Nichtmonotone Grauwertabbildung

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1 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 1 Nichtmonotone Grauwertabbildung Zwei Grauwertfenster in einem Bild. g (g) g Erzeugt künstliche Kanten. Grenzen von Maxima der Transferfunktion nicht immer erkennbar.

2 Beispiel Eine Zuordnung zwischen Helligkeit und ursprünglichem Grauwert ist nicht mehr herstellbar. LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 2

3 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 3 Analoge Variante: Solarisation Lange bekannter chemischer Effekt bei der Negativoder Positiventwicklung Entsteht durch zus. Belichtung während der Entwicklung z.b.: jemand betritt unangemeldet die Dunkelkammer Bewirkt nichtmonotone Schwärzungskurve Schwer zu steuern in der analogen Photographie Fotos oben von 1938,

4 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 4 Farbe zur Kontrastverstärkung Es können wesentlich mehr Farb- als Grauwerte unterschieden werden. Kontrastverstärkung durch drei nicht-lineare, nicht-monotone Abbildungsfunktionen der Grauwerte: redi(g), greeni(g) bluei(g)

5 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 5 Beispiel Achtung: Nichtlineare Transformationen erzeugen künstliche Kanten.

6 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 6 Beispiel Ein Zusammenhang zwischen Farbe und Grauwert ist nicht mehr erkennbar.

7 Alltägliches Beispiel LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 7

8 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 8 Was sollten Sie bis hierhin gelernt haben? Punktbasierte Verfahren werden über eine Transferfunktion zwischen Grauwerten (Farbwerten) definiert. Grauwerttransformationen monoton: linear, γ-korrektur, Histogrammlinearisierung Nicht monoton: Stufentransformation, Falschfarbdarstellung. Erfolg kann an kontrastbasierten Maßzahlen ermittelt werden. Objektabhängige Bildverbesserung erfordert Zusatzwissen.

9 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 9 Flächenbasierte Bildverbesserung Rauschen kann durch Integration einer Signalfolge mit (nahezu) konstantem Signal reduziert werden. Konstante Signalfolge: Integration über eine zeitliche Folge. Integration über eine homogene Fläche. Lineare verschiebungsinvariante Operatoren Konvolutionsmethoden Filterung im Frequenzraum

10 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 10 Zeitliche Folge Annahmen Aufnahme mehrerer Bilder g i, i=1,i über einen gegebenen Zeitraum. Bild verändert sich über den Zeitraum nicht (keine Bewegung, keine Beleuchtungsänderung). Erwartungswert E des Rauschens n ist 0. Näherung an die unverrauschte Funktion f: E{g(m,n)} = E{f(m,n)} +E{n(m,n)} = E{ f(m,n) } +0 = f(m,n) Abschätzung von E{g(m,n)} durch Integration über die Bilder.

11 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 11 Beispiel Einzelne Aufnahme mit normalverteiltem Rauschen (SNR 1.2). Addition von 10 bzw. 50 Aufnahmen. SNR max = Aufnahmen 50 Aufnahmen SNR max =2.21 SNR max =4.74

12 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 12 Integration über die Fläche Falls für eine Reihe von Bildpunkten (p 0,...,p n ) gilt, dass f(p i )=const, dann kann Rauschen n mit E{n}=0 durch Addition der gemessenen Funktionswerte g(p i ) reduziert werden. Annahmen: Bild besteht aus homogenen Bereichen. Benachbarte Punkte haben den gleichen Grauwert. Rauschunterdrückung: Mittelwertbildung über vorgegebene Nachbarschaft. SNR max =2.83

13 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 13 Mittelwertbildung durch Konvolution Konvolutionskern: Gleichmäßige Gewichtung der Pixel in einer gegebenen Nachbarschaft f(m,n) Linie n=150 (rot) m original

14 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 14 3x3 Boxcar-Filter 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 Filterkern Rot = original Weiss = gefaltet

15 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 15 7x7 Boxcar-Filter Beobachtung: Kanten werden degradiert. Grund: Annahme konstanter Funktionswerte ist nicht wahr. Rot = original Weiss = gefaltet

16 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 16 Verhalten an Kanten nach 3x3 Boxcar-Filterung nach 7x7 Boxcar-Filterung f(m,n)-g(m,n)

17 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 17 Richtungsabhängigkeit des Mittelwertfilters Transferfunktion (Repräsentation im Frequenzraum). F(u,v) u v

18 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 18 Auswirkungen original Bildzeile rot: vor der Filterung weiß: nach Filterung 9 9 Mittelwertfilter kontrastverstärkt Artefakte Artefakt

19 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 19 Frequenzraumfilterung Filter im Frequenzraum so entwickeln, dass die Artefakte nicht auftauchen können. Ideales Tiefpassfilter F max Cut-Off-Frequenz H F max ( u, v) 1 = 0, falls u,sonst. 2 + v 2 F 2 max

20 Beispiel LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 20

21 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 21 Tiefpassfilter zur Rauschunterdrückung Cutoff-Frequenz: 40

22 Ringing-Artefakt LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 22

23 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 23 Ringing-Artefakt Helligkeit m F(u) Bildzeile Das Ringing-Artefakt entsteht, weil scharfe Kanten durch Wellen aller Frequenzen beschrieben werden. Fourier-transformierte Zeile u

24 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 24 Filterung F(u) u Fouriertransformierte Zeile

25 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 25 Butterworth-Filter Frequenzen werden nicht gelöscht, sondern nur abgeschwächt. Tiefpass-Filter: H ( u, v) = 1+ Hochpass-Filter: D 0 : H ( u, v) = 1+ Cutoff-Frequenz, 1 2 ( D( u, v) / D ) n ( D / D( u v) ) n 0, D(u,v): Frequenz, d.h. Abstand vom Ursprung Tiefpass Butterworth- Tiefpass H(u,v)=0.5

26 Butterworth vs. Einfacher Tiefpass LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 26

27 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 27 Binomialfilter Eindimensionaler Binomialfilter B p = [1 1]*[1 1] *...*[1 1] (p-mal): B 0 = 1-1 [1] B 1 = 2-1 [1 1] B 2 = 4-1 [1 2 1] B 3 = 8-1 [ ] B 4 = 16-1 [ ]... Zweidimensionaler Binomialfilter B p = B p *(B p ) T : B 2 = 4-1 [1 2 1] T 4-1 [1 2 1] =

28 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 28 Zweidimensionale Binomialfilter B 2 = 1/16 [1 2 1] T [1 2 1] = 1/ B 3 = 1/64 [ ] T [ ] = 1/ B 4 = 1/

29 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 29 Transferfunktion des Binomialfilters Binomialfilter B 2 Binomialfilter B 4 Weniger Artefakte an Kanten sind zu erwarten.

30 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 30 Filterresultate des Binomialfilters original Filter B 16 Bildzeile rot: vor der Filterung weiß: nach Filterung

31 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 31 Butterworth-Filter / Binomialfilter Ideales Tiefpassfilter: kompakter Träger im Frequenzraum, aber artefakt-verursachende Ortsraumrepräsentation Butterworth-Filter: kontrolliert monoton fallende Funktion im Frequenzraum, deren Ortsraumrepräsentation ebenfalls monoton fällt. Mittelwertfilter: kompakter Träger im Ortsraum, aber artefaktverursachende Frequenzraumrepräsentation Binomial-Filter: monoton fallende Funktion mit kompaktem Träger im Ortsraum, deren Frequenzraumrepräsentation monoton fällt.

32 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 32 Binomialfilter und Gaußfunktion Für immer größere Filterkerne nähert sich das Binomialfilter der Gaußschen Glockenkurve an. Der Betrag der Transferfunktion einer solchen Funktion ist wieder eine Gaußsche Glockenkurve. boxcar Gaußsche Glockenkurve Transferfunktion Transferfunktion gauss(x,y) = [σ 2π] -1 exp[-(x 2 +y 2 )/(2σ 2 )]

33 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 33 Filterung mit 2D Gaußfilter Die Gaußfunktion ist separabel, so dass die Filterung durch zwei 1D Konvolutionen erfolgen kann.

34 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 34 Grenzen Sogenanntes Impulsrauschen (Salt & Pepper Noise) kann nicht entfernt werden.

35 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 35 Was sollten Sie heute gelernt haben? Rauschunterdrückung durch Schätzung des Erwartungswerts der Bildfunktion Schätzung des Erwartungswerts = zeitliche oder räumliche Integration Filter im Orts- und Frequenzraum Artefakte bei Orts-/Frequenzraumfiltern

36 Rembrandt: Die Nachtwache, 1642 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 36

37 Edward Hopper: Nighthawks, 1942 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 37

38 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges 2D Graphics WS Folie 38 Literatur Klaus D. Tönnies: "Grundlagen der Bildverarbeitung", ISBN r&isbn= &pszielgruppe=student