Dualität in der Elementaren Geometrie

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1 Dualität in der Elementaren Geometrie Vortrag zum Tag der Mathematik 2012 Holger Stephan, Berlin Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stohastik Inhaltsverzeihnis 1 Zusammenfassung (aus dem Programmheft) 2 2 Dualität Was ist Dualität? Beispiele für Dualität Der indirekte Beweis Der Abstand Pässe im Gebirge Einfahste multiplikative Dualität in der Geometrie Dualität bei Produkten Der Fläheninhalt eines Dreieks als Produkt dualer Größen Die Heronshe Flähenformel für die Höhen Der Fläheninhalt mit In- und Ankreisen Zwei Paare dualer Quadrupel Dualität: Punkt Gerade Dualität: 3 Punkte 3 Geraden Was sind Umkreis und Inkreis im Dreiek Umkreis und Inkreis im Vierek Eine Aufgabe aus der IMO von Die Bestimmung der dualen Aufgabe Die duale Aufgabe Strahlensatz und Sekantensatz Konstruktion eines Sehnentangentenvierek aus einem Tangentenvierek Lösung der dualen Aufgabe A Spiegelung an der Mittelsenkrehten Konstruktion eines Sehnentangentenviereks aus einem Sehnenvierek Hilfsaufgabe Konstruktion eines Dreieks aus R, und p a Konstruktion eines Dreieks aus R, und p Lösung von Aufgabe A stephan@wias-berlin.de URL: 1

2 2 1 ZUSAMMENFASSUNG (AUS DEM PROGRAMMHEFT) 1 Zusammenfassung (aus dem Programmheft) Dualität ist eines der fruhtbarsten Prinzipien der Mathematik. Einfah gesagt, bedeutet Dualität, daß es zu jedem Ding eine zweite Seite gibt oder daß sih jedes Problem von zwei vershiedenen Seiten aus betrahten läßt. Das hat viele Vorteile: Meist sind beide Seiten vershieden shwer zu lösen. Man kann sih dann die leihtere Möglihkeit zur Lösung auswählen. Hat man eine interessante Eigenshaft eines Objektes gefunden, ist seine duale Eigenshaft oft auh interessant. In der elementaren oder euklidishen Geometrie sind im Gegensatz zur projektiven Geometrie Dualitätsprinzipien oft niht einfah zu finden. Im Vortrag wird auf vershiedene duale Objekte eingegangen. Unter anderem auf die Dualität zweier Größen, deren Produkt der Fläheninhalt eines Dreieks ist. Außerdem geht es um die Dualität zwishen In- und Umkreis im Dreiek und die Dualität zwishen Sehnen- und Tangentenviereken. Ein Verständnis dieser Dualität maht die Konstruktion eines solhen vierten Punktes auf dem Umkreis eines Dreieks, daß dieser Punkt zusammen mit den drei Ekpunkten des Dreieks ein Sehnentangentenvierek bildet, beinahe zu einer Trivialität. Das war immerhin vor 50 Jahren mal eine IMO-Aufgabe. C Zur Vorbereitung auf den Vortrag, kann man shon mal versuhen, ein Dreiek zu konstruieren, wenn folgende drei Größen gegeben sind (siehe nebenstehende Skizze): 1) Der Winkel γ am Ekpunkt C. 2) Der Umkreisradius R. 3) Der Abstand p A zwishen Ekpunkt A und dem Punkt I b, bei dem der Inkreis des Dreieks die Seite AC berührt. p A A I b p A γ I I O R B

3 3 2 Dualität 2.1 Was ist Dualität? Dualität ist eines der fruhtbarsten Prinzipien in der Mathematik. Einfah gesagt, bedeutet Dualität, daß es zu jedem Ding eine zweite Seite gibt oder daß sih jeder Sahverhalt von zwei vershiedenen Seiten aus betrahten läßt. Insofern ist Dualität kein mathematishes sondern eher ein philosophishes Prinzip oder ein Denkprinzip. Dualität ist wie ein Spiegel, in den kann man shauen und sieht die Welt von der anderen Seite. In einem idealen Spiegel, sieht man die Welt einfah noh mal exakt genauso, das ist manhmal niht sehr interessant. Aber je nahdem, was für einen Spiegel man wählt, kann man die Sahe von ganz vershiedenen Seiten sehen. Das hat viele Vorteile: Meist sind beide Seiten vershieden shwer lösbar. Man kann dann die leihtere zur Lösung auswählen. Hat man eine interessante Eigenshaft eines Objektes gefunden, ist seine duale Eigenshaft oft auh interessant. Oft hat man ein Problem erst dann rihtig verstanden, wenn man ein Dualitätsprinzip darin gefunden hat. Zu den beiden Seiten des Problems gibt es eine Operation, die die Größen des Problems in die Größen des dualen Problems umrehnet. 2.2 Beispiele für Dualität Der indirekte Beweis Ein Beweis ist eine logishe Shlußkette, bei der aus gegebenen Voraussetzungen a, b,... durh wenn... dann... Shlüsse die Aussage A bewiesen wird, d.h. gezeigt wird, daß die Aussage A wahr ist. Bei der indirekten Beweisführung zeigt man niht, daß die Aussage A wahr ist, sondern daß die Aussage (niht A) falsh ist, indem man sie zu einem Widerspruh führt. Das ist formal äquivalent, da hier das Prinzip des ausgeshlossenen Dritten wirkt, d.h, man nimmt an, daß genau eine der beiden Aussagen A oder (niht A) wahr und die andere falsh sein muß. Eine dritte Möglihkeit gibt es niht. In der Mengentheorie entspriht das der Komplementbildung. Anstelle eine Menge M zu betrahten, betrahten man das Komplement der Menge M zum Rest der Welt. Diese Komplementbildung vermittelt eine wihtige Dualität. Mit anderen Worten ausgedrükt bedeutet das: Es ist gleihgültig, ob ih die Eigenshaften der Elemente der Menge M untersuhe, oder ob ih die Eigenshaften aller Elemente untersuhe, die niht in M liegen. Das ist ein reines Denkprinzip. Im realen Leben hilft das niht unbedingt weiter. Möhte man sih z.b. vergewissern, daß alle Raben shwarz sind, d.h., möhte man die Aussage Alle Raben sind shwarz. empirish testen, so versihert man sih der Rihtigkeit dieser Aussage durh jeden shwarzen Raben den man sieht. Die duale Aussage, Alles was niht shwarz ist, ist kein Rabe., empirish zu testen, ist niht besonders befriedigend. Das würde bedeutet, daß man sih dadurh versihert, daß alle Raben shwarz sind, bei jedem gelben Auto, rotem Haus,... das man sieht. Die formale Äquivalenz der Aussagen widerspiegelt sih in der Realität niht wider wegen des krassen Ungleihgewihts zwishen der Menge aller Raben und dem Rest der Welt. Deshalb ist

4 4 2 DUALITÄT ein Dualität oft niht offensihtlih und das Erkennen einer Dualität oft eine große Denkleistung. Die Stärke der indirekten Beweisführung sieht man vor allem bei reinen Existenzsätzen, d.h., bei mathematishen Sätzen, die die Existenz eines Objektes behaupten, ohne einen konstruktiven Weg zum Finden dieses Objektes anzugeben. Ein Beispiel ist der Beweis des Shubfahshlusses (oder auh Dirihletprinzip genannt): Man hat n Shahteln und verteilt darauf m > n Kugeln. Dann gibt es eine Shahtel mit mehr als einer Kugel. Dieser offensihtlihe Satz ist nur sehr umständlih auf direktem Wege zu beweisen. Indirekt ist das ganz einfah: Angenommen, die Aussage ist falsh, d.h., in jeder Shahtel befindet sih höhstens eine Kugel, dann kann es nur höhstens n Kugeln geben. Das ist ein Widerspruh zu m > n Der Abstand Ein geometrishes Beispiel für eine interessante und tiefgründige Dualität ist die Bestimmung des kürzesten Abstandes zwishen einem Punktes P von einer Geraden g im Raum. Wir bezeihnen die Abstandsfunktion zwishen zwei Objekten mit dist. Dann ist klar, daß dist(p, g) = min dist(p, Q) Q g d.h., der gesuhte kürzesten Abstand ist der kleinste Abstand zwishen dem Punkt P und irgendeinem Punkt Q auf der Geraden. Niht ganz so offensihtlih ist, daß man diesen Abstand auh dual über ein Maximum bestimmen kann. Es ist nämlih auh hier sei E eine Ebene dist(p, g) = max dist(p, E) E g d.h., der gesuhte Abstand ist der größtmöglihe Abstand zwishen dem Punkt P und irgendeiner Ebene, die die Gerade g enthält. Diese grundlegende Dualität verallgemeinert auf Objekte beliebiger Dimension ist wihtig in der linearen Programmierung einem wihtigen Teilgebiet der Mathematik Pässe im Gebirge Im Gebirge gibt es Punkte (im Bild der Punkt P) sogenannte Pässe, bei denen sih viele Wege kreuzen. Dort häufen sih z.b. die Touristen, auh wenn man auf den sonstigen Wegen kaum jemanden trifft. Warum ist das so?

5 Dazu betrahten wir vier Dörfer. Zwei auf den Gipfeln A und B und zwei in den Tälern, C und D. Welhe Wegen benutzen Menshen, die von A nah B gelangen wollen? Sie müssen auf al- D B le Fälle zuerst bergab A gehen und dann wieder bergauf. Um niht P unnötig durhs Gebirge klettern zu müssen, werden sie nur soviel bergab und bergauf gehen wollen, wie C unbedingt nötig ist. Sie werden deshalb so gehen, daß der tiefste Punkt des Weges möglihst weit oben liegt. Es gibt also einen Punkt, der der höhste aller tiefsten Punkte eines Weges von A nah B ist. Analog werden Menshen, die von C nah D wollen niht unnötig weit den Berg hinauf klettern wollen. Für deren Wege gibt es einen Punkt, der der tiefste aller höhsten Punkte eines Weges von C nah D ist. Interessanterweise sind diese beiden Punkte identish. Es ist also P = min max Wege CD = max min Wege AB Diese Ausdrüke sind so zu verstehen (am Beispiel des ersten Ausdrukes): Für jeden Weg von C nah D wählt man den höhsten Punkt. Das ist max. Dann betrahtet man alle möglihen CD Wege von C nah D. Für jeden dieser Wege erhält man einen solhen höhsten Punkt. Jetzt bestimmt man den tiefsten unter ihnen. Das ist min. Wege In jedem normalen Gebirge, sind das Maximum über alle Minima gleih dem Minimum über alle Maxima. Ist das der Fall, sagt man, daß ein Minimax-Theorem erfüllt ist. Das ist die fundamentale Dualität in der Variationstheorie, einem wihtigen Teilgebiet der Analysis. Der entsprehende Punkt zu einem Minimax-Theorem wird Sattelpunkt genannt. 3 Einfahste multiplikative Dualität in der Geometrie 3.1 Dualität bei Produkten Eine weitere wihtige Dualität in der Mathematik hängt mit dem Produkt von zwei vershiedenen Größen zusammen. Eigentlih ist es einem Produkt egal, was für Zahlen miteinander multipliziert werden. Häufig haben die Größen wenn sie reale Dinge beshreiben aber völlig 5

6 6 3 EINFACHSTE MULTIPLIKATIVE DUALITÄT IN DER GEOMETRIE vershiedene Bedeutungen. Z.B. ergibt das Produkt aus Preis und Menge die Kosten. Für sih genommen, sagt der Preis von Waren p 1, p 2,..., p n noh nihts über die Gesamtkosten aus, genausowenig, wie die benötigten Mengen m 1, m 2,..., m n. Die Größe K = m 1 p 1 + m 2 p m n p n ergibt die Gesamtkosten. Diese Konstruktion kommt überall in der Mathematik vor und wird Skalarprodukt genannt. Es bildet aus zwei Mengen mit je n Elementen untershiedlihster Natur eine reelle Zahl K. Die Größen p 1, p 2,..., p n und m 1, m 2,..., m n kann man als dual zueinander betrahten. In der Geometrie ist ein Beispiel hierfür der Fläheninhalt. Er ist stets das Produkt aus zwei Strekenlängen, die zwar in der gleihen Einheit gemessen werden. Die entsprehenden Streken zeigen aber in vershiedene Rihtungen. 3.2 Der Fläheninhalt eines Dreieks als Produkt dualer Größen Wir betrahten ein gegebenes Dreiek ABC mit den Seitenlängen a, b, und dem Fläheninhalt S ABC. Der Fläheninhalt eines Dreieks läßt sih z.b. als halbes Produkt aus eine Seite und der entsprehenden Höhe berehnen. Die Höhen seien h A, h B und h C, die Seiten a, b und. Um niht immer die Hälften zu betrahten setzen wir a 2 = a/2, b 2 = b/2, 2 = /2. Es gilt S ABC = a 2 h A = b 2 h B = 2 h C (1) Angenommen, das Produkt zweier Größen x und y ergibt den Fläheninhalt eines Dreieks: S = xy. Dann bezeihnen wir die Größen x und y als dual zueinander. Wenn die Längeneinheit so gewählt ist, daß der Fläheninhalt unseres Dreieks gerade 1 ist, dann ist x = 1 y. Wenn wir einen Zusammenhang vershiedener x-größen haben, dann erhalten wir einen der dualen y-größen, indem wir überall die x Größen durh 1 y ersetzen Die Heronshe Flähenformel für die Höhen Sind von einem Dreiek die Seiten gegeben, dann läßt sih der Fläheninhalt nah der Heronshen Flähenformel berehnen: S = 1 4 (a + b + )( a + b + )(a b + )(a + b ) Führt man die Größen (im weiteren stellt sih heraus, daß das sehr sinnvoll ist) p A p B p C p = a 2 + b = a + b + 2 = a 2 + b = a + b + 2 = a 2 b = a b + 2 = a 2 + b 2 2 = a + b 2 ein, dann ist die Heronshen Flähenformel äquivalent zu S 2 = p p A p B p C = (2) = (a 2 + b )( a 2 + b )(a 2 b )(a 2 + b 2 2 ) (3)

7 3.2 Der Fläheninhalt eines Dreieks als Produkt dualer Größen 7 Die Größe p ist der halbe Umfang, die Größen p A, p B, p C sind Seitenabshnitte, was im nähsten Punkt deutlih wird. Ersetzen wir in (3) die halben Seiten durh die dualen Höhen, entsprehend der Formel (1), also a 2 1 h A, b 2 1 h B, 2 1 h C, so erhalten wir eine Formel zur Berehnung des Fläheninhaltes eines Dreieks, falls die Höhen gegeben sind: ( 1 1 = ) ( S 2 h A h B h C h A h B h C Der Fläheninhalt mit In- und Ankreisen ) ( 1 h A 1 h B + 1 h C ) ( ) h A h B h C Neben der Formel (1) gibt es noh andere Längen im Dreiek, die miteinander multipliziert den Fläheninhalt ergeben. Dazu zeihnen wir in ein Dreiek den Inkreis mit Radius r und einen Ankreis an die Seite BC mit Radius r A. Die Radien der beiden anderen Ankreise seien r B und r C. A C C p B r A p C p C I A p A r I r r I a p B p C r A r A A p A I p B B p C A B Man kann leiht nahprüfen, daß die Seitenabshnitte, die durh die Berührungspunkte von Inund Ankreis entstehen, gerade die Größen p A, p B, p C sind. Es gelten nämlih die offensihtlihen Zusammenhänge a = 2a 2 = p B + p C b = 2b 2 = p C + p A = 2 2 = p A + p B aus denen sih leiht die Ausdrüke für p A, p B, p C bestimmen lassen. Außerdem gilt p = p A + p B + p C p A = p 2a 2 p B = p 2b 2 p C = p 2 2 Es läßt sih jetzt leiht nahprüfen, daß S ABC = S ABI + S BCI + S CAI = a 2 r + b 2 r + 2 r = pr

8 8 3 EINFACHSTE MULTIPLIKATIVE DUALITÄT IN DER GEOMETRIE und S ABC = S AAB I A + S AAC I A S BAB I A S BIaI A S CIaI A S CAC I A = = pr A p C r A p B r A = r A p A und die analogen Formeln für die anderen Ankreise. Damit erhalten wir folgende Darstellungen für den Fläheninhalt S = a 2 h A = b 2 h B = 2 h C = pr = p A r A = p B r B = p C r C (4) Es ergeben sih weitere 4 Paare zueinander dualer Größen. Damit läßt sih z.b. die Formel h A = 2r Br C r B +r C, die einen Zusammenhang zwishen einer Höhe und zwei Ankreisradien beshreibt, leiht beweisen. Aus 2a 2 = p B + p C folgt, wenn wir a 2 1 h A, p B 1 r B und p C 1 r C ersetzen, 2 = 1 + 1, h A r B r C woraus nah leihtem Umformen h A = 2r Br C r B +r C Analog gelten folgende Zusammenhänge: p = p A + p B + p C = 1 r = 1 r A + 1 r B + 1 r C p = a 2 + b = 1 r = 1 h A + 1 h B + 1 h C p A = p 2a 2 = 1 r A = 1 r 2 h A Zwei Paare dualer Quadrupel folgt. Aus der Heronshen Formel (2) und (4) folgt S 2 = pp A p B p C = S 4 /(rr A r B r C ) und damit S 2 = pp A p B p C = rr A r B r C. Das Produkt der vier Größen p, p A, p B, p C ist also gleih dem Produkt der vier dazu dualen Größen r, r A, r B, r C. Die Quadrupel (p, p A, p B, p C ) und (r, r A, r B, r C ) bestehen jeweils aus einer Größe, die im Dreiek nur einmal vorkommt nämlih p und r und aus drei zyklishen Größen. Betrahten wir die Formeln (4), so gibt es dort 7 Produkte, die jeweils gleih dem Fläheninhalt sind. Es fällt sofort auf, daß aus ästhetishen Gründen dort ein Produkt S = xy, fehlt. Die Unbekannten x und y sollten Größen sein, die es nur einmal gibt und mit den zyklishen Größen a 2, b 2, 2 und h A, h B, h C ebenfalls Quadrupel (x, a 2, b 2, 2 ) und (y, h A, h B, h C ) bilden. Für die Größe x sollte x = S2 a 2 b 2 2 gelten. Mit der bekannten Formel 4RS = ab (hier ist R der Umkreisradius) folgt x = Es gilt also S2 = 8S2 a 2 b 2 2 ab = 2S R S = R 2 x

9 3.3 Dualität: Punkt Gerade 9 Es bietet sih also als eine der beiden unbekannten Größen y = R =: R 2 2 der halbe Umkreisradius an. Die gesuhte andere Länge x = S S R 2 läßt sih ebenfalls im Dreiek finden. Es ist R 2 = u H der halbe Umfang des Dreieks, das durh die Fußpunkte der Höhen gebildet wird das sogennannte Höhenfußpunktsdreiek. Halb so groß wie der Umkreisradius ist der Radius eines anderen besonderen Kreises. Dieser Kreis heißt Feuerbahsherkreis oder Neun-Punkte-Kreis, weil auf ihm die drei Mittelpunkte der Seiten, die drei Mittelpunkte der oberen Höhenabshnitte und die drei Fußpunkte der Höhen liegen. Wegen der letzten drei Punkte ist dieser Kreis also auh der Umkreis den Höhenfußpunktsdreieks. Zusammengefaßt erhalten wir folgende Beziehungen S = R 2 u H = a 2 h A = b 2 h B = 2 h C = pr = p A r A = p B r B = p C r C S 2 = pp A p B p C = rr A r B r C = R 2 a 2 b 2 2 = u H h A h B h C, die keine weiteren Wünshe offen lassen. 3.3 Dualität: Punkt Gerade Eine Dualität verstekt sih oft dann, wenn zwei Objekte zwar vershiedene Namen haben, aber sih ähnlih verhalten. Das ist z.b. bei Punkten und Geraden so. Eine Gerade wird nämlih durh zwei Punkten definiert und ein Punkt ist der Shnittpunkt zweier Geraden. Das würde eine shöne Dualität liefern, gäbe es niht einen Shönheitsfehler: Parallele Geraden shneiden sih niht. Jetzt gibt es zwei Möglihkeiten: Erstens und das mahen Mathematiker besonders gern man definiert die Welt um und postuliert, daß sih auh parallele Geraden gefälligst zu shneiden haben wenigstens im Unendlihen. Das führt auf das Teilgebiet der Geometrie die projektive Geometrie. In ihr ist die Welt niht so, wie sie ist, sondern so, wie wir sie sehen, nämlih perspektivish, projektiv (Eisenbahnshienen nähern sih immer mehr an und shneiden sih shließlih am Horizont). Der Vorteil ist, daß sih in dieser Geometrie tatsählih in jedem Satz die Wörter Punkt und Gerade vertaushen lassen und der Wahrheitsgehalt des Satzes bleibt erhalten. Der Nahteil ist, daß solhe Größen wie Längen oder Winkel keinen großen Sinn mehr haben (sie ändern sih in Abhängigkeit davon, aus welher Rihtung wir shauen). Die zweite Möglihkeit ist, man akzeptiert die Welt so wie sie ist und berüksihtigt, daß man ideale Dualität niht hat der Spiegel ist niht ideal. Das werden wir im folgenden mahen. 4 Dualität: 3 Punkte 3 Geraden Statt der Dualität zwishen einem Punkt und einer Geraden beshäftigen, betrahten wir gleih Tripel davon. 4.1 Was sind Umkreis und Inkreis im Dreiek Drei Punkte wenn sie niht auf einer Geraden liegen definieren ein Dreiek, drei Geraden wenn keine zwei parallel sind oder sih alle drei in einem Punkt shneiden definieren ein Dreiek ebenfalls. Jedes Dreiek hat einen Umkreis und einen Inkreis. Diese beiden Kreise hängen mit der Dualität von Punkten und Geraden zusammen. Welhe Gemeinsamkeiten zwishen Umkreis und Inkreis gibt es?

10 10 4 DUALITÄT: 3 PUNKTE 3 GERADEN Der Inkreis berührt die Seiten, der Umkreis enthält die Ekpunkte. Der Umkreismittelpunkt ist der Shnittpunkt der Mittelsenkrehten und der Inkreismittelpunkt ist der Shnittpunkt der Winkelhalbierenden. Die Mittelsenkrehte ist die Symmetrieahse der Seite, die Winkelhalbierenden ist die Symmetrieahse des Winkels. Zusammengefaßt ergeben sih folgende Eigenshaften: Umkreis Ekpunkte darauf Mittelsenkrehte Seiten Seitensymmetrie (SM) Inkreis Seiten tangieren Winkelhalbierenden Winkel Winkelsymmetrie (SW) Wir wollen die Objkete in der Tabelle, die auf einer Zeile stehen als zueinander dual betrahten. Insbesondere stehen in der letzten Zeile zwei Transformationen, die wir als zueinander dual bezeihnen. Diese Dualität hat aber Shönheitsfehler, die genau damit zusammenhängen, daß die Dualität zwishen Punkten und Geraden in der Euklidishen Geometrie wegen der Parallelität niht perfekt ist. Ein Shönheitsfehler ist, daß im Dreiek die Winkelsumme konstant ist, es aber eine konstante Strekensumme niht gibt. Außerdem gibt es zu drei Punkten genau einen Kreis, der diese Punkte enthält, wogegen es zu drei Geraden vier Kreise gibt, für die die Geraden Tangenten sind. Das sind neben dem Inkreis noh die drei Ankreise. 4.2 Umkreis und Inkreis im Vierek Vier Punkte müssen niht auf einem Kreis liegen, genau wie es keinen Kreis geben muß, der vier gegebene Geraden berührt. Es gibt im allgemeinen also zu einem Vierek keinen In- oder Umkreis. Ein Vierek mit einem Umkreis ist ein Sehnenvierek. Die harakterisierende Eigenshaft ist, daß sih gegenüberliegende Winkel zu 180 ergänzen. Ein Vierek mit einem Ankreis ist ein Tangentenvierek. Die harakterisierende Eigenshaft ist, daß die Summe der Längen zweier gegenüberliegender Seiten gleihgroß ist. Das stimmt niht ganz mit der harakterisierenden Eigenshaft von Sehnenviereken überein. Dort ist zwar auh die Summe gegenüberliegender Winkel gleihgroß, aber auh noh wegen der Winkelsumme im Vierek gegeben. Das hat zur Folge, daß man ein Sehnenvierek aus den vier Seitenlängen konstruieren kann (was allerdings shwer ist), ein Tangentenvierek kann man aus vier Winkel aber niht konstruieren, genau wie man ein Dreiek niht aus den Winkeln konstruieren kann. Überhaupt ist es beim Tangentenvierek niht offensihtlih, aus welhen Größen man es natürliherweise konstruieren könnte. Noh shwieriger ist es, ein Sehnentangentenvierek zu konstruieren, sogar ohne vorgegebene Größen: Zeihne irgendein Vierek, daß einen In- und eine Umkreis hat. Auh in einem Sehnenvierek wird der Mittelpunkt des Umkreises durh den Shnittpunkt der Mittelsenkrehten definiert, genau wie der Mittelpunkt des Inkreises eines Tangentenvierek durh den Shnittpunkt der Winkelhalbierenden bestimmt ist.

11 4.2 Umkreis und Inkreis im Vierek 11 α d δ a γ b β Sehnenvierek (SV) = Vierek mit Umkreis Tangentenvierek (TV) = Vierek mit Inkreis Sehnentangentenv. (STV) = 4-Ek mit Um- und Inkreis SV: α + γ = β + δ(= 180 ) TV: a + = b + d Konstruktionen: SV: Aus a, b,, d? Ja! TV: Aus α, γ, β, δ? Nein! STV: Shwer! Egal woraus. Ein Sehnentangentenvierek ist ein Vierek, das einen In- und einen Umkreis hat. Was die Kreise betrifft, ist das Sehnentangentenvierek also das Dreiek unter den Viereken. Hier vereinigen sih zwei eigentlih getrennte Welten die Welt der Winkelhalbierenden und die Welt der Mittelsenkrehten in einem Objekt. Das maht den Umgang mit Sehnentangentenviereken ziemlih shwer. Kein Wunder, daß es in dem Zusammenhang eine IMO-Aufgabe gab Eine Aufgabe aus der IMO von 1962? Aufgabe A: (IMO 1962) Gegeben (blau) sind 3 Punkte (Dreiek) und ein Kreis, auf dem alle 3 Punkte liegen (Umkreis). Gesuht (rot) ist ein 4. Punkt auf dem Kreis derart, daß die 4 Punkte ein STV bilden. Die Frage ist also: Wann ist ein SV ein STV? Die Lösungsidee ist nun folgende: Wir betrahten anstelle der gestellten Aufgabe eine duale Aufgabe, hoffen, daß diese einfaher zu lösen ist und versuhen den dualen Lösungsweg zu bilden und auf die ursprünglihe Aufgabe anzuwenden Die Bestimmung der dualen Aufgabe Um die duale Aufgabe zu bestimmen, formulieren wir alle Begriffe in der Aufgabe entsprehend der Tabelle auf Seite 10 um.

12 12 4 DUALITÄT: 3 PUNKTE 3 GERADEN Aufgabe A: (IMO 1962) Gegeben sind 3 Punkte (Dreiek) und Die duale Aufgabe A : Gegeben sind 3 Geraden (Dreiek) und ein Kreis, auf dem alle ein Kreis, der alle 3 Punkte liegen (Umkreis). 3 Geraden berührt (Inkreis). Gesuht ist ein 4. Punkt auf dem Kreis derart, daß die 4 Punkte ein STV bilden. Gesuht ist eine 4. Gerade, die den Kreis berührt derart, daß die 4 Geraden ein STV bilden. Wir fragen also niht, wann ein Sehnenvierek ein Sehnentangentenvierek ist, sondern wann ein Tangentenvierek ein Sehnentangentenvierek ist. Und das läßt sih viel einfaher beantworten Die duale Aufgabe Duale Aufgabe A : Gegeben (blau) sind 3 Geraden (Dreiek) und ein Kreis, der alle 3 Geraden berührt (Inkreis). Gesuht (rot) ist eine 4. Gerade, die den Kreis berührt derart, daß die 4 Geraden ein STV bilden. Gesuht ist also die rote Streke derart, daß das entstehende Vierek ein Sehnenvierek (roter Kreis) ist, die Eigenshaft, ein Tangentenvierek zu sein dabei aber erhalten bleibt. Um eine Idee dafür zu bekommen, shauen wir wieder in die Tabelle auf Seite 10 und zwar in die rehte Spalte, denn die gehört zur dualen Aufgabe A und finden dort: Spiegeln an der Winkelhalbierenden (SW). Wir nehmen also an, daß wir ein Sehnentangentenvierek haben und spiegeln das obere Dreiek, das aus zwei blauen und einer roten Seite gebildet wird an der Winkelhalbierenden des blauen Winkels und erhalten einen erstaunlihen Zusammenhang, nämlih den zwishen Strahlensatz und Sekantensatz Der Strahlensatz untersuht Strekenverhältnisse, wenn zwei Strahlen zwei parallele Geraden shneiden, der Sekantensatz untersuht Strekenverhältnisse, wenn zwei Strahlen einen Kreis shneiden. Wenn man beides so in einem Satz formuliert, sieht man sofort, daß das nah einem Zusammenhang rieht, obwohl in der Shule normalerweise beide Sätze so gelehrt werden, als hätten sie nihts miteinader zu tun. (Falls der Sekantensatz überhaupt in der Shule gelehrt wird).?

13 4.2 Umkreis und Inkreis im Vierek 13 Beide Situationen sind im folgenden Bild dargestellt. w w d Sekantensatz a = d b d Strahlensatz a = d b β α α β a b (SW) a b α β α β Im Sehnenvierek ergänzen sih gegenüberliegende Winkel zu 180. Deshalb sind die blauen und roten Winkel gleih. Nah dem Spiegeln (SW) an der Winkelhalbierenden w ergänzen sih jetzt nebeneinanderliegende Winkel zu 180. Das bedeutet einfah, daß die Geraden jetzt parallel sind, weil die Winkel Stufenwinkel sind. Nah der Spiegelung erhalten wir also ein Trapez. Und umgekehrt: Wenn wir ein Trapez gegeben haben und eine der parallelen Seiten an der Winkelhalbierenden des Winkels, (der durh die beiden niht parallelen Seiten gebildet wird,) spiegeln, erhalten wir ein Sehnenvierek.

14 14 4 DUALITÄT: 3 PUNKTE 3 GERADEN Konstruktion eines Sehnentangentenvierek aus einem Tangentenvierek w w d d a b (SW) a b Offensihtlih entsteht also aus einem Trapez ein Sehnenvierek. Noh niht klar ist aber, ob auh die Tangenteneigenshaft erhalten bleibt, ob also bei der Spiegelung aus einem Trapez mit Inkreis das ist ein spezielles Trapez auh ein Sehnenvierek mit Inkreis, also ein Sehnentangentenvierek entsteht. Das muß eigentlih so sein, da die Spieglung an einer Winkelhalbierenden die Tangenteneigenshaft natürlih erhält. Es läßt sih aber auh einfah nahrehnen: a + b = (a + d) + (b + ) (d + ) = (a + ) + (b + d) (d + ) = a + b Daß die Summe der beiden anderen gegenüberliegenden Seiten gleihbleibt ist nun wirklih offensihtlih. Damit erhalten wir folgende Lösung der dualen Aufgabe A Duale Aufgabe A : Gegeben sind 3 Geraden (Dreiek) und ein Kreis, der alle 3 Geraden berührt (Inkreis). Gesuht ist eine 4. Gerade, die den Kreis berührt derart, daß die 4 Geraden ein STV bilden. Konstruktion: Gegeben: Dreiek mit Inkreis Konstruiere Tangente an Inkreis, parallel zur Grundseite Spiegle (SW) an der Winkelhalbierenden

15 4.2 Umkreis und Inkreis im Vierek Spiegelung an der Mittelsenkrehten Um die ursprünglihe Aufgabe A zu lösen, müssen wir untersuhen, was die duale Operation, nämlih die Spiegelung an der Mittelsenkrehten (SM) aus einem Tangentenvierek maht (eben hatten wir untersuht, was die Spiegelung an der Winkelhalbierenden aus einem Sehnenvierek maht). Die Eigenshaft, Sehnenvierek zu sein bleibt bei dieser Operation natürlih erhalten. Das ist hier noh offensihtliher als eben. m D Tangentenvierek a + = b + d m??? - vierek p( ABD ) = p( BCD ) C D d C d b b B (SM) B a a A A Aus einem Vierek, bei dem die Summe gegenüberliegender Seiten gleih groß ist, wird natürlih nah der Spiegelung ein Vierek, bei dem die Summe nebeneinanderliegender Seiten gleih groß ist (genau wie es beim Sehnenvierek mit den Winkeln war). Das ist ein Vierek, daß durh eine Diagonale hier ist es BD in zwei Dreieke mit gleihem (halbem) Umfang p geteilt wird. Für so ein Vierek gibt es noh keine spezielle Bezeihnung. Ihm entspriht im dualen Bild das Trapez.

16 16 4 DUALITÄT: 3 PUNKTE 3 GERADEN Konstruktion eines Sehnentangentenviereks aus einem Sehnenvierek Ein Vierek, bei dem die Summe nebeneinanderliegender Seiten gleih groß ist, hat die besondere Eigenshaft, daß sih die beiden Ankreise, der durh die spezielle Diagonale gebildeten Dreieke, in einem Punkt berührn. Die Konstruktion so eines Viereks erfordert, zu einem gegeben Dreiek, in dessen Umkreis ein zweites Dreiek mit gleiher gemeinsamer Seite und gleihem Umfang zu konstruieren. Das ist niht so einfah, ist aber eine spezielle Konstruktionsaufgabe, die man unabhängig vom Problem des Sehnentangentenviereks lösen kann. Gesuht: STV ABCD Gespiegelt an der Mittelsenkrehten m: ABCD m I 2 Gegeben: ABD mit Umkreis Gesuht: BCD mit gleihem Umkreis, gemeinsamer Seite BD und gleihem Umfang. E D D C Aufgabe: Konstruktion eines Dreieks aus R,, p I 1 A B Zur Vorbereitung der Konstruktion eines Dreieks mit gegebenen Umkreisradius, Seite und Umfang betrahten wir folgende

17 4.2 Umkreis und Inkreis im Vierek Hilfsaufgabe Diese Aufgabe wurde im Programmheft gestellt und ist auh eine Wurzel aufgabe vom Februarheft Wir werden die Lösung hier erst nah der Veröffentlihung in der Wurzel (etwa Aug.-Sept. 2012) bekanntgeben. γ Dreiek aus (R, γ, p A ) Konstruiere ein Dreiek aus 1) Winkel γ am Ekpunkt C. 2) Umkreisradius R. I b I O 3) Abstand p A zwishen Ekpunkt A und p A dem Punkt I b, bei dem der Inkreis des Dreieks R die AC berührt. A p A B C I Konstruktion eines Dreieks aus R, und p a Konstruktion eines Dreieks aus R, und p Auh diese sehr ähnlihe Konstruktion geben wir erst später bekannt Lösung von Aufgabe A