Lineare Antwort, Green-Kubo, Fluktuations-Dissipations Theorem

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Clara Reuter
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1 Lineare Antwort, Green-Kubo, Fluktuations-Dissipations Theorem Franziska Böhme, Sophie Seidenbecher

2 1 Lineare Antwort 2 3 4

3 Theorie der Linearen Antwort Einführung der Linearen Antworttheorie Wechselwirkungsdarstellung Kubo-Formel Wie reagiert Hamiltonsches System auf äuÿere Störung? vollständiger Hamiltonoperator H = H 0 + H 1 (t) Störoperator H 1 (t) = F (t)b für t t 0 sei F (t) = 0 System im Gleichgewicht

4 Einführung der Linearen Antworttheorie Wechselwirkungsdarstellung Kubo-Formel

5 Erwartungswerte im Nichtgleichgewicht Einführung der Linearen Antworttheorie Wechselwirkungsdarstellung Kubo-Formel Erwartungswerte im Gleichgewicht A(t) = Tr (ρ S (t)a) von-neumann Gleichung: mit der Lösung d dt ρ(t) = i [H, ρ(t)] ρ S (t) = U(t, t 0 )ρ 0 U + (t, t 0 )

Erwartungswerte im Gleichgewicht A(t) = Tr (ρ S (t)a) von-neumann

6 Einführung der Linearen Antworttheorie Wechselwirkungsdarstellung Kubo-Formel A(t) = Tr ( U(t, t 0 )ρ 0 U + (t, t 0 )A ) = Tr ( ρ 0 U + (t, t 0 )AU(t, t 0 ) ) ( e βh 0 ) = Tr Z U + (t, t 0 )AU(t, t 0 ) kanonische Gleichgewichtsdichtesmatrix ρ 0 = 1 Z e βh 0 Zustandssumme Z = Tr ( e βh ) 0

7 Einführung der Linearen Antworttheorie Wechselwirkungsdarstellung Kubo-Formel Übergang ins Wechselwirkungsbild Bewegungsgleichung des Zeitentwicklungsoperators: i d dt U(t, t 0) = HU(t, t 0 ) mit dem Ansatz: U(t, t 0 ) = e ih 0 (t t 0 ) U (t, t 0 ) woraus sich i d dt U (t, t 0 ) = H 1(t)U (t, t 0 ) ergibt, mit: H 1 (t) = e ih 0 (t t 0 ) H (t)e ih 0 (t t 0 )

0) = HU(t, t 0 ) mit dem Ansatz: U(t, t 0 ) = e ih 0 (t t 0 ) U (t, t 0 ) woraus sich i d

8 Lineare Response-Näherung Einführung der Linearen Antworttheorie Wechselwirkungsdarstellung Kubo-Formel Integration der Bewegungsgleichung des Zeitentwicklungsoperators in Wechselwirkungsdarstellung und Entwicklung nach Potenzen des Störterms Abbruch nach 1.Potenz liefert: A(t) = A 0 i t t 0 dt [ A(t), B(t ) ] 0 F (t )

Zeitentwicklungsoperators in Wechselwirkungsdarstellung und Entwicklung nach

9 Kubo-Formel Lineare Antwort Einführung der Linearen Antworttheorie Wechselwirkungsdarstellung Kubo-Formel A(t) = A(t) A 0 = dt X AB (t t )F (t ) mit der dynamischen Suszeptibilität oder auch linear response Funktion (kausal!): X AB (t t ) = i θ(t t ) [ A(t), (B(t )) ] 0

t )F (t ) mit der dynamischen Suszeptibilität oder auch linear

10 System im Gleichgewicht unterliegt Fluktuationen durch äuÿere Störung wie z.b. anlegen eines Feldes Nicht-Gleichgewicht Reaktion: Änderung von Observablen Bsp. Magnetisierung, el. Strom Antwort des Systems muss verschwinden wenn Störung nicht da Antwort muss lineares Funktional der Störung sein

11 Fluktuations-Dissipations Theorem (allg.) Woher weiÿ ein System das sich zu einem Zeitpunkt t 0 im Nicht-Gleichgewicht bendet, ob es durch Fluktuationen oder durch eine äuÿere Störung dahin gebracht wurde? im klassischen Grenzfall: X AB(ω) = 1 (G > AB (1 2 (ω) e β ω)) X AB(ω) = βω 2 G> AB (ω)

Nicht-Gleichgewicht bendet, ob es durch Fluktuationen oder durch eine

12 Korrelationsfunktionen: G > AB (t) = A(t)B(0) G < AB (t) = B(0)A(t) G > AB : Maÿ für die Korrelation von Fluktuationen von A und B X AB : Beschreibung der Energiezunahme Dissipation

13 Was beschreibt X AB? eine Energieänderung des Systems durch die Störung! stationär d dt E(t) = d Tr[ρ, H(t)] dt = Tr[ ρ, H(t)] + Tr[ρ, H(t)] = t H 1(t) ρ = i [ρ, H] d E(t) = B(t) F (t) dt

14 Onsager Reziprozitätsbeziehung Green-Kubo Relation X AB = β 0 dτ AB(τ) beinhalten lineare Antwort des Systems auf Störung 2 Klassen von (i) Reaktion auf externe Störung (σ, M) und (ii) auf interne Inhomogenitäten (D,η)

Systems auf Störung 2 Klassen von (i) Reaktion auf

15 Onsager Reziprozitätsbeziehung Onsager Reziprozitätsbeziehung Beschreibung des Zusammenhangs zwischen Flüssen und Kräften, die in einem thermodynamischen System auÿerhalb des Gleichgewichts auftreten: Fouriersches Gesetz der Wärmeleitung: q = λ T Ohmsches Gesetz der Stromleitung: i = σ φ Erstes Ficksches Gesetz der Diusion: j = D c Newtonsches Reibungsgesetz: F = ηa v y

Gleichgewichts auftreten: Fouriersches Gesetz der Wärmeleitung: q = λ T Ohmsches Gesetz der

16 Onsager Reziprozitätsbeziehung II Onsager Reziprozitätsbeziehung Mehrere Störungen im System, Bsp: Änderung von Druck und Temperatur in einer Flüssigkeit Temperaturgradient erzeugt Wärmestrom, Druckgradient erzeugt Massenstrom ABER: auch Temperaturgradient erzeugt Massenstrom (Konvektion) und umgekehrt Onsager Reziprozitätsbeziehung: Betrag der Konvektion und des Druck-generierten Wäremstroms sind gleich groÿ J u = L uu 1 T L uρ µ T J ρ = L ρu 1 T L ρρ µ T

ABER: auch Temperaturgradient erzeugt Massenstrom (Konvektion) und umgekehrt Onsager Reziprozitätsbeziehung:

17 Peltier-Eekt/ Seebeck-Eekt Onsager Reziprozitätsbeziehung Stromuss erzeugt Temperaturdierenz und umgekehrt

18 Lineare Antwort Reaktion eines Hamiltonschen Systems auf Störung ist lineares Funktional der Störung dynamische Suszeptibilität X AB (t t ) = i θ(t t ) [A(t), (B(t ))] 0 Nicht-Gleichgewicht kann sowohl durch innere Fluktuationen als auch kleine Störung hervorgerufen werden Fluktuations-Dissipations Theorem lineare Antwort eines Systems durch darstellbar Green-Kubo Formel z.b. für Leitfähigkeit: σ = β 0 dτ jj(τ)

durch innere Fluktuationen als auch kleine Störung hervorgerufen werden Fluktuations-Dissipations

19 Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit!

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