moderne und sichere Kommunikation mit Mitarbeitern

Whitepaper epayslip Moderne und sichere Kommunikation mit Mitarbeitern For better Whitepper epyslip Moderne und sichere Kommuniktion mit Mitrbeitern Ws Sie zum Them Digitlisierung von Verdienstbrechnungen und nderen Dokumenten wissen müssen. INHALTSVERZEICHNIS 2 2 3 4 5 5

Mehr

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied

Mehr

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 57 2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32,

Mehr

Hinweise zur Berechnung von statisch bestimmten Systemen

Hinweise zur Berechnung von statisch bestimmten Systemen Hinweise zur Berechnung von sttisch bestimmten Systemen. Knn ds System eindeutig us sttisch bestimmten Grundsystemen ufgebut werden, ohne Hilfsfesseln einzuführen? Wenn j, Teilsysteme ncheinnder entsprechend

Mehr

EasyMP Slide Converter Bedienungsanleitung

EasyMP Slide Converter Bedienungsanleitung EsyMP Slide Converter Bedienungsnleitung Inhltsverzeichnis 2 Übersicht über EsyMP Slide Converter EsyMP Slide Converter - Übersicht... 4 Unterstützte Dteitypen für EsyMP Slide Converter... 4 Instlltion

Mehr

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Lektion 2: Du und ich

Lektion 2: Du und ich Lektion 2: Du und ich Lernziele Stellung nehmen Über sttistische Angben sprechen Vergleiche formulieren Einen Forumsbeitrg schreiben Argumente gegenüberstellen Ein Interview mchen 2 d(r)/wo(r) + Präposition

Mehr

spiritus rector der leitende Geist Ein Studentenratgeber rund ums Studieren vom Studentenrat der TU Dresden Studienjahr 1997/98

spiritus rector der leitende Geist Ein Studentenratgeber rund ums Studieren vom Studentenrat der TU Dresden Studienjahr 1997/98 spiritus rector der leitende Geist Ein Studentenrtgeber rund ums Studieren vom Studentenrt der TU Dresden Studienjhr 1997/98 eine mmmut Aktion http://www.tu-dresden.de/stur/mmmut/ Techniker Krnkenksse

Mehr

Kappa. Jahre Garantie

Kappa. Jahre Garantie Kpp Flexible Anwendung Mit dem Kpp können rhmenlose Photovoltik-Module leicht in Dächer von Alt- und Neubuten mit beliebiger 1 Eindeckung integriert werden. Ds System wird uf die vorhndene Lttung montiert

Mehr

Momente der Klassenzahlen binärer quadratischer Formen mit ganzalgebraischen Koeffizienten

Momente der Klassenzahlen binärer quadratischer Formen mit ganzalgebraischen Koeffizienten ACTA ARITHMETICA LXX.1 1995) Momente der Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen mit gnzlgebrischen Koeffizienten von Mnfred Peter Freiburg) 1. Einleitung und Formulierung des Ergebnisses. Für die Anzhl

Mehr

Logische Grundschaltungen

Logische Grundschaltungen Elektrotechnisches Grundlgen-Lor II Logische Grundschltungen Versuch Nr. 9 Erforderliche Geräte Anzhl Bezeichnung, Dten GL-Nr. 1 Voltmeter 335 1 Steckrett SB 1 1 Steckrett SB 2 mit 5V Netzteil 1 Steckrett

Mehr

Bestellformular - Adresslisten

Bestellformular - Adresslisten Industrie- und Hndelskmmer Heilbronn-Frnken Bestellformulr - Adresslisten Sehr geehrte Dmen und Herren, wie besprochen, erhlten Sie unser Bestellformulr für Adresslisten von Unternehmen in unserem Kmmerbezirk

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin 1 Hausaufgaben vom 12.09.2007 Zahlentheorie 1 Aufgabe 1.1 Berechne die (quadratischen)

Mehr

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft:

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft: Seminar Summen von Quadraten und K-Theorie Projektive Moduln Im Folgenden sei R ein assoziativer Ring mit Eins, nicht notwendigerweise kommutativ. R-Modul ist im Folgenden stets ein Rechts-R-Modul. Ein

Mehr

5.3 Dynamisches Sitzen und Stehen

5.3 Dynamisches Sitzen und Stehen Dynmisches Sitzen und Stehen 5.3 Dynmisches Sitzen und Stehen Test Bewegen Sie sich eim Sitzen und Stehen kontinuierlich um den Mittelpunkt der senkrechten Oerkörperhltung (S. 39) mit neutrler Wirelsäulenschwingung

Mehr

DAS JUGENDKONTO, das NICHT NUR AUF

DAS JUGENDKONTO, das NICHT NUR AUF DAS JUGENDKONTO, ds NICHT NUR AUF dein GELD AUFPASST. Hndy oder Lptop 1 Jhr grtis Versichern!* Mitten im Leben. *) Näheres im Folder FÜR ALLE VON 14-19, DIE MITTEN IM LEBEN STEHEN! Mit 14 Lebensjhren mcht

Mehr

5 Rigorose Behandlung des Kontaktproblems Hertzscher Kontakt

5 Rigorose Behandlung des Kontaktproblems Hertzscher Kontakt 5 Rigoose Behndlung des Kontktpoblems Hetsche Kontkt In diesem Kpitel weden Methoden u exkten Lösung von Kontktpoblemen im Rhmen de "Hlbumnäheung" eläutet. Wi behndeln dbei usfühlich ds klssische Kontktpoblem

Mehr

Die kleine Box für den großen Erfolg. Fragen und Antworten zur. GUSbox 16, 90* So einfach wie telefonieren. mtl.ab. a Fernwartung Ihrer Praxis -

Die kleine Box für den großen Erfolg. Fragen und Antworten zur. GUSbox 16, 90* So einfach wie telefonieren. mtl.ab. a Fernwartung Ihrer Praxis - So einfch wie telefonieren Frgen und Antworten zur Fxe von jedem Arbeitspltz senden und empfngen. DMP Bögen elektronisch versenden. ** Dle-UV BG Formulre und Abrechnung elektronisch übertrgen. Arztbriefe

Mehr

22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen

22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen 22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen 22.1 Sinus und Cosinus 22.3 Definition von 22.6 Sinus und Cosinus als eindeutige Lösungen eines Differentialgleichungssystems 22.7 Tangens

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

5.4 CMOS Schaltungen und VLSIDesign

5.4 CMOS Schaltungen und VLSIDesign Kp5.fm Seite 447 Dienstg, 7. Septemer 2 :55 3 5.4 CMOS Schltungen und VLSI Design 447 r u u r id + + A. 5.39: Progrmmierrer Gitterustein 5.4 CMOS Schltungen und VLSIDesign Die Boolesche Alger eginnt mit

Mehr

Motivation. Kap. 4.2 Binäre Suchbäume ff Kap. 4.3: AVL-Bäume. Überblick. Pseudocode von SEARCH. in binären Suchbäumen. in binären Suchbäumen

Motivation. Kap. 4.2 Binäre Suchbäume ff Kap. 4.3: AVL-Bäume. Überblick. Pseudocode von SEARCH. in binären Suchbäumen. in binären Suchbäumen Kp. 4.2 inäre Schäme ff Kp. 4.: VL-äme Professor r. Lehrsthl für lgorithm Engineering, LS11 Fkltät für Informtik, TU ortmnd Motition Wrm soll ich hete hier leien? lncierte äme rchen Sie immer wieder! Ws

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

DAS Einzige Konto, Mitten im Leben. monsterhetz.at. *) Näheres im Folder

DAS Einzige Konto, Mitten im Leben. monsterhetz.at. *) Näheres im Folder DAS Einzige Konto, ds uch uf dein HANDY ODER DEINEN LAPTOP AUFPASST. Versichert Hndy oder Lptop 1 Jhr grtis!* Mitten im Leben. monsterhetz.t *) Näheres im Folder FÜR ALLE VON 14-19, DIE MITTEN IM LEBEN

Mehr

EasyMP Multi PC Projection Bedienungsanleitung

EasyMP Multi PC Projection Bedienungsanleitung EsyMP Multi PC Projection Bedienungsnleitung Inhltsverzeichnis 2 Informtionen zu EsyMP Multi PC Projection Verschiedene Meeting-Möglichkeiten mit EsyMP Multi PC Projection... 5 Meetings mit mehreren Bildern

Mehr

1 Ordnung muß sein. 1.1 Angeordnete Körper. 1.2 Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen. ( c) (b a) > 0. Somit a c b c > 0.

1 Ordnung muß sein. 1.1 Angeordnete Körper. 1.2 Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen. ( c) (b a) > 0. Somit a c b c > 0. 1 Ordnung uß sein 1.1 Angeordnete Körper Wir nehen einal an, daß es in eine Körper Eleente gibt, die wir positiv nennen. Welche Eigenschaften sollen diese haben? O1) Wenn x und y positiv sind, dann auch

Mehr

Qualitative Datenanalyse

Qualitative Datenanalyse Qualitative Datenanalyse Prof. Dr. Stefan E. Schmidt Francesco Kriegel TU Dresden Fakultät Mathematik Institut Algebra SS 2007 28. September 2008 Inhaltsverzeichnis Kapitel 1 Formale Begriffsanalyse 1

Mehr

Einschub: Zahlendarstellung und Codes

Einschub: Zahlendarstellung und Codes Einschu: Zhlendrstellung und Codes (Unvollständige Drstellung) DST SS23 - Codes und KMAPs P. Fischer, TI, Uni Mnnheim, Seite Binärzhlen N-stellige Binärzhl:... Einzelne Stellen heißen Bits (inry digits)

Mehr

Version 5. Installation. Konfiguration. Bedienung. Referenz. ASBYTE GmbH Weipertstr. 8-10 74076 Heilbronn www.syncing.net. Rev. 1.05 SNT 5.0.0.

Version 5. Installation. Konfiguration. Bedienung. Referenz. ASBYTE GmbH Weipertstr. 8-10 74076 Heilbronn www.syncing.net. Rev. 1.05 SNT 5.0.0. Version 5 Instlltion Konfigurtion Bedienung Referenz Rev. 05 SNT 5.0.0.2882 ASBYTE GmbH Weipertstr. 8-10 74076 Heilbronn www.syncing.net Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis Einleitung 5 1 Generelle Informtionen

Mehr

7 Nicht-abelsche Eichtheorien

7 Nicht-abelsche Eichtheorien 7 NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN 103 7 Nicht-belsche Eichtheorien 7.1 Grundlegende Eigenschften von Lie-Gruppen Lie-Gruppe. Lie-Gruppen sind kontinuierliche Gruppen, d.h. Gruppen, bei denen die Gruppenelemente

Mehr

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) Im Kapitel 2.1 wurde bereits gezeigt, dass die endliche Zahlenmenge {0, 1, 2, 3} q = 4 nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(4) erfüllt. Vielmehr

Mehr

Q3 2010. im Vergleich zu. Q3 2010 aus Expertensicht

Q3 2010. im Vergleich zu. Q3 2010 aus Expertensicht CB RICHARD ELLIS MrketView Büromrkt Hmburg www.cbre.de Q3 21 im Vergleich zu Umstz Leerstnd Spitzenmiete Spitzenrendite Fertigstellungen Q2 1 Q3 9 Q3 21 ÜBERBLICK Gesmtwirtschftliche Aspekte Die Erholung

Mehr

Kommunikation und Marketing. Marketing-Dienstleistungen. Für Sie und Ihre Kunden

Kommunikation und Marketing. Marketing-Dienstleistungen. Für Sie und Ihre Kunden Kommuniktion und Mrketing Mrketing-Dienstleistungen Für Sie und Ihre Kunden Kommuniktion und Mrketing KNV Servicenummern Koch, Neff & Volckmr GmbH Stuttgrt Husnschrift: Schockenriedstrße 37 70565 Stuttgrt

Mehr

Sprechen wir über Zahlen (Karl-Heinz Wolff)

Sprechen wir über Zahlen (Karl-Heinz Wolff) Sprechen wir über Zahlen (Karl-Heinz Wolff) Die Überschrift ist insoweit irreführend, als der Autor ja schreibt und nicht mit dem Leser spricht. Was Mathematik im allgemeinen und Zahlen im besonderen betrifft,

Mehr

Auf einen Blick. In Schlagworten 6,5. Bruttoanfangsrendite in % Spitzenmiete in. /m²/monat 5,5 4,5. 01 02 03 04 05 06 07 08 09e ÜBERBLICK

Auf einen Blick. In Schlagworten 6,5. Bruttoanfangsrendite in % Spitzenmiete in. /m²/monat 5,5 4,5. 01 02 03 04 05 06 07 08 09e ÜBERBLICK CB RICHARD ELLIS Mrktbericht Wiener mrkt Jhresende 8 ÜBERBLICK Auf einen Blick Veränderung gegenüber Q3 8 Q 7 Angebot Vermietung Leerstndsrte Spitzenmiete Rendite Inv.volumen In Schlgworten vermietungsleistung

Mehr

In diesem Handbuch für den Schnellstart finden Sie allgemeine Anweisungen zum Einrichten der McAfee Web Gateway-Appliance.

In diesem Handbuch für den Schnellstart finden Sie allgemeine Anweisungen zum Einrichten der McAfee Web Gateway-Appliance. Schnellstrt-Hndbuch Revision B McAfee Web Gtewy Version 7.3.2.2 In diesem Hndbuch für den Schnellstrt finden Sie llgemeine Anweisungen zum Einrichten der McAfee Web Gtewy-Applince. Bevor Sie beginnen,

Mehr

Diplomarbeit. Niederlassung Frankfurt Hanauer Landstraße 182 60314 Frankfurt am Main

Diplomarbeit. Niederlassung Frankfurt Hanauer Landstraße 182 60314 Frankfurt am Main Diplomrbeit Untersuchung von Vrinten der Wärmerückgewinnung unter energetischen und wirtschftlichen Aspekten m Neubu eines Bürogebäudes mit Penthouse-Geschoss Vorgelegt m: 17. August 009 Vorgelegt von:

Mehr